VYSOKÉ UČENÍ TEHNIKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TEHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ENERGETIKÝ ÚSTAV FAULTY OF MEHANIAL ENGINEERING ENERGY INSTITUTE DYNAMIKÉ VLASTNOSTI LAVALOVA ROTORU DYNAMI BEHAVIOR OF LAVAL ROTOR BAKALÁŘSKÁ PRÁE BAHELOR S THESIS AUTOR PRÁE AUTHOR VEDOUÍ PRÁE SUPERVISOR NADĚŽDA NOVÁKOVÁ prof. Ig. EDUARD MALENOVSKÝ, DrSc. BRNO 009
- 4 -
ABSTRAKT Náplí éo bakalářské práce je saoveí vlasí frekvece modelové roorové sousav a ověřeí, zda ao sousava může bý považováa za Lavalův roor. Vlasí frekvece se získá výpočem ze zámých vzahů pro krouživé kmiáí roorů. Ověřeí, zda ao modelová roorová sousava může bý Lavalův roor, se provede pomocí experimeálího měřeí, při kerém se zjišťuje výchlka rajekorie hřídele při posupě se zvšujících oáčkách. Naměřeé hodo se ásledě zpracují v programu MATLAB. Výsledk se porovají s eorií Lavalova rooru. KLÍČOVÁ SLOVA Lavalův roor, Jeffcoův roor, parí urbía, Lavalova urbía, Parsosova urbía, rchloběžá parí urbía, kriické oáčk, proximi probe. ABSTRAT The aim of his bachebor s hesis is o specif self-frequec of model roor ssem ad verif ha he ssem ma be cosidered as Laval roor. The aural frequec is obaied b calculaig from he kow relaios for he circular roor vibraio. Verif ha he model roor ssem ca be Laval roor, is performed b usig experimeal measuremes, which is deermied i shaf deflecio rajecor durig graduall icreasig speed. The measured values are he processed i program MATLAB. The resuls are compared wih heor of Laval roor KEYWORDS Laval roor, Jeffco roor, gas urbie, Laval urbie, Parsos urbíe, high speed urbie, criical speed, proximi probe. - 5 -
BIBLIOGRAFIKÁ ITAE NOVÁKOVÁ, N. Damické vlasosi Lavalova rooru. Bro: Vsoké učeí echické v Brě, Fakula srojího ižeýrsví, 009. 36 s. Vedoucí bakalářské práce prof. Ig. Eduard Maleovský, DrSc. - 6 -
PROHLÁŠENÍ Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci a éma Damické vlasosi Lavalova rooru vpracovala samosaě s použiím odboré lieraur a prameů, uvedeých a sezamu, kerý voří přílohu éo práce. 10. duba 009. Naděžda Nováková
PODĚKOVÁNÍ Ráda bch poděkovala vedoucímu mé bakalářské práce prof. Ig. Eduardu Maleovskému, DrSc. za ceé rad a připomík, pomoc při řešeí a aké za rpělivos. Dále bch ráda poděkovala Ig. Pavlu Hlavoňovi, Ph.D. za čas, kerý mi věoval, Ig. Lubomíru Houfkovi, Ph.D.za jeho pomoc při měřeí a Ig. Zdeňkovi Novoému za dobré rad při vpracováí. Zvláší poděkováí paří mé rodiě za jejich plou podporu v době celého sudia..
OBSAH 1 ÚVOD... 10 1.1 HISTORIKÝ VÝVOJ PARNÍH TURBÍN... 10 1. LAVALOVA A PARSONSOVA TURBÍNA... 11 1..1 Lavalova urbía... 11 1.. Parsosova urbía... 1 LAVALŮV ROTOR... 14.1 VLASTNOSTI NETLUMENÉHO LAVALOVA ROTORU... 14.1.1 Pohbové rovice... 16.1. Volé elumeé kmiáí... 18. KROUŽIVÉ KMITÁNÍ ROTORU. KRITIKÉ OTÁČKY.... 19 3 VÝPOČET KRITIKÝH OTÁČEK MODELOVÉ ROTOROVÉ SOUSTAVY... 5 3.1 VSTUPNÍ HODNOTY PRO VÝPOČET... 5 3. KRITIKÁ ÚHLOVÁ RYHLOST... 5 3.3 KRITIKÉ OTÁČKY... 6 4 EXPERIMENTÁLNÍ MĚŘENÍ... 7 4.1 ÍL EXPERIMENTU... 7 4. STRUKTURA EXPERIMENTU... 7 4..1 Roor ki... 7 4.. Proximi probe... 8 4.3 POSTUP MĚŘENÍ... 9 4.4 ANALÝZA VYHODNOENÍ... 9 4.4.1 Saisické zpracováí... 9 4.4. Vhodoceí výsledků a porováí s eoreickým výpočem... 30 ZÁVĚR... 33 SEZNAM POUŽITÝH ZDROJŮ... 34 SEZNAM POUŽITÝH VELIČIN... 35 FYZIKÁLNÍ KONSTANTY... 35-9 -
Naděžda Nováková Damické vlasosi Lavalova rooru 1 ÚVOD Lavalův roor je exrémě zjedodušeý model rooru, avšak lze a ěm vsvěli a prodiskuova moho důležiých jevů zásadích pro praxi. Mohou a ěm bý sledová vliv evvážeosi rooru, pružého uložeí, vějších a viřích lumících sil, groskopického momeu, kluzých a valivých ložisek a moho dalších. To vliv b se velice ěžko a komplikovaě dal měři a počía pro skuečé roor parích a plových urbí. 1.1 Hisorický vývoj parích urbí Parí urbí se sal základím pem pohou v soudobých epelých elekrárách, včeě jaderých. Nalezl široké uplaěí jako hací jedok a lodích vojeského i obchodího loďsva. Parí urbía mimo o slouží jako poho růzých srojů čerpadel, dmchadel apod. Parí urbíu pracující s vsokými oáčkami charakerizují poměrě malé rozměr i malá hmoos a může bý posavea pro velmi velké výko (milió kw i více), přiom současě parí urbía dosahuje vsokého supě hospodárosi a vsoké účiosi. Sesrojeí parí urbí, podobě jako je omu u všech výzamých válezů, emůžeme připisova vůrčí čiosi pouze jediého člověka.[5] Prví počák parí urbí alezeme již v dobách Heroových (r. 10 př. Kr.). Bl o dué, ejčasěji ozdobeé, ádob kuloviého varu, do ichž se přiváděla pára duými rame z kolíku. Na kouli bl umísě ohué rubk jimiž proudila pára ve a vziklou reakcí se koule oáčela. Jakýmsi předchůdcem parích urbí bl éž aeolipil (uzavřeá ádoba v íž se vařila voda a malým ovorem z í uikala pára - časo provede v podobě foukajícího muže). Uplulo však skoro 000 le ež se začalo vážě pomýšle a vužií síl apjaé vodí pár. Giovai de Braca v r.169 avrhl lopakové kolo, jež blo poháěo parou vsupující z aeolipil. Tao Bracova kola a moho jiých ávrhů vzhledem k primiivímu savu srojí výrob zaiklo. Obr. 1.1 Bracova urbía [8] - 10 -
ENERGETIKÝ ÚSTAV Eergeika, proces a ekologie Teprve v 19. soleí se podařilo uskueči očící se sroj, ed parí urbíu. Bl o švédský ižeýr de Laval, kerý v r. 1883 zkosruoval prví parí urbíu založeou a rovolakém pricipu. Současě Agliča Parsos posavil r. 1884 parí urbíu, kerá bla založea a přelakovém pricipu, v dvou proudovém uspořádáí. Z radiálích urbí se ejvíce uplaila a i dosi rozšířila Ljugsrömova, ak ěkd ozačovaá jako Sal-urbía. Je o proiběžá urbía. Oběžé lopakové supě jsou sřídavě uspořádá a dvou lemo uložeých kooučích, přičemž se oba o koouče očí proiběžě. Vsup pár do oběžých supňů je z viřku. Pára se přivádí provraými áboji kooučů. Za účelem vrováí veliké osové síl, působící jedosraě a koouče, jsou s ěmio spoje vrovávací koouče opařeé radiálím labriem. [4] 1. Lavalova a Parsosova urbía V průběhu 19. soleí růzí válezci předložili řadu ávrhů a přeměu epelé eergie v eergii mechaickou, založeých a změě hbosi proudící pár. Exisují svědecví o om, že již ve 30. leech 18. soleí se vužívalo v růzých zařízeích parích urbí, jejichž kosrukčí pricip bl založe a Segerově kole, j. a vužií reakivího účiku vékajícího proudu pár. Nejvěší převra v kosrukčím uspořádáí parí urbí a v dalším jejím vývoji asal kocem 19. soleí, kd ve Švédsku Gusav de Laval a v Aglii harles Parsos ezávisle a sobě pracovali a sesrojeí a zdokoaleí parí urbí. Jimi dosažeé výsledk umožil, ab se parí urbía ve své době sala základím pem pohou elekrických geeráorů a alezla široké vužií i jako lodí poho.[5] 1..1 Lavalova urbía V Lavalově urbíě, sesrojeé v r. 1883, pára vsupuje z jedé ebo ěkolika dýz, dosahuje v ich vsoké rchlosi a vede se do oběžých lopaek umísěých a obvodu kola asazeého a hřídeli urbí. Síla vzikající zakřiveím proudu pár v mezilopakových kaálech oběžé mříže oáčí kolem a s ím spojeou hřídelí urbí. Obr. 1. Lavalova urbía [7] - 11 -
Naděžda Nováková Damické vlasosi Lavalova rooru harakerisickou zvlášosí éo urbí je o, že expaze pár probíhá v dýzách od počáečího do koečého laku v jedom supi, což je příčiou zvlášě vsokých rchlosí proudu pár. Přeměa kieické eergie pár v eergii mechaickou se uskuečňuje již bez další expaze pár, pouze změou směru proudu pár v kaálech oběžých lopaek.[5] Obr. 1.3 Řez Lavalovou urbíou [9] Turbí, keré jsou posave a omo pricipu, j. urbí, u ichž úplá expaze pár probíhá v epohbujících se dýzách, azýváme rovolakové urbí. Při savbě rovolakových, jedosupňových urbí bla rozřešea řada problémů, což mimořádým způsobem ovlivilo další rozvoj parích urbí. Bl použi rozšířeé dýz, í azývaé Lavalov dýz, keré umožňují hospodárě vužíva vsokého supě expaze pár, s vsokými rchlosmi proudu pár. Laval u svých urbí vřešil kosrukci koouče sejé pevosi, kerý umožňuje pracova s vsokými obvodovými rchlosmi (350 ms 1 ). Jedosupňové rovolakové urbí dosahoval oáček (do =640 s 1 ) mohoásobě všších, ve srováí s oáčkami běžými v é době u jiých pů srojů. Tao skuečos vedla k válezu pružého rooru, jehož kriické oáčk jsou ižší ež jmeovié oáčk urbí. Nehledě k řadě ových kosrukčích řešeí vužívaých u jedosupňových rovolakových urbí, ebla jejich účios právě vsoká. Navíc uos používa převodovek pro sížeí oáček hacího hřídele a úroveň oáček příslušého sroje brzdila v é době rozvoj jedosupňových urbí, zvlášě pak omezovala zvýšeí jejich výkou. Z ěcho důvodů, a počáku rozvoje urbíářsví, jedosupňové Lavalov urbí alezl velké uplaěí zvlášě u sousrojí ižších výkoů (do 500 kw).[5] 1.. Parsosova urbía Parí urbía avržeá v r. 1884 Parsosem se lišila podsaě od Lavalov urbí. Expaze pár v éo urbíě eprobíhá v jedé skupiě dýz, ale posupě v řadách urbíových supňů řazeých za sebou, z ichž každý se skládá z epohblivých rozváděcích a oběžých lopaek. - 1 -
ENERGETIKÝ ÚSTAV Eergeika, proces a ekologie Rozváděcí lopak jsou upevě v epohblivém ělese urbí, oběžé lopak jsou uchce v jedolivých řadách a roujícím bubu. V každém supi éo urbí se zpracuje lakový spád vořící evelkou čás celého spádu mezi lakem vsupí pár a proilakem ve výsupím hrdle urbí. Tako je možé pracova s mešími rchlosmi pár v každém supi i s ižšími obvodovými rchlosi oběžých lopaek ež v Lavalové urbíě. Mimo o expaze pár ve supích Parsosov urbí probíhá jak v rozváděcích, ak i v oběžých lopakách. Z oho důvodu a oběžé lopak působí síl vvolaé eje změou směru proudu pár, ale i urchleím pár v oběžých lopakách, což je zdrojem reakčího silového účiku.[5] Obr. 1.4 Parsosova urbía [7] - 13 -
Naděžda Nováková Damické vlasosi Lavalova rooru LAVALŮV ROTOR Nejjedodušší model, kerý může bý použi ke sudiu průhbového chováí roorů, se skládá z ehmoého pružého hřídele a hmoého bodu, kerý je umísěý uprosřed délk hřídele. V roce 1919 Jeffco publikoval důkladé sudie jeho damického chováí, proo je časo ozačová jako Jeffcoův roor; icméě oo přisuzováí je esprávé. Již v roce 1895 publikoval Augus Föppl čláek, ve kerém správě aalzoval jeho chováí (ozačil ho jako De Lavalův roor), a Sodola a Belluzzo ho popsali ve své kize o urbíách v prvích leech dvacáého soleí. I kdž je model Lavalova rooru přílišé zjedodušeí skuečých roorů, zachovává ěkeré základí vlasosi a dovolí ám získa kvalií áhled do důležiých jevů pických pro damiku roorů, ačkoliv je mohem jedodušší ež reálé model.[] Obr..1 Schéma Lavalova rooru.[6].1 Vlasosi elumeého Lavalova rooru Na obrázku. jsou akreslea dvě schémaa uložeí Lavalova rooru, keré ám přiáší sejé výsledk, pokud je sousava: elumeá lumící efek eí spoje ai s pružiou ai s hřídelí osově souměrá elková uhos k podmíěá vraou sílou může bý považováa za uhos hřídele, osou kosrukcí, ebo kombiací obou. - 14 -
ENERGETIKÝ ÚSTAV Eergeika, proces a ekologie Obr.. Dokoale vvážeý Lavalův roor. (a) Roor skládající se z hmoého bodu a pružého hřídele uložeého v uhých ložiskách. (b) Hřídel eí prohuý, proože ložiska jsou poddajá.[] Bod P leží vžd v roviě x. Teo údaj je vsvělová rozchodem mezi axiálím a radiálím pohbem a závisí a malém posuuí, keré vziká a základě lieárího saického výpoču. Ke sudiu ohbového chováí může bý použi model pouze se dvěma supi volosi. Zmíěá schémaa jsou však příliš moho idealizovaá. V praxi se ikd esává, že bod P je oožý s pružým sředem, kerý se kříží a čási hřídele s bodem působícím a hřídel pružou zpěou vazbou. Jakkoli malá může bý vzdáleos mezi bod a P, excericia ε (obrázek.3) způsobuje saickou evývahu mε a o může silě ovlivi chováí sousav. U základích roorových sousav předpokládáme kosaí úhlovou rchlos Ω s počáečím časem (=0) v okamžiku,ve kerém je vekor P rovoběžý s osou x, úhel mezi osou x a vekorem P je θ=ω.[] - 15 -
Naděžda Nováková Damické vlasosi Lavalova rooru - 16 - Obr..3 Nevvážeý Lavalův roor s evývahou mε. (a) Nákres sousav. (b) Sav v roviě x.[].1.1 Pohbové rovice Jsou možé dvě volb pro obecé souřadice: buď souřadice x c a c pro bod, geomerické či elasické cerum hřídele, ebo souřadice x p a p pro bod P, hmoý bod. Užiím prví možosi (mohem více používaou) můžeme polohu a rchlos bodu P vjádři jako Ω + Ω + = = = ) si( ) ( ) cos( ) ( ) ( ) ( ) ( x x r PO P P P ε ε, (.1) Ω Ω + Ω Ω = = ) cos( ) ( ) si( ) ( ) ( ) ( ) ( x x r P P P ε ε & & & & &. (.) Kieická eergie E k a poeciálí eergie E p jsou ( ) ( ) ( ) [ ] { } x m x m x E P P k Ω + Ω Ω + Ω + + = + = cos si 1 1 & & & & & & ε ε, ( ) 1 p x k E + = (.3) Lagrageov rovice můžeme apsa ve varu ( ) ( ) i i p k i p k Q q E E q E E d d = &, (.4) kde q i jsou Lagrageov souřadice, zde x c a c.
ENERGETIKÝ ÚSTAV Eergeika, proces a ekologie Za předpokladu, že vější síla působí a bod P v roviě x (apř. průhb rooru v případě, že osa oáčeí je horizoálí), síl Q mohou bý sado získá viruálím posuuím bodu [δx c,δ c ] T. Vzhledem k omu, že úhlová rchlos je předepsáa pohoým ssémem (úhel θ=ω ezávisí a obecých souřadicích), viruálí posuuí bodu P je [δx c,δ c ] T a viruálí práce δl od síl F se složkami F x a F působící a bod P je δ L = F δx + F δ. (.5) x elkové síl lze pak vpočía jako i δl Qi =. (.6) δq Při odvozováí příslušých vzahů si musíme pamaova, že úhlová rchlos Ω má bý kosaí. Pohbové rovice pak vpadají ásledově: mx && ( ) + kx m && ( ) + k ( ) = mεω ( ) = mεω cos( Ω) + F ( ) si( Ω) + F ( ). x (.7) kde síl F x () a F () jsou považová za všeobecé fukce času, zaímco erovováha sil je ze sejé ampliud jeom ve fázovém rozdílu.[] Jako vžd řešeím obecé rovice (.7) můžeme získa sčíáím homogeí rovice (doplňková fukce) mx && ( ) + kx m && ( ) + k ( ) = 0 ( ) = 0 (.8) k parikulárímu řešeí celé rovosi. Rovice (.8) dovoluje volý pohb dokoale vvážeého Lavalova rooru, zaímco rovice (.7) přiáší odpověď a saickou erovováhu a vější sílu působící v roviě x. Všiměe si, že vzhledem k lieariě, je možé sudova jedolivé reakce evvážeosi i ke saické síle. Jak již blo uvedeo, je možé používa souřadice x p a p od bodu P (ěžišě) jako obecé souřadice. V om případě můžeme polohu bodu vjádři jako O = r x ( ) = ( ) x = ( ) Kieická a poeciálí eergie jsou E E k p (& + & ) P P ( ) ε cos( Ω). (.9) ( ) ε si( Ω) 1 = m xp P (.10) ( x + + ε [ x cos( Ω) + ( Ω) ]) 1 = k P P ε P P si (.11) Při dosazeí Lagragiau a sil F x a F do Lagrageov rovice budou ásledující rovice pohbu bodu P o: mx && ( ) + kx P m && ( ) + k P P P ( ) = kε cos( Ω) + F ( ) ( ) = kε si( Ω) + F ( ). x (.1) - 17 -
Naděžda Nováková Damické vlasosi Lavalova rooru.1. Volé elumeé kmiáí Rovice pohbu podél každé os jsou shodé s rovicí volého pohbu sousav s jedím supěm volosi. Čisě maemaický přísup k řešeí je převza z expoeciálího řešeí. x ( ) = x a řešeí pro ( ) = s O O e e s ( ms x + kx ) e = 0, O O s ( ms + k ) e = 0. O s s,, O (.13) (.14) s Pro e 0 a eriviálí řešeí ( x 0 a 0), keré hledáme, předpokládáme, že ms ms + k = 0, + k = 0. O O (.15) Absoluí hodoa s z rovice (.15) se shoduje s vlasí frekvecí eroující sousav k ω =, (.16) m a čři řešeí ± iω (ve skuečosi je dvě, každé s ásobkem ) jsou pouze imagiárí kvůli kozervaiví povaze sousav.[] Kvůli smerii sousav kolem os x a je pohb bodu dá kombiací dvou harmoických pohbů ležících kolem os a s frekvecí, kerá se shoduje s vlasí frekvecí eroujícího hřídele x ( ) = X e 1 1 ( ) = Y e iω iω + X + Y e e iω iω., (.17) Kosa X 1, X, Y 1 a Y mohou bý urče z počáečích podmíek poloh 0 0 & 0 x ( 0) a ( ) a rchlosí x& ( ) a ( ) 1 x (0) = X1 + X, x& (0) = i( X1 X ) ω, (0) = Y + Y, & (0) = i ( Y Y ) ω. 1 (.18) Dosazeím do rovice (.17) dosaeme řešeí a základě počáečích podmíek x ( ) = x ( ) = 1 ω ( 0) cos( ω ) + x& ( 0) si( ω ), 1 ω ( 0) cos( ω ) + & ( 0) si( ω ), (.19) keré se shoduje s odezvou z obou lumeých harmoických osciláorů. Jako vžd může bý řešeí vjádřeo a základě ampliudových a fázových úhlů - 18 -
ENERGETIKÝ ÚSTAV Eergeika, proces a ekologie kde ( ω φ ) x ( ) = X cos x, ( ) = Y cos( ω φ ), x (0) = X cosφ, (0) = Y cosφ, x x& (0) = ω X siφ, & (0) = ω Y siφ x. (.0) (.1) Rovice pohbu vjádřeá rovicí (.0) je zázorěá a obrázku.3. Trajekorii bodu zázorňuje vekor r, jehož souřadice x ( ) a ( ) v čase jsou dá harmoickými fukcemi (.0) ampliud X a Y a fází φ x a φ. T mohou bý mšle jako průmě roujících vekorů A r a B r do pomocých os x a podle obrázku.3.[] Obr..3 Odpověď Lavalova rooru a vlasí kmiáí. (a) Reálé (v x a ) a komplexí ( r x + i x a = ) prezeují dráhu bodu ; (b) a (c) prezeují souřadice ( ) ( ) pro bod ve vekorovém průměu promíuém a os x a z roujících vekorů A r a B r.[]. Krouživé kmiáí rooru. Kriické oáčk. Při oáčeí roorů se vskují oblasi oáček, při kerých lze pozorova hlučeí, adměré chvěí ložiskových sojaů, eklidý mechaický chod a prohýbáí hřídele spojeé dokoce s možosí jeho rvalé deformace. Úhlové rchlosi, při kerých k omuo jevu dochází, se azývají kriickými a mluvíme o om, že hřídel běží v kriických oáčkách. V podsaě jde o esabilí případ rovováh mezi silami odsředivými a silami elasickými, popřípadě lumícími. Uvažujme ejprve velmi jedoduchý případ ehmoého hřídele kosaího průřezu uložeého ve dvou ložiskách s kooučem o hmoosi m uprosřed. Pokládámeli ložiska za prosé podpor a zaedbáme-li vliv vlasí íh koouče, plaí ao - 19 -
Naděžda Nováková Damické vlasosi Lavalova rooru podmíka rovováh mezi odsředivou silou koouče mω a elasickou silou k, kerou působí hřídel a koouč mω k = 0 (.) Neriviálí řešeí rovice (.) pro 0 vžaduje splěí podmík mω k = 0 (.3) což je vzah pro výpoče kriické úhlové rchlosi kde v případě k ω kr = (.4) m 48EJ k =. (.5) 3 l Kriické oáčk za miuu určuje vzah kr 30 = ωkr (.6) π Neleží-li sřed hmoosi koouče a spojici sředů ložisek, ale je-li vchýle o excericiu ε, jako apř. u excerick asazeého koouče, pak pro rovováhu plaí Z oho m( + ε ) ω k = 0 (.7) ε = (.8) ωkr 1 ω Pro ω 0 je = 0, pro ω, = ε. Průběh závislosi je obdobý průběhu získaému při všeřováí usáleého kmiáí elumeé sousav s 1 volosi vuceého harmoickou budicí silou o ampliudě úměré ω.[3] Je-li a hřídeli asazeo kooučů, ahradíme silový účiek a hřídeli od každého z ich odsředivou silou miω i, kde i je průhb hřídele v mísě koouče. Po zavedeí příčikových čiielů α plaí sousava rovic i = j= 1 ij j j ij α m ω, i = 1,..., (.9) kerou lze užiím maic vjádři ako ( ω GM + I) = 0 (.30) kde G = [ α ij ] je smerická maice sesaveá z příčikových čiielů α ij jako prvků, M - diagoálí maice s prvk Τ = [,...]..., i m i a hlaví diagoále - vekor výchlek v mísech kooučů - 0 -
ENERGETIKÝ ÚSTAV Eergeika, proces a ekologie Neulové řešeí, 0, vžaduje, ab ω GM + I = 0 (.31) Koře frekvečího deermiau jsou hledaé kriické úhlové rchlosi ω kr. Posup řešeí a výsledé vzah jsou formálě sejé jako při úlohách z ohbového kmiáí osíků. Mezi krouživým a ohbovým kmiáím exisuje pro ako idealizovaý případ podobos do é mír, že kriické úhlové rchlosi ω jsou rov vlasím frekvecím Ω i obdobé úloh ohbového kmiáí. Hřídel v okolí kriických oáček krouží deformováa do varu, kerý rověž odpovídá vlasímu varu kmiáí při ohbovém kmiáí. Pokud se ložiska považují za uhé ebo pružé podpor s uhosí ve všech směrech sejou a eí-li řeba uvažova groskopické účik asazeých kooučů, lze ed výpoče kriických oáček provádě z pohbových rovic odvozeých pro ohbové kmiáí ehmoých osíků s osamělými sousředěými hmoami j. s použiím příčikových čiielů.[3] Po zavedeí saického průhbu hřídele íhou koouče s s = mg / k vplývá g ω kr = (.3) Uvedeý vzah určuje kriickou úhlovou rchlos ze zalosi saického průhbu hřídele. U hřídele s ěkolika hmoami uložeých a dvou ložiskách bez převislých koců, lze ejižší kriické oáčk dobře vsihou vzahem kr kr 30 g = χ (.33) π max kde max je ejvěší průhb hřídele vlasí íhou a íhou asazeých kooučů. Součiiel χ se volí: χ = 1,00 pro jedu hodou a hřídeli, χ = 1,7 pro hřídel zaížeý spojiou, rovoměrě rozložeou hmoou, χ = 1,08 pro roor urbí, odsředivých čerpadel, kompresorů, χ = 1,0 pro roor urbogeeráorů a elekromoorů. Jiý vzah pro přibližý výpoče ejižších kriických oáček z průhbové čár je kr 30 π g i= 1 = i= 1 m i i m i i. (.34) Jeho spolehlivos záleží a přesosi odhad průhbů i v mísech sousředěých hmo (asazeých kooučů) o hmoosi m i. Jsou-li koouče asazeé a hřídel rozměrější, je jejich silové působeí a hřídel při všších oáčkách složiější, jak vplývá z eorie sférického pohbu ělesa (z eorie groskopů). Silové účik, j. síl a - 1 -
Naděžda Nováková Damické vlasosi Lavalova rooru mome se obdrží z derivace momeu hbosi koouče jako uhého ělesa. Uvažujeme jedoduchý případ ekého koouče asazeého a hřídel, kerý se oáčí úhlovou rchlosí ω. V ěžiši koouče je zvole počáek pevé pravoočivé souřadicové sousav x,, z a rověž počáek pohblivé souřadicové sousav ξ, η, ζ spojeé s oáčejícím se kooučem, přičemž ξ, η a ζ jsou současě cerálí hlaví os servačosi. Deformace hřídele je vvoláa účikem sil F a F z a momeů M a M z. Z derivace momeu hbosi koouče jako uhého ělesa vplývají za předpokladu malých výchlek a aočeí pro síl a mome působící a ěleso (F x a M x eí pro další úvah zapořebí) vzah F F z M M = m &&, = mz &&, z = I && z' + I ω & ', = I && z' + I ω z& ', ζ η ξ ξ (.35) kde I ξ, I a η I ζ jsou mome servačosi k osám pohblivé souřadicové sousav a jsou ed cerálími hlavími mome servačosi koouče. Tečkami jsou vzače derivace podle času a čárkami derivace podle argumeu x. Užiím příčikových čiielů odvodíme vzah pro výchlk a aočeí hřídele v počáku souřadicové sousav O.[3] = α z = α ϕ = γ z ϕ = γ ( F ) + γ ( M z ), ( Fz ) + γ ( M ), ( F ) + δ ( M ), ( F ) + δ ( M ). Pro koouč dále plaí z z η ξ (.36) I = I. Dosazeím (.35) do (.36) a zavedeím iω iω + iz = ue ˆ a ' + iz' = uˆ ' e, kde Ω je úhlová rchlos kroužeí hřídele kolem spojice ložisek, obdržíme po úpravě uˆ = αmω uˆ + γ uˆ' = γmω uˆ + δ V uvedeé rovici je ( IηΩ IξωΩ) u ( I Ω I ωω) uˆ '. η m ξ uˆ ˆ', (.37) Ω odsředivá síla koouče a výraz ( I η Ω I ξ ωω) u' mome od servačých sil koouče. Druhý čle ve výrazu pro mome pak začí groskopický mome M G = I ξ ωωû'. Pro eké koouče Iξ =& Iη. Mohou asa dva případ. a) Hřídel krouží úhlovou rchlosí Ω = ω, jde o zv. souběžou precesi, a groskopický mome pro eký koouč je = I Ω uˆ η '. Mome od servačých sil koouče je = Ω I uˆ'. (.38) M S η b) Hřídel krouží úhlovou rchlosí Ω = ω, jde o zv. proiběžou precesi, a groskopický mome pro eký koouč je = I Ω uˆ η '. Mome od servačých sil koouče je M G M G ˆ - -
ENERGETIKÝ ÚSTAV Eergeika, proces a ekologie M S = 3Ω I uˆ'. (.39) η Pohb hřídele při souběžé a proiběžé precesi je parý ze čř jeho základích poloh.[3] Z rovic (.37) vplývá ao frekvečí rovice pro výpoče vlasích úhlových frekvecí Ω η i 4 3 ( αδ γ ) Ω mi ( αδ γ ) ωω ( αm + δi ) Ω + δi ωω + 1 = 0 mi (.40) ξ Rovice má 4 reálé koře Ω ( ω) až Ω ( ω) ω je zakreslea a obrázku.4. 1 4 η ξ. Jejich závislos a úhlové rchlosi Obr..4 Závislos kořeů rovice.40 a úhlové rchlosi ω.[3] Úsečk průsečíků křivek ω I, ω II, zbývajících dvou Ω i s přímkami ω III. Z oho v kriických oáčkách II ω a z frekvečí rovice (.40), a o I a) pro souběžou precesi položeím Ω = ω Ω = ± ω jsou kriické oáčk. Jsou ři ω jde o souběžou precesi a ve ω III o proiběžou precesi. Kriické oáčk se vpočou ( δa αm) + ( δa αm) + 4mqA ω II = ; (.41) mqa b) pro proiběžou precesi položeím Ω = ω kde ω I, III = A = I ξ I, ( αm + δb) m ( αm + δb) η B = I ξ + I η, q = αδ γ. mqb 4mqB, (.4) - 3 -
Naděžda Nováková Damické vlasosi Lavalova rooru Kriické oáčk se současou precesí asaou vždck. O vziku kriických oáček s proiběžou precesí rozhodují další podmík, keré je uo zkouma případ od případu. Například u hřídele ve dvou ložiskách s lemým kooučem přízivou podmíkou pro vzik kriických oáček s proiběžou precesí je rozdílá uhos jedoho uložeí ve dvou směrech. Rozdílá uhos ložisek ve dvou směrech může vvola proiběžou precesi i u roorů bez lemých kooučů.[3] Složiější řešeí problémů krouživého kmiáí hřídele roorů je dále do začé mír určováa silovými účik působícími a hřídel od ložisek, zejméa pokud jde o kluzá ložiska. To síl jsou vesměs závislé a úhlové rchlosi oáčeí ω, ve dvou avzájem kolmých směrech jsou růzé a výchlka hřídele v jedom směru, apř. svislém, vvolá silové účik i ve směru kolmém, j. vodorovém. To případ vžadují zvláší meod při sesavováí pohbových rovic (apř. meodou koečého prvku) a použií umerických meod a počíačů při řešeí Pohbová rovice v maicovém varu pro akové případ je pu ( ω ) x& + K( ω) = 0 M& x + B x, (.43) kde B ( ω) a ( ω) K jsou esmerické maice závislé a ω. Vlasí hodo frekvečího parameru λ i jsou věšiou komplexí a rověž závislé a ω.[3] - 4 -
ENERGETIKÝ ÚSTAV Eergeika, proces a ekologie 3 VÝPOČET KRITIKÝH OTÁČEK MODELOVÉ ROTOROVÉ SOUSTAVY ílem ohoo výpoču je zjišěí kriických oáček, při kerých se roor esmí provozova, poěvadž při ich dojde k ekoečě velkému průhbu hřídele. 3.1 Vsupí hodo pro výpoče Ukázkový výpoče je provede pro model rooru, kerý se achází v laboraořích úsavu mechaik ěles. Délka hřídele [m] 0,5 Průměr hřídele [m] 1.10 - Hmoos koouče [kg] 0,5 Tab. 3.1 Paramer rooru Hmoos hřídele zaedbáváme. 3. Kriická úhlová rchlos Vcházíme ze základího vzahu pro kriickou úhlovou rchlos k ω =, (3.1) m kde za kosau uhosi k dosadíme 48EJ k =. (3.) 3 l Teo vzah alezeme v abulkách.[1] Pak ed získáme vzah 48EJ ω =, (3.3) 3 ml kde J je mome servačosi a pro kruhový průřez plaí 4 π d J =. (3.4) 64 Koečý vzah pro úhlovou kriickou rchlos ω je ed 4 48Eπ d ω =, (3.5) 3 64ml Po dosazeí hodo uvedeých v abulce 3.1 se saoví kriická úhlová rchlos. Ta 1 všla 81,37 [ rad. s ]. - 5 -
Naděžda Nováková Damické vlasosi Lavalova rooru 3.3 Kriické oáčk Pro výpoče kriických oáček plaí vzah ω kr =. (3.6) π 1 kde ω získáme z předešlého výpoču a výsledek vjde v jedokách [ s ]. Dosadíme hodo kr 81,37 1 = = 44,78 [ s ]. π Výsledek převedeme a jedok [mi 1 ]. (3.7) 1 = 44,78 60 = 686,9 [mi ]. (3.8) kr 1 Vlasí frekvece modelové roorové sousav je ed 686,9 [mi ]. Při éo hodoě b v důsledku evývah pro elumeou sousavu měl bý vibrace ekoečě velké. Na obrázku 3.1 je zázorě ampbellův diagram. Obr. 3.1 ampbellův diagram pro modelovou roorovou sousavu - 6 -
ENERGETIKÝ ÚSTAV Eergeika, proces a ekologie 4 EXPERIMENTÁLNÍ MĚŘENÍ 4.1 íl experimeu ílem experimeálího řešeí blo zjišěí výchlk rajekorie hřídele při růzých oáčkách. Na základě ěcho výsledků se provedlo vhodoceí a porováí s eoreickými výsledk Lavalova rooru. 4. Srukura experimeu Měřící řeězec je sesave z ásledujících čleů: roor ki proximi probe símač oáček oebook Ukázka zapojeí oho schéma je a obrázku 4.1. Obr. 4.1 Schéma zapojeí. 4..1 Roor ki Na obrázku 4.3 je ukázka roor kiu, a kerém bl experime provádě. Roor ki je model roujícího sroje, kerý simuluje ěkolik druhů kmiáí hřídele, keré se objevuje u velkých roujících srojů. Růzých druhů kmiáí se dosahuje apříklad změou úhlové rchlosi, změou ložisek ad. - 7 -
Naděžda Nováková Damické vlasosi Lavalova rooru 4.. Proximi probe Obr.4. Roor ki Proximi probe je pevě připevěý a bloku. Je uá úprava sigálu zesilovačem, ab geeroval výsupí apěí úměré k vzdáleosi mezi kocem símače a hřídelí. Pracuje a mageickém pricipu a je ed cilivý a mageické aomálie. Proo je řeba dbá a o, ab bl hřídel zabezpečeý proi zmageizováí, jiak bude výsupí sigál chbý. Símače jsou časo používá v párech a svírají mezi sebou úhel 90. Jede je připoje verikálě a druhý horizoálě, jak je zázorěo a obrázku 4.3. Obr.4.3 Zapojeí símačů. - 8 -
ENERGETIKÝ ÚSTAV Eergeika, proces a ekologie 4.3 Posup měřeí Měřeí i sběr da bl říze pomocí měřícího oebooku. Měřilo se v rozmezí od 0 do 10000 oáček, keré se posupě zvšoval o 1000. Při každých měřeých oáčkách se echal roor usáli. Základí daa z měřeí: Poče čar ve spekru: 6400 Maximálí frekvece: 5 khz Frekvečí krok: 781,3 mhz Doba zázamu: 1,8 s Časový krok: 78,13 µs 4.4 Aalýza vhodoceí Naměřeé hodo bl zpracová pomocí programu MATLAB. 4.4.1 Saisické zpracováí Pro saisické zpracováí da bl použi o vza: Arimeický průměr 1 x = x i i= 1 (4.1) Rozpl s = 1 i= 1 ( x i x) (4.) Směrodaá odchlka s = s (4.3) Průměrá odchlka xi x i= s = 1 (4.4) - 9 -
Naděžda Nováková Damické vlasosi Lavalova rooru 4.4. Vhodoceí výsledků a porováí s eoreickým výpočem V abulce 4.1 se acházejí hodo, keré bl aměře v prví periodě oáček. To hodo jsou ázorě vkresle v grafech 4.1 4.3. Oáčk [mi -1 ] 1000 000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 Průměrý poloměr[mm] 0,0045 0,0401 0,0855 0,0458 0,047 0,0373 0,0368 0,0398 0,0414 0,0416 Směrodaá odchlka[µm],598 8,899 15,166 5,14,035,994 1,935 4,118 4,91 3,701 Průměrá odchlka[µm],78 7,669 13,150 4,73 1,637,5 1,574 3,559 4,181 3,41 Tab. 4.1 Naměřeé hodo Graf 4.1 Závislos průměru rajekorie a oáčkách - 30 -
ENERGETIKÝ ÚSTAV Eergeika, proces a ekologie Graf 4. Závislos směrodaé odchlk rajekorie hřídele a oáčkách Graf 4.3 Závislos průměré odchlk rajekorie hřídele a oáčkách Nejvšších hodo dosahuje průměrý poloměr, směrodaá odchlka a průměrá odchlka při 3000 oáčkách. Zde oiž dochází k přechodu přes kriické oáčk. - 31 -
Naděžda Nováková Damické vlasosi Lavalova rooru Na obrázku 4.5 je vkreslea rajekorie hřídele v rozmezí jedé period. Ideálím varem b bla kružice, kerá je pická pro Lavalův roor. Obr. 4.5 Vkresleí rajekorie EXPERIMENTÁLNÍ ANALÝZA TEORETIKÝ VÝPOČET Frekvece [Hz] Kriické oáčk [mi -1 ] Úhlová rchlos [rad.s -1 ] 41,5 490 60,1 44,78 686,9 81,37 Tab. 4. Porováí výsledků Z abulk 4. je vidě, že experimeálí aalýza a eoreický výpoče se avzájem liší. Tao chba je způsobeá zaedbáím hmoosi hřídele při výpoču. - 3 -
ENERGETIKÝ ÚSTAV Eergeika, proces a ekologie ZÁVĚR Předměem éo práce blo zjisi, zda daá modelová roorová sousava může bý považováa za Lavalův roor. Na základě provedeého experimeu a získaých da lze ed usoudi, že modelová roorová sousava je Lavalův roor. Zadáí bakalářské práce blo splěo. - 33 -
Naděžda Nováková Damické vlasosi Lavalova rooru SEZNAM POUŽITÝH ZDROJŮ [1] GASH, Rober, PFÜTZNER, Herber. Damika roorů. 1. vd. Praha : SNTL, 1980. 164 s. [] GENTA, Giacarlo. Damics of roaig ssems. New York : Spriger, 005. 660 s. ISBN 978-0-387-0936-4. [3] JULIŠ, Karel, BREPTA, Rudolf a kol. Mechaika: Damika. 1. vd. Praha: SNTL, 1987. 688 s. [4] MIŠKOVSKÝ, Ladislav. Parí a plové urbí. 3. vdáí. Praha : ČVUT, 1949. 4 s. [5] ŠČEGLJAJEV, Adrej Vladimírovič. Parí urbí : Teorie epelého děje a kosrukce urbí. 1. vd. Praha : SNTL, 1983. 555 s. [6] AMPOS, Joaquí, RAWFORD, Mark, LONGORIA, Raul. Roordamic modelig usig bod graphs : Modelig he Jeffco roor. IEEE Mageics socie [olie]. 005, vol. 41, o. 1 [ci. 009-04-5]. Dosupý z WWW: <hp://ieeexplore.ieee.org>. ISSN 0018-9464. [7] MAZNÝ, Per, KRÁTKÝ, Vladislav. Začala doba urbí. Škodovák. 30.1.004, č., s. 4. Dosupý z WWW: <hp://www.skoda.cz/skodovak/>. [8] Msli a vzdělávej se [olie]. c007 [ci. 009-04-8]. Dosupý z WWW: <hp://www.imsli.cz/ilearig/diseracka/idex.hml>. [9] Parí sroje, parí urbí, parí kole : Parí urbía de Lavalova [olie]. [005] [ci. 009-04-8]. Dosupý z WWW: <hp://www.horicvi.ifo/sroje/psroj1/03.hm>. - 34 -
ENERGETIKÝ ÚSTAV Eergeika, proces a ekologie SEZNAM POUŽITÝH VELIČIN Veličia Smbol Jedoka Úhlová rchlos ω rad.s -1 Čas s Průměr d m Excericia ε m Frekvece f Hz Graviačí zrchleí g m.s - Tuhos k N.m -1 Vlasí frekvece Ω rad.s -1 Mome servačosi J kg.m Délka l m Oáčk mi -1 Síla F N Mome M N.m Hmoos m kg Souřadice karézské x,, z m, m, m Fzikálí kosa Veličia Smbol Jedoka Hodoa Modul pružosi E MPa,1.10 11-35 -
Naděžda Nováková Damické vlasosi Lavalova rooru - 36 -