VKM/IM - 204/205 Určete, da funkce f(x, y) ln( x 2 +y 2 ) v bodě A, ve směru vektorů u, 0, u 2 0,, u 3, a u 4, 2 roste či klesá a určete rychlost měny. Řešení: Funkce f(x, y) je definovány pro všechny body R 2, které splňují podmínku což jsou body uvnitř hyperboly x 2 + y 2. x 2 + y 2 > 0, tj. > x 2 y 2, Funkční hodnota v bodě A je f(, ) ln() 0. Pro lepší geometrickou přetavu si vykreslíme celou plochu, která je grafem funkce f(x, y), vi. obr. 2 Obráek : Náčrtek plochy f(x, y) ln( x 2 + y 2 ) K roponání růstu či klesání dané funkce určitém směru nám pomůže gradient, tj. vektor f f x, f ln( x 2 + y 2 ), ln( x2 + y 2 ) 2x y x y x 2 + y 2, 2y x 2 + y 2. Protože vyšetřujeme funkci f(x, y) v bodě A, spočteme si dále gradient v tomto konkrétním bodě. Nejde o nic jiného než o dosaení souřadnic bo do předchoího vtahu 2 ( ) f(a) ( ) 2 + 2, 2 ( ) 2 + 2 2, 2 Vynásobíme-li skalárně vektor f(a) s vektorem popisujícím vyšetřovaný směr můžeme jistit, da v tomto směru funkce klesá či stoupá. f(a) u 2, 2, 0 2 + 2 0 2 > 0, f(a) u 2 2, 2 0, 2 0 + 2 ( ) 2 < 0, f(a) u 3 2, 2, 2 + 2 ( ) 0, f(a) u 4 2, 2, 2 2 + 2 2 6 > 0. Z těchto výsledků již le vyčíst, že ve směru vektorů u a u 4 funkce roste, ve směru u 2 klesá a ve směru u 3 je konstantní.
Chceme-li dále určit velikost/rychlost stoupání či klesání, postupujeme stejně až na jednu drobnou měnu. Gradient musíme skalárně vynásobit vektorem, který má stejný směr jako vektor u i, aale má jednotkovou velikost. Takovým vektorem je vektor u i / u i. Výsledek tohoto součinu naýváme směrovou derivací funkce f(x, y) v bodě A a ve směru u, onačme jej (A). Protože vektory u a u 2 mají jednotkovou velikost a ve směru vektoru u 3 je funkce konstantní, provedeme výpočet poue pro u 4. 4 (A) f(a) u 4 u 4 2, 2, 2 u4 u 4 2, 2 2, 2, 2 5 2, 2 5,, 2 + 2 2 2 2 + 4 6. 5 5 5 5 Z výpočtu je také patrné, že výsledek f(a) u 4 stačilo vydělit velikostí vektoru u 4. Na ávěr ještě dodejme, že vektor f(a) je vektorem, který určuje směr, v kterém funkce f(x, y) v daném bodě A nejrychleji roste. Na obr.?? jsou nanačen pohled na vrstevnice plochy f(x, y) ln( x 2 +y 2 ). Přitom, de červená načí kladné hodnoty a modrá áporné. Jsou de akresleny také všechny uvažované vektory, takže je náorně vidět, že ve směru u 2 jdeme bo A do modrých-áporných hodnot. Stejně tak si le všimnout, že vektor u 3 leží na vrstevnici. A konečně, že vektor f (výraněný červeně) je k vrstevnici procháející bodem A kolmý. Obráek 2: Náčrtek plochy f(x, y) ln( x 2 + y 2 )
Vypočtěte gradient u(x, y, ) a směrovou derivaci v daném bodě A ve směru b. u(x, y, ) + (x 2 + y) 2, A 2, 4, 3, b, 2, 2. Řešení: Funkce u(x, y, ) je definována pro všechny body x, y, R 3. Funkční hodnota v bodě A je u(2, 4, 3) 3. A s pomocí gradientu resp. směrové derivace i de můžeme jistit, da funkce v daném směru roste nebo klesá. Protože však grafem funkce tří proměnných je čtyřroměrná plocha, musíme oželet grafickou přetavu a věnovat se poue výpočtům. Nicméně výpočty jsou skoro stejné jako v předchoím příkladě. Nejprve tedy spočteme gradient resp. gradient v bodě A u u x, u y, u + (x 2 + y) 2, + (x 2 + y) 2, + (x 2 + y) 2 x y 2x ( x 2 + y ) ( x 2 + y ),, + (x + (x 2 + y) 2 + y) 2, 2 + (x 2 + y) 2 u(a) 0, 0,. Dále si spočteme velikost vektoru b a budeme jej normovat, tj. ískáme něj vektor b n stejného směru s jednotkovou velikostí b b b 2 + 2 2 + 2 2 9 3, b n b b 3, 2 3, 2. 3 Teď již výpočty dokončíme, a to jedním skalárním součinem db (A) u(a) b n 0, 0, 3, 2 3, 2 3 2 3. Je dopočítáno a můžeme konstatovat, že funkce u(x, y, ) je v bodě A a ve směru b rostoucí.
Vypočtěte gradient u(x, y, ) a směrovou derivaci v daném bodě A ve směru b. () u(x, y, ) x 3 xy y 2 +, A 0, 4,, b, 2, 3. 4 (2) u(x, y, ) x 3 y 2 + x 2 2 y 3, A (3) u(x, y, ) 2 cos(x + 2y), A 2, 0, 4, b 4, 3, 0. π, π2, 2, b 2, 2,. ( ) 3x + 2y (4) u(x, y, ) ln, A,,, b 2,, 2. (5) u(x, y, ) x 2 2xy + 2, A,,, b 2,, 2. y3 (6) u(x, y, ) cos(x 2y) sin(y 2), A π, π 4, π, b,,. 8 (7) u(x, y, ) x tg (y 2), A 2, π 4, π, b,,. 8 2 (8) u(x, y, ) x 2 + xy + 3x + 2y 2 2y + 3 2 6, A,,, b 0,, 2. (9) u(x, y, ) x 2 + y 2 + 2 + 4, A 2, 2, 2, b,,. (0) u(x, y, ) x 2 + y 2 + 2 3xy, A,, 3, b, 2,. () u(x, y, ) x + 2 y + 3 + 4, A,,, b 5, 6, 7. xy (2) u(x, y, ) x y + x + y, A,,, b 3, 2, 4. (3) u(x, y, ) sin(xy), A, 0, 5, b 0,, 2. (4) u(x, y, ) ln(x + 2y + 3), A 6,,, b 2,,.
( ) 3x (5) u(x, y, ) log(x + y) log 2 + + log(y ), A 2,, 2, b 3, 2,. ( 2 (6) u(x, y, ) x 2 + y + ), A 2, 4,, b 2,, 2. (7) u(x, y, ) (x + 2y 3) 2 + x, A 2, 0,, b 3, 0, 4. (8) u(x, y, ) x sin ( y 2), A,, 2, b 4, 3, 0. ( (9) u(x, y, ) x tg y 2), A,,, b 2, 2,. (20) u(x, y, ) x 2 + xy 2 + x 5 y, A, 2,, b 0, 0,.
Vypočtěte gradient u(x, y, ) a směrovou derivaci v daném bodě A ve směru b. VKM/IM - 204/205 () u (2) u (3) u (4) u 3x 2 y, x 2y, 2 xy, 3x 2 y 2 + 2x 2, 2x 3 y 3y 2, 2x 2 y 3, (A) 4. 64 (A) 5. 2 sin(x + 2y), 2 2 sin(x + 2y), 2 cos(x + 2y), 3 3x + 2y, 2 3x + 2y,, (5) u 2x 2y, 2x 32 y 4, 2 y 3, (A) 2 3. (A) 3. (6) u sin(x 2y), 2 sin(x 2y) cos(y 2), 2 cos(y 2), x (7) u tg (y 2), cos 2 (y 2), (8) u 2x + y + 3, x + 4y 2, 6 6, (9) u x x2 + y 2 + 2 + 4, 2x cos 2, (y 2) (A) 3. y x2 + y 2 + 2 + 4, (A) 4 3. (A) 0., x2 + y 2 + 2 + 4 (A) 0. 3 (A) 2. (0) u 2x 3y, 2y 3x, 2 3xy, () u (2) u (A) 5 6. 3 4 x 2 y x 2, 4 xy 2 2 y 2, 4 xy 2 3 2, y x 2, x y 2, x y 2, (A) 0. (3) u y cos(xy), x cos(xy), xy cos(xy), (4) u x + 2y + 3, 2 x + 2y + 3, 3 x + 2y + 3 (A) 0. (A) 5., (A) 3.
(5) u x + y 3 2 ( 3x 2 + ), x + y + y, 3x 2 +, y (6) u ( ) ( ) ( ) 2 4x x 2 + y +, 2 x 2 + y +, x 2 + y +, (A). 6 (A) 3. (7) u 2(x + 2y 3) +, 4(x + 2y 3), 6(x + 2y 3) (A) 2 5. (8) u (9) u (20) u sin ( y 2 ) ( tg y 2),, 2xy cos ( y 2), x sin ( y 2) 2 2xy cos 2 ( y 2 ), (A) 3 5. x cos 2 ( y 2 (A). ) 2x + y 2 + 5, 2xy, x x2 2 5 + y 2 (A) 5 4.