7B. Výpočet it L Hospitalovo pravidlo V prai často potřebujeme určit itu výrazů, které vzniknou operacemi nebo složením několika spojitých funkcí. Většinou pomohou pravidla typu ita součtu násobku, součinu, podílu, složení) je součet násobek, součin, podíl, složení) jednotlivých it a stačí do výrazu dosadit příslušné hodnoty. Je však potřeba zpozornět, když příslušná funkce má ve zkoumaném bodě nevlastní itu nebo operace v itě není definovaná, například dělení nulou. Někdy výpočet ity nedělá problém: například součet nekonečna a konečné hodnoty, součin kladného čísla s nekonečnem, podíl konečného čísla a nekonečna. Situace je jasná, když ity jsou v souladu, například 0 pro následující typy it platí: +,, 0 0 0, 0. 0 Problém nastává, pokud tyto ity jdou proti sobě, například, 0,,, 0 v těchto případech mluvíme o itách neurčitých výrazů. Výpočet ity neurčitých výrazů ve tvaru podílu lze často určit pomocí derivace užitím tvrzení, které se nazývá L Hospitalovo 3 čti lopitalovo pravidlo. Věta 7.8. L Hospitalovo pravidlo pro ity typu 0 0 ) Necht funkce a g) mají konečné derivace v pravém redukovaném okolí 0, 0 + ) bodu 0 a nulové ity v bodě 0 zprava, tj. 0 + 0 + g) 0. Necht eistuje ita podílu derivací f ) 0 + g ) konečná nebo nekonečná. Potom eistuje i ita podílu funkcí a obě ity se rovnají, tj. 0 + g) f ) 0 + g ). Tvrzení platí pro oboustrannou i jednostrannou itu zleva v konečném bodě 0 a také pro ity v nekonečnu, tj. pro nebo. Důkaz. Naznačme důkaz věty pro případ 0 +. Protože obě funkce mají nulové ity zprava v bodě 0, můžeme jejich hodnoty v 0 předefinovat tak, že jsou spojité v bodě 0 zprava, přičemž f 0 ) 0 a g 0 ) 0. Z eistence ity podílu derivací plyne, že v jistém pravém redukovaném okolí 0, ) podíl je definován, a proto i jmenovatel g ) 0. Pomocí Věty o střední hodnotě pro funkce a g) na intervalu 0, ) pro funkce a g) platí g) f 0) g) g 0 ) f c ) 0 ) g c ) 0 ) f c ) g c ) pro vhodné c, c 0, ). Přejdeme-li k itě 0, obě čísla c i 0, ) konvergují k 0, odkud plyne naše tvrzení. L Hospitalovo pravidlo lze využít i pro ity typu. V tomto případě důkaz není tak průhledný, proto ho vynecháme. 3 Guillaume de L Hospital -704) byl francouzský matematik, který toto pravidlo publikoval ve své učebnici z roku 9. Byla to první učebnice diferenciálního počtu. Pravidlo převzal z přednášek Johanna Bernoulliho 7 748). Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 0
Věta 7.9. L Hospitalovo pravidlo pro ity typu ) Necht funkce a g) mají konečné derivace v pravém redukovaném okolí bodu 0 a a g) nekonečnou itu v bodě 0 zprava, tj. 0 + 0 + g). Necht eistuje ita podílu derivací f ) 0 + g ) konečná nebo nekonečná. Potom eistuje i ita podílu funkcí a obě ity se rovnají, tj. 0 g) f ) 0 g ). Tvrzení platí pro oboustrannou i jednostrannou itu zleva v konečném bodě 0 a také pro ity v nekonečnu, tj. pro nebo. Poznámky 7.0. Při výpočtu vždy ověřte typ ity. V případech ity typu c nebo 0 nule a nepotřebujeme využít l Hospitalovo pravidlo. je ita rovna Tvrzení říká, že pokud eistuje ita vpravo tj. umíme ji určit eistuje i ita vlevo. Pokud ita vpravo neeistuje, ita vlevo může eistovat, viz Příklad 7.. Často nevíme, zda eistuje ita vpravo nebo ji neumíme určit. Pokud zjistíme, že jde opět o itu typu 0 nebo, můžeme použít zatím formálně) pravidlo ještě jednou. 0 Pokud poslední ita podílu druhých derivací eistuje, pak eistuje i ita podílu prvních derivací a díky tomu eistuje i původní ita podílu /g) a tyto ity jsou stejné. Někdy je třeba aplikovat pravidlo vícekrát vždy však předem musíme ověřit typ ity. Pravidlo můžeme po úpravě použít i na ity, které nemají tvar podílu, ale které lze na podíl převést, viz následující Příklady 7. e),f),g),h). Příklady 7.. Pomocí l Hospitalova pravidla můžeme spočítat známé ity sin, e v nule. Zjištěný typ neurčitého výrazu označíme v hranatých závorkách, který bude označovat, že použijeme l Hospitalovo pravidlo. sin 0 0 cos 0 0, e 0 e 0 0 0, ln + ) 0 + 0 0 0., ln+) Poznamenejme, že uvedený výpočet it nenahrazuje jejich důkaz, byl by to tzv. důkaz kruhem. L Hospitalovo pravidlo totiž využívá derivaci funkcí sin, e a ln, které byly odvozeny pomocí dokazovaných it. Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně
Někdy je potřebné aplikovat l Hospitalovo pravidlo dvakrát, například při výpočtu ity: cos 0 0 + sin 0 cos 0 0 0 0 0. Trojí aplikací l Hospitalova pravidla spočítáme itu: e e 3 3 e e. Uved me případ, kdy při použití l Hospitalova pravidla ita podílu derivací vpravo neeistuje, ale původní ita vlevo eistuje. Výpočet pomocí l Hospitalova pravidla dává: + sin + cos + cos. Limita vpravo neeistuje, protože funkce cos například pro kπ nabývá hodnot coskπ) ) k. Jednoduchou úpravou však lze spočítat původní itu: + sin + sin ) + sin. Také další neurčité výrazy po vhodné úpravě lze spočítat pomocí l Hospitalova pravidla. e) Limita 0+ ln je neurčitý výraz typu 0 ). Tento součin lze převézt na podíl dvěma způsoby. První při použití l Hospitalova pravidla výraz dělá složitější 0 ln 0+ 0+ 0 0+ ) ln ), ln ln ) 0+ což je opět neurčitý výraz typu 0. Druhý způsob vede k výsledku: ln ln 0+ 0+ 0+ 0+ ) 0. ) f) Limita + je neurčitý výraz typu. Jako obvykle, funkci typu g) nejprve převedeme na typ e g) ln) + ) e ln + ) e ln+ ) a počítáme itu eponentu. Proměnnou nahradíme proměnnou t k nule zprava a l Hospitalovo pravidlo jako v příkladě dává: ln + ) t t 0+ t 0+ ln + t) t 0 0 t 0+ +t. jdoucí Spočítali jsme tak itu, která se užívá k zavedení Eulerovy konstanty e + ) e e. Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně
g) Neurčitým výrazem typu 0 0 je ita 0+. Po převedení e ln počítáme itu eponentu: ln ln 0+ 0+ 0+ ) 0, 0+ odkud plyne 0+. h) Neurčitým výrazem typu 0 je ita /. Opět po převedení / ln )/ e počítáme itu eponentu: ln odkud plyne / e 0. 0, Několik užitečných it Porovnejme ity funkcí ln, p a e v nule a v nekonečnu v případě, když hodnoty funkcí jdou proti sobě, například 0, 0 0,. Příklady 7.. V nule mocnina přemůže logaritmus: ln ln 0+ 0+ 0+ 0+ ) 0. Stejný výsledek platí pro libovolnou kladnou mocninu p p > 0), například 0+ ln 0, 0+ 3 ln 0, ln 0. 0+ V nekonečnu je mocnina silnější než logaritmus, ale slabší než eponenciála: ln 0, e e. Oba výsledky platí i pro kladné mocniny p : ln / p 0, e / p. Eponenciála e je silnější než mocnina také v minus nekonečnu: e e t : e t t e 0. t Výsledek platí i pro obecnou kladnou mocninu: Poznámka o řádu velikosti funkce e p 0. Při počítání it typu 0, nebo 0 je informace o hodnotě ity nula nebo nekonečno 0 nedostatečná. Například v itě pro 0 jsou hodnoty,, v okolí nuly různě malé, podobně hodnoty, jsou pro 0 různě velké. Proto zavedeme pojem řád funkce v okolí 4 bodu, který umožňuje porovnávat velikosti nuly a nekonečna v okolí 0. Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 3
Definice 7.3. Bud te a g) funkce definované v okolí bodu 0, přičemž g) 0 pro 0. Řekneme, že funkce je v okolí bodu 0 řádu malé o funkce g), píšeme Og)), pokud ita podílu obou funkcí eistuje a je nulová, tj. Og)) právě když 0 g) 0. Za srovnávací funkci obvykle volíme mocninu g) 0 ) k. Limita přitom může být oboustranná, jednostranná, v kladném nebo záporném nekonečnu. Poznámky 7.4. Vztah Og)) pro 0 znamená, že v itě hodnoty funkce jsou zanedbatelné vzhledem k hodnotám funkce g). Například užitečné ity v Příkladech 7. pro p > 0 lze zapsat jako ln O p ), p Oe ) pro, e O p ) pro. V tomto označení lze říci, že zbytek R n ) Taylorova polynomu T n ) je řádu O 0 ) n ) a Taylorovy polynomy můžeme psát ve tvaru T n ) + O 0 ) n ). Pro počítání se symbolikou O pro 0 platí pravidla: O p ) k O p+k ), O p ) g) O p ) + g) O p ), která snadno plynou z rovností k + g) g), +. 0 p 0 p k 0 p 0 p 0 p Například jestliže O ), potom 3 O 5 ) a / O). Pro úplnost dodejme, že pokud ita podílu g) je nenulová a konečná, říkáme, že funkce je řádu velké O g) a píšeme Og)). Využití Taylorova polynomu při výpočtu ity Příklady 7.5. Při počítání ity typu 0 0 pro 0 Taylorův polynom se středem v 0 může dát rychlé řešení. Uved me tři příklady Taylorův polynom druhého stupně cos + O ) umožňuje spočítat itu: cos + O ) O ) O) 0 0 0 0. Taylorův polynom třetího stupně sin 3 + O 3 ) umožňuje výpočet ity: sin 3 + O 3 ) 3 O 3 ) O) 0 3 0 3 0 3 0. Taylorův polynom e + + + O ) zjednodušuje výpočet ity: e + e 0 0 + + + O ) + + + O ) 0 + O ). Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 4