- 36 - Itegrálí počet fukcí jedé proměé 3 Itegrálí počet fukcí jedé reálé proměé 3. Prmtví fukce, eurčtý tegrál Defce Nechť f je reálá fukce jedé reálé proměé. Fukc F zveme prmtví fukcí k fukc f tervlu (,, ) jestlže pro kždé (, ) pltí f ( ) F( ). Pro prmtví fukc používáme též ázev eurčtý tegrál ozčeí f ( d ). Smotou fukc f zýváme tegrdem příslušého eurčtého tegrálu. Vět Prmtví fukce F je fukcí f urče ž dtví kosttu jedozčě. Pltí tedy: je-l ějkém tervlu (, ) fukce F prmtví k fukc f, je fukce F C, kde C je reálá kostt, stejém tervlu rověž prmtví fukcí k f; jsou-l opk F G dvě prmtví fukce k zdé fukc f tervlu (,, ) pltí pro kždé z tohoto tervlu F( ) G( ) C, kde C je opět ějká reálá kostt. Vět Prmtví fukce je vždy fukcí spojtou. Vět (lert tegrálu) Estují-l tervlu (, ) tegrály prvých strách uvedeých rovostí, pltí tomto tervlu f ( ) g ( ) d f ( ) d g ( ) d, f ( ) g ( ) d f ( ) d g ( ) d, cf ( ) d c f ( ) d. Uvedeé rovost plyou okmžtě z prvdel o dervováí součtu, rozdílu ásoku fukce (vz kptol.). Prvdlo o tegrováí součtu ( rozdílu) je možo rozšířt prostředctvím prcpu mtemtcké dukce lovolý koečý počet sčítců v tegrdu levé stry: f ( )... f ( ) d f ( ) d... f ( ) d. N zákldě zkušeostí s dervcem elemetárích fukcí můžeme přímo z defce určt ěkteré specálí prmtví fukce. Výsledky spolu s odpovídjícím vzorc pro dervováí shruje ásledující tulk. Nopk je možo ukázt, že fukce spojtá tervlu má vždy prmtví fukc. Vz též kptol 3.6. Vz tulk v kptole..
Prmtví fukce, eurčtý tegrál - 37 - Vyré prmtví fukce f ( ) F( ) f( ) d g( ) g( ) C ( ) l C l e e C e e C l l cos s C s cos s cos C cos s cos s tg C tg cotg C cotg cos s rctg C rctg rccotg -rccotg C rcs C rcs rccos rccos C 3. Itegrce per prtes N zákldě prvdl o dervováí souču sdo hlédeme, že pltí Vět Mjí-l fukce f g tervlu (, ) vlstí dervce estuje-l tomto tervlu eurčtý tegrál prvé strě uvedeé rovost, estuje tegrál strě levé pltí f ( gd ) ( ) f( g ) ( ) f( g ) ( d ). Uvedeé prvdlo může ýt užtečé, pokud se ám podří tegrd eurčtého tegrálu, který eumíme vypočítt přímo, rozložt souč f ( g ) ( ) tk, že ový tegrál prvé strě výše uvedeé detty už vyčíslt umíme. Teto způso tegrce se zývá tegrcí per prtes, čl po částech. Bohužel, e vždy je všk zmíěý rozkld zřejmý prví pohled, tk použtí věty o tegrc per prtes vyžduje ovykle emálo prktckých zkušeostí. V ásledující tulce shrujeme ěkolk jedoduchých tegrálů, k jejchž výpočtu je možo užít metodu per prtes s velkým užtkem. Vz kptol..
- 38 - Itegrálí počet fukcí jedé proměé Vyré tegrce per prtes tegrál rozkld tegrdu f ( ) g( ) l d l C l l d l C cos d s cos C () cos cos s d s cos C () s s e d e C s d s cos C s cos d cos s C cos rcs d rcs d rccos d rccos d () rcs () rccos e l Př výpočtu ěkterých tegrálů musíme tegrc per prtes provést opkově. Použtí metody per prtes v jedém cyklu ás sce ke kýžeému výsledku přlíží, eumoží ám jej všk dosáhout. Místo opkového použtí vzorce pro tegrc per prtes je v tkovém přípdě ovykle techcky mohem jedodušší použít oecých rekuretích vzthů, které je možo prostředctvím věty o tegrováí per prtes získt. Některé důležté rekuretí vzthy shruje ásledující tulk, moho dlších je možo lézt ve speclzové ltertuře (vz př. [], [4] [5]), km rověž odkzujeme zájemce o podroost. Vyré rekuretí vzthy 3 tegrál rozkld tegrdu f g ( ) ( ) ed e ed, e l d l l d, l s d cos cos d, s Př výpočtu tegrálu je uto kromě tegrce per prtes použít doře zámou dettu s + cos =. Blíže vz doporučeá ltertur. Itegrál prvé strě uvedeé rovost můžeme vypočítt př. pomocí susttučí metody (vz ásledující kptol). 3 ozčuje v uvedeých vztzích celé číslo.
Itegrce per prtes - 39 - cos d s s d, cos s d cos s s d, 0 () s s cos d s cos cos d, 0 () cos cos 3 d d ( ), Příkld Ukžme s použtí rekuretího vzorce př výpočtu 5 ed. Především pro jedoduchost ozčme ed symolem I. Podle zdáí tedy hledáme I 5 výše uvedeý rekuretí vzorec můžeme přepst do tvru I0 e, I e I. Celý výpočet zhruje pět jedoduchých lgerckých kroků:, I e I0 e e e, 3 3 3 6 3 I e I e e e I e I e e e, 3 3 3 3 I e 4I e 4 3 63 e 4 4 e, 4 4 3 4 3 4 3 I e 5I e 5 4 4 e 5 0 60 060 e. 5 5 4 3 5 4 3 5 4 Po doplěí ezyté tegrčí kostty získáváme koec výsledek 5 5 4 3 ed e C 5 0 60 0 60. Př výpočtu tegrálu je uto kromě tegrce per prtes použít doře zámou dettu s + cos =. Blíže vz doporučeá ltertur. Výpočet pomocí opkového použtí prvdl o tergrováí per prtes proveďte smosttě porovejte prcost oou postupů.
- 40 - Itegrálí počet fukcí jedé proměé 3.3 Itegrce susttucí Vět (prví vět o susttuc) Nechť G( y ) je prmtví fukce k fukc g( y ) fukce f ( ) je dferecovtelá. Pk fukce G( f( )) je prmtví fukcí k fukc g( f( )). f ( ). Předcházející větu je možo stručě zpst ve tvru g f( ) f( ) d g( y) dy. To zmeá, že tegrál levé strě můžeme určt pomocí tegrálu strě prvé, v ěmž po provedeí výpočtu dosdíme z ovou proměou y fukc f ( ). Stuc jsme s tedy formálě zjedodušl susttucí (áhrdou) f ( ) y. Použtí prví věty o susttuc tedy zhruje y f ( ) rozkld tegrdu původího tegrálu výše zčeý souč, výpočet ového, zprvdl jedoduššího tegrálu. Příkld s s y cos( ) tg d d d dy l cos C y s( ). 3 cos cos y y cos Vět (druhá vět o susttuc) Nechť f ( ) je tegrovtelá fukce fukce ht () je dferecovtelá prostá ějkém tervlu reálé osy. Pk můžeme psát th ( ) f( ) d f h() t h() t dt. Úprvy prováděé př výpočtu tegrálu prvé strě uvedeé formule zhrují áhrdu h( t) formálí áhrdu d h( t) dt. Nkoec je tře se vždy vrátt k původí ezávslé proměé, čehož dosáheme zpětou susttucí t h ( ), kde symolem h ozčujeme fukc verzí k fukc h. Př prktckém použtí druhé věty o susttuc tvoří zprvdl ejotížější část výpočtu lezeí vhodé susttuce h( t), která y řešeý prolém dosttečě zjedodušl. To zprvdl vyžduje velkou prktckou zkušeost, kterou můžete získt je vyřešeím dosttečého možství příkldů růzých typů. Nštěstí yly pro moho úloh, s mž se můžeme setkt v přírodích techckých vědách, k cíl vedoucí susttuce lezey shruty ve všech zákldích učecích tegrálího počtu v mtemtckých příručkách (vz př. [], [4] [5]). O ěkterých specálích susttucích se zmňujeme v kptole 3.5. Oojí ějkém otevřeém tervlu reálé osy. Jk je zřejmé z věty o dervováí složeé fukce (vz kptol.). 3 Smosttě proveďte odoým způsoem výpočet cotg d.
Itegrce susttucí - 4 - Příkld t dt t dt e d ; d e e C. t Příkld Př výpočtu ásledujícího tegrálu zvádíme ovou proměou u, jejíž hodoty omezujeme tervlem /, /. Pečlvě s rozmyslete, kde všude ěhem výpočtu teto předpokld využjeme. Pk se pokuste. podle íže uvedeého ávodu určt tetýž tegrál s proměou u /,3 / s u d s ucosudu cos udu d cosu du urcs urcs u uu C u u u C C. s cos s s rcs urcs urcs 3.4 Itegrce rcoálích lomeých fukcí V této kptole s ukážeme, jk tegrovt rcoálí lomeé fukce, tj. tkové fukce, které je možo psát jko podíl dvou polyomů: P ( ) R ( ) Q ( ), kde ( ) m P... 0 Qm( ) m... 0 ( 0, m 0 ). Nejdříve vyřešíme ěkolk specálích příkldů, v chž se soustředíme rcoálí lomeé fukce s leárím dvojčleem č kvdrtckým trojčleem ve jmeovtel. Jejch výsledky koec použjeme př formulc oecého ávodu, jk tegrovt rcoálí lomeou fukc oecého tvru. m Itegrce rcoálí lomeé fukce s leárím dvojčleem ve jmeovtel Příkld d l C, 0 y d dy l C dy d y y
- 4 - Itegrálí počet fukcí jedé proměé Příkld d C, 0, y d dy C dy d y y Příkld p q d l C, p q p p p p 0, p 0 q q q p p p d d d d d q q q p q p p p p p p q p p p p q d l C q p p p p p p p p Itegrál z příkldu můžeme převést přímo tegrál typu, vydělíme-l polyom v čttel jmeovtelem. Itegrce rcoálí lomeé fukce s kvdrtckým trojčleem ve jmeovtel Z podmíky 0 můžeme tegrál P ( ) d c převést formálě jedodušší tegrál P ( ) d. pq Kokrétí postup př jeho výpočtu pk závsí chrkteru kořeů kvdrtckého trojčleu ve jmeovtel tvru polyomu v čttel tegrdu. V ásledujících příkldech proíráme jedotlvě všechy možost, které mohou stt. P / ( ) P( ) p P( ) d d d c c q c/ p q v dlším výkldu pochoptelě euvžujeme.. Nepodsttý multplktví fktor /
Itegrce rcoálích lomeých fukcí - 43 - Příkld 3 dv jedoduché reálé kořey l d C, pq Především můžeme psát p q tvru, počítý tegrál proto přepst do d. Dříve, ež udeme pokrčovt v tegrováí, uprvíme rcoálí lomeou fukc do vhodější podoy A B. Nezámé kostty A B získáme převedeím výrzu prvé strě rovost společého jmeovtele porováím koefcetů u jedotlvých moc čttele tkto získého zlomku s čttelem levé stry rovost: Odtud vyplývá čl Nyí tedy můžeme psát AB A B A B AB 0, A B, A B.. d d d podle výsledku příkldu koec l d d C pq.
- 44 - Itegrálí počet fukcí jedé proměé Příkld 3 jede dvojásoý reálý koře 0 d C, pq 0 V tomto přípdě pltí pro polyom ve jmeovtel p q 0, dlší výpočet je proto přímočrý: y 0 d d dy C pq. y 0 0 dy d y0 Příkld 3c žádý reálý koře p d rctg C pq, kde q p /4. Podle předpokldu zřejmě pltí qp /4 0, kvdrtcký trojčle ve jmeovtel můžeme tedy doplt úplý čtverec p p p p q q. 4 Pk můžeme ovšem psát p d d dy d p p y p dy rctg C. y p y
Itegrce rcoálích lomeých fukcí - 45 - Příkld 4 d l p q ( c p) d pq pq, Z předpokldu 0 je možo psát 0 c d d p q, p q kde jsme zvedl c /, př dlších výpočtech se soustředt jedodušší tegrál prvé strě: c p pc p d d d ( c p) d p q p q p q. p q Úloh je tedy převede výpočet dvou ových tegrálů. Druhý z ch počítáme pomocí postupů uvedeých v příkldech 3 3c, př výpočtu prvího tegrálu užjeme prví věty o susttuc p y pq d l dy p q C pq dy pd y. y pq Příkld 5 c d, pq Isprová postupem uvedeým v příkldu 4 můžeme okmžtě psát c p d ( ) d c p d. pq pq pq I yí je tedy úloh převede výpočet dvou ových tegrálů. Prví z ch počítáme podoě jko v předcházejícím příkldě, tj. pomocí prví věty o susttuc Níže předpokládáme specálí tvr leárího dvojčleu ve jmeovtel. Pouče výpočty provedeým v příkldu 4 víme le, že se tímto jk eomezujeme co do oecost zdáí.
- 46 - Itegrálí počet fukcí jedé proměé p y pq d d p q C p q dy p. y y pq Postup př výpočtu druhého tegrálu závsí tom, má-l kvdrtcký polyom ve jmeovtel reálé kořey, č kolv. Pokud je má, to víc dv růzé, musíme př výpočtu tegrálu použít prvdlo pro tegrováí oecé rcoálí lomeé fukce uvedeé íže v této kptole. Pokud je koře kvdrtckého polyomu reálý dvojásoý, přechází počítý tegrál tegrál z příkldu. Proveďme výpočet pro přípd, kdy kvdrtcký výrz emá reálé kořey. Podoě jko v příkldu 3c yí pomůže doplěí kvdrtckého trojčleu úplý čtverec. Tké dlší postup je zcel odoý tomu, který jsme stíl v příkldu 3c: Itegrál y d d d p y dy / dy d. y p q p p p y / dy počítáme ejsděj pomocí rekuretího vzorce (vz kptol [o]). Itegrál rcoálí lomeé fukce s kvdrtckým trojčleem ve jmeovtel polyomem třetího eo vyššího řádu v čttel můžeme vždy převést děleím těchto polyomů součet tegrálu polyomu ěkterého z tegrálů proírých v příkldech 3 3c č 4. Itegrce oecé rcoálí lomeé fukce V závěru této kptoly formulujeme oecá prvdl pro výpočet tegrálů rcoálí lomeé fukce z předpokldu, že stupeň polyomu v čttel je meší ež stupeň polyomu ve jmeovtel. Níže tedy předpokládáme, že pro R( ) P ( )/ Q ( ) pltí vždy m. m Prvdlo Má-l polyom Q m () pouze jedoduché reálé kořey, tj. Qm( ) m( )...( m), je výhodé tegrovou fukc psát ve tvru R A A m m ( )... kde ztím ezámé reálé kostty A,..., A m lezeme tk, že prvou stru rovost převedeme společého jmeovtele tkto získé koefcety u jedotlvých moc m, Protože oecá rcoálí lomeá fukce může ýt vždy převede děleím polyomů v čttel jmeovtel součet polyomu jé rcoálí lomeé fukce, která jž uvedeý předpokld splňuje, je možo íže uvedeých prvdel použít ve zcel oecém přípdě. O rozkldech uvedeých v prvdlech -3 se ovykle hovoří jko o rozkldech rcoálí lomeé fukce prcálí zlomky.
Itegrce rcoálích lomeých fukcí - 47 - v čttel porováme s odpovídjícím koefcety polyomu P ( ). Výpočet tegrálu R( d ) je pk převede výpočet tegrálů z příkldu. Prvdlo Má-l polyom Q m () pouze reálé, oecě všk ásoé kořey, tj. pltí-l Q, m m m( ) m( - )... ( - r) r r mr m, k rozložíme tegrovou fukc do tvru A A,, m A A r, r, mr R ( )......... m r r m mr, kde ezámé reálé kostty A,,..., A rm, lezeme opět tk, že prvou stru rovost r převedeme společého jmeovtele tkto získé koefcety u jedotlvých moc v čttel porováme s odpovídjícím koefcety polyomu P ( ). Výpočet tegrálu R( d ) je tkto převede výpočet tegrálů z příkldů. Prvdlo 3 Má-l polyom Q m () reálé mgárí, oecě všk ásoé kořey, můžeme jej psát ve tvru m m r s Q ( ) -... - p q... p q, m m r s s kde uvedeé kvdrtcké polyomy jsou jž erozložtelé. Pk je ovšem výhodé rozložt tegrovou fukc podle vzorce A A,, m A A r, r, mr R ( )......... m mr m r r C,B C,, B, C C B s, B s, s......... p q p q p sqs psqs s, ss, s kde reálé kostty A j, B kl C pq opět lezeme tk, že prvou stru rovost převedeme společého jmeovtele tkto získé koefcety u jedotlvých moc porováme s odpovídjícím koefcety polyomu P ( ). Výpočet tegrálu R( d ) tkto převádíme výpočet tegrálů z příkldů -5., Srovejte s příkldem 3 v této kptole.
- 48 - Itegrálí počet fukcí jedé proměé 3.5 Vyré specálí tegrály Poměrě velké možství prví pohled komplkových tegrálů je možo vhodě zvoleým susttucem převést tegrc rcoálí lomeé fukce, kterou jsme podroě prorl v předcházející kptole. Níže shrujeme ěkteré z těchto velm užtečých čsto používých susttucí, jé je možo lézt ve všech pokročlých učecích příručkách věových tegrálímu počtu (vz př. [], [4] [5]). Defce Pod polyomem dvou proměých P( y, ) pq rozumíme koečý součet sčítců typu p q y, kde p q jsou přrozeá čísl eo ul, p q P( y, ) y. pq, pq Pod rcoálí lomeou fukcí dvou proměých R( y, ) rozumíme podíl dvou polyomů dvou proměých P( y, ) Ry (, ). Qy (, ) Následující tulk shruje ěkteré specálí typy eurčtých tegrálů, které je možo pomocí uvedeých susttucí převést tegrály rcoálí lomeé fukce. Itegrál, R s d c d R, c d Omezující podmíky Susttuce s, d c 0 () t s c d 0, t 4c 0 () (3) R, c d R cos,s d 0, 4c 0 4 t c eo t c 5 t tg, k Je-l d c 0, je výrz pod odmocou kosttí (dokžte) úloh se měí prolém tegrce prosté rcoálí lomeé fukce. V přípdě ulového č záporého dskrmtu kvdrtckého výrzu pod odmocou je teto výrz defová v jedém odě reálé osy č dokoce eí defová vůec. 3 jsou kořey kvdrtckého výrzu c., 4 Je-l dskrmt kvdrtckého výrzu pod odmocou ulový, je možo provést zčeé odmocěí úloh přechází tegrc rcoálí lomeé fukce., kde jsou kořey kvdrtckého poly- 5 Je-l d c 0, můžeme též použít susttuce t omu pod odmocou.
Specálí tegrály - 49 - R e d t e R l d t l Susttuce v tegrálu Rcos,s d podle ávodu z výše uvedeé tulky vyžduje provedeí ásledujících áhrd t t cos, s t t dt d. t Protože tto susttuce vede velm čsto k eúměrě komplkovým výrzům v tegrdu počítého tegrálu, užívjí se ovykle v íže uvedeých specálích přípdech susttuce jé: pltí-l R( y, ) Ry (, ), je doporučová susttuce t cos, pltí-l R(, y) R(, y), je výhodé použít susttuce t s, pltí-l R(, y) R(, y), položíme s výhodou t tg. 3.6 Určté tegrály Newtoův určtý tegrál Defce Nechť F( ) je tervlu I prmtví fukce k fukc f ( ). Newtoovým určtým tegrálem fukce f od do 3 (, I) zveme číslo F( ) F( ). Určtý tegrál ozčujeme ovykle symolem f ( d ), kde číslo zýváme horí mezí číslo dolí mezí tohoto tegrálu. Pro rozdíl fukčích hodot prmtví fukce F v krjích odech tegrčího ooru se čsto používá záps F( ) F( ) F( ). Všměte s, že čkol prmtví fukce F( ) eí urče jedozčě, určtý tegrál f ( d ) jž jedozčě urče je. Podroost leze čteář př. ve strší, leč vykjící zákldí učec Hvlíčkově [] eo v pokročlé učec Jríkově [4]. pro všech y z defčího ooru R 3 jsou reálá čísl.
- 50 - Itegrálí počet fukcí jedé proměé Vět Fukce G ( ) f( ) d je jedou z prmtvích fukcí k fukc f ( ). Pltí tedy d f ( ) f( ) d d. Vět Pro počítáí s určtým Newtoovým tegrály pltí ásledující prvdl: f ( d ) f( d ), f( ) d 0, c c f ( d ) f( d ) f( d ). Vět Nechť pro kždé z tervlu, pltí f ( ) g( ). Pk f ( d ) gd ( ). Specálě, je-l tervlu, f( ) 0, můžeme psát f( ) d 0. Př výpočtu určtého Newtoov tegrálu hledáme ovykle ejdříve prmtví fukc k zdé fukc f ( ). Můžeme proto využít všech prvdel vět, které jsou pro výpočet eurčtých tegrálů (součtový vzorec, tegrce per prtes, susttuce) formulováy v předcházejících kptolách. Remův určtý tegrál Defce Nechť, je uzvřeý tervl čísl,..., 0, splňují podmíku 0.... Pk uspořádou možu těchto čísel D 0,,..., zveme děleím tervlu,. Největší z čísel,,...,, zveme ormou děleí D udeme pro ě užívt ozčeí (D). Defce D,..., je děleí uzvřeého tervlu, Nechť 0,,,..., mož Tto prmtví fukce splňuje víc podmíku G ( ) 0. Někdy můžeme výsledek odhdout přímo. Tk př. f ( d ) je pro lchou fukc vždy ulový.
Určté tegrály - 5 - reálých čísel splňujících pro kždé,,...,, f omezeá fukce,. Pk součet S( f,d, ) f( )( ) zveme Removou tegrálí sumou fukce f pro děleí D možu čísel. Defce Nechť D N je posloupost děleí tervlu,, jejchž orm koverguje k ule, lm (D ) 0 N ( N) ( N), N posloupost mož čísel,..., z předcházející defce přřzeých děleím D N. Fukce f ( ) echť je defová omezeá tervlu,. Estuje-l pro všechy tkové posloupost jejch společá lmt I lm S( f, D, ), N N N zveme tuto lmtu Removým určtým tegrálem fukce f ( ) tervlu, 3. Pro Remův určtý tegrál udeme z důvodů, které ojsíme íže, užívt stejé ozčeí jko pro tegrál Newtoův, tj. f ( d ). Podle předcházející defce umíme určt Remův tegrál je pro. Defujme proto dále f ( d ) f( d ) pro, f( ) d 0. Vět Nechť je fukce f ( ) spojtá uzvřeém tervlu,. Pk estuje tomto tervlu její Newtoův Remův určtý tegrál o jsou s rovy. Předcházející vět ukzuje souvslost mez Newtoovým Removým určtým tegrálem pro jede specálí typ fukcí - fukce spojté. Pltí oecější tvrzeí, že pokud pro dou fukc estují tervlu, o určté tegrály (Newtoův Remův), jsou s vzájem rovy. Proto se pro Newtoův Remův tegrál používá ovykle stejého ozčeí. Důležtým důsledkem této věty je Vět Fukce f, která je spojtá,, má, prmtví fukc. Pro pevě zvoleé, leč lovolé c, je F( ) f( ) d jedou z těchto prmtvích fukcí. c Tj. estuje tkové ezáporé číslo K, že pro kždé z tervlu, pltí f ( ) K. Vz Aped A3. 3 Defce Remov tegrálu je sprová prktckou úlohou výpočtu plochy pod grfem zdé fukce. Podroěj o tomto všk ž v kptole věové plkcím tegrálího počtu.
- 5 - Itegrálí počet fukcí jedé proměé 3.7 Nevlstí tegrály V předcházející kptole jsme se učl počítt určté Newtoovy Removy tegrály tervlech koečé délky. V plkcích se všk čsto vyskyte prolém, kdy je tře zdou fukc tegrovt přes tervl, jehož jed, č dokoce oě meze jsou ekoečé. V ásledujícím výkldu s ukážeme, jk se dá pojem určtého tegrálu rozšířt tervly ekoečé délky. V tkovém přípdě pk ovykle hovoříme o tegrálech evlstích. V předcházející kptole defové určté tegrály pk, je-l to uté v zájmu odlšeí, zýváme tegrály vlstím. Defce f ( d ) lm f( d ), f ( d ) lm f( d ). Předpokládáme ovšem, že tegrály oě lmty prvé strě výše uvedeých defčích rovostí estují. Přpouštíme přtom lmty vlstí evlstí. Máme-l víc výše mysl Newtoovy určté tegrály, můžeme uvedeé defčí rovost přepst do tvru Vět Pro výše defové evlstí tegrály pltí f ( d ) lm F ( ) F ( ), f ( d ) F ( ) lm F ( ). Defce Dále defujeme c f ( d ) f( d ) f( d ), c c f ( d ) f( d ) f( d ), c f ( d ) f( d ), f ( d ) f( d ). f ( d ) f( d ) f( d ), kde je lovolé reálé číslo. Podle věty předcházející právě uvedeé defc ezávsí prvá str v této defc volě čísl. Toto číslo je tedy skutečě lovolé. F( ) je prmtví fukce k fukc f ( ).
Nevlstí tegrály - 53 - Očs se setkáváme se stucí, kdy prmtví fukce F( ) estuje celém otevřeém tervlu (, ), v smotých krjích odech všk defová eí, č oě čísl mohou ýt koečá. Pk ovšem elze použít defc Newtoov určtého tegrálu v ovyklém tvru f ( d ) F ( ) F ( ). Isprová výkldem o evlstích tegrálech ekoečých tervlech všk sdo hlédeme možost, jk se s tímto prolémem vypořádt. Stčí výše uvedeou defc přepst do tvru f ( d ) lm F ( ) lm F ( ), který je jž možo použít ez ohledu to, zd jsou meze koečé č kolv zd je v ch prmtví fukce F( ) defová. I v tkovém přípdě hovoříme ovykle o evlstím tegrálu. Pro koečé meze estující fukčí hodoty F( ) F( ) přechází zoecěá defce (evlstího) určtého tegrálu defc původí. Prmtví fukce je totž v tomto přípdě uzvřeém tervlu, spojtá, pltí tudíž lm F( ) F( ) lm F( ) F( ). 3.8 Numercký výpočet určtých tegrálů Moho fukcí, s mž se setkáváme v přírodovědých techckých plkcích, elze tegrovt jedoduchým lytckým metodm uváděým v tomto tetu. Př výpočtu tkových tegrálů se ovykle uchylujeme k umerckým metodám. Ústředí myšlek umerckého přístupu spočívá v áhrdě tegrové fukce fukcí jou, zprvdl mohem jedodušší, kterou jž tegrovt umíme. Přlžou áhrdou se pochoptelě dopouštíme chyy, kterou všk většou umíme učt zedtelě mlou. Numercké tegrc je věováo výzmé místo v mtemtcké ltertuře. V této kptole zmííme je ěkteré zákldí metody omezíme se př tom výpočet vlstího tegrálu f ( d ), kde jsou reálá čísl. Zájemce o hluší prokutí do prolemtky odkzujeme speclzovou lterturu (vz př. [4] [5]). Odélíková metod Itervl, rozdělíme stejých dílků s dělcím ody 0..., kde pro k 0,..., k k. N kždém z dělcích tervlů k, k, k 0,...,, hrdíme fukc f fukcí kosttí, y k. Ovykle se používá ěkterá z ásledujících možostí y f( ), k k k yk k f( ) f( ), y f( ), k k f. k k y k Musíme ovšem zručt estec příslušých jedostrých lmt.
- 54 - Itegrálí počet fukcí jedé proměé Novou, po částech kosttí fukc pk jž sdo tegrujeme dostáváme f ( d ) yk. Lchoěžíková metod I zde, stejě jko v přípdě metody odélíkové, rozdělíme ejdříve tervl, stejých dílků. N kždém z dělcích tervlů k, k hrdíme tegrovou fukc fukcí leárí, jejíž grf prochází ody k, f( k) k, f( k ). Novou, yí po částech leárí fukc opět sdo tegrujeme dostáváme k 0 f ( d ) y0 yk y k. Smpsoov metod Itervl, rozdělíme v tomto přípdě sudý počet stejých dílků tervlech 0,,, 4,..., hrdíme tetokrát původí fukc f fukcem kvdr-, ( ), f( ) tckým, jejchž grfy procházejí prvím tervlu ody 0 f 0,, f( ), druhém tervlu ody, f( ),, f( ), ( ) 3 3 4 f 4 td. Novou, v tomto přípdě po částech kvdrtckou fukc tegrujeme dostáváme f ( d ) y0 4y y... y 4y y. 3 Pro kždou z uvedeých metod získáváme zprvdl tím přesější výsledek, čím je děleí tervlu, jemější, tedy počet dělcích odů větší. I přesost uvedeých metod roste ovykle př stejém v pořdí, v ěmž jsou uvedey. Nejméě přesá je metod odélíková, ejpřesější metod Smpsoov. 3.9 Vyré plkce tegrálího počtu V mtemtce, le zejmé v přírodích techckých vědách, estuje epřeeré možství prolémů, kdy je uté tím č oím způsoem použít výsledků tegrálího počtu. V této kptole uvádíme stručý přehled těch ejěžějších plkcí určtých tegrálů v geometr fyzce. Př řešeí jedotlvých kokrétích úloh využjeme vždy elemetárích zlostí (př. toho, že umíme vypočítt plochu odélík, délku úsečky, ojem válce, povrch rotčího komolého kužele, hmotost úsečky s kosttí leárí hustotou, prác kosttí síly přímočré dráze td.) Postup př řešeí složtějších úloh je pk ásledující: Oecý prolém převedeme řešeí ěkteré z uvedeých elemetárích úloh získáme tk zprvdl přlžé vyjádřeí oecého vzthu ve tvru Removy sumy pro ějký určtý tegrál. Dále udeme předpokládt, že tkto získá Remov sum koverguje ke svému tegrálu, který pk jž sdo zpíšeme, užjeme-l defce uvedeé v kptole 3.6. Upozorňujeme čteáře, že v zájmu zchováí jedoduchost ázorost jsou íže zčeé výpočty pouze oretčí elze je v žádém přípdě povžovt z důkzy uvedeých vzorců. Zájemce o podroost odkzujeme kteroukolv učec tegrálího počtu, př. učec Hvlíčkovu [] č Jríkovu [4].
Aplkce tegrálího počtu - 55 - Úloh Ploch pod grfem fukce Zdáí Určete plošý osh S olst vymezeé tervlu, grfem fukce f( ) 0 přímkm, y 0. Řešeí Budž 0... dosttečě jemé děleí tervlu,. Elemetárí plochy pod grfem fukce f ( ) hrdíme kždém z dělcích tervlů, odélíky o strách y f( ), kde,. Hledý plošý osh S je pk dá s přlžou pltostí jko součet plošých oshů jedotlvých elemetárích odélíků S y : S S f( ). N prvé strě posledí rovost jsme le tkto získl Removu tegrálí sumu, které př splěí ezytých předpokldů (vz kptol 3.6) odpovídá tegrál f ( d ). Můžeme proto psát S f( ) d. Úloh Délk olouku grfu fukce Zdáí Určete délku L olouku grfu fukce f ( ) tervlu,. Řešeí I v tomto přípdě rozdělíme tervl, dosttečě jemým děleím 0... elemety grfu fukce f ( ) kždém z dělcích tervlů, hrdíme s přlžou pltostí úsečkm o kocových odech, f( ), f( ). Hledou délku olouku L pk získáme přlžě jko součet délek jedotlvých elemetárích úseček tedy L y, kde y f( ) f( ). Pltí Smosttě se pokuste zformulovt řešeí podoé úlohy, v íž le udeme předpokládt, že f( ) 0, eo dokoce že fukce f měí tervlu, zméko.
- 56 - Itegrálí počet fukcí jedé proměé ( ) ( ), L L y f f kde jsme užl Lgrgeovu větu o přírůstku kde,. Výsledkem šeho přlžého výpočtu je opět jstá Remov sum, které tetokrát odpovídá tegrál ( ) f d. Můžeme proto psát L f d ( ). Úloh 3 Délk prmetrcky zdé křvky Zdáí Určete délku L křvky zdé v rově prmetrckým rovcem () t y () t, kde prmetr t, () t (), t () t je prostá,. vektorová fukce Řešeí Postup řešeí je odoý tomu, který jsme stíl v předcházející úloze. Itervl, ejdříve rozdělíme dosttečě jemým děleím t0 t... t kždém z dělcích tervlů t, t povžujeme křvku s přlžou pltostí z úsečku s kocovým ody t ( t), ( t) ( t ), ( ). I yí počítáme v prvím přlížeí délku olouku L jko součet délek těchto elemetárích úseček y ( t ) ( t ). Pltí tedy 3 L y, kde ( t) ( t ) L y t t t, kde, t, t ( ) ( ) ( ) ( ). Protože čstou Removu tegrálí sumu. Přesto je všk možo ukázt, že pltí (vz př. učece Hvlíčkov []) jsou oecě růzá, ezískl jsme v tomto přípdě Tto vět říká, že je-l fukce f ( ) spojtá tervlu, dferecovtelá,, pk estuje, tkové, že f ( ) f( ) f( )( ). Podroost může čteář jít v kždé učec dferecálího počtu (vz příkld Hvlíček [] eo Jrík [3]). Křvk tedy v žádém odě eprotíá sm see, ejvýš může mít stejý počátečí kocový od. 3 V úprvách opět využíváme výše zmíěou Lgrgeovu větu o přírůstku: ( t) ( t ) ( )( t t ) ( t ) ( t ) ( )( t t ). Všměte s, že ody v chž počítáme dervce jsou pro růzé.
Aplkce tegrálího počtu - 57 - L t t dt () (). Odoý vzorec lze odvodt pro křvku zdou prmetrckým rovcem v prostoru ( t), y ( t) z () t : L t t t dt () () (). Úloh 4 Ojem rotčích těles Zdáí Určete ojem V těles, které vzke rotcí plochy pod grfem fukce f( ) 0 tervlu, kolem osy. Řešeí Itervl, opět ejdříve rozdělíme dosttečě jemým děleím 0... elemetárí rotčí těles, která vzkou výše popsým postupem kždém z dělcích tervlů,, povžujeme z válce. Hledý ojem V pk získáme jko součet ojemů těchto elemetárích válců o poloměrech podstvy r f( ), kde je ějké číslo z,, o výškách. Můžeme tedy psát koec V V f( ) V f d ( ). Úloh 5 Povrch rotčích těles Zdáí Určete plošý osh S povrchu těles, které vzke rotcí grfu fukce f( ) 0 tervlu, kolem osy.
- 58 - Itegrálí počet fukcí jedé proměé Řešeí Postup př řešeí je ezezytku stejý jko v předcházející úloze, pouze elemetárí rotčí těles povžujeme yí s přlžou přesostí z komolé kužele. Celkový plošý osh S pk určíme jko součet plošých oshů jedotlvých elemetárích kuželů S r r l, () () () kde r je poloměr jedé podstvy -tého kužele, () podstvy, r f( ), l délk jeho stry, r () f( ), () r poloměr jeho druhé l y. Můžeme proto psát S S f f y f f ( ) ( ) ( ) ( ) koec ( ) ( ). S f f d Úloh 6 Hmotost ekoečě teké rové tyče Defce Nekoečě tekou tyč reprezetujeme úsečkou (uzvřeým tervlem), ose. Ozčme m (, ) hmotost jejího segmetu,. Pk leárí hustotou tyče v odě zveme velču m (, ) ( ) lm. 0 Zdáí Určete hmotost m ekoečě teké tyče, se zdou leárí hustotou ( ). Řešeí Itervl, rozdělíme dosttečě jemým děleím 0... kždém z dělcích tervlů, povžujeme hustotu ( ) z kosttí. Pk ovšem můžeme pro hmotost kždého segmetu psát přlžě m ( ), kde,, pro hmotost celé tyče m m ( ) eo též m ( ) d. Opět s využtím Lgrgeovy věty o přírůstku.
Aplkce tegrálího počtu - 59 - Úloh 7 Hmotost ekoečě tekého vlák Defce Nekoečě teké vláko reprezetujeme v rově prmetrcky zdou křvkou () t y () t, kde prmetr t, vektorová fukce () t (), t () t je prostá,. Ozčme mt (, t) hmotost mlé část vlák, pro kterou prmetr ývá hodot z tervlu tt, t. Pk leárí hustotou vlák v odě odpovídjícím hodotě prmetru t zveme velču () t lm t 0 mt (, t) () t () t t. Zdáí Určete hmotost m ekoečě tekého vlák se zdou leárí hustotou () t. Řešeí Itervl, opět ejdříve rozdělíme dosttečě jemým děleím hustotu () t povžujeme kždém tkto získém segmetu z kosttí. Potom ovšem můžeme psát 3 m ( ) y ( ) ( ) ( ) t, kde, jsou oecě růzá čísl z -tého dělcího tervlu. Podoě jko v úloze 3 edospíváme sce tkto k čstou Remově tegrálí sumě, opět lze všk dokázt, že pltí m t t t dt () () (). Pro vláko v prostoru s prmetrzcí () t, y ( t) z ( t) je možo odvodt odoý vzorec m t t t t dt () () () (). Vláko tedy v žádém odě eprotíá smo see, ejvýš může mít tvr uzvřeé smyčky. Všměte s, že ve jmeovtel uvedeé defčí rovost stojí přlžý výrz pro délku část vlák tervlu tt, t. 3 Opět s využtím Lgrgeovy věty o přírůstku.
- 60 - Itegrálí počet fukcí jedé proměé Úloh 8 Práce vější síly přímé dráze Zdáí Určete prác A vykoou slou F( ) půsoící ve směru přímočrého pohyu hmotého odu po úsečce reprezetové tervlem, osy. Řešeí I v tomto přípdě rozdělíme ejdříve tervl, dosttečě jemým děleím 0... kždém z dělcích tervlů, povžujeme půsoící sílu z kosttí. Odoě jko v předcházejících úlohách pk píšeme, A A F( ) kde je práce vykoá půsoící slou segmetu, A. Pltí tedy A F( ) d.