Předášk 8: Elemetárí uke V této předáše se věujeme opkováí zámýh ktů o zákldíh typeh elemetáríh ukí Ai emusíme použít přiléhvého leč dehoestujíího ázvu zvěřie ukí jko utorky kihy Mtemtik pro porozuměí i pri ebo romtizujíího ázvu herbář ukí jko kolektiv utorů projektu MI, by ás pdly zjevé logie se středoškolskou biologií: studujeme druhy ukí, jejih vlstosti, vzthy, td To vše je potřeb zát zpměť, byhom to uměli v prvou hvíli použít Mohlo by ás uklidit sd je to, že moho uvedeýh ormulí již jistě záme ze středí školy, třebže ěkdo víe ěkdo méě, že tyto ormule jsou ve velké většiě logikým důsledkem všeobeě zámýh vlstostí Elemetárí ukí rozumíme kždou uki utvořeou pomoí koečého počtu operí k - ásobku, sčítáí, odčítáí, ásobeí, děleí, skládáí iverze z tzv zákldíh elemetáríh ukí y = kost, y =, y = si( ) y = e Elemetárí uke dělíme do ěkolik skupi podle jejih grů vlstostí Moié uke Moiou ukí je kždá uke typu r y =, r R Rozlišujeme tyto speiálí přípdy: pro r N říkáme uki polyom, pro r N lomeá + uke, pro r Q odmoi pro irioálí r R \ Q obeá moi Tou se všk dále zbývt ebudeme Polyomy Polyomem rozumíme kždou uki p : y = + + + +, 0 kde reálá čísl i { } stupěm polyomu symbolem P [ ] i 0, =,,, zýváme koeiiety polyomu číslo zýváme p Možiu všeh polyomů stupě v proměé ozčujeme Deiičím oborem kždého polyomu je moži všeh reálýh čísel, D =R Pro polyomy stupě = 0,, používáme speiálí ázvy: 8 Kosttí uke Kosttí ukí rozumíme polyom stupě 0, tedy uki y = 0 = kost Pltí pro i H = { 0 }, jejím grem je přímk rovoběžá s osou Kosttí uke je sudá, ohričeá, erostouí eklesjíí Vzhledem ke gru se ěkdy povžuje z speiálí přípd lieárí uke, přesto že v tomto přípdě epltí, že 0
8 Lieárí uke Lieárí ukí rozumíme polyom stupě, p : y = 0 +, tedy uki y = k + q Jejím grem je přímk Koeiiety k, q mjí bezprostředí geometriký výzm: číslo k = tα zývé směrie popisuje odhylku přímky od kldé části osy číslo q určuje průsečík přímky s osou y Je-li k = 0 dostáváme jko speiálí přípd kosttí uki V opčém přípdě, pro k 0, je lieárí uke prostá, ryze mootóí jejím grem je přímk růzoběžá s oběm souřdiovými osmi, tedy H =R Pro k > 0 je lieárí uke rostouí, pro k < 0 je klesjíí Pro q = 0 je lieárí uke lihá popisuje přímou úměrost Její gr prohází počátkem soustvy souřdi 8 Kvdrtiké uke Kvdrtikou ukí rozumíme polyom stupě, p : y = 0 + +, 0 y = + b +, tedy uki Jejím grem je prbol, jejíž os je rovoběžá s osou y Tvr prboly závisí koeiietu její umístěí závisí (pro pevě zdé ) koeiieteh b, Fuki lze totiž vždy přepst do tzv vrholového tvru b b y = ( 0 ) + y0, = 0, y0 = 4, V =, y (pozor zmék!) je vrhol prboly kde bod [ ] 0 0 Kvdrtiká uke eí ohričeá, eí mootóí, tedy i prostá Pro b = 0 jde o uki sudou Pro 0 H = y 0, Je klesjíí itervlu I > je kvdrtiká uke zdol omezeá, [ ) = (, 0 ) rostouí J 0 Pro 0 = (, ) < je kvdrtiká uke shor omezeá, H (, y ] klesjíí J = Je rostouí itervlu I 0 84 Kubiké uke Kubikou ukí rozumíme polyom stupě, p : y = 0 + + +, 0 Jejím grem je tzv kubiká prbol, jejíž os je rovoběžá s osou y Pltí, že H =R Nejjedodušší kubikou ukí je : y i zdol Pro > 0 je rostouí, pro < 0 je klesjíí =, která je prostá, lihá eí omezeá i shor 85 Rozkld polyomu souči kořeovýh čiitelů Je zámo, že kvdrtikou uki D b 4 = lze rozložit souči kořeovýh čiitelů y = + b + s ezáporým diskrimitem
y = ( )( ), (8) kde, jsou kořey rovie + b + = 0 Pokusíme se teto kt zobeit pomoí tzv Zákldí věty lgebry (Guss, 799) T říká, že kždý reálý polyom p ( ) stupě má právě kompleíh kořeů Je-li kompleí číslo z = + bi kořeem polyomu p ( ), pk je tké kompleě sdružeé číslo z = bi jeho kořeem Souči kořeovýh čiitelů ( z)( z ) = ( bi)( + bi) = + + b dává polyom druhého stupě s reálými koeiiety se záporým diskrimitem Ozčíme-li p = q = + b, dá se polyom p ( ) přepst v možiě reálýh ukí do tvru součiu p ( ) = ( )( ) ( ) ( + p + q ) ( + p + q ) (8) i j j kde,,, i jsou reálé kořey polyomu p ( ) ( + pi + qi ) jsou součiy kořeovýh čiitelů příslušýh ke kompleě sdružeým kořeům, příkld 4 + 4 + 5 = ( )( + )( + 5) K ověřeí toho, je-li číslo i kořeem polyomu p ( ) se používá tzv Horerovo shem, jeho výkld všk přeshuje záběr tohoto tetu bude se podroběji rozebírt v předmětu Mtemtik Rioálí lomeé uke Rioálí lomeou ukí rozumíme uki typu p( ) : y =, kde p Pm [ ], q P [ ] q( ) Deiičím oborem jsou všeh reálá čísl kromě reálýh kořeů polyomu q, tedy kromě mimálě reálýh čísel,, Kždou rioálí lomeou uki lze pomoí děleí polyomů přepst do tvru součtu tzv ryze lomeé uke (pro i pltí, že stupeň čittele je meší ež stupeň jmeovtele, tedy m < ) polyomu stupě s : pm y = + rs q Speiálě se zbýváme lieárími lomeými ukemi elou záporou moiou 86 Lieárí lomeá uke Nejjedodušším speiálím přípdem rioálí lomeé uke je lieárí lomeá uke + b y = + d, kde 0 d b 0 d Deiičím oborem je moži D = R \{ }, oborem hodot je H =R \{ } Grem lieárí lomeé uke je rovoosá hyperbol Její předpis můžeme vždy přepst do tzv středového tvru k y = y0 +, 0
ze kterého sdo vyčteme souřdie středu hyperboly S [ y ] d = 0, 0 =, Její osy d =, y = jsou rovoběžé se souřdiovými osmi, které rozdělují roviu čtyři kvdrty Pro k > 0 leží větve hyperboly v I III kvdrtu uke je klesjíí itervleh d d, J =, I = ( ) ( ) Pro k < 0 leží větve hyperboly ve II IV kvdrtu uke je rostouí itervleh d d, J =, I = ( ) ( ) Pro b = d = 0 dostáváme lihou uki k y =, která modeluje epřímou úměrost Iverzí ukí k lieárí lomeé uki je opět lieárí lomeá uke, dokoe se stejým S = y, k, ovšem s jiým středem [ ] iv 0 0 87 Celá záporá moi U ukí y =, N, rozlišujeme dvě skupiy ukí s rozdílými vlstostmi, to uke se sudým s lihým Pro obě skupiy je deiičím oborem D =R \{ 0} Pro sudé jsou to uke sudé, jejih oborem hodot je H = ( 0, ) jsou tedy zdol I = jsou rostouí itervlu J = ( 0, ) jsou klesjíí Pro lihé jsou to uke lihé, jejih oborem hodot je H =R \{ 0} jsou klesjíí itervleh I = (,0) J = ( 0, ) omezeé N itervlu (,0) Fuke odmoiy Pro jedoduhost se ztím omezme uke y r =, kde r =,, N Tyto uke ozčujeme y = zýváme -tou odmoiou Můžeme je rozdělit dvě skupiy, pro sudé lihé, které se podsttě odlišují Pro obě skupiy je společé, že uke jsou rostouí, tedy prosté N příslušýh deiičíh oboreh to jsou iverzí uke k -té moiě, pltí totiž ( ) = = ( ) 88 Sudé odmoiy 4 Pro sudé odmoiy y, y = =, td pltí, že D H [ 0, ) = = Grem je jed větev prboly -tého stupě, která má osu rovoběžou s osou Fuke jsou zdol omezeé mjí miimum v bodě = 0 4
89 Lihé odmoiy Pro lihé odmoiy y = 5, y =, td pltí, že D = H =R Grem je prbol -tého stupě, která má osu rovoběžou s osou Fuke jsou lihé eomezeé 80 Obeé moiy s rioálím epoetem Fuke p q y =, kde p Z, q N, se sdo získjí jko uke složeé z p -té moiy y p = (polyomu) lomeé uke / q y = Z toho můžeme tké odvodit jejih vlstosti pro kokrétí p q Úplý rozbor pro všehy skupiy ( p kldé záporé, q sudé lihé, td) všk přeshuje záběr tohoto tetu, jejih vlstosti budou zkoumáy v ásledujííh vičeíh Absolutí hodot Absolutí hodot je ukí deiovou po částeh: pro 0, : y = pro < 0 H = 0, Jde o uki sudou, zdol omezeou, jejím grem je lomeá Pltí tedy D =R, [ ) čár 8 Fuke sigum Pomoí bsolutí hodoty se tké deiuje zméková uke eboli uke sigum pro > 0, pro 0, sig = = 0 pro = 0, 0 pro 0, = pro < 0 Epoeiálí uke Epoeiálí ukí o zákldu rozumíme uki y =, kde > 0,, s deiičím oborem D =R Proměou zde většiou zýváme epoet Podmíku > 0 kldeme proto, že pouze pro kldý zákld je číslo deiováo pro všeh R (př eí deiováo 0,, tp) Podmíku kldeme proto, že uke y = = je kosttí, má tedy vlstosti dimetrálě odlišé od osttíh epoeiálíh ukí, mezi epoeiálí uke ji ezřzujeme Grem epoeiálí uke je tzv epoeiálí křivk eboli epoeiál, která vždy prohází bodem B = [ 0,], jelikož totéž souměré podle osy y 0 = Epoeiálí křivky y y = jsou pro = ( ) 5
Jelikož H = ( 0, ) prosté; pro, jsou epoeiálí uke zdol omezeé Dále jsou mootóí, tedy > jsou to uke rostouí, pro ( 0,) klesjíí Pro epoeiálí uke pltí všeh prvidl pro počítáí s moimi odmoimi zámá ze středí školy, zejmé rovost = +, pro všeh D =R, (8) ze které se djí osttí prvidl odvodit, která epoeiálí uke deiuje Iverzí ukí k epoeiálí uki y = je logritmiká uke y = log, viz íže, pltí tedy log =, pro > 0, log ( ) =, pro R (84) V pri se epoeiálí uke používjí k popisu ejrůzějšíh yzikálíh, přírodíh, společeskýh ekoomikýh proesů, od modelováí řetězovýh ukleáríh rekí, bsorpe zářeí, přes modelováí rozpdu rdioktivíh izotopů (toho se využívá při dtováí kosteríh pozůsttků v rheologii pleotologii) ž ke složeému úrokováí růstu e 8 Přirozeá epoeiál Obrovský výzm hrje v pri přirozeá epoeiál y = e = ep( ), tedy epoeiálí uke o zákldu e =,788, ož je tzv Eulerovo číslo deiové ejčstěji jko limit poslouposti ebo součet ekoečé řdy, to vzthy e = lim + ebo e = = 0! Jkoukoliv epoeiálí uki lze vyjádřit prostředitvím přirozeé epoeiály, vzhledem k rovii (84) totiž pro > 0 pltí l ( l ) ( e ) e = = Fuke y = e se objevuje sd ve všeh oblsteh mtemtiky, příkld v diereiálím počtu je to jediá uke, pro kterou pltí, že její derive v bodě 0 (viz předášk 0) je rov ukčí hodotě v bodě 0 Z teorie kompleíh čísel ukí kompleí proměé plye jko vlstost přirozeé epoeiály si ejkrásější rovie elé mtemtiky, Eulerov rovost i e + = 0 Logritmiké uke Logritmikou ukí o zákldu rozumíme uki y = log, > 0, iverzí k uki y D = H = Hlog = D =R Zvláští = Pltí tedy, že ( ) log 0, ozčeí se používá pro tzv přirozeý logritmus y = l = log tzv dekdiký logritmus y = log = log0 Všehy vlstosti logritmikýh ukí sdo odvodíme z vlstostí epoeiálí uke Grem logritmiké uke je tzv logritmiká křivk, kterou lze sestrojit jko obrz e 6
příslušé epoeiály při osové souměrosti podle osy y B = [ ], ož je obrz bodu [ 0,] = Její gr vždy prohází bodem log, 0 B = při této osové souměrosti Z vlstostí (84) plye, že log 0, log Logritmiké uke jsou stejě jko epoeiálí uke mootóí tedy prosté Pro > jsou uke y = rostouí, tedy i jejih iverze y = log je uke rostouí Ze stejého důvodu jsou uke y = log pro ( 0,) klesjíí Připomeňme, že pltí všeh prvidl pro počítáí s logritmy zámá ze středí školy: Pro, D je log ( ) = log ( ) + log ( ), log log ( ) log ( ), log ( ) = r log ( ) pro všeh r R = r Goiometriké uke N středí škole byly zvedey uke sius, kosius tges pomoí poměrů dvou str prvoúhlého trojúhelík ukázly se velmi užitečé k řešeí moh geometrikýh problémů Krom toho se objevily v ěkterýh yzikálíh úloháh, zejmé z optiky mehiky Zde deiujeme goiometriké uke pomoí jedotkové kružie (tedy kružie s poloměrem r = ), tedy lehe zobeíme deiii pomoí prvoúhlého trojúhelík, který tm stále je vidět Dále zopkujeme kostruki jejih grů, vzthy mezi jedotlivými ukemi jejih ejdůležitější vlstosti Chrkteristikou vlstostí goiometrikýh ukí je jejih periodičost Proto se využívjí ve yzie tehie k modelováí opkujííh se dějů (rote, kyvdl, td), le zejmé k popisu vlěí, ť již mehikého (př zvuk) ebo elektromgetikého (př světlo) Jkoukoliv periodikou uki lze totiž rozložit součet jistýh siů kosiů, tedy popst pomoí tzv Fourierovy řdy Teto rozkld je v ižeýrskýh plikíh velmi důležitý, jeho popis všk přeshuje možosti tohoto tetu je mu věová speiálí předášk Oblouková stupňová mír, jejih vzth Velikosti úhlů budeme důsledě uvádět v obloukové míře (jedotkou je jede rdiá, zkrtku rd budeme vyehávt), je pro ázorost ěkdy doplíme vyjádřeí v míře stupňové (jedotkou je stupeň, zkrtk ) Oblouková mír úhlu je totiž deiová geometriky bezrozměrě (ezávisle volbě délkové jedotky), jko délk oblouku jedotkové kružii se středem ve vrholu úhlu To je deiie, která je ezávislá člověku Tké ve yzikálí soustvě jedotek SI se rdiá deiuje jko úhel, který jedotkové kružii se středem ve vrholu úhlu vyte oblouk jedotkové délky 74-0 Priálí diereiálí rovie 7
Nproti tomu stupňová mír je pouhá dohod, že bude právě jed devdesáti úhlu prvého Deiie byl prvděpodobě zvede již ve strověké Mezopotámii preerujíí šedesátkovou číselou soustvu (plý úhel odpovídá 60, tedy 6 60 ), ož přiáší je dlší komplike při převodeh: pro meší jedotky (úhlové miuty vteřiy ), pltí, že = 60 = 600 Pro převod mezi těmito jedotkmi si stčí uvědomit, že plému úhlu α = 60 odpovídá délk elé jedotkové kružie, tedy = podle zámého vzore pro obvod kružie o = r Zbytek je již jedoduhá trojčlek: α 80 =, kde α je velikost úhlu ve stupňové míře je odpovídjíí velikost v obloukové míře Jedu z těhto dvou veliči máme zdáu, druhou heme vypočítt Pro čsto používé úhly (viz tbulk ) se všk vypltí umět je převádět zpměti α 0 0 45 60 90 80 70 60 rd 0 6 4 Tbulk Odpovídjíí si velikosti úhlů ve stupňové obloukové míře Fuke sius kosius Pro kždý zdý úhel můžeme zvolit krtézskou soustvu souřdi sestrojit jedotkovou kružii k se středem v počátku Nopk, kždému reálému číslu můžeme přiřdit právě jede bod M k M =, y Proto můžeme pro všeh o souřdiíh [ ] R deiovt si = ym, os = M (85) Tím jsem deiovli uke sius kosius s deiičími obory D =R Z kostruke H =, uke jsou periodiké s periodou p = Jejih gry sestrojíme vyplývá, že [ ] pro [ 0, ) ze souřdi bodu M dále gr periodiky prodloužíme Grem uke sius je tzv siusoid, grem uke kosius je tzv kosiusoid, o eí i jiého ež siusoid posuutá o dolev (ve směru záporé poloosy ) Obě uke jsou periodiké s periodou p =, obě jsou ohričeé Fuke sius je lihá, uke kosius sudá, pltí tedy si( ) = si( ), (86) os( ) = os( ) Nejsou to mootóí (tedy i prosté) uke, uke sius je rostouí zákldím itervlu,, Vzhledem k periodičosti se itervly mootoie ( ) klesjíí itervlu ( ) prvidelě střídjí Fuke kosius je rostouí zákldím itervlu (, ) klesjíí itervlu ( 0, ) M M 8
Fuke tges kotges Fuki tges deiujeme jko podíl si t =, pro D = R \ (k + ), k Z, (87) os tedy možiě tkovýh reálýh čísel, jejihž kosius je růzý od uly Deiičí obor lze (k ),(k + ), kde k Z pst jko sjedoeí itervlů ( ) Fuki kotges deiujeme jko podíl os ot =, pro D = R \{ k, k Z }, (88) si tedy možiě tkovýh reálýh čísel, jejihž sius je růzý od uly Deiičí obor lze k,( k + ), kde k Z pst jko sjedoeí itervlů ( ) Oborem hodot jsou v obou přípdeh všeh reálá čísl Obě uke jsou periodiké s periodou p =, obě jsou eohričeé ( H =R ) lihé, pltí tedy t( ) = t( ), (89) ot( ) = ot( ) Obě uke ejsou mootóí D, le jsou mootóí kždém poditervlu v D (k ),(k + ), odpovídjíím elé periodě: uke tges je rostouí itervleh ( ) kde k Z, uke kotges je klesjíí itervleh ( k,( k + ) ), kde k Z Hodoty zmék goiometrikýh ukí Je velmi účelé si pmtovt ukčí hodoty lespoň uke sius pro čsto používé úhly z tbulky : rd 0 6 4 si 0 Tbulk Důležité ukčí hodoty uke y = si Posloupost si lze velmi sdo zpmtovt ásledujíím memotehikou pomůkou: 0 4,,,, Tbulku si lze sdo doplit pro odpovídjíí úhly ve II IV kvdrtu, viz tbulk 4 íže Zpměti je dobré zát přiejmeším ještě hodoty si() = 0, si =, si() = 0 Fukčí hodoty osttíh ukí v těhto bodeh lze potom totiž sdo odvodit: 9
rd 0 6 4 os 0 0 t 0 = ede 0 ede 0 ot ede 0 ede 0 ede Tbulk Důležité ukčí hodoty ukí kosius, tges kotges Pro uki kosius jsme spodí řádek tbulky zpsli zprv dolev, pro uki tges jsme vydělili čittele příslušýh čleů (jmeovtelé se vykrátili): 0 0 = = 0, = =, = =, = =, = eí deiováo 0 pro uki kotges jsme řádek uke tges psli opět zprv dolev Pro správé určeí ukčí hodoty ( ) goiometriké uke je potřeb určit ve kterém kvdrtu leží hodot, to podle kvdrtu, v ěmž leží příslušý bod M jedotkové kružie Podle kvdrtu se dopočítá odpovídjíí úhel v prvím kvdrtu tké určuje zméko ukčí hodoty Kvdrt I II III IV úhel α α + α α si + + os + + t + + ot + + Tbulk 4 Zmék hodot goiometrikýh ukí Hrmoiké uke Hrmoikou ukí rozumíme goiometrikou uki typu F : y = ( + b), (80) kde, b, R je uke sius ebo kosius Hrmoiké uke házejí široké upltěí ve yzie tehie, odkud tké bereme používé ázvosloví Číslo určuje mplitudu (rozkmit) uke F, jelikož pro je mplitud rov jedé Číslo ovlivňuje rekvei uke F : jelikož je pro rekvee rov ν =, je rekvee hrmoiké uke F rov 0
ν F = Koečě číslo b určuje počátečí ázi dé hrmoiké uke F Kždá ze tří kostt ovlivňuje vzhled gru uke F Jejih pořdí v beedě je voleo tk, by odpovídlo pořdí při kostruováí gru F ze zákldího gru uke : Kostt ovlivňuje rekvei kmitů uke F (kmity jsou hustější pro > ) Vliv kostty b se dá zhytit posuutím gru dolev pro kldá (respektive doprv pro záporá ) Řešeí rovie + b = 0 ám určuje průsečík s osou u uke sius Koečě vliv kostty se dá zhytit vyásobeím všeh ukčíh hodot uke ( + b) Vzore pro goiometriké uke Zel výjimečé postveí má mezi vzori tzv goiometriká jedičk, tedy ormule si + os = (8) Pro odvozováí vlstostí vzthů mezi goiometrikými ukemi hrje velkou roli idetit t ot =, k, kde k Z (8) ze které plye, že ot = t Velmi čsto je potřeb vzthů pro dvojásobý rgumet si( ) = si os, (8) os( ) = os si, vzthů pro převod mezi druhou moiou dvojásobým rgumetem si = ( os( ) ), (84) os = + os( ), ( ) Cyklometriké uke Cyklometrikými ukemi rozumíme uke iverzí k ukím goiometrikým Jelikož jsou všk goiometriké uke periodiké, emohou být prosté Proto k im eeistuje elém D iverze Přesto všk čsto potřebujeme ze zlosti ukčí hodoty určit odpovídjíí úhel, tedy potřebujeme mít uke iverzí deováy K tomu je potřeb omezit se vhodé itervly, kterýh budou jedotlivé goiometriké uke prosté Volíme itervly o ejblíže počátku soustvy souřdi Z předhozího víme, že uke : y si = je rostouí itervlu (, ) prostá D =,, můžeme tomto itervlu deiovt iverzí uki, kterou zýváme rkussius, : y = rsi, D H [, ], H D = = = =,, (85) to ormulemi
[ ] si(rsi ) =, pro, (86) rsi(si ) =, pro, Její gr zkostruujeme sdo z gru uke sius Vzhledem k H jde o uki ohričeou Jelikož je uke sius D lihá rostouí, je uke rkussius tké lihá rostouí Podobě deiujeme iverzi k uki kosius, která je prostá př itervlu [ 0,] D = Nzýváme ji rkuskosius : = ros, D =,, = D = 0,, (87) [ ] [ ] Jelikož je uke kosius D klesjíí, je rkuskosius tké klesjíí Všiměte si, že kosius eí D sudá, že pokud by byl sudá, emohl by k í eistovt iverze, která tké emůže ikdy být sudá Fuke rkustges je deiová jko iverze k tedy Jde o uki lihou, rostouí ohričeou y = t itervlu D = (, ), pltí ( ) : y = rt, D =R, H =, Fuke rkuskotges je deiová jko iverze k tedy y = ot itervlu D = ( 0,), pltí ( ) : y = rot, D = R, H = D = 0, Jde o uki klesjíí ohričeou Všiměte si, že rot rt Vzthy mezi yklometrikými ukemi Pro úplost doplíme ještě tři zjímvé ormule rsi + ros = pro [, ], rt + rot = pro R, rt = rot pro > 0
Doplňujíí zdroje: Olie zdroje J Čepičk, P Girg, P Nečesl J Polák, Herbář ukí, http://mivsbz/modul/herbruki výukový mteriál vziklý v rámi projektu MI VŠB-TU Ostrv Litertur [] J Musilová P Musilová, Mtemtik pro porozuměí i pri, I díl (VUTIUM: Bro, 006) 8 s