VÝSLEDKY Písemný test z předmětu BI-LIN(19. 4. 2011), varianta R 1.Nechť p, q, rjsoupolynomy,všechnymajístupeňroven n.pakpolynom má stupeň: a)vždyroven n 2, b)vždyroven2n, c)vždyroven n, d)nejvýšeroven n 2, + e)nejvýšeroven2n. p 2 + q r 2.Nechť A je čtvercová matice typu (n,n) a E je jednotková matice stejného typu. Sestavmetzv.adjungovanoumatici B =(b i,j ) typu(n,n)takto: b i,j =doplněkkmatici A vzhledemkpozici(j,i).pakplatí: a) A B=detA B 2, b) A 1 = B, + c) A B=detA E, d) A B=detB A T, e) A B=detA det B. Jakjevalgebředefinovánpojem souřadnicevzhledemkbázi? Vektor u R 3 mávzhledemkuspořádanébázi(b)= ( ( 1,2,0),(1,1,1),(1,1, 2) ) souřadnice(1, 1,2). Určetejehosouřadnicevzhledemkuspořádanébázi(C)= ( (1,0,1),(0,1,1),(1,1,0) ). Souřadnicevektoru xvzhledemkuspořádanébázi( b 1, b 2,..., b n )jsoukoeficientylineárníkombinacevektorů b 1, b 2,..., b n,kteráserovnávektoru x.koeficientyjsouuspořádánypodleindexůbázových vektorů.druháčást:vektormásložky(0,3, 5)ajehosouřadnicevzhledemk(C)jsou( 4, 1,4). Pro všechna a R řešte soustavu lineárních rovnic s rozšířenou maticí soustavy a 1 1 2 3 2. 1 a determinant (a+6)(a 1),nemářešenípro a= 6.Pro a=1jeřešení(1,1,1)+t( 1,4,3) (t R),proostatnípřípady( 2a+7 a+6, 1 a+6, 1 a+6 ).
VÝSLEDKY Písemný test z předmětu BI-LIN(19. 4. 2011), varianta S 1.Opětivektorech x 1, x 2,..., x 5 lineárníhoprostoru dimenze 7 víme, že jsou lineárně závislé, dále všechny čtveřice těchto vektorů jsou lin. závislé, existují závislé i nezávislé trojice těchto vektorů a tyto vektory jsou po dvou lineárně nezávislé. Platí: a)dim x 1, x 2,..., x 5 =5, b)dim x 1, x 2,..., x 5 =4, + c)dim x 1, x 2,..., x 5 =3, d)dim x 1, x 2,..., x 5 =2, e)dim x 1, x 2,..., x 5 nelzeurčit. 2. Nechť A je čtvercová matice. Nenulová matice B,prokterouplatí AB= BA, a) existuje jen pro nulovou matici A. b)existujejenprosingulárnímatice Aatakovýchmatic Bmůžebýtvíce. c) je jakákoliv čvercová matice stejného typu jako A. d) existuje právě jedna pro regulární matici A. + e) existuje pro jakoukoli čtvercovou matici Aatakovýchmatic Bjevždynekonečně mnoho. Uveďtealgoritmusprovyhodnocenílineárnínezávislosti mvektorůzr n (m n). Pro jaké hodnoty parametru a jsou následující vektory lineárně nezávislé? (1,1,a),(2,a, 4),(2,1+a,2a) Vektory jsou LN, právě když hodnost matice(kde jsou vektory zapsány v řádcích) je rovna počtuřádků.při m=njsoulnprávěkdyždeterminanttétomaticejerůznýodnuly.druháčást: det=2a 2 +2a 4=2(a+2)(a 1),nezávislépro a R \ {1, 2}. Najděte všechny matice X, které vyhovují maticové rovnici AX = B. A= 1 2 1 2, B= 2 3 2 4 1 3 2 0 1 X= 1 2 +t 1 2 1 2 3 0 5 3 2 2 0 0 0 0 0 1 0 3 0 5 0 +u 0 1 0 3 0 5, t,u R
VÝSLEDKY Písemný test z předmětu BI-LIN(19. 4. 2011), varianta T 1.Nechťlineárnízobrazení A:L 1 L 2 mámatici Avzhledemkbázím(B)a(C)amámatici A vzhledemkbázím(b )a(c ).Nechťtyto matice mají m řádků a n sloupců. Pak a)hoda=m n, +b)hoda=hoda, c)def A=m hoda d)diml 1 =def A hoda, e)diml 2 =def A+hodA. 2. Předpokládejme existenci k lineárně nezávislých vektorů lineárního prostoru L. Pak a)diml < k, b)diml k, c)diml=k, +d)diml k, e)diml > k. Definujte kořen a násobnost kořene polynomu. Určetenásobnostkořene α=2propolynom P(x)=x 6 4x 5 +6x 4 8x 3 +9x 2 4x+4 a tento polynom rozložte na součin ireducibilních(dále nerozložitelných) reálných polynomů. Kořenpolynomu pjekomplexníčíslo α,prokteréje p(α)=0.násobnostkořenejenejvětšítakové přirozené k,prokteréje p(x)=(x α) k q(x),kde qjepolynom.druháčást: P(x)=(x 2) 2 (x 2 +1) 2 Pro všechna p R řešte soustavu lineárních rovnic s maticí soustavy A A= 2 1 2 1 4 2 1 7 4 11 p 1 2 1 4 2 0 5 3 7 p 2 0 5 3 7 3 Pro p 5soustavanemářešení,pro p=5jeřešení(1,0, 1,0)+ ( 6, 7,0,5),( 1,3,5,0).
VÝSLEDKY Písemný test z předmětu BI-LIN(19. 4. 2011), varianta U 1.Je-lidefinovánonásobenímatic A Bi B C, pak a)matice AaCspolukomutují, b)matice A, Ba Cjsounutněčtvercové, c)matice A, Ba C musejímítstejnouhodnost, d)matice A B a B C musejíbýtstejného typu, + e)početsloupcůmatice Asenemusírovnat počtu řádků matice C. 2. Vektor u lineárního prostoru L dimenze 2 mávzhledemkuspořádanébázi( b 1, b 2 )souřadnice (α 1,α 2 ). Jeho souřadnice vzhledem k uspořádané bázi ( b 1 +2 b 2, b 2 +2 b 1 ) pak jsou a)(α 1 +2α 2, α 2 +2α 1 ), b) ( (α 1 +2α 2 )/2,(α 2 +2α 1 )/2 ), + c) ( ( α 1 +2α 2 )/3,( α 2 +2α 1 )/3 ), d) ( (α 1 2α 2 )/4,(α 2 2α 1 )/4 ), e)jinénežzdeuvedené. Podle čeho poznáme, že je dané zobrazení lineární? Nechť M je lineární prostor matic typu(2, 2). Ověřte, že A:M M,kterétransponujematici(tj. A(A)=A T ),jelineární.najdětebázijehojádraaurčete jeho defekt. Prozobrazení Amusíplatit A(x+y)=A(x)+A(y)aA(αx)=αA(x).Druháčást:jádroje triviální, defekt je roven 0 Najděte všechny matice X, které vyhovují maticové rovnici AX = B. A= 2 1 1 1 0 2, B= 2 3 1 1 1 3 4 X= 1 1 1 5 1 0 1 3 4 0 1 3 4 5 0 0 0 0 0 +t 2 0 3 0 1 0 +u 0 2 0 3 0 1, t,u R.
VÝSLEDKY Písemný test z předmětu BI-LIN(20. 4. 2011), varianta V 1. Existuje komplexní kořen α polynomu p, pro který platí, že α není kořenem polynomu p. Toto tvrzení platí za předpokladu, že a) polynom p je nulový, b) koeficienty polynomu p jsou celá čísla, c) reálný polynom p nemá koeficienty zapsány pomocí odmocnin, + d) alespoň jeden koeficient polynomu p není reálný, e) p je libovolný polynom. 2. Homogenní soustava lineárních rovnic má matici Asmřádky,ansloupci.Množinuvšech jejích řešení označme U. Platí +a)dimu+hoda=n, b)dimu+hoda=m, c)dimu+hoda=m+n, d)dimu+hoda=n m, e)dimu+hoda=m n. Proč množina matic komutujících s pevně danou čtvercovou maticí tvoří lineární podprostor? Najděte bázi podprostoru všech komutujících matic s maticí ( ) 0 2 A=. 3 0 Označme M množinukomutujícíchmaticsmaticí A.Nechť B,C M,tedy BA=AB a CA=AC.Pak(B+ C)A=BA+CA=AB+ AC= A(B+ C),takže B+ C M Také(αB)A= α(ba)=α(ab)=a(αb),takže αb M.Ztohoplyne,že Mjelineárnípodprostor.Druháčást:báze jenapř. {A,E}. Pro všechna a R řešte soustavu lineárních rovnic s rozšířenou maticí soustavy a 1 2 0 3 a+1 1 3 2 3 determinant(a+7)(a 1),nemářešenípro a= 7.Pro a=1je(0,2,1)+t( 3,5,1)(t R), jinak( 6 a+7, 6 a+7,3a+3 a+7 ).
VÝSLEDKY Písemný test z předmětu BI-LIN(20. 4. 2011), varianta W 1. Předpokládejme polynom p s reálnými koeficientystupně2 14.Tentopolynommávždy a) všechny kořeny reálné, b) aspoň jeden kořen reálný, c) aspoň jeden kořen nulový, d)2 14 vzájemněrůznýchkořenů. + e) kořeny reálné a/nebo po dvou komplexně sdružené. 2.Nechťmatice Ajetypu(n,n).Platí a)det(a+a)=2det A, +b)det(a+a)=2 n det A, c)det(a A T )=0, d)det(a A T )=( 1) n det A, e)det(a T )=( 1) n det A. Definujte lineární obal konečné skupiny vektorů z lineárního prostoru L. Určete,projakouhodnotuparametru p Rležípolynom3x 2 +2x 1uvnitřlineárníhoobalupolynomů: px 2 2x+1,(px) 2 + x+p 1. Postup výpočtu zdůvodněte. x 1, x 2,..., x n ={α 1 x 1 +α 2 x 2 + +α n x n,α i R}.Druháčást: p= 3, p=1/2.přivýpočtu lzemístodanýchpolynomůpracovatsuspořádanýmitrojicemijejichsouřadnicvzhledemkbázi(x 2,x,1), protože zobrazení souřadnic je izomorfismus(pokud jste tak postupovali, je potřeba tuto vlastnost uvést). VektoryvobalujsouLN,takžejdeotozjistit,prokterá p RjsoutřizadanévektoryLZ. Najděte všechny matice X, které vyhovují maticové rovnici AX = B. 2 1 1 A= 1 2 2, B= 0 1 1 3 1 3 4 X= 1 2 +t 1 2 2 1 3 0 5 3 2 7 0 0 0 0 0 4 0 3 0 5 0 +u 0 4 0 3 0 5, t,u R
VÝSLEDKY Písemný test z předmětu BI-LIN(20. 4. 2011), varianta X 1.Předpokládejme kvektorů x 1, x 2,..., x k vlineárnímprostoru Ldimenze n.nechť k > n. Pakvektory x 1, x 2,..., x k a) mohou tvořit bázi lin. prostoru L, b) mohou být lineárně nezávislé, + c)jejichlineárníobalmůžebýtroven L, d) jejich netriviální lineární kombinace je vždy nenulová, e) mají nutně nenulové souřadnice. 2.Nechť A : L 1 L 2,aB : L 2 L 3 jsou lineární zobrazení, diml 1 = diml 3 = 7, dim L 2 =9.Pak a) složené zobrazení B A musí mít hodnost 9, b)složené zobrazení B A musí mít hodnost 7 c)jemožné,že B Amádefektvětšínež9, +d)jemožné,že B Ajeizomorfismus, e)jemožné,že B Anenílineární. Co je rozklad polynomu na ireducibilní(dále nerozložitelné) polynomy? Na součin ireducibilních reálných polynomů rozložte polynom P(x)=x 6 +4x 5 +8x 4 +20x 3 +19x 2 +16x+12. Rozklad polynomu na ireducibilní polynomy je zápis polynomu jako součin polynomů co nejnižšíchstupňů.druháčást: P(x)=(x+1)(x+3)(x 2 +1)(x 2 +4) Pro všechna p R řešte soustavu lineárních rovnic s rozšířenou maticí soustavy 1 1 0 0 0 3 0 0 2 2 0 0 3 7 8 7 1 3 11 p 1 1 0 0 0 0 3 0 2 2 0 0 3 7 8 0 0 3 7 p 4 Pro p 4nemářešení,jinakřešenímje(2/3,2/3, 8/3,0)+ (2,2,7,3).
VÝSLEDKY Písemný test z předmětu BI-LIN(20. 4. 2011), varianta Y 1.Nechť u, v, wjsoulineárněnezávislévektoryv lineárnímprostoru L.Označme M = u, v a N= w.pak a) M Njeprázdnámnožina, +b) M Njejednoprvkovámnožina, c) M N je nekonečný lineární podprostor, d) M Nnenípodprostorlin.prostoru L, e) M Njepodprostorlin.prostoru L. 2.Nechť AjelibovolnáčtvercovámaticeaEje jednotková matice stejného typu. Vyberte tvrzení, které neplatí: a)matice A 2 komutujesmaticí A, b)matice A+Ekomutujesmaticí A, c)matice 1 2A Ekomutujesmaticí A, d)pokudexistujematice A 1,pakkomutuje smaticí A, + e)matice A T komutujesmaticí A. Jak je definována báze B lineárního prostoru L? Zjistěte,zda B 1 = {(2,5,0),(1,6, 2)}aB 2 = {( 1,8, 6),(3,4,2)}jsoubázetéhožpodprostoruprostoruR 3.Jestližeano,najdětesouřadnicevektorůbáze B 1 vzhledemkuspořádanébázi(b 2 ). Báze Blineárníhoprostoru Ljelineárněnezávislámnožina B,prokterouje B =L.Druháčást:Jsou tobázestejnéhopodprostoru.symbolem C( x)jsouzdeoznačenysouřadnicevektoru xvzhledemk(b 2 ). C(2,5,0)=(1/4,3/4), C(1,6, 2)=(1/2,1/2). Najděte všechny matice X, které vyhovují maticové rovnici AX = B. A= 2 1 1 1 2 2, B= 2 4 5 6 1 1 3 3 2 X= 1 2 +t 1 2 2 5 6 0 3 5 8 8 0 0 0 0 0 4 0 5 0 3 0 +u 0 4 0 5 0 3, t,u R.
VÝSLEDKY Písemný test z předmětu BI-LIN(10. 5. 2011), varianta Z 1.Nechť Mjemnožinapětivektorů(zlineárního prostoru L) takových, že žádný není násobkem jinéhovektoruztétomnožiny M.Pak a)dim M =5, b)dim M =4, c)dim M =2, +d)dim M {2,3,4,5}, e)dim M =0. 2.Nechť A jematice,kterávzniknezečtvercové matice A konečně mnoha řádkovými úpravami Gaussovou eliminační metodou. Pak a)existujeregulárnímatice P,že A = A P, b)matice Akomutujesmaticí A, c)matice A jejednotkovámatice, +d)existujeregulárnímatice Q,že A = Q A, e)existujeregulárnímatice P,že A = P A P 1. Jak jsou definovány souřadnice vektoru vzhledem k uspořádané bázi? Vektor xmásouřadnice(3,2,1)vzhledemkbázi ( (1,2,3),(1,3,2),(2,1,0) ).Najdětejehosouřadnice vzhledemkbázi ( (1,1,0),(0,1,1),(2,1,0) ). Souřadnice daného vektoru vzhledem k bázi jsou koeficienty lineární kombinace této báze, která je rovna danému vektoru. x=(7,13,13),másouřadnice( 7,13,7)vzhledemkbázi ( (1,1,0),(0,1,1),(2,1,0) ). Pro všechna p R řešte soustavu homogenních lineárních rovnic s maticí soustavy p2 1 (p 1) p 2 1. 3 2p 1 Determinantsoustavyje7p 3,tj.pro p { 3 7 }másoustavajedinéřešení:(0,0,0).pro p= 3 7 jeřešení (7,21,39).