MATEMATIKA III. π π π. Program - Dvojný integrál. 1. Vypočtěte dvojrozměrné integrály v obdélníku D: ( ), (, ): 0,1, 0,3, (2 4 ), (, ) : 1,3, 1,1,

Podobné dokumenty
2. DVOJROZMĚRNÝ (DVOJNÝ) INTEGRÁL

MATEMATIKA III. Program - Křivkový integrál

10. cvičení z Matematické analýzy 2

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech

Řešení : Těleso T je elementárním oborem integrace vzhledem k rovině (x,y) a proto lze přímo aplikovat Fubiniovu větu pro trojný integrál.

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015)

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

III. Dvojný a trojný integrál

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Veronika Chrastinová, Oto Přibyl

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

[obrázek γ nepotřebujeme, interval t, zřejmý, integrací polynomu a per partes vyjde: (e2 + e) + 2 ln 2. (e ln t = t) ] + y2

Transformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.

Posloupnosti. n2 3n. lim. n4 + 2n. lim. n 1. n + n n. n! (n + 1)! n! lim. n ( 1)n! [1] lim. ln 2 n. lim. n n n sin n2 [0] lim. 2 n.

1. Cvičení: Opakování derivace a integrály

Křivkové integrály prvního druhu Vypočítejte dané křivkové integrály prvního druhu v R 2.

, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1

F n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3.

6. URČITÝ INTEGRÁL Výpočet určitého integrálu Úlohy k samostatnému řešení... 68

Elementární plochy-základní pojmy

12 Trojný integrál - Transformace integrálů

1. Parametrické vyjádření přímky Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky, protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje.

1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v

3.3. ANALYTICKÁ GEOMETRIE KRUŽNICE A KOULE

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

+ 2y y = nf ; x 0. závisí pouze na vzdálenosti bodu (x, y) od počátku, vyhovuje rovnici. y F x x F y = 0. x y. x x + y F. y = F

(0, y) 1.3. Základní pojmy a graf funkce. Nyní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení

18. x x 5 dx subst. t = 2 + x x 1 + e2x x subst. t = e x ln 2 x. x ln 2 x dx 34.

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3

6.3 Momenty setrvačnosti a deviační momenty rovinných obrazců. yda. 1) I y, I z > 0. 2) I y, I z závisí na vzdálenosti plochy od osy II I I I I

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

VIDEOSBÍRKA DERIVACE

Projekt realizovaný na SPŠ Nové Město nad Metují. s finanční podporou v Operačním programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost Královéhradeckého kraje

R β α. Obrázek 1: Zadání - profil složený ze třech elementárních obrazců: 1 - rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník, 2 - čtverec, 3 - kruhová díra

Petr Hasil

y ds, z T = 1 z ds, kde S = S

Maturitní nácvik 2008/09

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK

Šroubovice... 5 Šroubové plochy Stanovte paprsek tak, aby procházel bodem A a po odrazu na rovině ρ procházel bodem

Kinematika tuhého tělesa. Pohyb tělesa v rovině a v prostoru, posuvný a rotační pohyb

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika BA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

1. Dva dlouhé přímé rovnoběžné vodiče vzdálené od sebe 0,75 cm leží kolmo k rovine obrázku 1. Vodičem 1 protéká proud o velikosti 6,5A směrem od nás.

. (x + 1) 2 rostoucí v intervalech (, 1) a. ) a ( 2, + ) ; rostoucí v intervalu ( 7, 2) ; rostoucí v intervalu,

Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3,

ŠROUBOVICE. 1) Šroubový pohyb. 2) Základní pojmy a konstrukce

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze Příjmení a jméno ➊ ➋ ➌ ➍ ➎ ➏

7. Integrál přes n-rozměrný interval

Pracovní listy MONGEOVO PROMÍTÁNÍ

VIDEOSBÍRKA DERIVACE

2. Určte hromadné body, limitu superior a limitu inferior posloupností: 2, b n = n. n n n.

Křivky kolem nás. Webinář. 20. dubna 2016

Syntetická geometrie II

DERIVACE. ln 7. Urči, kdy funkce roste a klesá a dále kdy je konkávní a

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK

Veronika Drobná VB1STI02 Ing. Michalcová Vladimíra, Ph.D.

11. cvičení z Matematické analýzy 2

11. KŘIVKOVÝ INTEGRÁL Křivkový integrál I. druhu Úlohy k samostatnému řešení

III.4. Fubiniova (Fubiniho) věta pro trojný integrál

Plošný integrál funkce

Základní topologické pojmy:

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr

2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. Výsledky pište čitelně do vyznačených bílých polí. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám

A 1. x x. 1.1 V pravoúhlé axonometrii zobrazte průměty bodu A [4, 5, 8].

PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P03 MECHANIKA TUHÝCH TĚLES

Eudoxovy modely. Apollónios (225 př. Kr.) ukázal, že oba přístupy jsou při aplikaci na Slunce ekvivalentní. Deferent, epicykl a excentr

Šroubový pohyb rovnoměrný pohyb složený z posunutí a rotace. Šroubovice dráha hmotného bodu při šroubovém pohybu

WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 2017

Rovnice rovnováhy: ++ =0 x : =0 y : =0 =0,83

Cyklografie. Cyklický průmět bodu

Kapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( )

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <

Rozvinutelné plochy. tvoří jednoparametrickou soustavu rovin a tedy obaluje rozvinutelnou plochu Φ. Necht jsou

Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Matematika 2 (2016/2017)

STEREOMETRIE 9*. 10*. 11*. 12*. 13*

1. Přímka a její části

0 x 12. x 12. strana Mongeovo promítání - polohové úlohy.

Přijímací zkoušky z matematiky pro akademický rok 2018/19 NMgr. studium Učitelství matematiky ZŠ, SŠ

Kulová plocha, koule, množiny bodů

Je-li dána hranolová nebo jehlanová plocha s podstavou v rovině σ a rovina řezu ρ:

Veličiny charakterizující geometrii ploch

1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu

Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

. Určete hodnotu neznámé x tak, aby

Integrace funkcí více proměnných, numerické metody

Takže platí : x > 0 : x y 1 x = x+1 y x+1 x < 0 : x y 1 x = x+1 y x+1 D 1 = {[x,y] E 2 : x < 0, x+1 y 1 x}, D 2 = {[x,y] E 2 : x > 0, 1 x y x+1}.

SBÍRKA n PŘÍKLADŮ Z MATEMATIKY kde n =

1 Veličiny charakterizující geometrii ploch

Transkript:

MATEMATIKA III Program - vojný integrál. Vpočtěte dvojrozměrné integrál v obdélníku : + dd = { < > < > } ( 3), (, ) : 0,, 0,, dd = { < > < > } ( 4 ), (, ) :,3,,, + dd = { < > < > } ( ), (, ):,0,,, + dd= { < > < > } ( ), (, ): 0,, 0,3, dd = { < > < > } ( + ), (, ) : 0,, 0,, e dd = { < > < > }, (, ): 0,ln, 0,, g) dd = { < > < > }, (, ): 0,,,3, π π π cos( + ) dd, = (, ) : <, >, < 0, >, 4 4 4 + + dd = { < > < > } ( 4), (, ) : 0,, 0,, cos( ) dd, = (, ) : < 0, >, < 0, >, π π k) sin( + ) dd, = (, ) : < 0, π >, <, π >, 4 l) = { < > < > } dd ( + ), (, ): 3,4,,,, (, ) : 0,, 0,, 3 ( + + ) m) dd = { < > < > } - -

n) e dd = { < > < > }, (, ): 0,, 0,, o) dd = { < > < > } ( + + ), (, ) : 0,, 0,.. Vpočtěte dvojrozměrné integrál v obdélníku : dd = { < > < > } +, (, ): 0,,,, dd = { < > < > }, (, ) : 0,, 0,, + e dd = { < > < > }, (, ) : 0,, 0,, + dd = { < > < > } ln( ), (, ) : 0,, 0,, π sin dd, = (, ) : <, >, < 0, >, dd, je čtverec o vrcholech (0,0), (,0), (,), (0,), g) dd, je obdélník o vrcholech (0,0), ( a,0), ( ab, ), (0,, 0 < a< b. 3. Vpočtěte dvojrozměrné integrál v oblasti : = = = (5 ) dd, je Δ ABC, A (0,0), B (,0), C (0,), 3 + dd, je dána nerovnicí 4, ( ) dd, je ohraničena přímkami = 0, =, + =, dd, je dána nerovnicemi + 4 4, 0, 0, = = dd, je ohraničena čarami,, - -

dd, je dána nerovnicemi, g) e dd, je ohraničena čarami =, = 0, =, =, e dd, je dána nerovnicemi +, dd, je dána nerovnicemi 3, 4,, ( + ) dd, je dána nerovnicemi,, 0, k) dd, je ohraničena čarami = + sin, = 0, = 0, = π, 3 l) cos( + ) dd, je dána nerovnicemi, 0, π, m) n) o) p) 6 dd, je ohraničena čarami = 0, =, =, π π cos( ) dd, je ohraničena čarami =, =, =, =, 6 dd, je ohraničena čarami =, =, = 8, ( + ) dd, je ohraničena čarami =, = 4, = 0, ( 0), (zvažte pořadí integrac, q) (3 ) dd, : +, r) + dd, je Δ ABC, A = (0,0), B = (,), C = (0,), s) dd, je ohraničena čarami =, = 6, = 0, - 3 -

t) ( ) dd, je ohraničena čarami =, =. 3 4. Vpočtěte dané dvojrozměrné integrál v oblasti transformací do polárních souřadnic: ( 3 ) dd, : +, ( + ) dd, :( 4) + 6, dd, : +, 0, 0, 4 dd, : +, ( + ) e dd, : 0, + 9, dd, : 0, 0, +, + + g) sin + dd, : π + 4 π, dd arctg, : +, 0, 0, + + dd, : + 4, 0,, + dd, :( ) +, 0. 5. Vpočtěte objem tělesa ohraničeného plochami: z = 0, + + z = 6, = 0, 3+ =, + z = 6, + =, =, = 0, z = 0, z = 0, z = +, =, =, = 6, z = 0, z = +, = 0, = 0, + =, =, z = 0, + z =, z = 0, =, =, + + z = 4, g) =, =, z = 0, + z = 6, - 4 -

z = 0, = 0, =, + =, z =, k) z = 0, = ln, = ln, + z = z = 0, =, z = 4, z = 0, = 3, z =, l) z = 0, =, =, z =, m) z = 0, = 0, = 0, + + z 5 = 0, n) z = 0, = 0, = 3, = 0, =, z = 9 +, o) z = 0, = 0, = 0, + = 4, + 8 4z = 0, p) + = 5, + z = 5. 6. Vpočtěte objem tělesa ohraničeného danými plochami užitím transformace do polárních souřadnic: z =,z = 0 ( je průnik tělesa a rovin z = 0), + + z = 4, + = (část vně válc, z = 0, z =, + =, z = 0, + =, z = +, z = 0, + = 0, z =. 7. Vpočtěte obsah rovinné oblasti ohraničené čarami: =, = 5, =, =, =, =, = 8, = 0, = 7, 4+ 7= 0, 4+ 4= 0, = 0, = sin, = cos, 0, =, =, = 4, g) = 0, = 0, + 5 = 0, = 9, = 9 9. - 5 -

8. Transformací do polárních souřadnic (5) vpočtěte obsah oblastí ohraničených křivkami: 3 ( + ) =, 3 4 4 ( + ) = +, ( ) + =, + ( ) =, + = 5, = 0 a tečnou dané kružnice v bodě (,), ρ = cosϕ (kardioid, π π ρ = (kružnic, ρ = sin ϕ, ϕ (část kružnic 4 g) ρ = 4sinϕ (kružnic, ρ = (kružnic. 9. Určete obsah částí ploch: + 6+ 3z = ohraničené rovinami = 0, = 0, z = 0, z z = ohraničené rovinami = 0, = 3, = 0, = 6, = ohraničené rovinami =, =, =, = 4, z = ohraničené válcovou plochou + = 4, + z = ohraničené válcovou plochou + = 3, + z = ohraničené válcovou plochou + = 4, g) z = arctg jednoho závitu šroubové ploch ohraničené válcovou plochou + =, + z = 9 ohraničené rovinami = 0, =, = 3, = 3, z = 4 + 4 ohraničené rovinou = a parabolickou válcovou plochou =, z = ohraničené rovinou z = 0. - 6 -

0. Určete hmotnost oblasti při daném rozložení hustot: je ohraničena přímkami = 0, =, =, =, hustota v bodě P je přímo úměrná druhé mocnině vzdálenosti bodu P od bodu (0,), je ohraničena čarami = 3, = 4, =, hustota je dána funkcí σ =.. Vpočtěte statický moment homogenní rovinné oblasti, je-li σ =, je obdélník o délkách stran a=, b= vzhledem ke straně a, je půlkruh o poloměru r = 4 vzhledem k jeho průměru.. Vpočtěte souřadnice těžiště oblasti, kde σ (, ) =, ohraničené čarami: =, =, =, + =, =, = 4, = 0, π = sin, = 0, =, 4 ρ = + cosϕ. 3. Vpočtěte moment setrvačnosti oblasti, kde σ (, ) =, ohraničené čarami čarami =, = při rotaci kolem os, = +, =, = 0 při rotaci kolem os, stranami Δ ABC, A = (0,), B = (,0), C = (,) při rotaci kolem os, přímkami =, =, = při rotaci kolem os. - 7 -