21. Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic

21. Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic Aplikovaná matematika IV, NMAF074 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2014/15

21.1 Základní termíny Definice Vektor tvaru α = (α 1,...,α m ), kde α j N {0}, j = 1,...,m, nazvu m-dimenzionálním multiindexem výšky (někdy též řádu) α, kde α := α 1 + + α m.

21.1 Základní termíny Definice Vektor tvaru α = (α 1,...,α m ), kde α j N {0}, j = 1,...,m, nazvu m-dimenzionálním multiindexem výšky (někdy též řádu) α, kde Definice α := α 1 + + α m. Pro multiindex α = (α 1,...,α m ) a funkci u C α (Ω), kde Ω R d je neprázdná otevřená množina, definujeme derivaci u dle multiindexu α, v bodě x Ω, D α u(x) := α u(x) x α 1 1... xαm m, x = (x 1,..., x d ) Ω. (1)

Pro k N {0} zavádíme množinu (často se říká "formální vektor") všech parciálních derivací řádu k funkce u C k (Ω), v bodě x Ω, D (k) u(x) := {D α u(x); α = k},

Pro k N {0} zavádíme množinu (často se říká "formální vektor") všech parciálních derivací řádu k funkce u C k (Ω), v bodě x Ω, D (k) u(x) := {D α u(x); α = k}, pro f : G R m R s píšeme podobně jako výše D α f(x) := ( D α f 1 (x),...,d α f s (x) )T,

Pro k N {0} zavádíme množinu (často se říká "formální vektor") všech parciálních derivací řádu k funkce u C k (Ω), v bodě x Ω, D (k) u(x) := {D α u(x); α = k}, pro f : G R m R s píšeme podobně jako výše D α f(x) := ( D α f 1 (x),...,d α f s (x) )T, D (k) f(x) := {D α f(x); α = k}.

Definice Bud te d, n N, d 2. Bud dále Ω R d neprázdná otevřená množina. Parciální diferenciální rovnicí (dále PDR) pro neznámou funkci u : Ω R nazvu výraz tvaru kde F ( x, u(x), Du(x),, D (n 1) u(x), D (n) u(x) ) = 0, (2) je daná funkce. F : Ω R R d R d n 1 R d n R (3)

Definice Bud te d, n N, d 2. Bud dále Ω R d neprázdná otevřená množina. Parciální diferenciální rovnicí (dále PDR) pro neznámou funkci u : Ω R nazvu výraz tvaru kde F ( x, u(x), Du(x),, D (n 1) u(x), D (n) u(x) ) = 0, (2) je daná funkce. Poznámka F : Ω R R d R d n 1 R d n R (3) Řádem rovnice (2) rozumíme řád nejvyšší derivace u, která "se vyskytuje" v (2).

Definice Bud te d, n N, d 2. Bud dále Ω R d neprázdná otevřená množina. Parciální diferenciální rovnicí (dále PDR) pro neznámou funkci u : Ω R nazvu výraz tvaru kde F ( x, u(x), Du(x),, D (n 1) u(x), D (n) u(x) ) = 0, (2) je daná funkce. Poznámka F : Ω R R d R d n 1 R d n R (3) Řádem rovnice (2) rozumíme řád nejvyšší derivace u, která "se vyskytuje" v (2). BÚNO: řád (2) je n.

Definice Bud te s, d, n N, s, d 2. Bud dále Ω R d neprázdná otevřená množina. Systémem s parciálních diferenciálních rovnic pro neznámou vektorovou funkci u : Ω R s nazvu výraz tvaru kde F ( x, u(x), D u(x),, D (n 1) u(x), D (n) u(x) ) = 0, (4) F : Ω R s R sd R sdn 1 R sdn R s (5) je daná funkce.

Poznámka Jedna ze složek proměnné x hraje často význačnou roli tzv. časové proměnné, t. V takové situaci píšeme u = u(x, t), x = (x 1,...,x d ), abychom tuto význačnou časovou proměnnou t oddělili od prostorové proměnné x.

Poznámka Jedna ze složek proměnné x hraje často význačnou roli tzv. časové proměnné, t. V takové situaci píšeme u = u(x, t), x = (x 1,...,x d ), abychom tuto význačnou časovou proměnnou t oddělili od prostorové proměnné x. Někdy však také pro úsporu času ponecháváme časovou proměnnou jako jednu ze složek časoprostorové proměnné x, tedy například u = u(x), x = (x 1,...,x d, t), (t x d+1 ).

Terminologie: Říkáme, že PDR (nebo systém PDR) je stacionární: hledané řešení není závislé na čase;

Terminologie: Říkáme, že PDR (nebo systém PDR) je stacionární: hledané řešení není závislé na čase; nestacionární (evoluční): hledané řešení závisí na čase.

Definice Parciální diferenciální rovnici (dále jen "rovnici") (2) nazveme lineární, lze-li ji psát ve tvaru a α (x)d α u(x) = f(x), x Ω, (6) α n pro dané funkce a α, f. Rovnici (6) nazveme homogenní, pokud f 0. V opačném případě jí říkáme nehomogenní, případně "s pravou stranou". Jsou-li všechny funkce a α konstantní, nazýváme rovnici (6) lineární rovnicí s konstantními koeficienty.

Definice Rovnici (2) nazveme semilineární, lze-li ji psát ve tvaru a α (x)d α u = f, x Ω, (7) α =n pro dané funkce a α, f = f(x, u, Du,..., D (n 1) u).

Definice Rovnici (2) nazveme semilineární, lze-li ji psát ve tvaru a α (x)d α u = f, x Ω, (7) α =n pro dané funkce a α, f = f(x, u, Du,..., D (n 1) u). Rovnici (2) nazveme kvazilineární, lze-li ji psát ve tvaru a α (x, u, Du,..., D (n 1) u)d α u(x) = f, x Ω, α =n pro dané funkce a α, f = f(x, u, Du,..., D (n 1) u). (8)

Definice Rovnici (2) nazveme nelineární, pokud není lineární.

Definice Rovnici (2) nazveme nelineární, pokud není lineární. Rovnici (2) nazveme ryze nelineární, je-li funkce F v (2) nelineární funkcí v některé z proměnných, do kterých dosazujeme nějakou derivací u nejvyššího řádu.

Příklad 1 Bud u = u(x, t), t (0, ), x R d. Potom následující evoluční PDR ( lze charakterizovat ) takto: x 2 + cos u = 0 je lineární (homogenní) u + t x x 2 +1 rovnice 2. řádu, s nekonstantními koeficienty;

Příklad 1 Bud u = u(x, t), t (0, ), x R d. Potom následující evoluční PDR ( lze charakterizovat ) takto: x 2 + cos u = 0 je lineární (homogenní) u + t x x 2 +1 rovnice 2. řádu, s nekonstantními koeficienty; ( u + x 2 + sin ( ) ) u 2 + u 2 u = 0 je nelineární, a t x přitom kvazilineární rovnice 2. řádu;

Příklad 1 Bud u = u(x, t), t (0, ), x R d. Potom následující evoluční PDR ( lze charakterizovat ) takto: x 2 + cos u = 0 je lineární (homogenní) u + t x x 2 +1 rovnice 2. řádu, s nekonstantními koeficienty; ( u + x 2 + sin ( ) ) u 2 + u 2 u = 0 je nelineární, a t x přitom kvazilineární rovnice 2. řádu; u + x 2 u + sin ( ) u 2 + u 2 = 0 je nelineární, a přitom t x semilineární rovnice 2. řádu;

Příklad 1 Bud u = u(x, t), t (0, ), x R d. Potom následující evoluční PDR ( lze charakterizovat ) takto: x 2 + cos u = 0 je lineární (homogenní) u + t x x 2 +1 rovnice 2. řádu, s nekonstantními koeficienty; ( u + x 2 + sin ( ) ) u 2 + u 2 u = 0 je nelineární, a t x přitom kvazilineární rovnice 2. řádu; u + x 2 u + sin ( ) u 2 + u 2 = 0 je nelineární, a přitom t x semilineární rovnice 2. řádu; u t + ( u) 2 = 0 je ryze nelineární rovnice 2. řádu;

Příklad 1 Bud u = u(x, t), t (0, ), x R d. Potom následující evoluční PDR ( lze charakterizovat ) takto: x 2 + cos u = 0 je lineární (homogenní) u + t x x 2 +1 rovnice 2. řádu, s nekonstantními koeficienty; ( u + x 2 + sin ( ) ) u 2 + u 2 u = 0 je nelineární, a t x přitom kvazilineární rovnice 2. řádu; u + x 2 u + sin ( ) u 2 + u 2 = 0 je nelineární, a přitom t x semilineární rovnice 2. řádu; u + ( u) 2 = 0 je ryze nelineární rovnice 2. řádu; t u + d a t j (x, t, u) u x j = f(x, t, u) je nelineární, a přitom j=1 kvazilineární, 1. řádu.

Příklad 2 (Základní lineární PDR) Neznámá funkce u = u(x), x Ω R d : Laplaceova rovnice: u = 0;

Příklad 2 (Základní lineární PDR) Neznámá funkce u = u(x), x Ω R d : Laplaceova rovnice: u = 0; Laplaceova-Poissonova rovnice: u = f(x);

Příklad 2 (Základní lineární PDR) Neznámá funkce u = u(x), x Ω R d : Laplaceova rovnice: u = 0; Laplaceova-Poissonova rovnice: u = f(x); Helmholtzova rovnice: u = λu;

Příklad 2 (Základní lineární PDR) Neznámá funkce u = u(x), x Ω R d : Laplaceova rovnice: u = 0; Laplaceova-Poissonova rovnice: u = f(x); Helmholtzova rovnice: u = λu; Neznámá funkce u = u(x, t), t (0, ), x Ω R d : Rovnice vedení tepla: u t a 2 u = f(x, t); a > 0;

Příklad 2 (Základní lineární PDR) Neznámá funkce u = u(x), x Ω R d : Laplaceova rovnice: u = 0; Laplaceova-Poissonova rovnice: u = f(x); Helmholtzova rovnice: u = λu; Neznámá funkce u = u(x, t), t (0, ), x Ω R d : Rovnice vedení tepla: u t a 2 u = f(x, t); a > 0; Vlnová rovnice: 1 c 2 2 u t 2 u = f(x, t); c > 0;

Příklad 2 (Základní lineární PDR) Neznámá funkce u = u(x), x Ω R d : Laplaceova rovnice: u = 0; Laplaceova-Poissonova rovnice: u = f(x); Helmholtzova rovnice: u = λu; Neznámá funkce u = u(x, t), t (0, ), x Ω R d : Rovnice vedení tepla: u t a 2 u = f(x, t); a > 0; Vlnová rovnice: 1 c 2 2 u t 2 u = f(x, t); c > 0; Rovnice lineárního transportu: u t + a(x, t) u = f(x, t);

Příklad 3 (Některé nelineární PDR) Neznámá funkce u = u(x), x Ω R d : Nelineární Poissonova rovnice: u = f(u);

Příklad 3 (Některé nelineární PDR) Neznámá funkce u = u(x), x Ω R d : Nelineární Poissonova rovnice: u = f(u); ( ) Rovnice minimální plochy: div u = 0; 1+ u 2

Příklad 3 (Některé nelineární PDR) Neznámá funkce u = u(x), x Ω R d : Nelineární Poissonova rovnice: u = f(u); ( ) Rovnice minimální plochy: div u = 0; 1+ u 2 Neznámá funkce u = u(x, t), t (0, ), x Ω R d : Rovnice reakce-difuse: u t a 2 u = f(u); a > 0;

Příklad 3 (Některé nelineární PDR) Neznámá funkce u = u(x), x Ω R d : Nelineární Poissonova rovnice: u = f(u); ( ) Rovnice minimální plochy: div u = 0; 1+ u 2 Neznámá funkce u = u(x, t), t (0, ), x Ω R d : Rovnice reakce-difuse: u t a 2 u = f(u); a > 0; Rovnice porézního média: u t a 2 (u γ ) = 0; a > 0;

Příklad 3 (Některé nelineární PDR) Neznámá funkce u = u(x), x Ω R d : Nelineární Poissonova rovnice: u = f(u); ( ) Rovnice minimální plochy: div u = 0; 1+ u 2 Neznámá funkce u = u(x, t), t (0, ), x Ω R d : Rovnice reakce-difuse: u a 2 u = f(u); a > 0; t Rovnice porézního média: u a 2 (u γ ) = 0; a > 0; t Nelineární vlnová rovnice: 1 2 u div( a( u)) = f(x, t); c > 0; c 2 t 2

21.2 Klasifikace rovnic 2. řádu, převedení na kanonický tvar Uvažujme lineární diferenciální rovnici druhého řádu, s konstantními koeficienty d i,j=1 a ij 2 u + x i x j d j=1 b j u x j + cu = f(x), (9) x Ω (neprázdná otevřená množina), a ij, b j, c R.

21.2 Klasifikace rovnic 2. řádu, převedení na kanonický tvar Uvažujme lineární diferenciální rovnici druhého řádu, s konstantními koeficienty d i,j=1 a ij 2 u + x i x j d j=1 b j u x j + cu = f(x), (9) x Ω (neprázdná otevřená množina), a ij, b j, c R. Uvažujeme-li u C 2 (Ω) je i, j, = 1,...,d, 2 u x i x j = 2 u x j x i lze proto BÚNO předpokládat a ij = a ji i, j, = 1,...,d.

21.2 Klasifikace rovnic 2. řádu, převedení na kanonický tvar Uvažujme lineární diferenciální rovnici druhého řádu, s konstantními koeficienty d i,j=1 a ij 2 u + x i x j d j=1 b j u x j + cu = f(x), (9) x Ω (neprázdná otevřená množina), a ij, b j, c R. Uvažujeme-li u C 2 (Ω) je i, j, = 1,...,d, 2 u x i x j = 2 u x j x i lze proto BÚNO předpokládat a ij = a ji i, j, = 1,...,d. Matice A = (a ij ) d i,j,=1 je proto reálná a symetrická, a tedy diagonalizovatelná (přičemž její vlastní čísla jsou reálná). Proto existují regulární (a ortogonální) matice P a diagonální matice D = diag(γ j ) d j=1 takové, že P A P T = D. (10)

21.2 Klasifikace rovnic 2. řádu, převedení na kanonický tvar (pokrač.) Zavedeme-li nyní novou proměnnou y substitucí y = P x, (11)

21.2 Klasifikace rovnic 2. řádu, převedení na kanonický tvar (pokrač.) Zavedeme-li nyní novou proměnnou y substitucí přejde (9) v d j=1 2 u γ j + yj 2 y = P x, (11) d j=1 β j u y j + αu = f(y), (12)

21.2 Klasifikace rovnic 2. řádu, převedení na kanonický tvar (pokrač.) Zavedeme-li nyní novou proměnnou y substitucí přejde (9) v d j=1 2 u γ j + yj 2 y = P x, (11) d j=1 β j u y j + αu = f(y), (12) přičemž podle zákona setrvačnosti kvadratických forem je počet prvků γ j na diagonále matice D, které jsou rovny nule, resp. kladné, resp. záporné, invariantní, tedy nezávisí (až na pořadí) na konkrétní transformaci (11). Rozložení znamének prvků γ j na diagonále matice D tedy určuje typ studované rovnice. Tvar (12) nazýváme kanonickým tvarem rovnice (9).

21.2 Klasifikace rovnic 2. řádu, převedení na kanonický tvar (pokrač.) Definice (Klasifikace diferenciálních rovnic druhého řádu) Bud matice D = diag(γ j ) d j=1 jako výše a N počet nenulových γ j. Řekneme, že rovnice (9) je: 1 eliptická, jestliže N = d a znaménka všech prvků matice D jsou stejná. Typickým zástupcem je Poissonova rovnice: u = f.

21.2 Klasifikace rovnic 2. řádu, převedení na kanonický tvar (pokrač.) Definice (Klasifikace diferenciálních rovnic druhého řádu) Bud matice D = diag(γ j ) d j=1 jako výše a N počet nenulových γ j. Řekneme, že rovnice (9) je: 1 eliptická, jestliže N = d a znaménka všech prvků matice D jsou stejná. Typickým zástupcem je Poissonova rovnice: u = f. 2 hyperbolická, jestliže N = d a všechna znaménka prvků D jsou stejná až na jedno. Typickým zástupcem je vlnová rovnice: 2 u t 2 u = f.

21.2 Klasifikace rovnic 2. řádu, převedení na kanonický tvar (pokrač.) Definice (Klasifikace diferenciálních rovnic druhého řádu) Bud matice D = diag(γ j ) d j=1 jako výše a N počet nenulových γ j. Řekneme, že rovnice (9) je: 1 eliptická, jestliže N = d a znaménka všech prvků matice D jsou stejná. Typickým zástupcem je Poissonova rovnice: u = f. 2 hyperbolická, jestliže N = d a všechna znaménka prvků D jsou stejná až na jedno. Typickým zástupcem je vlnová rovnice: 2 u u = f. t 2 3 parabolická, jestliže je N = d 1, (BÚNO γ d = 0), všechna znaménka nenulových prvků D jsou stejná a koeficient rovnice (9) u u x d je nenulový a má znaménko opačné. Typickým zástupcem je rovnice vedení tepla: u u = f. t

21.2 Klasifikace rovnic 2. řádu, převedení na kanonický tvar (pokrač.) Poznámka Pro úplnost doplňujeme někdy výše zmíněnou klasifikaci i o následující dva typy rovnic (pak jsou všechny rovnice druhého řádu klasifikovány): Řekneme, že rovnice (9) je: parabolická v širším slova smyslu, jestliže N d 1.

21.2 Klasifikace rovnic 2. řádu, převedení na kanonický tvar (pokrač.) Poznámka Pro úplnost doplňujeme někdy výše zmíněnou klasifikaci i o následující dva typy rovnic (pak jsou všechny rovnice druhého řádu klasifikovány): Řekneme, že rovnice (9) je: parabolická v širším slova smyslu, jestliže N d 1. ultrahyperbolická, jestliže N = d a alespoň dvě znaménka prvků D jsou kladná a alespoň dvě záporná.

21.2 Klasifikace rovnic 2. řádu, převedení na kanonický tvar (pokrač.) Poznámka Pro úplnost doplňujeme někdy výše zmíněnou klasifikaci i o následující dva typy rovnic (pak jsou všechny rovnice druhého řádu klasifikovány): Řekneme, že rovnice (9) je: parabolická v širším slova smyslu, jestliže N d 1. ultrahyperbolická, jestliže N = d a alespoň dvě znaménka prvků D jsou kladná a alespoň dvě záporná. Poznámka Transformační matici P lze volit tak, aby na diagonále matice D byla pouze čísla {0, 1, 1}. Matici P pak již nelze nalézt ortogonální, bude pouze regulární.

21.2 Klasifikace rovnic 2. řádu, převedení na kanonický tvar (pokrač.) Cvičení Ukažte: bud au xx + bu xy + cu yy + αu x + βu y + γu = f (13) lineární rovnice s konstantními koeficienty v R 2, pro kterou je alespoň jedno z čísel a, b, c, nenulové.

21.2 Klasifikace rovnic 2. řádu, převedení na kanonický tvar (pokrač.) Cvičení Ukažte: bud au xx + bu xy + cu yy + αu x + βu y + γu = f (13) lineární rovnice s konstantními koeficienty v R 2, pro kterou je alespoň jedno z čísel a, b, c, nenulové. Potom je rovnice (13) eliptická b 2 4ac < 0; parabolická (v širším slova smyslu) b 2 4ac = 0; hyperbolická b 2 4ac > 0.

21.2 Klasifikace rovnic 2. řádu, převedení na kanonický tvar (pokrač.) Poznámka Existují také transformace, které z rovnice (12) umějí odstranit některé členy nižšího řádu. Pomocí těchto postupů (včetně vytvoření čísel 1, 1, 0 na diagonále) se lze vždy pomocí sady transformací dopracovat k následujícímu typickému představiteli jednotlivých základních typů rovnic druhého řádu:

21.2 Klasifikace rovnic 2. řádu, převedení na kanonický tvar (pokrač.) Poznámka Existují také transformace, které z rovnice (12) umějí odstranit některé členy nižšího řádu. Pomocí těchto postupů (včetně vytvoření čísel 1, 1, 0 na diagonále) se lze vždy pomocí sady transformací dopracovat k následujícímu typickému představiteli jednotlivých základních typů rovnic druhého řádu: Eliptický případ: u + ku = f ;

21.2 Klasifikace rovnic 2. řádu, převedení na kanonický tvar (pokrač.) Poznámka Existují také transformace, které z rovnice (12) umějí odstranit některé členy nižšího řádu. Pomocí těchto postupů (včetně vytvoření čísel 1, 1, 0 na diagonále) se lze vždy pomocí sady transformací dopracovat k následujícímu typickému představiteli jednotlivých základních typů rovnic druhého řádu: Eliptický případ: u + ku = f ; Hyperbolický případ: 2 u t 2 u + ku = f ;

21.2 Klasifikace rovnic 2. řádu, převedení na kanonický tvar (pokrač.) Poznámka Existují také transformace, které z rovnice (12) umějí odstranit některé členy nižšího řádu. Pomocí těchto postupů (včetně vytvoření čísel 1, 1, 0 na diagonále) se lze vždy pomocí sady transformací dopracovat k následujícímu typickému představiteli jednotlivých základních typů rovnic druhého řádu: Eliptický případ: u + ku = f ; Hyperbolický případ: 2 u t 2 u + ku = f ; Parabolický případ: u t u = f.

21.2 Klasifikace rovnic 2. řádu, převedení na kanonický tvar (pokrač.) Poznámka Existují také transformace, které z rovnice (12) umějí odstranit některé členy nižšího řádu. Pomocí těchto postupů (včetně vytvoření čísel 1, 1, 0 na diagonále) se lze vždy pomocí sady transformací dopracovat k následujícímu typickému představiteli jednotlivých základních typů rovnic druhého řádu: Eliptický případ: u + ku = f ; Hyperbolický případ: 2 u t 2 u + ku = f ; Parabolický případ: u t u = f. V eliptickém a hyperbolickém případě nelze obecně zaručit, že k = 0. Nelze tedy například převést Helmholtzovu rovnici na rovnici Laplaceovu a naopak.