/ 9 GONIOMETRIE ) Doplň tabulk hodnot: α ( ) 0 0 5 60 90 0 5 50 80 α (ra sin α cos α tg α cotg α α ( ) 0 5 0 70 00 5 0 60 α (ra sin α cos α tg α cotg α ) Doplň, zda je daná funkce v daném kvadrantu kladná, či záporná:
Goniometrie / 9 ) Přiřaďte ke grafům správné přepis funkcí: = sin, = sin, = sin, = sin(-), = sin(+), = 0,5sin, = sin0,5, = sin +.
Goniometrie / 9 ) Přiřaďte ke grafům správné přepis funkcí: 5) Napište správné přepis funkcí určených grafick: =..
Goniometrie / 9 =.. =.. =.. e) =.. =.. f) g) =.. h) =.. i) =..
Goniometrie 5 / 9 Základní vlastnosti: sin + cos =, tg cotg =, sin tg =, cos cotg = cos sin Součtové vzorce: sin( ± ) = sin cos ± cos sin cos( ± ) = cos cos m sin sin sin + sin = sin sin sin = cos cos + cos = cos + + cos cos = sin + cos sin + cos sin Dvojnásobný úhel: sin = sin cos cos = cos sin 6) Vpočti hodnot všech goniometrických funkcí úhlu α, je-li 5 sin α = < α < 7 tg α = - < α < 8 5 8 cosα =, tg α = -, cot g α = 7 8 5 5 5 sin α =, tg α =, cot g α = 5 cos α = 0 < α < 5 cotg α = - < α < 8 cotg α = -, sinα =, cosα = 5 5 8 8 5 tg α = -, sinα =, cosα = 5 7 7 7) Pomocí součtových vzorců dokažte, že platí: cos ( ) = sin sin ( ) = cos sin ( ) sin ( + ) = sin - cos 77 + cos 97 = - sin 8 e) - sin 8 - sin 0 = cos 8
Goniometrie 6 / 9 8) Zjednodušte předpis daných funkcí, určete definiční obor a načrtněte graf: = cos( ) cos( + ) 6 6 = sin( + ) sin( ) + = sinα + sin( α + ) + sin( α ) sin α + cos α = + cos α e) = + cot g + tg sinα cos α f) = cosα sin α sin sin g) = tg cos cos h) = i) = cos + sin + cos + sin sin( + α) cos( + α) sin( + α) + cos( + α) Řešení (pro všechna uvedená řešení platí k Z): = sin ; D=R = ; = sin + ; D=R = 0; D=R D=R- + k g) = -; D=R- k e) = -cos ; D=R- k f) = -tg α; 5 D=R- + k ; + k; + k 6 6 h) = tg ; D=R- + k ; + k i) = tg α; D=R- + k
Goniometrie 7 / 9 Řešené příklad: Goniometrická rovnice: cos - cos - sin - = 0 cos - cos ( - cos ) - = 0 cos - cos - = 0 a - a - = 0 zavedeme substituci cos = a pomocí diskriminantu vpočtem kořen a vrátíme se k substituci a = - 0,5 cos = -0,5 = + k ; = + k; k Z a =,5 cos =,5 nemá řešení! Goniometrická rovnice: sin = sin sin - sin = 0 převedeme na jednu stranu a vtkneme sin = 0 sin ( sin - ) = 0 součin je roven nule, kdž alespoň jeden činitel je roven nule = 0 + k ; k Z sin - sin = = + k ; = + k ; k Z Goniometrická rovnice: ( + tg ) = rovnici vdělíme ( + tg ) = zavedeme substituci a = + k tg a = - a = + k + = + k = + Goniometrická nerovnice: sin 0, 5 Řešíme pomocí grafu nebo jednotkové kružnice. Z obrázku určíme hledané 5 řešení + k ; + k. 6 6 0,5 0 6 5 6 -
Goniometrie 8 / 9 9) K jednotlivým rovnicím přiřaďte jejich správné řešení, které řešení přebývá? cos ( ) = 5 5 5 tg + tg + = 0 cos sin = 0 8 cos = cot g e) sin = cos f) sin + sin sin = g) sin = (cos sin ) h) sin cos = 0, 5 D I A G e) C f) F g) H h) E A. B. C. D. E. F. G. H. I. k, + k, + k 5 + k, + k 6 + k, + k, + k 8 8 + k 6 + k, + k + k, + k, + k 7 + k, + k, + k 8 8 6 5 + k, + k 5 + k, + k 6 0) Najděte všechna řešení v intervalu 0, 5 sin + cos + cos = 0 + cos = 5sin (sin + cos ) = 0, 5 sin + cos. tg = tg e) sin = tg f) tg + tg = + tg g) cos + cos = sin h) tg + sin = 0 e) 5 6 e) 0,,,, f) 6 6 7, 6 6 5 7,,, 7 9,,, g),,, h) 5 7,,, 5 7,,,
Goniometrie 9 / 9 ) Najděte všechna řešení v intervalu 0, cos sin < e) tg 0 f) cot g < sin >, cos < g) sin sin + h) cos > sin 5 0; ; 5 7 ; 5 5 e) ; ; f) ; ; ( 0; ) ( ; ) 5 g) ; h) 0 ; ; ) Řešte goniometrické nerovnice a přiřaďte správné výsledk sin < tg < cot g < sin( ) e) sin 7sin + > 0 f) tg + cot g < g) sin + 7 cos 5 < 0 h) cos sin + cos < 0 A. B. k ; + k ) + k; + k ) B E D G e) H f) A g) F h) C 5 C. + k ; + k + k D. + k; + k k k E. + ; + 6 5 F. + k ; + k 5 G. + + k ; + + k 6 5 6 H. k; + k ) + k ; + k )