10. cvičení z Matematické analýzy 2

Podobné dokumenty
11. cvičení z Matematické analýzy 2

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,

11. cvičení z Matematické analýzy 2

1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v

MATEMATIKA III. π π π. Program - Dvojný integrál. 1. Vypočtěte dvojrozměrné integrály v obdélníku D: ( ), (, ): 0,1, 0,3, (2 4 ), (, ) : 1,3, 1,1,

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2

PŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE

y ds, z T = 1 z ds, kde S = S

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

ˇ EDNA SˇKA 9 DALS ˇ I METODY INTEGRACE

2. DVOJROZMĚRNÝ (DVOJNÝ) INTEGRÁL

11. cvičení z Matematiky 2

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1

12 Trojný integrál - Transformace integrálů

Veronika Chrastinová, Oto Přibyl

Řešení : Těleso T je elementárním oborem integrace vzhledem k rovině (x,y) a proto lze přímo aplikovat Fubiniovu větu pro trojný integrál.

R β α. Obrázek 1: Zadání - profil složený ze třech elementárních obrazců: 1 - rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník, 2 - čtverec, 3 - kruhová díra

Plošný integrál funkce

1. Cvičení: Opakování derivace a integrály

, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

VKM/IM /2015. Zintegrujte. f (x, y) dx dy = f (x, y) = (y x) 2, Ω : x 2 + y 2 4, x 0.

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015)

14. cvičení z Matematické analýzy 2

Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1,

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

je omezena + =,,0 1 je omezena,0 2,0 2,0 je horní polovina koule + + je omezena + =1, + + =3, =0

[obrázek γ nepotřebujeme, interval t, zřejmý, integrací polynomu a per partes vyjde: (e2 + e) + 2 ln 2. (e ln t = t) ] + y2

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

III.4. Fubiniova (Fubiniho) věta pro trojný integrál

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

7. Integrál přes n-rozměrný interval

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3

14. cvičení z Matematické analýzy 2

PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU

6. a 7. března Úloha 1.1. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 1 x 2 a osou x.

III. Dvojný a trojný integrál

Integrace funkcí více proměnných, numerické metody

Kapitola 8: Dvojný integrál 1/26

PRUŽNOST A PEVNOST 2 V PŘÍKLADECH

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2

Transformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.

Pedagogická fakulta. Aplikovaná matematika - sbírka řešených

F n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3.

MATEMATIKA III. Program - Křivkový integrál

18. x x 5 dx subst. t = 2 + x x 1 + e2x x subst. t = e x ln 2 x. x ln 2 x dx 34.

13. cvičení z Matematické analýzy 2

= 0,1 1,3. je oblast ohraničená přímkami =, =, =0 :0 1, : =2, =, =1

(0, y) 1.3. Základní pojmy a graf funkce. Nyní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení

2. Určte hromadné body, limitu superior a limitu inferior posloupností: 2, b n = n. n n n.

+ 2y y = nf ; x 0. závisí pouze na vzdálenosti bodu (x, y) od počátku, vyhovuje rovnici. y F x x F y = 0. x y. x x + y F. y = F

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32

MFT - Matamatika a fyzika pro techniky

Posloupnosti. n2 3n. lim. n4 + 2n. lim. n 1. n + n n. n! (n + 1)! n! lim. n ( 1)n! [1] lim. ln 2 n. lim. n n n sin n2 [0] lim. 2 n.

Kapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které

37. PARABOLA V ANALYTICKÉ GEOMETRII

ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy a postupy: Spojité rozložení náboje

Křivkové integrály prvního druhu Vypočítejte dané křivkové integrály prvního druhu v R 2.

KLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny.

Příklady z teoretické mechaniky pro domácí počítání

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium Studijní program Fyzika obor Učitelství fyziky matematiky pro střední školy

Matematická analýza III.

METODICKÝ NÁVOD MODULU

1 Veličiny charakterizující geometrii ploch

Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky

Kapitola List v prostoru R 3 a jeho parametrizace

V. Riemannův(dvojný) integrál

3.3. ANALYTICKÁ GEOMETRIE KRUŽNICE A KOULE

Nalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 1 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)

Úvodní informace. 17. února 2018

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI

Parametrické rovnice křivky

7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí

Matematika III 5. přednáška Lineární programování, integrace funkcí více proměnných

INTEGRÁLY S PARAMETREM

Jiří Cajthaml. ČVUT v Praze, katedra geomatiky. zimní semestr 2014/2015

Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce

Skalární a vektorový popis silového pole

1.13 Klasifikace kvadrik

WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 2017

Zavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce.

KŘIVKOVÝ INTEGRÁL V SYSTÉMU MAPLE

Momenty setrvačnosti a deviační momenty

(3) vnitřek čtyřúhelníka tvořeného body [0, 0], [2, 4], [4, 0] a [3, 3]. (2) těleso ohraničené rovinami x = 1, y = 0 z = x a z = y

II. 5. Aplikace integrálního počtu

ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy a postupy: Gaussův zákon

Cyklografie. Cyklický průmět bodu

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.

Základní topologické pojmy:

4 Příklady Fraunhoferových difrakčních jevů

15 Fourierova transformace v hypersférických souřadnicích

f x = f y j i y j x i y = f(x), y = f(y),

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod,

Transkript:

. cvičení z Matematické analýzy 3. - 7. prosince 8. (dvojný integrál - Fubiniho věta Vhodným způsobem integrace spočítejte daný integrál a načrtněte oblast integrace (a (b (c y ds, kde : y & y 4. e ma{,y } d dy, kde, R. e y ds, kde oblast je omezená přímkami y, y a y. (a Oblast je vnitřní část paraboly y (obrácené v směru osy, která je oříznutá šikmo přímkou y 4. Zintegrujeme postupně nejdříve podle (tj. rozřežeme vodorovně a pak podle y. K tomu potřebujeme zjistit rozsah proměnné y (tj. průmět oblasti na osu y, neboli průniky hyperboly s přímkou: Množinu tedy zapíšeme jako y y 4 y (y + 4 y y 8 (y 4(y + Takže máme y ds 4 y+4 y : y 4 & y y + 4 y d dy 4 ( y y + 4 y dy 4 y 3 + 4y y4 dy [ y 4 4 + 4 y3 3 y5 ] 4 64 + 56 3 5 5 4 + 3 3 6 5 6 + 88 3 58 5 5 + 5.

(b Zjistíme si hodnoty funkce na množině : { e ma{,y } e pro y, e y pro y. Množinu si tedy rozdělíme na příslušné dvě části (trojúhelníky : y a pak máme e ma{,y } d dy e dy d + : y y ] [e e y d dy + e d dy + ] y [e y y e d + e. e y d dy ye y dy (c Oblast je trojúhelník s vrcholy (,, (, a (,. Na první pohled je jednodušší zkusit integrovat nejdříve podle. : y & y y e y ds y y e y d dy [ ] y ye y dy y y ( e e dy ( e e. Poznámka: Vyšetříme si ještě pro pořádek chování f na v bodě (,. Protože pro (, y máme y y a < y, tak y a tedy e e y e. Funkce f je proto na omezená a spojitá a integrál tedy eistuje a je konečný.. (oblast zadaná v polárních souřadnicích Křivka (zadaná pomocí polárních souřadnic je tvaru ϱ +sin ϕ, ϕ,. Načrtněte danou křivku v polárních i kartézských souřadnicích a určete velikost plochy, kterou křivka (v kartézských souřadnicích! ohraničuje. V polárních souřadnicích je oblast dána jako : ϕ & r + sin ϕ položíme tedy : Φ(. Hraniční křivka této plochy se nazývá kardioida. Použitím věty o substituci dostaneme pro velikost plochy (v kartézských souřadnicích!, že ds r dr dϕ DΦ( Page

( +sin ϕ [ r r dr dϕ ] r+sin ϕ r dϕ ( + sin ϕ dϕ (sin ϕ + sin ϕ + dϕ + 3. Trik k výpočtu integrálu: sin ϕ dϕ cos ϕ dϕ a současně (cos ϕ + sin ϕ dϕ dϕ tedy sin ϕ dϕ..3 (vyjádření oblasti v polárních souřadnicích Vyjádřete integrál f(, y d dy v polárních souřadnicích v pořadí dϱ dϕ pro oblast, která je plochou trojúhelníka s vrcholy (,, (, a (,. V oblast je ohraničena přímkami, y a + y a dá se popsat také jako : & y Její parametrizace v polárních souřadnicích je dána jako : ϕ 4 takže přepis integrálu je následující & cos ϕ ϱ cos ϕ + sin ϕ f(, y d dy /4 cos ϕ+sin ϕ cos ϕ ϱ f(ϱ cos ϕ, ϱ sin ϕ dϱ dϕ..4 (polární souřadnice Použitím polárních souřadnic spočítejte integrály (a dy d + y Page 3

(b arctan y dy d, (a Oblast integrace je : & y což je kruhová výseč, jejíž parametrizace Ψ( ve sférických souřadnicích Ψ : r cos ϕ y r sin ϕ je tvaru : r & 4 ϕ. Jakobián je det Ψ r takže máme 4 + y dy d Ψ( r cos ϕ dr dϕ r dr + y ds 4 r cos ϕ dr dϕ ( cos ϕ dϕ. Poznámka: Použili jsme vztah X Y pro integrabilní funkce f : X R a g : Y R. ( f(g(y dv X ( f( d Y g(y dy (b Oblast integrace je : & y což je čtvrtina kruhu, jejíž parametrizace Ψ( ve sférických souřadnicích Ψ : r cos ϕ y r sin ϕ je tvaru Máme : r & ϕ. arctan y dy d Ψ( r ϕ dr dϕ arctan y ds r dr r ϕ dr dϕ ϕ dϕ 6. Page 4

.5 (polární souřadnice Použitím polárních souřadnic spočítejte integrály (a (b 4 dy d, + y y dy d, + y (c 4 y y + d dy. + y Vzhledem ke tvaru množiny i funkce zde budeme používat transformaci pomocí polárních souřadnic Φ : r cos ϕ y r sin ϕ jejíž jakobián je det Φ r. (a Oblast integrace je : & y což je trojúhelník, jehož parametrizace Φ( pomocí polárních souřadnic Φ (po dosazení do nerovnosti pro a úpravě, ale hlavně pomocí náčrtku je tvaru : ϕ 4 & r cos ϕ. takže máme + y dy d Φ( + y ds cos ϕ dr dϕ 4 cos ϕ cos ϕ dr dϕ 4 dϕ 4. (b Oblast integrace je : & y 4 což je půlkruh o poloměru v horní polorovině a se středem v počátku, jehož parametrizace Φ( pomocí polárních souřadnic Φ je tvaru : ϕ & r. Page 5

takže máme 4 y + y dy d Φ( y + y ds r dr cos ϕ dϕ. } {{ } r (cos ϕ sin ϕ dr dϕ }{{} cos ϕ (c Oblast integrace je : y & y 4 y což je kruhová výseč, jejíž parametrizace Φ( pomocí polárních souřadnic Φ je tvaru takže máme 4 y y + + y : r & ϕ 4. d dy r + r dr 4 Φ( + + y ds [ ln( + r dϕ ] r r r dr dϕ + r 4 4 ln 5..6 (cylindrické souřadnice rčete těžiště a moment setrvačnosti vzhledem k ose symetrie pro homogenní kužel s výškou H >, poloměrem podstavy R > a hustotou σ(, y, z. Kužel : z H & + y R H z, tentokrát pro změnu zintegrujeme tak, že ho nejdříve rozřežeme horizontálně na kruhy a ty pak zintegrujeme v závislosti na výšce. Využijeme známý vzorec na obsah kruhu o daném poloměru. hmotnost: m dv H ( ddy dz +y R H z H ( R H z dz 3 R H Protože těleso je rotačně symetrické podle osy z, budou -ová i y-ová souřadnice těžiště obě nulové. Page 6

Zbývá tedy spočítat z-ovou souřadnici těžiště: T 3 m z dv m H ( z ddy dz m +y R H z H ( R H z z dz m 4 R H 3 4 H. Z postupu je vidět, že při integraci záleží pouze na ploše horizontálních řezu (přesněji na závislostí plochy na výšce a tedy stejný výsledek (těžiště je ve čtvrtině výšky nad podstavou dostaneme pro kužel s jakýmkoliv tvarem podstavy (např. pyramidu atd.. Moment setrvačnosti M 3 (vůči 3. ose souřadnic: Integrujeme čtverec vzdálenosti každého bodu (, y tělesa od osy z, tedy funkci f(, y + y. Použijeme tentokrát cylindrické souřadnice Φ : r cos ϕ y r sin ϕ z h Jako parametrizaci si vezmeme : h H & r R H h & ϕ. M 3 ( + y dv r r dr dϕ dh H 4 Φ( ( 4 R H h dϕ dh H h 4 dh R 4 H R H h r 3 dr dϕ dh 4H 4 dϕ H5 5 R4 4H 4 R4 H..7 (sférické souřadnice Vypočtěte kde : + y + z. + y + (z dv, Věta o substituci má analogický tvar a podmínky (pouze zanedbatelné množiny nyní zahrnují i plochy, roviny atd.: f dv (f Φ det Φ dv. Φ( Použijeme sférické souřadnice: Ψ :, +,, R 3, kde Ψ : (r sin ϑ cos ϕ y (r sin ϑ sin ϕ z r cos ϑ. Page 7

Poznámka: Sférické souřadnice jsou složením dvou (upravených cylindrických souřadnic a sice: takže pro determinant máme Φ : r r sin ϑ ϕ ϕ z r cos ϑ Ψ Φ Φ, Φ : r cos ϕ y r sin ϕ z z det Ψ det(φ Φ det(φ r Φ r (r sin ϑ r r sin ϑ. Zvolíme si parametrizaci koule Ψ( jako Takže můžeme psát : r & ϕ & ϑ. + y + z 4z + 4 dv r sin ϑ r 4r cos ϑ + 4 dv Ψ( [ r r sin ϑ r 4r cos ϑ + 4 dϕ dϑ dr r 4r cos ϑ + 4 ] ϑ ϑ ( r r + r dr dr r sin ϑ r 4r cos ϑ + 4 dϑ dr r( r + 4r + 4 r 4r + 4 dr ( r r + ( r dr r dr 3..8 (sférické souřadnice Spočítejte e ( +y +z dv kde je oblast mezi sférami se středy v počátku a poloměry a. Pro oblast použijeme sférické souřadnice Ψ : (r sin ϑ cos ϕ y (r sin ϑ sin ϕ z r cos ϑ a parametrizace Ψ( pak bude : r & ϕ & ϑ. Pro jakobián máme det Ψ r sin ϑ Page 8

a můžeme tedy psát Ψ( e ( +y +z dv r sin ϑ cos ϕ e r4 r sin ϑ dr dϕ dϑ r 3 e r4 dr cos ϕ dϕ } {{ } sin ϑ dϑ. Page 9