Předpoklady: a, b spojité na intervalu I.

Diferenciální rovnice Obyčejná diferenciální rovnice řádu n: F t, x, x, x,, x n Řešení na intervalu I: funce x : I R taová, že pro aždé t I je F t, xt, x t,, x n t Maximální řešení: neexistuje řešení na větším intervalu Cauchyova úloha: navíc počáteční podmíny xt x,, x t x,, x n t x,n Cauchyova úloha je jednoznačně řešitelná, jestliže aždá dvě řešení splývají na něterém oolí t Věta Je-li f spojitá funce na I J I, J otevřené intervaly, t I, x J, pa Cauchyova úloha x ft, x, xt x má řešení na intervalu I I Je-li navíc f y loálně omezená na I J, pa je Cauchyova úloha jednoznačně řešitelná Lineární diferenciální rovnice řádu x at x + bt Předpolady: a, b spojité na intervalu I Cauchyova úloha má pa právě jedno řešení na I Přidružená homogenní rovnice: x at x Obecné řešení: xt xt + ˆxt, de x je obecné řešení přidružené homogenní rovnice a ˆx je jedno partiulární řešení původní rovnice Řešíme separací proměnných: Homogenní LDR řádu x at x xt c e At, t I, c R, A je primitivní funce a Poznámy ft, x gt hx: stačí spojitost g, h, h ft, x gt x + ht: stačí spojitost g, h Separovatelné diferenciální rovnice řádu x gt hx Předpolady: g spojitá na intervalu I, h spojitá na intervalu J hx xt x, t I je stacionární řešení hx x t gt h xt x t h xt dt gt dt dx hx gt dt + c Dopočítat c nebo xt x xt Cauchyova úloha du t hu gu du t Obecný postup: Maximální intervaly spojitosti g I Stacionární řešení xt x, t I pro hx 3 Maximální intervaly spojitosti a nenulovosti h J 4 Pro t, x I J, existuje řešení uvnitř I J Nehomogenní LDR řádu x at x + bt Metoda variace onstanty: hledáme partiulární řešení ve tvaru obecného řešení přidružené homogenní rovnice, ve terém onstantu nahradíme funcí ˆxt ct e At Dosadíme do rovnice a spočítáme ct: c t e At + ct e At at at ct e At + bt c t bt e At ct bt e At ˆxt e At bt e At Cauchyova úloha pro LDR řádu x at x + bt xt x Obecné řešení přidružené homogenní rovnice separací proměnných Partiulární řešení metodou variace onstanty, obecné řešení dané LDR 3 Určení onstanty dosazením počáteční podmíny

Lineární diferenciální rovnice x n + a n t x n + + a t x + a t x bt Předpolady: a n,, a, b spojité na intervalu I t Věta Cauchyova úloha má právě jedno řešení na I Homogenní LDR bt na I Věta Množina řešení homogenní LDR řádu n tvoří lineární prostor dimenze n Její bázi nazýváme fundamentální systém Důaz D : x x n +a n x n + +a x +a je lineární zobrazení, množina řešení je jeho jádro, tj lineární prostor xt x t x n t řešení C úlohy x t x t x n t x, x, x,n n i x,ix i t lineární obal {x t,, x n t} je celý prostor řešení LDR s onstantními oeficienty a n x n + a n x n + + a x + a x bt Předpolady: a n, b je spojitá na intervalu Homogenní LDR s onstantními oeficienty Charateristicá rovnice: a n λ n + a n λ n + + a λ + a Věta Je-li λ reálný ořen charateristicé rovnice násobnosti, pa funce e λt, t e λt,, t e λt jsou řešením příslušné homogenní LDR Jsou-li α ± β j α, β R imaginární ořeny charateristicé rovnice násobnosti, pa funce e αt cos βt, t e αt cos βt,, t e αt cos βt, e αt sin βt, t e αt sin βt,, t e αt sin βt, jsou řešením příslušné homogenní LDR 3 Všechna tato řešení tvoří fundamentální systém řešení A x t + + A n x n t tt A : A x t + + A n x n t tt A funce x t,, x n t jsou lineárně nezávislé Věta Nechť x t, x t,, x n t jsou řešení jedné homogenní LDR řádu n na intervalu I Tyto funce jsou lineárně nezávislé na I právě tehdy, dyž pro aždé t I je následující determinant Wronsého, Wronsián nenulový: x t x t x n t x t x t x nt x n t x n t x n n t Důaz Jsou-li funce závislé, pa něterá x i je lineární ombinací ostatních, x i je stejnou ombinací derivací ostatních, i-tý sloupec determinantu je ombinací ostatních, tj determinant je nulový pro aždé t I Je-li determinant nulový v t, pa homogenní soustava rovnic s touto maticí má netriviální řešení A,, A n, A x t + + A n x n t je řešení s nulovými počátečními podmínami v t, tj nulové, tj dané funce jsou závislé Poznáma jedné LDR Věta neplatí, poud funce nejsou řešením Nehomogenní LDR Věta Je-li x řešení LDR a x řešení přidružené homogenní rovnice, pa x + x je řešení dané LDR Jsou-li x, x řešení LDR, pa x x je řešení přidružené homogenní rovnice 3 Jsou-li x, x řešení pro pravé strany b, b, pa x + x je řešení pro pravou stranu b + b princip superpozice Nehomogenní LDR s onstantními oeficienty Hledáme partiulární řešení Variace onstant: xt c x t + + c n x n t ˆxt c t x t + + c n t x n t ˆx t c t x t + + c n t x nt + c t x t + + c nt x n t }{{} ˆx t c t x t + + c n t x nt + c t x t + + c nt x }{{ nt } ˆx n t c t x n t + + c nt x n n t + c t x n t + + c nt x n n t Metoda odhadu pro vazipolynomiální pravou stranu: Jsou-li P, Q polynomy stupně nejvýše m, α+β j -násobný ořen charateristicé rovnice, ft e αt P t cos βt + Qt sin βt, pa existuje partiulární řešení ve tvaru ˆxt t e αt ˆP t cos βt + ˆQt sin βt, de ˆP, ˆQ jsou polynomy stupně nejvýše m

Soustavy LDR s onstantními oeficienty x a x + a x + + a n x n + b t x a x + a x + + a n x n + b t x n a n x + a n x + + a nn x n + b n t předpolady: b t,, b n t spojité na intervalu I počáteční podmíny t I: x t x, x t x,, x n t x n maticově vetory sloupcově: x Ax + bt, xt x homogenní soustava: bt o Poznáma Obecněji mohou být diferenciální rovnice i vyšších řádů, ty se ale dají přepsat jao soustava lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu Napřílad soustavu x x + x + t, x, x x + x x, x, x, Věta Soustava LDR má právě jedno řešení pro aždou počáteční podmínu Věta Množina řešení homogenní soustavy n LDR tvoří lineární prostor dimenze n Vetorové funce x t, x t,, x n t tvoří fundamentální systém bázi řešení soustavy právě tehdy, dyž determinant fundamentální matice soustavy x t x t x n t x t x t x n t Xt x n t x n t x nn t je nenulový pro aždé t I Obecné řešení soustavy LDR lze vyjádřit ve tvaru xt ˆxt + xt, de ˆxt je teréoliv partiulární řešení dané soustavy a xt je obecné řešení přidružené homogenní soustavy 3 Řešení soustavy LDR pro součet pravých stran je součtem řešení pro jednotlivé pravé strany princip superpozice lze substitucí x x 3 převést na tvar x x + x + t, x, x x 3, x, x 3 x + x x 3, x 3 Poznáma LDR řádu n s počátečními podmínami x n + a n x n + + a x + a x bt xt x,, x t x,,, x n t x,n můžeme po označení x x, x x,, x n x n převést na soustavu s počátečními podmínami x x x x 3 x n a x a x a 3 x 3 a n x n + bt x t x,, x t x,,, x n t x,n Poznáma Obráceně můžeme soustavu převést na jednu LDR Tomuto postupu se říá eliminační metoda Přílad x x + x 3, x 5, x x + x + 3t 4, x Z první rovnice vyjádříme x x x + 3 a dosadíme do druhé Dostaneme rovnici x 4x + 3x 3t + s řešením x t t + + c e t + c e 3t Dopočítáme x t x t x t + 3 t c e t + c e 3t Dosazením počátečních podmíne určíme oeficienty c, c Výslede je x t t + + e xt t + e 3t x t t e t + e 3t, t R Homogenní soustavy LDR s onstantními oeficienty xt v e λt je řešení x Ax pro A λi v Definice Charateristicá rovnice soustavy LDR je rovnice deta λi Řešení charateristicé rovnice soustavy se nazývají vlastní čísla Pro aždé vlastní číslo λ nazýváme rovnici A λi v o charateristicou soustavou, její nenulová řešení nazýváme vlastní vetory Poznáma Řešení ve tvaru v e λt jsou nezávislá pro různá vlastní čísla i pro nezávislé vlastní vetory Hledáme tedy vlastní čísla a e aždému toli lineárně nezávislých vlastních vetorů, jao je násobnost příslušného vlastního čísla Přílad Řešme x x + x, x 3, x x + x, x Charateristicá rovnice je λ 4λ+3, vlastní čísla jsou λ, λ 3, vlastní vetory jsou napřílad, T a, T, fundamentální matice soustavy a obecné řešení je e t e Xt 3t e t e 3t, xt Xt c c e t + c e 3t c e t + c e 3t Dosazením počátečních podmíne Xt c x dostaneme e xt t + e 3t e t + e 3t, t R

Pro dvojice omplexně sdružených imaginárních vlastních čísel bereme jedno z nich a uvažujeme reálné a imaginární části omplexních funcí e α+βjt e αt cos βt + j sin βt Přílad Řešme x x 3x, x 3x + x Charateristicá rovnice je λ λ +, vlastní čísla jsou λ, ±3j, stačí uvažovat λ +3j, vlastní vetor je napřílad, j T Příslušné řešení soustavy diferenciálních rovnic uvažujeme v omplexním oboru: j e +3j t e t cos 3t + j e t sin 3t j e t cos 3t + e t sin 3t Fundamentální matice řešení obsahuje za jednotlivé sloupce reálnou a imaginární část této vetorové funce Obecné řešení dostaneme jejich lineárními ombinacemi c, c R: e Xt t cos 3t e t sin 3t, xt Xt c e t sin 3t e t cos 3t e t c cos 3t + c sin 3t e t c sin 3t c cos 3t, t R Nehomogenní soustava LDR s onstantními oeficienty Metoda variace onstant: Je-li xt Xt c obecné řešení přidružené homogenní soustavy, můžeme partiulární řešení hledat ve tvaru ˆxt Xt ct, po dosazení dostaneme c t X t bt, tedy ˆxt Xt X u bu du pro počáteční podmínu xt x dostaneme t xt Xt X u bu du + Xt X t x t Věta odhad partiulárního řešení Pro soustavu x A x + pt e αt cos βt + qt e αt sin βt, ve teré p, q jsou vetorové polynomy stupně nejvýše m aždá složa je polynom stupně nejvýše m a číslo α + βj číslo pravé strany je -násobný ořen charateristicé rovnice přidružené homogenní soustavy diferenciálních rovnic, existuje partiulární řešení ve tvaru ˆxt ˆpt e αt cos βt + ˆqt e αt sin βt, de ˆp, ˆq jsou vetorové polynomy stupně nejvýše m + Poud má prostor řešení charateristicé soustavy dimenzi menší než násobnost vlastního čísla λ, uvažujeme romě funce e λt i funce t e λt, t e λt, A λi v o má nenulové řešení v, dostaneme funci v e λt, A λi v v má řešení v, A λi v v má řešení v 3, dostaneme funci v t + v e λt, dostaneme funci v t + v t + v 3 e λt, Polynom v závorce integrujeme a přidáváme další dopočtenou vetorovou onstantu Přílad Řešme x x + x, x x + 4x Charateristicá rovnice je λ 6λ + 9, vlastní čísla jsou λ, 3, vlastní vetor je napřílad v, T Další lineárně nezávislé vetory neexistují, řešíme tedy A λiv v, terá má řešení napřílad v, T Fundamentální matice řešení a obecné řešení jsou c, c R: e 3t t e Xt 3t, e 3t t + e 3t xt Xt c c t + c e 3t c t + c + c e 3t, t R Laplaceova transformace Definice Laplaceovým obrazem funce f definované na, je funce F p ft e pt dt, poud integrál onverguje pro alespoň jedno p R Značení: L : ft F p, L {f} F, f F Přílady e t nemá Laplaceův obraz L {e at } p a, L {} p, p > p > a Poznámy F se obvyle uvažuje jao funce omplexní proměnné pro Re p > p f Nědy se uvažují funce ft definované na R, teré jsou nulové pro t < místo sin t na, se píše sin t Ht, de Ht je tzv Heavisideova funce nědy se bere H : Ht {, t <,, t

Definice Funce ft definovaná na, je předmět standardního typu f patří do třídy L, jestliže: f je po částech spojitá, f je exponenciálního řádu α, tj existují čísla M, α R: ft M e αt, t, Věta Nechť f je předmět standardního typu exponenciálního řádu α Pa Laplaceův obraz funce f je definován na α, a lim p F p Důaz ft e pt dt ft e pt dt M e αt e pt dt M e p αt dt [ M p α e p αt] M p α pro p > α Věta o substituci [posunu] v obrazu Je-li f L exponenciálního řádu α, F L {f}, a R, pa L {e at ft} F p a, p > α + a Důaz e at ft e at M e αt M e α+at e at ft e pt dt ft e a pt dt F p a Přílad L {e at sin t} p a +, p > a Věta o změně měříta Je-li f L exponenciálního řádu α, F L {f}, a >, pa L {fat} p a F, p > a α a Přílady L {sin t} p +, p > L {cos t} p p +, p > Důaz fat M e αat M e aαt fat e pt dt at u a dt du a fu e p/au du a F a Přílady ω L {sin ωt} p + ω, p > p L {cos ωt} p + ω, p > Věta o linearitě Jsou-li f, g L exponenciálního řádu α, a, b R, pa L {af + bg} a L {f} + b L {g}, p > α Důaz Přímý důslede linearity integrálu Věta o derivaci obrazu řádu α, F L {f}, pa Je-li f L exponenciálního L {t ft} F p, p > α Důaz názna F p d dp ft e pt dt d dp ft e pt dt ft t e pt dt t ft e pt dt L {t ft} Přílad L {t n } n! p n+, p > Věta o integraci obrazu Je-li f L exponenciálního ft řádu α, F L {f} a existuje-li vlastní lim t + t, pa { } ft L F q dq, p > α t p Poznáma L { ft } t F p, integrační onstanta se určí z podmíny lim p F p Zpětná Laplaceova transformace Věta Jsou-li f, f L exponenciálního řádu α, L {f } L {f } na α,, pa f t f t na, s výjimou nejvýše spočetně mnoha izolovaných bodů Speciálně f f, poud jsou obě funce spojité zprava Věta Racionální funce je Laplaceovým obrazem funce třídy L právě tehdy, dyž je ryze lomená Pa je obrazem na intervalu α,, de α je největší reálná část ořenů jmenovatele Důaz : lim p F p : rozlad na součet parciálních zlomů, linearita L {e at } { } p a, L e at p a { } L {t n e at n! }, L p a n+ p a n tn e at n! pro vadraticé členy ve jmenovateli: { } { L p + C p + p + bp + c n L b + C b } [p + b + c 4 b ] n [ { } { }] e b t L p p + ω }{{ n + C b L p } + ω }{{ n } f nt g nt f t cos ωt, f n+ t n t g nt g t ω sin ωt, g n+t nω [n g n t t g nt]

Diferenciální a integrálně diferenciální rovnice Zobrazíme Laplaceovou transformací, vyřešíme algebraicou rovnici, provedeme zpětnou transformaci Věta o obrazu derivace Je-li f L exponenciálního řádu α, F L {f} a f+ lim t + ft, pa L {f t} p F p f+, p > max{α, } Důaz f t e pt dt u e pt u p e pt v f t v ft [ ft e pt] + p ft e pt dt f+ + p F p Důslede L {f n } p n L {f} p n f+ p f n + f n + Poznáma Pro LDR s onstantními oeficienty a jejich soustavy s vazipolynomiální pravou stranu jsou řešeními vazipolynomy, můžeme tedy použít Laplaceovu transformaci Věta o obrazu integrálu řádu α, F L {f}, pa Je-li f L exponenciálního L { t fu du} F p, p > max{α, } p Věta o translaci Je-li f L exponenciálního řádu α, a, pa L {ft Ht a} e ap L {ft + a}, L {ft a Ht a} e ap L {ft}, Důaz L {ft b Ht a} p > α p > α ft b Ht a e pt dt a ft b e pt dt t au fu + a b e pu+a du e ap L {ft + a b} první vztah dostaneme pro b, druhý pro b a Konečný impuls: ft [ Ht a Ht b] Poznáma LDR s onstantními oeficienty a nespojitou pravou stranou bychom mohli řešit na jednotlivých intervalech a dopočítávat počáteční podmíny pro další interval Dostaneme řešení, teré v bodech nespojitosti pravé strany nemusí mít derivaci nejvyššího řádu Věta o obrazu periodicé funce Je-li f L periodicá funce s periodou T, pa je exponenciálního řádu a její obraz je F p ft e pt dt e pt, p > Důaz ft e pt dt n+t n ft e pt dt nt t u + nt dt du n fu e pu+nt du n e pt n T fu e pu du fu e pu du / e pt Důaz gt t fu du, g+ F p L {g t} p L {gt} g+ p L {gt} Poznáma Rovnici Dx + t xu du ft lze substitucí yt t xu du převést na rovnici Dy + y ft s další počáteční podmínou y Je-li D lineární diferenciální operátor s onstantními oeficienty a f vazipolynom, pa řešením pro y je vazipolynom, jehož derivací je opět vazipolynom vyhovující původní rovnici Můžeme tedy použít Laplaceovu transformaci Definice Konvoluce funcí f, g L je funce f gt t ft u gu du, t, + Vlastnosti: omutativita: f g g f asociativita: f g h f g h 3 distributivita e sčítání: f g + h f g + f h Věta o obrazu onvoluce Jsou-li f, g L exponenciálního řádu α, F L {f}, G L {g}, pa L {f gt} F p Gp, p > α Poznámy L {F p Gp} f gt H ft t ft dt, tj věta o obrazu integrálu je zvláštním případem věty o obrazu onvoluce Posloupnosti v omplexním oboru posloupnost: N C, a n n C { } C oolí Ua, r {z C : z a < r} pro a C, U, r {z C : z > r} lim n a n a: pro aždé oolí U bodu a existuje n N ta, že a n U pro n > n Tvrzení Následující tvrzení jsou evivalentní pro a C: lim n a n a lim n Re a n Re a, lim n Im a n Im a 3 lim n a n a lim a n v C právě tehdy, dyž lim a n + v R n n Přílad lim n n n v C, neexistuje v R Číselné řady a + a + + a n n a Definice Nechť a je posloupnost čísel Neonečná číselná řada je výraz a + a + a 3 + a Číslo a se nazývá -tý člen této řady Poznáma Obecněji: n a, n N, n Z M a, M je množina: a N a

Definice Pro aždé n N nazýváme s n n a n-tý částečný součet řady a Poud existuje lim n s n s, nazýváme ji součtem řady a píšeme s a Řeneme, že řada: onverguje, je-li s C; diverguje, je-li s {±, }; osciluje, poud lim n s n neexistuje Přílady diverguje: s n n, lim n s n + + + osciluje: s n pro n sudé, s n pro n liché 3 + 4 + 8 + lim n n onverguje 4 + 3 4 + 5 6 + osciluje v R, diverguje v C: s n n, s n n Věta Komplexní řada a onverguje právě tehdy, dyž onvergují řady Re a a Im a Pa a Re a + j Im a Věta Jestliže a, b onvergují, c C, pa a + b a + b, c a c a Poznáma Lepší sčítání je lim n n n s n, pro přílad dá součet Věta nutná podmína onvergence onverguje, pa lim a Jestliže a Definice Aritmeticá řada s diferencí d: a + a + d + a + d + a + 3d + a + d Součty n a a + a + + a n + a n [a + a n + a + a n + + a n + a ] na + a n Důaz lim a lim s s lim s lim s s s Věta Je-li a pro aždé N, pa a existuje Důaz s n n a, s n n je nelesající, tj lim n s n existuje sup n N s n Přílad n + + + n nn + Definice Geometricá řada s vocientem q: Součty a + aq + aq + aq 3 + s n a + q + + q n aq qs n a q + + q n + q n qs n a q n { q n q s n, q na, q aq a q, q < { q +, q, v R neex, q, {, q > nebo q, neex, q, q, Přílad 4 3 4/3 /3 Přílad + 6 + + limn n v C Kriteria onvergence Věta srovnávací riterium Nechť a b pro aždé N Konverguje-li b, pa i a onverguje Diverguje-li a, pa i b diverguje Důaz s n n a, t n n b, s n t n a lim n s n lim n t n b Přílady + + onverguje a, a onverguje 3 harmonicá řada: + + + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + + + 4 + 4 + 8 + 8 + 8 + 8 + + + + + + 4 a,, a diverguje

Věta Konverguje-li a, pa onverguje a Důaz a R: a + max{a, }, a max{ a, } a a + a, a a + + a, a +, a a a onverguje a+, a onvergují srovnávací riterium a a+ a a+ a onv a C: Re a, Im a a a onverguje Re a, Im a onvergují srovnávací r Re a, Im a onvergují podle a Re a + j Im a onverguje Definice Řeneme, že a onverguje absolutně, poud onverguje a Poznáma Poud reálná řada onverguje neabsolutně, pa a+ a + Věta odmocninové riterium Je-li pro aždé N: a q <, pa a onverguje absolutně; a, pa a neonverguje Důaz a q, q onverguje a, a Věta limitní tvar odmocninového riteria Je-li lim a <, pa a onverguje abs Je-li lim a >, pa a neonverguje Přílady 3 ln + onverguje: a 3 ln+ < 3 diverguje: a > + riterium nerozhodne: a +, lim a lim [ + ] e diverguje Poznámy Stačí uvažovat limsup <, liminf > Odmocninové riterium je účinnější ne, poud existují obě limity, ale nědy se hůře počítá Přílad a, a a + + 4 + + 8 + 4 + a / < onverguje podle odmocninového r a a podílové riterium nerozhodne Věta podílové riterium Nechť a pro aždé N q < pro aždé N, pa a Je-li a + a onverguje absolutně pro aždé N, pa a neonver- Je-li a + a guje Důaz a a q a q, a q onv a a a, a Poznáma Stačí, aby byly nerovnosti splněny pro dostatečně velá, tj počínaje něterým Věta limitní tvar podílového riteria Je-li lim a + a <, pa a onverguje absolutně Je-li lim a + a >, pa a neonverguje Přílady! onverguje: a + a +! diverguje: a + a + + 3 r nerozhodne: a + a + diverguje 4 r nerozhodne: a + a + onv Nechť f je nezáporná neros- f onverguje právě Věta integrální riterium toucí funce na, + Pa tehdy, dyž onverguje + fx dx Důaz f + fx dx f +, f + fx dx f f Přílady diverguje: + x dx [ln x]+ + onverguje pro a > : + x a dx a 3 ln diverguje: + x ln x a dx [ln ln x]+ + Přílad Jaá je chyba 6 π, poud sečteme prvních členů? a + x dx [ x ] +, a + x dx [ x ] +,99 Věta Leibnizovo riterium Nechť a je nerostoucí posloupnost nezáporných čísel, lim a Pa a a a + a 3 a 4 + onverguje Důaz s s 3 s, s s 4 s s, s s lim s + s lim a + lim a Poznáma Alternující řada střídají se znaména s a onverguje Přílad + 3 4 + ln onverguje: střídají se znaména, a Ne absolutně: a + podle integrálního riteria

Absolutní onvergence Definice Přerovnáním řady a nazýváme aždou řadu a f, de f : N na N je prosté zobrazení Věta Jestliže řada onverguje absolutně, pa aždé její přerovnání onverguje absolutně a má stejný součet Důaz a : označme m n max{f,, fn} n a f m n a, tedy a f a opačná nerovnost: první řada je přerovnáním druhé pro f a R: a f a+ f a f a+ a a 3 a C: rozladem na reálnou a imaginární část Tvrzení Jestliže reálná řada onverguje neabsolutně, pa aždé reálné číslo je součtem něterého jejího přerovnání Důaz názna a+ a +, c R vybíráme nezáporné členy, doud součet nebude c vybíráme záporné členy, doud součet nebude c postup opaujeme Funční řady f + f + f na podmnožině Df bodová onvergence n f x fx: n f x n fx obor absolutní onvergence: {x Df : f x onverguje absolutně} Přílad x x + x + 3 x 3 + podílové riterium onvergence: a + a x + + x + x x x < onverguje absolutně x > neonverguje x : x 3: neonverguje harmonicá řada x : onverguje Leibnizovo riterium obor onvergence:, 3 obor absolutní onvergence:, 3 Poznáma Podobně lze dosáhnout i součtu ± Věta sčítání po částech Nechť a onverguje absolutně Pa a, a onvergují absolutně a jejich součet je roven součtu původní řady Důaz a, a a absolutní onvergence a + a a + a, částečné součty tvoří vybranou posloupnost z částečných součtů a, mají tedy stejnou limitu Poznáma Absolutně onvergentní řadu můžeme rozdělit na onečně mnoho různě přesládaných částí, součet se přitom nezmění Řadu můžeme před rozdělením na liché a sudé členy přerovnat, rozdělení můžeme opaovat Definice Posloupnost funcí f n n onverguje stejnoměrně funci f na množině A, poud sup fx f n x n x A Posloupnost funcí f n n onverguje loálně stejnoměrně funci f na množině A, poud pro aždé x A existuje oolí U bodu x taové, že na množině A U je onvergence stejnoměrná Poznámy Stejnoměrně onvergentní posloupnost onverguje bodově Loálně stejnoměrná onvergence na uzavřeném intervalu je stejnoměrná Přílad f n x +nx, x, + bodová onvergence: f n x { n, x / + nx n +, x > } fx neonverguje stejnoměrně: sup x,+ fx f n x onverguje loálně stejnoměrně na, + : pro a > je sup fx f n x f n a x a,+ + na n Poznáma Pro řady uvažujeme onvergenci posloupnosti částečných součtů

Věta Weierstrassovo riterium Nechť pro aždé N je f x a na množině A a a onverguje Pa f onverguje stejnoměrně a absolutně na množině A Důaz absolutní bodová onvergence plyne z vlastností číselných řad; označme součet f fx n f x n+ f x n+ f x n+ a n Přílad x x, x, geom řada; pro x q < je x q, q onverguje, tedy řada onverguje stejnoměrně na q, q pro aždé q <, tedy loálně stejnoměrně na, ; neonverguje stejnoměrně: sup x, n+ x supx, x n x + Mocninné řady Definice Mocninná řada je řada ve tvaru a x x a + a x x + a x x +, de a R N {} jsou její oeficienty a x R je její střed Věta Pro aždou mocninnou řadu se středem x existuje číslo r, + {+ } nazývané poloměr onvergence této řady, pro teré platí: Mocninná řada onverguje absolutně a loálně stejnoměrně na množině {x : x x < r} Mocninná řada neonverguje na {x : x x > r} Důaz Nechť mocninná řada onverguje v bodě x x : a x x onverguje a x x existuje M R ta, že a x x M; pro q <, x x q x x je a x x a x x x x x x M q ; podle Weierstrassova riteria řada onverguje absolutně a stejnoměrně na množině {x : x x q x x }, tedy loálně stejnoměrně na množině {x : x x < x x } Poznáma Na hranici oboru onvergence {x : x x r} mohou nastat jen tyto případy: nide neonverguje, v něterých bodech onverguje ne absolutně, v něterých ne, 3 všude onverguje absolutně jamile abs v jednom bodě Věta Nechť funce f n n N jsou spojité a onvergují stejnoměrně funci f na intervalu I Pa platí: f je spojitá b a f nx dx n b fx dx pro a, b I a 3 Jsou-li navíc f n spojité a onvergují-li stejnoměrně, pa f nx n f x na I Důaz a I, ε > : fx fa < ε 3 a f na fa < ε 3 pro dostatečně velé n ze stejnoměrné onvergence, f n x f n a < ε 3 pro x blízo a ze spojitosti funce f n; pa fx fa fx f n x + f n x f n a + f n a fa < ε 3 + ε 3 + ε 3 ε b a fx dx b a f nx dx b a sup x a,b fx f n x n 3 lim n f nx x a lim n f nt dt x lim n a f nt dt lim n fn x f n a fx fa f x Přílady f n x +nx onvergují nespojité funci na, +, tedy neonvergují stejnoměrně 4n x, x, /n, f n x 4n 4n x, x /n, /n,, x /n, +, onvergují nulové funci fx na intervalu, +, ale ne stejnoměrně: f nx dx n fx dx Věta Jestliže pro mocninnou řadu a x x existuje lim a A nebo lim a + a A, pa její poloměr onvergence je A včetně +, + + Důaz pro první případ a x x a x x A x x ; podle odmocninového riteria onvergence řad mocninná řada onverguje pro A x x < tedy x x < A a neonverguje pro A x x > tedy x x > A Přílady! x má poloměr onvergence + x má poloměr onvergence, na hranici onverguje absolutně 3 x má poloměr onvergence, v bodě neonverguje, v bodě onverguje neabsolutně 4 x má poloměr onvergence, na hranici neonverguje 5! x má poloměr onvergence ve svém středu řada vždy onverguje Poznáma Poloměr onvergence je / limsup a

Věta Nechť a x x fx pro x x < r, b x x gx pro x x < r Pa f + gx f gx a + b x x, c x x, c pro x x < min{r, r } a i b i, Tvrzení Řady a x x a a x x mají stejný poloměr onvergence Důaz limsup + a + lim + limsup a + limsup a Věta Součet mocninné řady je spojitá funce, řadu lze derivovat a integrovat člen po členu i Přílad x +x, x, geom řada Integrováním dostaneme ln + x + x+ x, x, integrační onstantu dostaneme dosazením středu řady Poznáma Protože v předcházejícím příladu v hraničním bodě je funce ln + x spojitá a řada v něm onverguje, platí uvedená rovnost i pro tento bod Je tedy ln + 3 4 + Přílad Taylorova řada funce x e x v bodě : x e x [x + ] e [x +] [x + ]e e x [x + ]e e + e! x + + e! x + e +!! x e! e! x x x x R Věta Taylorova řada racionální funce onverguje této funci, poloměr onvergence je vzdálenost středu řady od nejbližšího ořene jmenovatele v omplexním oboru Důaz Rozlad na součet polynomu a parciálních zlomů v omplexním oboru, stačí vyšetřit Taylorovu řady funcí fx x a v bodě x a Využijeme větu o součtu geometricé řady: f x! x a +, a f x! x a + a x x x x x a a x x a pro x x a x <, tedy x x < a x Taylorovy řady Definice Nechť funce f má v bodě x derivace včšech řádů Taylorova řada funce f v bodě x je řada f x! x x Poznáma Mocninná řada je Taylorovou řadou svého součtu ve svém středu Taylorova řada funce ale může mít za součet jinou funci Konvergence Taylorovy řady funce f v bodě x funci f v bodě x je zaručena, poud zbyty Taylorova polynomu onvergují, tedy poud sup f n c x x n! n n Přílady e x cos x sin x c mezi x, x x! + x + x! + x3 3! +, x R,! x x! + x4 4!, x R, +! x+ x x3 3! + x5 5!, x R Přílad Taylorova řada v bodě : x x + 3 x + 3 x + 3 + x 3 + x 3 Přílad Taylorova řada v bodě : x 3 x, x < x + x x + + x < + x + x + Přílad Taylorova řada funce arctg x v bodě : arctg x +x x x ; integrací dostaneme arctg x + x+ integrační onstantu určíme dosazením středu řady; ořeny polynomu x + jsou ±j, tedy x < Poznáma Integrováním se může obor onvergence zvětšit o hraniční body, ve výše uvedeném příladu dostaneme rozvoj do Taylorovy řady na intervalu, Dosazením x dostaneme 3 + 5 7 + arctg π 4

Fourierovy řady salární součin funcí f, g s periodou T > : f, g ft gt dt Tvrzení Nechť T π/ω >,, m N Pa sin ωt, cos mωt, fωt, fmωt {, m, T/, m, Důaz sin ωt cos mωt dt sin ωt sin mωt dt cos ωt cos mωt dt sin+mωt+sin mωt f {sin, cos} dt cos mωt cos+mωt dt cos mωt+cos+mωt dt Poznáma Je-li {e,, e n } ortogonální báze v prostoru R n, pa pro souřadnice vetoru x x e + + x n e n platí x x e e e Podobně pro periodicé funce s periodou T π/ω > máme ortogonální množinu funcí {cos ωt, sin ωt : N} {} Není to báze, ale můžeme vyjadřovat periodicé funce jao neonečnou lineární ombinaci těchto funcí s podobně spočtenými oeficienty Definice Fourierova řada je řada ve tvaru Přílad Funce f s periodou T π je definována {, t, π, ft, t π, π Funce f je lichá, dostaneme tedy sinovou řadu s b π, pro sudé tedy, pro liché 4 π : ft 4 4 π sin t+ 3π sin 3t+ 4 π sin 5t+ 4 π sin t Přílad Určíme osinovou řadu funce ft t, t, Funci nejprve dodefinujeme ta, abychom dostali sudou funci: ft t pro t, a uvažujeme periodicé prodloužení s periodou Pa a a integrací per-partes spočteme a π pro N Dostáváme ft + 4 π cos πt + 4 9π cos 3πt + + 4 π cos πt Dosazením t dostaneme + 4 π + 3 + 5 +, tedy + 3 + 5 + π 8 Věta Nechť f je periodicá funce s periodou T >, f, f jsou po částech spojité, ft a + a cos ωt + b sin ωt Pa platí: Je-li funce f spojitá, pa f t a cos ωt + b sin ωt Je-li F primitivní funce f a a, pa F t ã + b ω cos ωt + a ω sin ωt a + a cos ωt + b sin ωt, a, a, b, ω R N, ω > Věta Jestliže řada a + a cos ωt + b sin ωt onverguje stejnoměrně funci f, T π/ω, pa a T b T ft cos ωt dt, N {}, ft sin ωt dt, N Poznámy Ve výše uvedené větě můžeme integrovat na intervalu α, α + T pro aždé α R, speciálně na T/, T/ a T ft dt je střední hodnota funce f Definice Fourierova řada funce f s periodou T π/ω je Fourierova řada s oeficienty spočtenými podle předcházející věty Píšeme ft a + a cos ωt + b sin ωt Věta Nechť funce f je periodicá s periodou T, f a f jsou po částech spojité Pa Fourierova řada funce f onverguje v bodě t hodnotě ft + ft+ Je-li navíc f spojitá, pa ní její Fourierova řada onverguje stejnoměrně Poznáma V bodech nespojitosti f dochází tzv Gibbsovu jevu onečné součty Fourierovy řady přemitnou, dély rozmitu se limitně blíží hodnotě G fx+ fx, de G π π sin t t dt,8 je tzv Gibbsova onstanta Poznáma Fourierova řada sudé funce je sudá funce, sládá se pouze z osinových členů, říáme jí osinová Fourierova řada Fourierova řada liché funce je lichá funce, sládá se pouze ze sinových členů, říáme jí sinová Fourierova řada Amplitudově-fázový tvar Fourierovy řady: Převody: a a A sin ϕ, + A sinωt + ϕ, A b A cos ϕ, A a + b, ϕ : sin ϕ a a b, cos ϕ + b a + b Komplexní tvar Fourierovy řady: Převody: c a, c a jb c a + jb Přímý výpočet c T c e jωt pro A >, a c + c Re c, N,, b c c Im c, N ft e jωt dt, Z