(1) Limity Kristýna Kuncová Matematika B2 18/19 Kristýna Kuncová (1) Limity 1 / 27
Proč studovat matematiku Zdroje: http://www.karlin.mff.cuni.cz/ pick/2018-10-02-prvni-prednaska-z-analyzy.pdf https://www.youtube.com/watch?v=6ec3ndnr86s https://fanmovie.cz/dvd/alenka-v-risi-divu-na-dvd-a-blu-ray/ http://ceskapozice.lidovky.cz/nove-relikvie-z-mendelovy-pozustalosti-otec-genetiky-laka-vedce-do-ceska- 1q6-/tema.aspx?c=A121220 120247 pozice 88014 https://g.cz/pred-77-lety-byl-cepinem-zavrazden-bolsevik-trockij-po-propusteni-z-vezeni-zil-jeho-vrahkousek-za-prahou/ Kristýna Kuncová (1) Limity 2 / 27
Funkce Otázka Co je to funkce? Definice Reálnou funkcí jedné reálné proměnné rozumíme zobrazení f : M R, kde M R. Kristýna Kuncová (1) Limity 3 / 27
Funkce Zdroj: https://www.vtei.cz/2016/10/teplota-vzduchua-srazky-na-meteorologicke-stanici-bucnice-vpovodi-horni-metuje/ Zdroj: http://www.wisegeek.com/what-is-a-portableekg.htm Zdroj: http://envis.prahamesto.cz/(5m54fhar4nbeazyetxakuv55)/rocenky/pr07 htm/b1 04.htm Zdroj: https://www.czso.cz/csu/czso/pocet-obyvatelv-letech-1950-2017 (1) Limity 4 / Kristýna Kuncová 27
Funkce Kristy na Kuncova (1) Limity 5 / 27
Funkce Inspirace:realisticky.cz Dirichletova funkce: D(x) = { 0, x R \ Q, 1, x Q. Zdroj: https://cs.wikipedia.org/wiki/dirichletova funkce Kristýna Kuncová (1) Limity 6 / 27
Okolí bodu Definice Necht a R a δ R, δ > 0. Potom definujeme okolí bodu a jako B(a, δ) = (a δ, a + δ) prstencové okolí bodu c jako P(a, δ) = (a δ, a + δ) \ {a} levé prstencové okolí bodu a jako P (a, δ) = (a δ, a) pravé prstencové okolí bodu a jako P + (a, δ) = (a, a + δ) Okolí a prstencové okolí bodu (resp ) definujeme takto: B(, δ) = P(, δ) = (1/δ, ) B(, δ) = P(, δ) = (, 1/δ) Kristýna Kuncová (1) Limity 7 / 27
Limita Definice Necht f : M R, M R. Řekneme, že f má v bodě a R limitu rovnou A R, jestliže platí ε > 0 δ > 0 x P(a, δ) : f (x) B(A, ε). V takovém případě píšeme lim f (x) = A. x a Zdroj: https://www.geogebra.org/m/tcnmrwg2 Kristýna Kuncová (1) Limity 8 / 27
Limity zleva a zprava Definice Necht f : M R, M R. Řekneme, že f má v bodě a R {+ } limitu zleva rovnou A R, jestliže platí ε > 0 δ > 0 x P (a, δ) : f (x) B(A, ε). V takovém případě píšeme Definice lim f (x) = A. x a Necht f : M R, M R. Řekneme, že f má v bodě a R { } limitu zprava rovnou A R, jestliže platí ε > 0 δ > 0 x P + (a, δ) : f (x) B(A, ε). V takovém případě píšeme lim f (x) = A. x a+ Kristýna Kuncová (1) Limity 9 / 27
Neexistence limit Kristy na Kuncova (1) Limity 10 / 27
Limity - úlohy Otázka Určete lim x 0 f (x) A -3 B 0 C 5 D 7 E D Zdroj: Calculus: Single and Multivariable, Hughes-Hallet Kristýna Kuncová (1) Limity 11 / 27
Limity - úlohy Otázka Určete lim x 2 f (x) A B 3 C 2 D 0 E neexistuje E Zdroj: Calculus: Single and Multivariable, Hughes-Hallet Kristýna Kuncová (1) Limity 12 / 27
Limity - úlohy Otázka Určete lim x 4 f (x) A 4 B 8 C D neexistuje E nelze určit B Zdroj: Calculus: Single and Multivariable, Hughes-Hallet Kristýna Kuncová (1) Limity 13 / 27
Vlastnosti limit Věta (O aritmetice limit) Necht a R, lim x a f (x) = A R a lim x a g(x) = B R. Pak (a) lim x a (f (x) + g(x)) = A + B, pokud je výraz A + B definován; (b) lim x a f (x)g(x) = AB, pokud je výraz AB definován; (c) lim x a f (x) g(x) = A B, pokud je výraz A B definován. Analogická tvrzení platí i pro limity zprava a zleva. Kristýna Kuncová (1) Limity 14 / 27
Otázka Určete lim x 1 f (x) + g(x) A 8 B 5 C 4 D 2 E neexistuje Zdroj: Calculus: Single and Multivariable, Hughes-Hallet A Kristýna Kuncová (1) Limity 15 / 27
Otázka Určete lim x 1+ f (x) + 2g(x) A 13 B 9 C 8 D 6 E 3 Zdroj: Calculus: Single and Multivariable, Hughes-Hallet D Kristýna Kuncová (1) Limity 16 / 27
Otázka Určete lim x 1 f (x)g(x) A 20 B 15 C 4 D 1 E neexistuje Zdroj: Calculus: Single and Multivariable, Hughes-Hallet B Kristýna Kuncová (1) Limity 17 / 27
Limity - úlohy Otázka Najděte příklad funkce (stačí obrázkem), která: 1. lim f (x) = x f (x) = lim x 2. lim x f (x) = 1 lim x f (x) = 3. lim x f (x) = lim x 1 f (x) = 2 Kristýna Kuncová (1) Limity 18 / 27
Limity - úlohy Otázka (Pravda Nepravda) Nepravda. Necht lim x 3 f (x) = 7. Pak Pravda. lim x 0 x x = 1. lim xf (x) = 21. x 3 Kristýna Kuncová (1) Limity 19 / 27
Spojitost Definice Necht f : M R, M R, a M. Řekneme, že f je spojitá v bodě a, jestliže lim f (x) = f (a). x a Kristýna Kuncová (1) Limity 20 / 27
Spojitost Definice Necht f : M R, M R, a M. Řekneme, že f je spojitá v bodě a, jestliže lim f (x) = f (a). x a Zdroj: Calculus: Single and Multivariable, Hughes-Hallet Kristýna Kuncová (1) Limity 21 / 27
Funkce spojite Kristy na Kuncova (1) Limity 22 / 27
Funkce nespojité Kristýna Kuncová (1) Limity 23 / 27
Vlastnosti spojitosti Věta Jsou-li funkce f, g spojité v bodě a R, pak také funkce f ± g a fg jsou spojité v bodě a. Je-li navíc g(a) 0, pak také funkce f g je spojitá v bodě a. Věta Je-li funkce g spojitá v bodě a R a funkce f je spojitá v bodě g(a), pak funkce f (g(x)) je spojitá v bodě a. Kristýna Kuncová (1) Limity 24 / 27
Spojitost - úlohy Otázka Které funkce jsou spojité na R? A x 3 + sin(4 x) B ex 2+x A, C, E C 2+x e x D cos(e 3 x ) E ln(2 + x 2 ) Kristýna Kuncová (1) Limity 25 / 27
Spojitost - úlohy Otázka Najděte příklad funkce (stačí obrázkem), která je spojitá na celém R kromě bodu x = 5. Otázka Najděte příklad funkce(stačí obrázkem), která je rostoucí, ale není spojitá na [0, 5] Otázka (Pravda Nepravda) Necht funkce f je spojitá na intervalu [0, 10], f (0) = 0, f (10) = 100. Pak f musí být nezáporná na celém intervalu [0, 10]. Nepravda. Otázka (Pravda Nepravda) Necht P(x) a Q(x) jsou polynomy (a tedy spojité funkce). Pak P(x)/Q(x) je také spojitá funkce. Nepravda. Zdroj: Calculus: Single and Multivariable, Hughes-Hallet Kristýna Kuncová (1) Limity 26 / 27
Spojitost - úlohy Otázka V kterých bodech je spojitá následující funkce? sin x x (, 1] x 2 x ( 1, 0) f (x) = 1 x = 0 x x (0, 4) 6 x x [4, ) A -1 B 0 B, C, D C 2 D 4 E Kristýna Kuncová (1) Limity 27 / 27