Neurčitý integrál Robert Mařík 4. března 0 V tomto souboru jsou vysvětleny a na příkladech s postupným řešením demonstrovány základní integrační metody. Ikonka za integrálem načte integrál do online aplikace na adrese http://www.mendelu.cz/user/marik/maw, která umožní výpočet integrálu, včetně automatických návrhů, jakou metodu zvolit. c Robert Mařík, 0
Obsah Definice neurčitého integrálu 5 Základní vzorce 7 6 (x + 3 4 x + x sinx 3 +ex ) dx..................... 8 tgx dx................................... x + dx.............................. 7 x + 4x + 5 x + 5 dx................................. x + 4 dx................................ 5 (x + 6) 3 f (ax+b) dx................................ 9 x + 5 dx.............................. 46 x 4x + 9 3 Integrace per-partés 57 c Robert Mařík, 0
(x+) lnx dx............................... 59 x sinx dx................................. 66 (x ) sin(x) dx............................. 7 (x + ) sinx dx.............................. 79 (x + )e x dx............................... 88 x arctgx dx................................ 96 lnx dx................................... 0 ln x dx.................................. 08 x 3 sinx dx................................. 7 (x 3 + x)e x dx.............................. c Robert Mařík, 0
4 Integrace pomocí substituce. 5 sin(lnx) dx................................ 6 x xe x dx................................. 33 x dx................................ 4 x 4 + 6 x+ e dx................................. 48 x + tg 3 x dx.................................. 55 3x + dx.............................. 67 x + + x dx.............................. 80 x 5 Další... 9 arcsinx dx................................ 93 c Robert Mařík, 0
Definice neurčitého integrálu Definice (neurčitý integrál, primitivní funkce). Buď I otevřený interval, f a F funkce definované na I. Jestliže platí F (x) = f (x) pro všechna x I, () nazývá se funkce F primitivní funkcí k funkci f, nebo též neurčitý integrál funkce f na intervalu I. Zapisujeme f (x) dx = F (x). Existuje-li k funkci f neurčitý integrál na intervalu I, nazývá se funkce f integrovatelná na I. Primitivní funkce F (x) je vždy spojitá na I, plyne to z existence derivace. Věta (postačující podmínka existence neurčitého integrálu). Ke každé spojité funkci existuje neurčitý integrál. Definice neurčitého integrálu c Robert Mařík, 0
Věta (jednoznačnost primitivní funkce). Primitivní funkce je na daném intervalu k dané funkci určena jednoznačně, až na libovolnou aditivní konstantu. Přesněji, platí následující: Je-li F primitivní funkcí k funkci f na intervalu I, platí totéž i pro funkci G(x) = F (x)+c, kde c R je libovolná konstanta nezávislá na x. Jsou-li F a G primitivní funkce k téže funkci f na intervalu I, liší se obě funkce na intervalui nejvýše o aditivní konstantu, tj. existuje c R takové, že F (x) = G(x)+c pro všechna x I. Bohužel, ne vždy neurčitý integrál dokážeme efektivně najít. Zatímco problém nalezení derivace funkce složené z funkcí, které umíme derivovat, spočívá pouze ve správné aplikaci vzorců pro derivování, problém nalézt neurčitý integrál i k funkci tak jednoduché, jako je například e x je neřešitelný ve třídě elementárních funkcí. Definice neurčitého integrálu c Robert Mařík, 0
Základní vzorce Věta 3. Nechť f, g jsou funkce integrovatelné na I, c nechť je reálné číslo. Pak na intervalu I platí f (x)+g(x) dx = f (x) dx+ g(x) dx, cf (x) dx = c f (x) dx. Věta 4. Nechť f je funkce integrovatelná na I. Pak f (ax+b) dx = F (ax +b), kde F je funkce primitivní k funkci f na in- a tervalu I. Platí pro ta x, pro která je ax +b I. Věta 5. Nechť funkce f má derivaci a nemá nulový bod na intervalu I. Potom f (x) na tomto intervalu platí dx = ln f (x). f (x) Základní vzorce c Robert Mařík, 0
Najděte (x + 3 4 x + 6 x sinx 3 +ex ) dx. 6 I = (x+3 4 x + x sinx 3 +ex ) dx = x dx + 3 x 4 dx + 6 x 3 dx sinx dx + e x dx = x 3x5/4 + 5/4 + 6x ( cosx)+ex +C = x + 5 x5/4 3 x + cosx +ex +C Základní vzorce c Robert Mařík, 0
Najděte (x + 3 4 x + 6 x sinx 3 +ex ) dx. 6 I = (x+3 4 x + x sinx 3 +ex ) dx = x dx + 3 x 4 dx + 6 x 3 dx sinx dx + e x dx = x 3x5/4 + 5/4 + 6x ( cosx)+ex +C = x + 5 x5/4 3 x + cosx +ex +C Integrál ze součtu je součet integrálů. Integrál násobku funkce je násobek integrálu. Některé funkce je možno přepsat na mocninné funkce. Základní vzorce c Robert Mařík, 0
Najděte (x + 3 4 x + 6 x sinx 3 +ex ) dx. 6 I = (x+3 4 x + x sinx 3 +ex ) dx = x dx + 3 x 4 dx + 6 x 3 dx sinx dx + e x dx = x 3x5/4 + 5/4 + 6x ( cosx)+ex +C = x + 5 x5/4 3 x + cosx +ex +C x n dx = xn+ n+ sinx dx = cosx e x dx = e x Základní vzorce c Robert Mařík, 0
Najděte (x + 3 4 x + 6 x sinx 3 +ex ) dx. 6 I = (x+3 4 x + x sinx 3 +ex ) dx = x dx + 3 x 4 dx + 6 x 3 dx sinx dx + e x dx = x 3x5/4 + 5/4 + 6x ( cosx)+ex +C = x + 5 x5/4 3 x + cosx +ex +C Základní vzorce c Robert Mařík, 0
Najděte tgx dx. I = tgx dx sinx = cosx dx sinx = cosx dx (cosx) = cosx dx = ln cosx +C Základní vzorce c Robert Mařík, 0
Najděte tgx dx. I = tgx dx sinx = cosx dx sinx = cosx dx (cosx) = cosx dx = ln cosx +C Použijeme definici funkce tangens. Základní vzorce c Robert Mařík, 0
Najděte tgx dx. I = tgx dx sinx = cosx dx sinx = cosx dx (cosx) = cosx dx = ln cosx +C Platí (cosx) = sinx.čitatel se tedy liší od derivace jmenovatele jenom konstantím násobkem. Vynásobíme a vydělíme integrál tímto násobkem. Základní vzorce c Robert Mařík, 0
Najděte tgx dx. I = tgx dx sinx = cosx dx sinx = cosx dx (cosx) = cosx dx = ln cosx +C Formálně použijeme vztah (cosx) = sinx, abychom viděli vzorec f (x) dx = ln f (x) +C. f (x) Základní vzorce c Robert Mařík, 0
Najděte tgx dx. I = tgx dx sinx = cosx dx sinx = cosx dx (cosx) = cosx dx = ln cosx +C f (x) dx = ln f (x) +C f (x) Základní vzorce c Robert Mařík, 0
Najděte x + x + 4x + 5 dx. x + I = x + 4x + 5 dx = x + 4 x + 4x + 5 dx = (x + 4x + 5) x + 4x + 5 dx = ln(x + 4x + 5)+C Základní vzorce c Robert Mařík, 0
Najděte x + x + 4x + 5 dx. x + I = x + 4x + 5 dx = x + 4 x + 4x + 5 dx = (x + 4x + 5) x + 4x + 5 dx = ln(x + 4x + 5)+C Platí (x + 4x+ 5) = x+4. Čitatel se tedy liší od derivace jmenovatele jenom konstantím násobkem. Vynásobíme a vydělíme integrál tímto násobkem. Základní vzorce c Robert Mařík, 0
Najděte x + x + 4x + 5 dx. x + I = x + 4x + 5 dx = x + 4 x + 4x + 5 dx = (x + 4x + 5) x + 4x + 5 dx = ln(x + 4x + 5)+C Přepíšeme do tvaru f (x) f (x) dx. Základní vzorce c Robert Mařík, 0
Najděte x + x + 4x + 5 dx. x + I = x + 4x + 5 dx = x + 4 x + 4x + 5 dx = (x + 4x + 5) x + 4x + 5 dx = ln(x + 4x + 5)+C f (x) dx = ln f (x) +C f (x) Základní vzorce c Robert Mařík, 0
Najděte x + 5 x + 4 dx. x + 5 I = x + 4 dx x = x + 4 + 5 x + 4 dx = ln(x + 4)+5 arctg x +C Základní vzorce c Robert Mařík, 0
Najděte x + 5 x + 4 dx. x + 5 I = x + 4 dx x = x + 4 + 5 x + 4 dx = ln(x + 4)+5 arctg x +C Derivace jmenovatele je x, v čitateli však není násobek této funkce. f (x) Vzorec dx nelze přímo použít. f (x) Rozdělíme zlomek na dva. Základní vzorce c Robert Mařík, 0
Najděte x + 5 x + 4 dx. x + 5 I = x + 4 dx x = x + 4 + 5 x + 4 dx = ln(x + 4)+5 arctg x +C V prvním zlomku je v čitateli polovina derivace jmenovatele. Proto první zlomek vynásobíme a vydělíme dvěma. Základní vzorce c Robert Mařík, 0
Najděte x + 5 x + 4 dx. x + 5 I = x + 4 dx x = x + 4 + 5 x + 4 dx = ln(x + 4)+5 arctg x +C f (x) = ln f (x) +C f (x) A +x dx = A arctg x A Základní vzorce c Robert Mařík, 0
Najděte (x + 6) 3 dx. I = (x + 6) dx 3 = (x + 6) 3 dx (x + 6) = = (x + 6) +C Základní vzorce c Robert Mařík, 0
Najděte (x + 6) 3 dx. I = (x + 6) dx 3 = (x + 6) 3 dx (x + 6) = = (x + 6) +C Jedná se o mocninnou funkci. Základní vzorce c Robert Mařík, 0
Najděte (x + 6) 3 dx. I = (x + 6) dx 3 = (x + 6) 3 dx (x + 6) = = (x + 6) +C f (ax +b) dx = F (ax+b), kde F je integrál z f. a V našem případě je f (x) = x 3, F (x) = x a a =. Základní vzorce c Robert Mařík, 0
Najděte (x + 6) 3 dx. I = (x + 6) dx 3 = (x + 6) 3 dx (x + 6) = = (x + 6) +C Upravíme. Základní vzorce c Robert Mařík, 0
Najděte následující integrály. x + 5 dx = ln x + 5 +C ( x) dx = ( x) 5 dx 5 e x dx = e x +C e 3x dx = 3 e3x +C = ( x) 4 4 = 4( x) +C 4 Základní vzorce c Robert Mařík, 0
Najděte následující integrály. x + 5 dx = ln x + 5 +C ( x) dx = ( x) 5 dx 5 = ( x) 4 4 = 4( x) +C 4 e x dx = e x +C e 3x dx = 3 e3x +C dx = ln x x f (ax +b) dx = F (ax+b), v našem případě a =. a Základní vzorce c Robert Mařík, 0
Najděte následující integrály. x + 5 dx = ln x + 5 +C ( x) dx = ( x) 5 dx 5 e x dx = e x +C e 3x dx = 3 e3x +C = ( x) 4 4 = 4( x) +C 4 Přepíšeme na mocninnou funkci. Základní vzorce c Robert Mařík, 0
Najděte následující integrály. x + 5 dx = ln x + 5 +C ( x) dx = ( x) 5 dx 5 = ( x) 4 4 = 4( x) +C 4 e x dx = e x +C e 3x dx = 3 e3x +C x n dx = n+ xn+ f (ax +b) dx = F (ax+b), v našem případě a =. a Základní vzorce c Robert Mařík, 0
Najděte následující integrály. x + 5 dx = ln x + 5 +C ( x) dx = ( x) 5 dx 5 e x dx = e x +C e 3x dx = 3 e3x +C = ( x) 4 4 = 4( x) +C 4 Základní vzorce c Robert Mařík, 0
Najděte následující integrály. e x dx = e x x + 5 dx = ln x + 5 +C ( x) dx = ( x) 5 dx 5 e x dx = e x +C e 3x dx = 3 e3x +C = ( x) 4 4 = 4( x) +C 4 f (ax +b) dx = F (ax+b), v našem případě a =. a Základní vzorce c Robert Mařík, 0
Najděte následující integrály. x + 5 dx = ln x + 5 +C e x dx = e x ( x) dx = ( x) 5 dx 5 = ( x) 4 f (ax +b) dx = F (ax+b), v našem 4případě a = 3. a = 4( x) +C 4 e x dx = e x +C e 3x dx = 3 e3x +C Základní vzorce c Robert Mařík, 0
Najděte následující integrály. (e x +e x ) dx = (e x + +e x ) dx = ex + x e x +C sinx cosx dx = sin(x) dx = ( cos x)+c sin x dx = ( cos(x)) dx = [x ] sin(x) +C x x x + dx = + dx = x + x + x + dx = x x + ln x + +C Základní vzorce c Robert Mařík, 0
Najděte následující integrály. (e x +e x ) dx = (e x + +e x ) dx = ex + x e x +C sinx cosx dx = sin(x) dx = ( cos x)+c sin x dx = ( cos(x)) dx = [x ] sin(x) +C x x x + dx = + dx = x + x + x + dx = x x + ln x + +C Upravíme podle vzorce (a+b) : (e x +e x ) = e x + e x e x +e x = e x + +e x Základní vzorce c Robert Mařík, 0
Najděte následující integrály. (e x +e x ) dx = (e x + +e x ) dx = ex + x e x +C sinx cosx dx = sin(x) dx = ( cos x)+c sin x dx = ( cos(x)) dx = [x ] sin(x) +C Integrujemepodle vzorců x x x + dx = + dx = x + x + x + dx e x dx = e x, = x x + ln x + +C dx = x, f (ax+b) dx = a F (ax +b), kde f (x) dx = F (x). Základní vzorce c Robert Mařík, 0
Najděte následující integrály. (e x +e x ) dx = (e x + +e x ) dx = ex + x e x +C sinx cosx dx = sin(x) dx = ( cos x)+c sin x dx = ( cos(x)) dx = [x ] sin(x) +C x x x + dx = + dx = x + x + x + dx = x x + ln x + +C Použijeme vzorec sin(x) = sinx cosx Základní vzorce c Robert Mařík, 0
Najděte následující integrály. (e x +e x ) dx = (e x + +e x ) dx = ex + x e x +C sinx cosx dx = sin(x) dx = ( cos x)+c sin x dx = ( cos(x)) dx = [x ] sin(x) +C x x x + dx = + dx = x + Integrujeme podle vzorců x + x + dx = x x + ln x + +C sinx dx = cosx a f (ax+b) dx = a F (ax +b), kde f (x) dx = F (x). Základní vzorce c Robert Mařík, 0
Najděte následující integrály. (e x +e x ) dx = (e x + +e x ) dx = ex + x e x +C sinx cosx dx = sin(x) dx = ( cos x)+c sin x dx = ( cos(x)) dx = [x ] sin(x) +C x x x + dx = + dx = x + x + x + dx = x x + ln x + +C Vzorec sin x = cos(x) Základní vzorce c Robert Mařík, 0
Najděte následující integrály. (e x +e x ) dx = (e x + +e x ) dx = ex + x e x +C sinx cosx dx = sin(x) dx = ( cos x)+c sin x dx = ( cos(x)) dx = [x ] sin(x) +C x x x + dx = + dx = x + x + x + dx = x x + ln x + +C cosx dx = sinx f (ax+b) = a F (ax+b) Základní vzorce c Robert Mařík, 0
Najděte následující integrály. (e x +e x ) dx = (e x + +e x ) dx = ex + x e x +C sinx cosx dx = sin(x) dx = ( cos x)+c sin x dx = ( cos(x)) dx = [x ] sin(x) +C x x x + dx = + dx = x + x + x + dx = x x + ln x + +C Potřebujeme vydělit. K tomu je možno převést čitatel na tvar, který později umožní zkrátit. Základní vzorce c Robert Mařík, 0
Najděte následující integrály. (e x +e x ) dx = (e x + +e x ) dx = ex + x e x +C sinx cosx dx = sin(x) dx = ( cos x)+c sin x dx = ( cos(x)) dx = [x ] sin(x) +C x x x + dx = + dx = x + x + x + dx = x x + ln x + +C x + x + = x x + + x + = x + x + Základní vzorce c Robert Mařík, 0
Najděte následující integrály. (e x +e x ) dx = (e x + +e x ) dx = ex + x e x +C sinx cosx dx = sin(x) dx = ( cos x)+c sin x dx = ( cos(x)) dx = [x ] sin(x) +C x x x + dx = + dx = x + x + x + dx = x x + ln x + +C x n dx = n+ xn+, dx = ln x, x f (ax+b) dx = a f (ax+b) Základní vzorce c Robert Mařík, 0
Najděte x + 5 x 4x + 9 dx. x + 5 I = x 4x + 9 dx = (x 4)++5 x 4x + 9 dx = x 4 x 4x + 9 + +5 x 4x + 9 dx = 7 ln x 4x + 9 + (x ) + 5 dx = ln x 4x + 9 +7 arctg x 5 5 = ln x 4x + 9 +7 arctg x +C 5 5 Základní vzorce c Robert Mařík, 0
Najděte x + 5 x 4x + 9 dx. x + 5 I = x 4x + 9 dx = (x 4)++5 x 4x + 9 dx = x 4 x 4x + 9 + +5 x 4x + 9 dx = 7 ln x 4x + 9 + (x ) + 5 dx = ln x 4x + 9 +7 arctg x 5 5 = ln x 4x + 9 +7 arctg x +C 5 5 Zašifrujeme derivaci jmenovatele, tj. výraz (x 4), do čitatele. Základní vzorce c Robert Mařík, 0
Najděte x + 5 x 4x + 9 dx. x + 5 I = x 4x + 9 dx = (x 4)++5 x 4x + 9 dx = x 4 x 4x + 9 + +5 x 4x + 9 dx = 7 Musíme upravit zlomek ln x 4x tak, + aby 9 + se zlomky (x ) v prvním + 5 dx a druhém integrálu rovnaly. = ln x 4x + 9 +7 arctg x K těmto úpravám použijeme jenom multiplikativní 5 5 aaditivní konstanty (nenadělají moc = velkou neplechu při integraci). ln x 4x + 9 +7 arctg x +C 5 5 Přidáním násobku máme ve druhém zlomku v čitateli výraz (x 4) = x. Koeficient u x je v pořádku. Základní vzorce c Robert Mařík, 0
Najděte x + 5 x 4x + 9 dx. x + 5 I = x 4x + 9 dx = (x 4)++5 x 4x + 9 dx = x 4 x 4x + 9 + +5 x 4x + 9 dx = 7 ln x 4x + 9 + (x ) + 5 dx = ln x 4x + 9 +7 arctg x 5 5 (x 4) = x = ln x 4x + 9 +7 arctg x +C 5 5 (x 4)+ = x Nyní je v čitateli jenom x. Chybí číslo 5. Základní vzorce c Robert Mařík, 0
Najděte x + 5 x 4x + 9 dx. x + 5 I = x 4x + 9 dx = (x 4)++5 x 4x + 9 dx = x 4 x 4x + 9 + +5 x 4x + 9 dx = 7 (x 4) = x ln x 4x + 9 + (x ) + 5 dx = ln x 4x + 9 +7 (x 4)+ = x = ln x 4x + 9 +7 (x 4)++5 = x + 5 5 arctg x 5 arctg x +C 5 5 První a druhý zlomek jsou stejné, nedopustili jsme se žádné úpravy, která by změnila hodnotu zlomku. Základní vzorce c Robert Mařík, 0
Najděte x + 5 x 4x + 9 dx. x + 5 I = x 4x + 9 dx = (x 4)++5 x 4x + 9 dx = x 4 x 4x + 9 + +5 x 4x + 9 dx = 7 ln x 4x + 9 + (x ) + 5 dx = ln x 4x + 9 +7 arctg x 5 5 = ln x 4x + 9 +7 arctg x +C 5 5 Rozdělíme zlomek na dva. Základní vzorce c Robert Mařík, 0
Najděte x + 5 x 4x + 9 dx. x + 5 I = x 4x + 9 dx = (x 4)++5 x 4x + 9 dx = x 4 x 4x + 9 + +5 x 4x + 9 dx = 7 ln x 4x + 9 + (x ) + 5 dx = ln x 4x + 9 +7 arctg x 5 5 = ln x 4x + 9 +7 arctg x +C 5 5 f (x) = ln f (x) +C f (x) Základní vzorce c Robert Mařík, 0
Najděte x + 5 x 4x + 9 dx. x + 5 I = x 4x + 9 dx = (x 4)++5 x 4x + 9 dx = x 4 x 4x + 9 + +5 x 4x + 9 dx = 7 ln x 4x + 9 + (x ) + 5 dx = ln x 4x + 9 +7 arctg x 5 5 = ln x 4x + 9 +7 arctg x +C 5 5 Doplníme na čtverec ve jmenovateli druhého zlomku. x 4x + 9 = x x + 4+9 = (x ) + 5 Základní vzorce c Robert Mařík, 0
Najděte x + 5 x 4x + 9 dx. x + 5 I = x 4x + 9 dx = (x 4)++5 x 4x + 9 dx = x 4 x 4x + 9 + +5 x 4x + 9 dx = 7 ln x 4x + 9 + (x ) + 5 dx = ln x 4x + 9 +7 arctg x 5 5 = ln x 4x + 9 +7 arctg x +C 5 5 A +x dx = A arctg x A, kde v našem případě A = 5 Základní vzorce c Robert Mařík, 0
Najděte x + 5 x 4x + 9 dx. x + 5 I = x 4x + 9 dx = (x 4)++5 x 4x + 9 dx = x 4 x 4x + 9 + +5 x 4x + 9 dx = 7 ln x 4x + 9 + (x ) + 5 dx = ln x 4x + 9 +7 arctg x 5 5 = ln x 4x + 9 +7 arctg x +C 5 5 f (ax+b) dx = F (ax +b), v našem případě a = a Základní vzorce c Robert Mařík, 0
Najděte x + 5 x 4x + 9 dx. x + 5 I = x 4x + 9 dx = (x 4)++5 x 4x + 9 dx = x 4 x 4x + 9 + +5 x 4x + 9 dx = 7 ln x 4x + 9 + (x ) + 5 dx = ln x 4x + 9 +7 arctg x 5 5 = ln x 4x + 9 +7 arctg x +C 5 5 Upravíme. Základní vzorce c Robert Mařík, 0
3 Integrace per-partés Věta 6. Nechť funkce u a v mají derivace na intervalu I. Pak platí u(x)v (x) dx = u(x)v(x) u (x)v(x) dx, () pokud integrál na pravé straně existuje. Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
Věta 6. Nechť funkce u a v mají derivace na intervalu I. Pak platí u(x)v (x) dx = u(x)v(x) u (x)v(x) dx, (3) pokud integrál na pravé straně existuje. Důkaz: (uv) = u v +uv (uv) dx = u v dx + uv dx uv = u v dx + uv dx uv u v dx = uv dx derivace součinu zintegrování a linearita integrálu integrál odstraní derivaci algebraická úprava Integrály typické pro výpočet metodou per-partés. P (x) je polynom. P (x)e αx dx, P (x) sin(αx) dx, P (x) cos(αx) dx, P (x)arctgx dx, P (x)ln m x dx. Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
Vypočtěte (x+) lnx dx (x+) lnx dx = = lnx u = lnx v = x + ( x ( x +x ) u = x v = x +x ) ( x x +x ( ) lnx x + = +x dx ( ) ( ) x = +x lnx x +x ( ) x = +x lnx 4 x x +C Funkce je součinem polynomu a logaritmické funkce per-partés. Integrace per-partés c Robert Mařík, 0 ) dx
Vypočtěte (x+) lnx dx (x+) lnx dx = u = lnx v = x + ( x u = x v = x +x ) ( x x = lnx +x +x dx ( ) x ( ) = +x lnx x + dx ( ) ( ) Integrujeme per-partés pomocí vzorce x = +x lnx x +x u v ( dx = u v ) u v x = +x lnx dx 4 x x +C při u = lnx a v = x +. Integrace per-partés c Robert Mařík, 0 )
Vypočtěte (x+) lnx dx (x+) lnx dx = u = lnx v = x + ( x u = x v = x +x ) ( x x = lnx +x +x dx ( ) x ( ) = +x lnx x + dx ( ) ( ) Integrujeme per-partés pomocí vzorce x = +x lnx x +x u v ( dx = u v ) u v x = +x lnx dx 4 x x +C při u = lnx a v = x +. Integrace per-partés c Robert Mařík, 0 )
Vypočtěte (x+) lnx dx (x+) lnx dx = u = lnx v = x + ( x u = x v = x +x ) ( x x = lnx +x +x dx ( ) x ( ) = +x lnx x + dx ( ) ( ) Integrujeme per-partés pomocí vzorce x = +x lnx x +x u v ( dx = u v ) u v x = +x lnx dx 4 x x +C při u = lnx a v = x +. Integrace per-partés c Robert Mařík, 0 )
Vypočtěte (x+) lnx dx (x+) lnx dx = Roznásobíme závorku. = lnx u = lnx v = x + ( x ( x +x ) u = x v = x +x ) ( x x +x ( ) lnx x + ) = +x dx ( ) ( ) x = +x lnx x +x ( ) x = +x lnx 4 x x +C Integrace per-partés c Robert Mařík, 0 dx
Vypočtěte (x+) lnx dx Dokončíme integraci. (x+) lnx dx = = lnx u = lnx v = x + ( x ( x +x ) u = x v = x +x ) ( x x +x ( ) lnx x + ) = +x dx ( ) ( ) x = +x lnx x +x ( ) x = +x lnx 4 x x +C Integrace per-partés c Robert Mařík, 0 dx
Vypočtěte (x+) lnx dx (x+) lnx dx = = lnx u = lnx v = x + ( x ( x +x ) u = x v = x +x ) ( x x +x ( ) lnx x + ) = +x dx ( ) ( ) x = +x lnx x +x ( ) x = +x lnx 4 x x +C dx Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
Vypočtěte x sinx dx u = x u = x sinx dx v = sinx v = cosx = x cosx ( cosx) dx = x cosx + cosx dx = x cosx + sinx +C Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
Vypočtěte x sinx dx u = x u = x sinx dx v = sinx v = cosx = x cosx ( cosx) dx = x cosx + cosx dx = x cosx + sinx +C Integrujeme per-partés pomocí vzorce u v dx = u v při u = x a v = sinx. u v dx Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
Vypočtěte x sinx dx u = x u = x sinx dx v = sinx v = cosx = x cosx ( cosx) dx = x cosx + cosx dx = x cosx + sinx +C Integrujeme per-partés pomocí vzorce u v dx = u v při u = x a v = sinx. u v dx Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
Vypočtěte x sinx dx u = x u = x sinx dx v = sinx v = cosx = x cosx ( cosx) dx = x cosx + cosx dx = x cosx + sinx +C Integrujeme per-partés pomocí vzorce u v dx = u v při u = x a v = sinx. u v dx Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
Vypočtěte x sinx dx u = x u = x sinx dx v = sinx v = cosx = x cosx ( cosx) dx = x cosx + cosx dx = x cosx + sinx +C Upravíme. Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
Vypočtěte x sinx dx u = x u = x sinx dx v = sinx v = cosx = x cosx ( cosx) dx = x cosx + cosx dx = x cosx + sinx +C Integruje druhou část: cosx dx = sinx Hotovo. Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
Vypočtěte (x ) sin(x) dx (x )sin(x) dx = u = x u = v = sin(x) = (x ) ( ) cos(x) = (x ) cos(x)+ v = cos x ( ) cos x dx cos x dx = (x ) cos(x)+ sin(x)+c = (x ) cos(x)+ 4 sin(x)+c Funkce je součinem polynomu a sinu per-partés. Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
Vypočtěte (x ) sin(x) dx (x )sin(x) dx = u = x u = v = sin(x) = (x ) ( ) cos(x) = (x ) cos(x)+ v = cos x ( ) cos x dx cos x dx = (x ) cos(x)+ sin(x)+c Integrujeme per-partés pomocí = (x vzorce ) cos(x)+ 4 sin(x)+c u v dx = u v u v dx při u = x a v = sin(x). Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
Vypočtěte (x ) sin(x) dx (x )sin(x) dx = u = x u = v = sin(x) = (x ) ( ) cos(x) = (x ) cos(x)+ v = cos x ( ) cos x dx cos x dx Platí protože = (x ) cos(x)+ sin(x)+c v = v (x) = dx = sin(x) dx = (x ) cos(x)+ 4 sin(x)+c cos(x), sinx dx = cosx a f (ax+b) = a F (ax+b). Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
Vypočtěte (x ) sin(x) dx (x )sin(x) dx = u = x u = v = sin(x) = (x ) ( ) cos(x) = (x ) cos(x)+ v = cos x ( ) cos x dx cos x dx = (x ) cos(x)+ sin(x)+c = (x ) cos(x)+ 4 sin(x)+c u v dx = u v u v dx Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
Vypočtěte (x ) sin(x) dx (x )sin(x) dx = u = x u = v = sin(x) = (x ) ( ) cos(x) = (x ) cos(x)+ v = cos x ( ) cos x dx cos x dx = (x ) cos(x)+ sin(x)+c = (x ) cos(x)+ 4 sin(x)+c Vytkneme konstantu ( ) z integrálu. Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
Vypočtěte (x ) sin(x) dx Platí (x )sin(x) dx = cos(x) dx = u = x u = v = sin(x) = (x ) ( ) cos(x) = (x ) cos(x)+ v = cos x ( ) cos x dx cos x dx = (x ) cos(x)+ sin(x)+c = (x ) cos(x)+ sin(x), protože 4 sin(x)+c cosx dx = sinx a f (ax +b) = F (ax +b). a Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
Vypočtěte (x ) sin(x) dx (x )sin(x) dx = u = x u = v = sin(x) = (x ) ( ) cos(x) = (x ) cos(x)+ v = cos x ( ) cos x dx cos x dx = (x ) cos(x)+ sin(x)+c = (x ) cos(x)+ 4 sin(x)+c Upravíme. Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
Vypočtěte (x + ) sinx dx u = x + u = x (x + ) sinx dx v = sinx v = cosx = (x + ) cosx + x cosx dx u = x u = v = cosx v = sinx ( ) = (x + ) cosx + x sinx sinx dx ( ) = (x + ) cosx + x sinx ( cosx) = ( x ) cosx + x sinx +C Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
Vypočtěte (x + ) sinx dx u = x + u = x (x + ) sinx dx v = sinx v = cosx = (x + ) cosx + x cosx dx u = x u = Funkce je součinem polynomu v = cosx a funkce v = sinus. sinx ( ) Budeme integrovat per-partés = (x + podle ) cosx vzorce + x sinx sinx dx ( ) = (x + ) cosx + x sinx ( cosx) u v dx = u v u v dx = ( x ) cosx + x sinx +C při volbě u = (x + ) a v = sinx. Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
Vypočtěte (x + ) sinx dx u = x + u = x (x + ) sinx dx v = sinx v = cosx = (x + ) cosx + x cosx dx u = x u = v = cosx v = sinx ( ) = (x + ) cosx + x sinx sinx dx ( ) = (x ) cosx + x sinx ( cosx) (x + ) = x = ( x ) cosx + x sinx +C sinx dx = cosx Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
Vypočtěte (x + ) sinx dx u = x + u = x (x + ) sinx dx v = sinx v = cosx = (x + ) cosx + x cosx dx u = x u = v = cosx v = sinx ( ) = (x + ) cosx + x sinx sinx dx ( ) = (x + ) cosx + x sinx ( cosx) u v = ( x dx = ) u v cosx + u x v sinx dx +C Konstantní násobek a znaménko minus dáme před integrál. Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
Vypočtěte (x + ) sinx dx u = x + u = x (x + ) sinx dx v = sinx v = cosx = (x + ) cosx + x cosx dx u = x u = v = cosx v = sinx ( ) = (x + ) cosx + x sinx sinx dx ( ) = (x + ) cosx + x sinx ( cosx) = ( x ) cosx + x sinx +C Ještě jednou integrujeme per-partés. Nyní u = x a v = cosx. Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
Vypočtěte (x + ) sinx dx u = x + u = x (x + ) sinx dx v = sinx v = cosx = (x + ) cosx + x cosx dx u = x u = v = cosx v = sinx ( ) = (x + ) cosx + x sinx sinx dx ( ) = (x + ) cosx + x sinx ( cosx) x = = ( x ) cosx + x sinx +C cosx dx = sinx Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
Vypočtěte (x + ) sinx dx u = x + u = x (x + ) sinx dx v = sinx v = cosx = (x + ) cosx + x cosx dx u = x u = v = cosx v = sinx ( ) = (x + ) cosx + x sinx sinx dx ( ) = (x + ) cosx + x sinx ( cosx) = ( x ) cosx + x sinx +C u v dx = u v u v dx Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
Vypočtěte (x + ) sinx dx u = x + u = x (x + ) sinx dx v = sinx v = cosx = (x + ) cosx + x cosx dx u = x u = v = cosx v = sinx ( ) = (x + ) cosx + x sinx sinx dx ( ) = (x + ) cosx + x sinx ( cosx) Integrujeme sinus: = ( x ) cosx + x sinx +C sinx dx = cosx Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
Vypočtěte (x + ) sinx dx u = x + u = x (x + ) sinx dx v = sinx v = cosx = (x + ) cosx + x cosx dx u = x u = Upravíme. v = cosx v = sinx ( ) = (x + ) cosx + x sinx sinx dx ( ) = (x + ) cosx + x sinx ( cosx) = ( x ) cosx + x sinx +C Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
Vypočtěte (x + )e x dx. (x + ) e x dx u = x + v = e x u = x v = e x = (x + )e x + xe x dx u = x u = v = e x ( ) = (x + )e x + xe x + e x dx v = e x = (x + )e x + ( xe x e x ) = e x (x + x + 3)+C, Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
Vypočtěte (x + )e x dx. (x + ) e x dx u = x + v = e x u = x v = e x = (x + )e x + xe x dx u = x u = v = e x ( ) = (x + )e x + xe x + e x dx v = e x = (x + )e x + ( xe x e x ) = e x (x + x + 3)+C, Integruje součin polynomu a exponenciální funkce. Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
Vypočtěte (x + )e x dx. (x + ) e x dx u = x + v = e x u = x v = e x = (x + )e x + xe x dx u = x u = v = e x Integrujeme per-partés. ( ) = (x + )e x + xe x + e x dx Polynom budeme derivovat a exponencielu integrovat. v = e x = (x + )e x + ( xe x e x ) = e x (x + x + 3)+C, Nezapomeňme, že e x dx = e x. Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
Vypočtěte (x + )e x dx. (x + ) e x dx u = x + v = e x u = x v = e x Vzorec je. = (x + )e x + xe x dx u = x u = v = e x ( ) = (x + )e x + xe x + e x dx v = e x = (x + )e x + ( xe x e x ) = e x (x + x + 3)+C, u v dx = u v u v dx Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
Vypočtěte (x + )e x dx. (x + ) e x dx u = x + v = e x u = x v = e x = (x + )e x + xe x dx u = x u = v = e x ( ) = (x + )e x + xe x + e x dx v = e x Opět polynom = (x krát + )e exponenciální x + ( xe x funkce. e x ) = e x (x + x + 3)+C, Opět integrujeme per-partés. Opět derivujeme polynom. Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
Vypočtěte (x + )e x dx. (x + ) e x dx u = x + v = e x u = x v = e x = (x + )e x + xe x dx u = x u = v = e x ( ) = (x + )e x + xe x + e x dx v = e x = (x + )e x + ( xe x e x ) = e x (x + x + 3)+C, Vzorec pro červenou část je uv dx = uv u v dx, zbytek zůstane. Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
Vypočtěte (x + )e x dx. (x + ) e x dx u = x + v = e x u = x v = e x = (x + )e x + xe x dx u = x u = v = e x ( ) = (x + )e x + xe x + e x dx v = e x e x dx = e x = (x + )e x + ( xe x e x ) = e x (x + x + 3)+C, Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
Vypočtěte (x + )e x dx. (x + ) e x dx u = x + v = e x u = x v = e x = (x + )e x + xe x dx u = x u = v = e x ( ) = (x + )e x + xe x + e x dx v = e x = (x + )e x + ( xe x e x ) = e x (x + x + 3)+C, Vytkneme ( e x ). Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
Vypočtěte x arctgx dx. x arctgx dx u = arctgx u = +x = x arctgx x +x dx v = x v = x = x arctgx +x dx = x arctgx ( ) x arctgx +C. Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
Vypočtěte x arctgx dx. x arctgx dx u = arctgx u = +x = x arctgx x +x dx v = x v = x = x arctgx +x dx = x arctgx ( ) x arctgx +C. Jedná se o součin polynomu a funkce arkustangens. Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
Vypočtěte x arctgx dx. x arctgx dx u = arctgx u = +x = x arctgx x +x dx v = x v = x = x arctgx +x dx = x arctgx ( ) x arctgx +C. Budeme integrovat metodou per-partés. Budeme integrovat polynom a derivovat arkustangens. Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
Vypočtěte x arctgx dx. x arctgx dx u = arctgx u = +x v = x = x arctgx v = x +x dx = x arctgx x +x dx uv dx = uv = x arctgx u v dx ( ) x arctgx +C. Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
Vypočtěte x arctgx dx. x arctgx dx u = arctgx u = +x v = x = x arctgx v = x +x dx = x arctgx Musíme integrovat racionální funkci. = x arctgx ( Nejprve provedeme ) dělení: x arctgx +C. x x + = (x + ) = x + x + x + x + = x + x +x dx Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
Vypočtěte x arctgx dx. x arctgx dx u = arctgx u = +x = x arctgx x +x dx v = x v = x = x arctgx +x dx = x arctgx ( ) x arctgx +C. K dokončení zbývá integrovat jedničku a jeden zlomek. To provedeme pomocí příslušných vzorců. Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
Vypočtěte lnx dx lnx dx u = lnx u = x = x lnx dx v = v = x = x lnx x = x(lnx )+C Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
Vypočtěte lnx dx lnx dx u = lnx u = x = x lnx dx v = v = x = x lnx x = x(lnx )+C Ve funkci je zašifrovaný součin polynomu a logaritmické funkce: lnx dx. Integrujeme per-partés při volbě u = lnx a v =. Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
Vypočtěte lnx dx lnx dx u = lnx u = x = x lnx dx v = v = x = x lnx x = x(lnx )+C (lnx) = x dx = x Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
Vypočtěte lnx dx lnx dx u = lnx u = x = x lnx dx v = v = x = x lnx x = x(lnx )+C u v dx = u v u v dx Užijeme vztah x x =. Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
Vypočtěte lnx dx lnx dx u = lnx u = x = x lnx dx v = v = x = x lnx x = x(lnx )+C dx = x Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
Vypočtěte lnx dx lnx dx u = lnx u = x = x lnx dx v = v = x = x lnx x = x(lnx )+C Hotovo. Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
Vypočtěte ln x dx ln x dx u = ln x u = lnx x = x ln x lnx dx v = v = x u = lnx u = x v = v = x ( ) = x ln x x lnx dx ( ) = x ln x x lnx x = x ln x x lnx + x +C Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
Vypočtěte ln x dx ln x dx u = ln x u = lnx x = x ln x lnx dx v = v = x u = lnx u = x v = v = x ( ) = x ln x x lnx dx ( ) = x ln x x lnx x Je zde zašifrován součin = x ln polynomu a druhé mocniny logaritmu. x x lnx + x +C Upravíme funkci ln x na součin () (ln x) a integrujeme per-partés při volbě u = ln x a v = Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
Vypočtěte ln x dx ln x dx u = ln x u = lnx x = x ln x lnx dx v = v = x u = lnx u = x v = v = x ( ) = x ln x x lnx dx ( ) = x ln x x lnx x (ln = x ln x) = lnx(lnx) = lnx x x lnx + x +C x dx = x Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
Vypočtěte ln x dx ln x dx u = ln x u = lnx x = x ln x lnx dx v = v = x u = lnx u = x v = v = x ( ) = x ln x x lnx dx ( ) = x ln x x lnx x = x ln x x lnx + x +C u v dx = u v u v dx Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
Vypočtěte ln x dx ln x dx u = ln x u = lnx x = x ln x lnx dx v = v = x u = lnx u = x v = v = x ( ) = x ln x x lnx dx ( ) = x ln x x lnx x = x ln x x lnx + x +C Tento trik již známe: Napíšeme funkci lnx jako součin () lnx a integrujeme per-partés při volbě u = lnx a v =. Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
Vypočtěte ln x dx ln x dx u = ln x u = lnx x = x ln x lnx dx v = v = x u = lnx u = x v = v = x ( ) = x ln x x lnx dx ( ) = x ln x x lnx x = x ln (lnx) = x x lnx + x x +C dx = x Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
Vypočtěte ln x dx ln x dx u = ln x u = lnx x = x ln x lnx dx v = v = x u = lnx u = x v = v = x ( ) = x ln x x lnx dx ( ) = x ln x x lnx x = x ln x x lnx + x +C u v dx = u v u v dx Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
Vypočtěte ln x dx ln x dx u = ln x u = lnx x = x ln x lnx dx v = v = x u = lnx u = x v = v = x ( ) = x ln x x lnx dx ( ) = x ln x x lnx x = x ln x x lnx + x +C Dopočítáme integrál z jedničky. Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
Vypočtěte ln x dx ln x dx u = ln x u = lnx x = x ln x lnx dx v = v = x u = lnx u = x v = v = x ( ) = x ln x x lnx dx ( ) = x ln x x lnx x = x ln x x lnx + x +C Upravíme. Hotovo. Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
Najděte x 3 sinx dx. x 3 sinx dx = u = x 3 3x 6x 6 0 v = sinx cosx sinx cosx sinx = x 3 cosx ( 3x sinx)+6x cosx 6 sinx = ( x 3 + 6x) cos(x)+(3x 6) sinx +C Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
Najděte x 3 sinx dx. derivace derivace derivace derivace u = x 3 3x 6x 6 0 x 3 sinx dx = integrace integrace integrace integrace v = sinx cosx sinx cosx sinx = x 3 cosx ( 3x sinx)+6x cosx 6 sinx = ( x 3 + 6x) cos(x)+(3x 6) sinx +C Třikrát integrujeme per-partés, ale všechno zapíšeme do jednoho schematu. Žlutá šipka reprezentuje derivování. Derivujeme až na nulu. Červená šipka reprezentuje integrování. Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
Najděte x 3 sinx dx. x 3 sinx dx = u = x 3 3x 6x 6 0 součin součin součin součin v = sinx cosx sinx cosx sinx = x 3 cosx ( 3x sinx)+6x cosx 6 sinx = ( x 3 + 6x) cos(x)+(3x 6) sinx +C Násobíme ve směru šipek. Součinům ve směru žlutých šipek znaménko ponecháme, součinům ve směru červených šipek znaménko změníme a všechny součiny sečteme. Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
Najděte x 3 sinx dx. x 3 sinx dx = u = x 3 3x 6x 6 0 v = sinx cosx sinx cosx sinx = x 3 cosx ( 3x sinx)+6x cosx 6 sinx = ( x 3 + 6x) cos(x)+(3x 6) sinx +C Upravíme. Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
Najděte (x 3 + x)e x dx. (x 3 + x)e x dx u = x 3 + x 3x + 6x 6 0 = v = e x e x e x e x e x = (x 3 + x)e x (3x + )e x + ( 6xe x ) 6e x = e x (x 3 + x + 3x + +6x + 6) = e x (x 3 + 3x + 8x + 8) Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
Najděte (x 3 + x)e x dx. (x 3 + x)e x dx derivace derivace derivace derivace u = x 3 + x 3x + 6x 6 0 = integrace integrace integrace integrace v = e x e x e x e x e x = (x 3 + x)e x (3x + )e x + ( 6xe x ) 6e x = e x (x 3 + x + 3x + +6x + 6) = e x (x 3 + 3x + 8x + 8) Třikrát integrujeme per-partés, ale všechno zapíšeme do jednoho schematu. Žlutá šipka reprezentuje derivování. Derivujeme až na nulu. Červená šipka reprezentuje integrování. Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
Najděte (x 3 + x)e x dx. (x 3 + x)e x dx = u = x 3 + x 3x + 6x 6 0 součin součin součin součin v = e x e x e x e x e x = (x 3 + x)e x (3x + )e x + ( 6xe x ) 6e x = e x (x 3 + x + 3x + +6x + 6) = e x (x 3 + 3x + 8x + 8) Násobíme ve směru šipek. Součinům ve směru žlutých šipek znaménko ponecháme, součinům ve směru červených šipek znaménko změníme a všechny součiny sečteme. Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
Najděte (x 3 + x)e x dx. (x 3 + x)e x dx u = x 3 + x 3x + 6x 6 0 = v = e x e x e x e x e x = (x 3 + x)e x (3x + )e x + ( 6xe x ) 6e x = e x (x 3 + x + 3x + +6x + 6) = e x (x 3 + 3x + 8x + 8) Upravíme. Integrace per-partés c Robert Mařík, 0
4 Integrace pomocí substituce. Věta 7. Nechť f (t) je funkce spojitá na intervalu I, nechť funkce ϕ(x) má derivaci na intervalu J a platí ϕ(j) = I. Potom na intervalu J platí f (ϕ(x))ϕ (x) dx = f (t) dt, (4) dosadíme-li napravo t = ϕ(x). Schematicky: ϕ(x) = t ϕ (x) dx = dt Věta 8. Nechť f (x) je funkce spojitá na intervalu I, nechť funkce ϕ(t) má nenulovou derivaci na intervalu J a platí ϕ(j) = I. Potom na intervalu I platí f (x) dx = f (ϕ(t))ϕ (t) dt, (5) dosadíme-li napravo t = ϕ (x), kde ϕ (x) je funkce inverzní k funkci ϕ(x). Schematicky: x = ϕ(t) dx = ϕ (t) dt Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
sin(lnx) Vypočtěte dx x sin(lnx) dx = sin(lnx) x x dx = cost = cos(lnx)+c lnx = t x dx = dt = sint dt Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
sin(lnx) Vypočtěte dx x sin(lnx) dx = sin(lnx) x x dx = cost = cos(lnx)+c lnx = t x dx = dt = sint dt Vnitřní složka je lnx. Derivace funkce lnx je x. Tato derivace,, je v součinu s integrovanou funkcí. x Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
sin(lnx) Vypočtěte dx x sin(lnx) dx = sin(lnx) x x dx = cost = cos(lnx)+c lnx = t x dx = dt = sint dt Zavedeme substituci lnx = t. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
sin(lnx) Vypočtěte dx x sin(lnx) dx = sin(lnx) x x dx = cost = cos(lnx)+c lnx = t x dx = dt = sint dt Nalezneme vztah mezi dx a dt. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
sin(lnx) Vypočtěte dx x sin(lnx) dx = sin(lnx) x x dx = cost = cos(lnx)+c lnx = t x dx = dt = sint dt Dosadíme substituci. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
sin(lnx) Vypočtěte dx x sin(lnx) dx = sin(lnx) x x dx = cost = cos(lnx)+c lnx = t x dx = dt = sint dt Integrujeme. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
sin(lnx) Vypočtěte dx x sin(lnx) dx = sin(lnx) x x dx = cost = cos(lnx)+c lnx = t x dx = dt = sint dt Použijeme substituci k návratu k proměnné x a přidáme integrační konstantu. Hotovo. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
Vypočtěte xe x dx. x = t xe x dx x dx = dt x dx = dt = e t dt = et = e x Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
Vypočtěte xe x dx. x = t xe x dx x dx = dt x dx = dt = e t dt = et = e x Zkusíme substituovat za vnitřní složku složené funkce e x. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
Vypočtěte xe x dx. x = t xe x dx x dx = dt x dx = dt = e t dt = et = e x Hledáme vztah mezi diferenciály. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
Vypočtěte xe x dx. x = t xe x dx x dx = dt x dx = dt = e t dt = et = e x Derivujeme obě strany substituce. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
Vypočtěte xe x dx. x = t xe x dx x dx = dt x dx = dt = e t dt = et = e x Vyjádříme odsud výraz x dx, který figuruje uvnitř integrálu. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
Vypočtěte xe x dx. x = t xe x dx x dx = dt x dx = dt = e t dt = et = e x Dosadíme. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
Vypočtěte xe x dx. x = t xe x dx x dx = dt x dx = dt = e t dt = et = e x Vypočtěte integrál pomocí vzorce. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
Vypočtěte xe x dx. x = t xe x dx x dx = dt x dx = dt = e t dt = et = e x Použijeme substituci pro návrat k původní proměnné. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
Vypočtěte x x 4 + 6 dx x x 4 + 6 dx x = t x dx = dt x dx = dt x 4 = t = t + 6 dt = 8 arctg t 4 = 8 arctg x 4 +C Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
Vypočtěte x x 4 + 6 dx x x 4 + 6 dx x = t x dx = dt x dx = dt x 4 = t = t + 6 dt = 8 arctg t 4 = 8 arctg x 4 +C Substituce x 4 +6 = t, nebo x 4 = t, nejsou úplně šikovné, protože vztah mezi diferenciály při této substituci je 4x 3 dx = dt, avšak člen x 3 dx nikde v integrálu není. Člen x dx napovídá, použít substituci x = t. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
Vypočtěte x x 4 + 6 dx x x 4 + 6 dx x = t x dx = dt x dx = dt x 4 = t = t + 6 dt = 8 arctg t 4 = 8 arctg x 4 +C Hledáme vztah mezi diferenciály a vyjádříme z něj výraz x dx. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
Vypočtěte x x 4 + 6 dx x x 4 + 6 dx x = t x dx = dt x dx = dt x 4 = t = t + 6 dt = 8 arctg t 4 = 8 arctg x 4 +C Substituce x = t vede k relaci x 4 = (x ) = t. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
Vypočtěte x x 4 + 6 dx x x 4 + 6 dx x = t x dx = dt x dx = dt x 4 = t = t + 6 dt = 8 arctg t 4 = 8 arctg x 4 +C Dosadíme. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
Vypočtěte x x 4 + 6 dx x x 4 + 6 dx x = t x dx = dt x dx = dt x 4 = t = t + 6 dt = 8 arctg t 4 = 8 arctg x 4 +C Užijeme vzorec x +A dx = A arctg x A při A = 4. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
Vypočtěte x x 4 + 6 dx x x 4 + 6 dx x = t x dx = dt x dx = dt x 4 = t = t + 6 dt = 8 arctg t 4 = 8 arctg x 4 +C Užijeme zpětnou substituci t = x. Hotovo. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
Vypočtěte x+ e dx x + x+ e dx = x + e x+ dx x + = e t dt = e t = x+ e +C x + = t dx = dt x + dx = dt x + Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
Vypočtěte x+ e dx x + Vnitřní složka je Výskyt této člene x+ e dx = x + tuto substituci bude snadné. e x+ dx x + = e t dt = e t = x+ e +C x +. Derivace této vnitřní složky je x + = t dx = dt x + dx = dt x + ( x + ) = (x + ) / =. x + x + uvnitř integrálu (a v součinu) napovídá, že provést Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
Vypočtěte x+ e dx x + x+ e dx = x + e x+ dx x + = e t dt = e t = x+ e +C x + = t dx = dt x + dx = dt x + Použijeme navrženou substituci. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
Vypočtěte x+ e dx x + x+ e dx = x + e x+ dx x + = e t dt = e t = x+ e +C x + = t dx = dt x + dx = dt x + Najdeme vztah mezi diferenciály dx a dt. Dostáváme dx = dt x + a tuto relaci vynásobíme číslem. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
Vypočtěte x+ e dx x + x+ e dx = x + e x+ dx x + = e t dt = e t = x+ e +C x + = t dx = dt x + dx = dt x + Dosadíme. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
Vypočtěte x+ e dx x + x+ e dx = x + e x+ dx x + = e t dt = e t = x+ e +C x + = t dx = dt x + dx = dt x + Zintegrujeme. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
Vypočtěte x+ e dx x + x+ e dx = x + e x+ dx x + = e t dt = e t = x+ e +C x + = t dx = dt x + dx = dt x + Užijeme substituci t = x + k návratu k původní proměnné. Hotovo. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
Vypočtěte tg 3 x dx. tg 3 x dx = sin 3 x cos 3 x dx = sin x cos x sinx dx = sinx dx cos 3 x cos 3 x cosx = t sinx dx = dt sinx dx = dt = t t dt = dt = t 3 t 3 t t 3 dt = ln t + t = ln cosx + cos x +C Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
Vypočtěte tg 3 x dx. tg 3 x dx = sin 3 x cos 3 x dx = sin x cos x sinx dx = sinx dx cos 3 x cos 3 x cosx = t sinx dx = dt sinx dx = dt = t t dt = dt = t 3 t 3 t t 3 dt = ln t + t = ln cosx + cos x +C Rozepíšeme funkci tgx pomocí funkcí sinx a cosx. Lichá mocnina je i v čitateli, i ve jmenovateli. Vybereme si tu v čitateli. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
Vypočtěte tg 3 x dx. tg 3 x dx = sin 3 x cos 3 x dx = sin x cos x sinx dx = sinx dx cos 3 x cos 3 x cosx = t sinx dx = dt sinx dx = dt = t t dt = dt = t 3 t 3 t t 3 dt = ln t + t = ln cosx + cos x +C Vytáhneme jednu mocninu funkce sin x z čitatele. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
Vypočtěte tg 3 x dx. tg 3 x dx = sin 3 x cos 3 x dx = sin x cos x sinx dx = sinx dx cos 3 x cos 3 x cosx = t sinx dx = dt sinx dx = dt = t t dt = dt = t 3 t 3 t t 3 dt = ln t + t = ln cosx + cos x +C Sudou mocninu převedeme na funkci cos x. Užijeme identitu sin x + cos x =. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
Vypočtěte tg 3 x dx. tg 3 x dx = sin 3 x cos 3 x dx = sin x cos x sinx dx = sinx dx cos 3 x cos 3 x cosx = t sinx dx = dt sinx dx = dt = t t dt = dt = t 3 t 3 t t 3 dt = ln t + t = ln cosx + cos x +C Dosadíme cosx = t. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
Vypočtěte tg 3 x dx. tg 3 x dx = sin 3 x cos 3 x dx = sin x cos x sinx dx = sinx dx cos 3 x cos 3 x cosx = t sinx dx = dt sinx dx = dt = t t dt = dt = t 3 t 3 t t 3 dt = ln t + t = ln cosx + cos x +C Nalezneme vztah mezi diferenciály dx a dt. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
Vypočtěte tg 3 x dx. tg 3 x dx = sin 3 x cos 3 x dx = sin x cos x sinx dx = sinx dx cos 3 x cos 3 x cosx = t sinx dx = dt sinx dx = dt = t t dt = dt = t 3 t 3 t t 3 dt = ln t + t = ln cosx + cos x +C Přepíšeme výraz sin x dx do nových proměnných. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
Vypočtěte tg 3 x dx. tg 3 x dx = sin 3 x cos 3 x dx = sin x cos x sinx dx = sinx dx cos 3 x cos 3 x cosx = t sinx dx = dt sinx dx = dt = t t dt = dt = t 3 t 3 t t 3 dt = ln t + t = ln cosx + cos x +C Dosadíme. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
Vypočtěte tg 3 x dx. tg 3 x dx = sin 3 x cos 3 x dx = sin x cos x sinx dx = sinx dx cos 3 x cos 3 x cosx = t sinx dx = dt sinx dx = dt = t t dt = dt = t 3 t 3 t t 3 dt = ln t + t = ln cosx + cos x +C Upravíme Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
Vypočtěte tg 3 x dx. tg 3 x dx = sin 3 x cos 3 x dx = sin x cos x sinx dx = sinx dx cos 3 x cos 3 x cosx = t sinx dx = dt sinx dx = dt = t t dt = dt = t 3 t 3 t t 3 dt = ln t + t = ln cosx + cos x +C Protože je jmenovatel jednočlenný, stačí vydělit čitatele výrazem t 3. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
Vypočtěte tg 3 x dx. tg 3 x dx = sin 3 x cos 3 x dx = sin x cos x sinx dx = sinx dx cos 3 x cos 3 x cosx = t sinx dx = dt sinx dx = dt = t t dt = dt = t 3 t 3 t t 3 dt = ln t + t = ln cosx + cos x +C Nyní integrujeme pomocí vzorců. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
Vypočtěte tg 3 x dx. tg 3 x dx = sin 3 x cos 3 x dx = sin x cos x sinx dx = sinx dx cos 3 x cos 3 x cosx = t sinx dx = dt sinx dx = dt = t t dt = dt = t 3 t 3 t t 3 dt = ln t + t = ln cosx + cos x +C Po integraci provedeme návrat k původní proměnné a přidáme integrační konstantu. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
3x + Vypočtěte dx. x + 3x + dx x + = = t t + tdt = 3x + = t 3 dx = t dt dx = 3 t dt x = 3 (t ) t = 3x + = t t t + dt = t 3 (t )+ 3 t dt + t t + dt t t + ( t + dt = t ln t + arctgt = 3x + ln 3x + 3 arctg 3x + +C ) +C Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
3x + Vypočtěte dx. x + 3x + dx x + = t t + tdt = 3x + = t 3 dx = t dt dx = 3 t dt x = 3 (t ) t = 3x + = t t t + dt = t 3 (t )+ 3 t dt + t t + dt t = t + ( t + dt = t ) ln t + arctgt +C Člen 3x + je pod odmocninou. Užijeme substituci, která umožní tuto = 3x + ln 3x + 3 arctg 3x + +C odmocninu odstranit. Budeme dosazovat 3x + = t. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
3x + Vypočtěte dx. x + 3x + dx x + = = t t + tdt = 3x + = t 3 dx = t dt dx = 3 t dt x = 3 (t ) t = 3x + = t t t + dt = t 3 (t )+ 3 t dt + t t + dt t t + ( t + dt = t ln t + arctgt = 3x + ln 3x + 3 arctg 3x + +C ) +C Nalezneme vztah mezi dx a dt. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
3x + Vypočtěte dx. x + 3x + dx x + = = t t + tdt = 3x + = t 3 dx = t dt dx = 3 t dt x = 3 (t ) t = 3x + = t t t + dt = t 3 (t )+ 3 t dt + t t + dt t t + ( t + dt = t ln t + arctgt = 3x + ln 3x + 3 arctg 3x + +C ) +C Vyjádříme dx. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
3x + Vypočtěte dx. x + 3x + dx x + = = t t + tdt = 3x + = t 3 dx = t dt dx = 3 t dt x = 3 (t ) t = 3x + = t t t + dt = t 3 (t )+ 3 t dt + t t + dt t t + ( t + dt = t ln t + arctgt = 3x + ln 3x + 3 arctg 3x + +C ) +C Vyjádříme proměnnou x. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
3x + Vypočtěte dx. x + 3x + dx x + = = t t + tdt = 3x + = t 3 dx = t dt dx = 3 t dt x = 3 (t ) t = 3x + = t t t + dt = t 3 (t )+ 3 t dt + t t + dt t t + ( t + dt = t ln t + arctgt = 3x + ln 3x + 3 arctg 3x + +C ) +C Přichystáme si zpětnou substituci. Vyjádříme t pomocí x. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
3x + Vypočtěte dx. x + 3x + dx x + = = t t + tdt = 3x + = t 3 dx = t dt dx = 3 t dt x = 3 (t ) t = 3x + = t t t + dt = t 3 (t )+ 3 t dt + t t + dt t t + ( t + dt = t ln t + arctgt = 3x + ln 3x + 3 arctg 3x + +C ) +C Provedeme substituci. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
3x + Vypočtěte dx. x + 3x + dx x + = = t t + tdt = 3x + = t 3 dx = t dt dx = 3 t dt x = 3 (t ) t = 3x + = t t t + dt = t 3 (t )+ 3 t dt + t t + dt t t + ( t + dt = t ln t + arctgt = 3x + ln 3x + 3 arctg 3x + +C ) +C Upravíme. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
3x + Vypočtěte dx. x + 3x + dx x + = = t t + tdt = 3x + = t 3 dx = t dt dx = 3 t dt x = 3 (t ) t = 3x + = t t t + dt = t 3 (t )+ 3 t dt + t t + dt t t + ( t + dt = t ln t + arctgt = 3x + ln 3x + 3 arctg 3x + +C ) +C Převedeme na jeden zlomek. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
3x + Vypočtěte dx. x + 3x + dx x + = t t + tdt = 3x + = t 3 dx = t dt dx = 3 t dt x = 3 (t ) t = 3x + = t t t + dt = t 3 (t )+ 3 t dt + t t + dt t = t + ( t + dt = t ln t + arctgt Vydělíme= 3x + ln 3x + 3 arctg 3x + +C + )+( t ) t t t + = (t t + = + t t + ) +C Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
3x + Vypočtěte dx. x + 3x + dx x + = = = t t + tdt = 3x + = t 3 dx = t dt dx = 3 t dt x = 3 (t ) t = 3x + = t t t + dt = t 3 (t )+ 3 t dt + t t + dt t t + ( t + dt = t ln t + arctgt 3x + +C ) +C 3x + ln 3x + 3 arctg Získaná funkce je zlomek, který před integrováním rozdělíme na součet zlomku, který má v čitateli derivaci jmenovatele, a zlomku, který má v čitateli jen konstantu. Oba zlomky pak snadno zintegrujeme. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
3x + Vypočtěte dx. x + 3x + dx x + = t t + tdt = 3x + = t 3 dx = t dt dx = 3 t dt x = 3 (t ) t = 3x + = t t t + dt = = = 3x + ln 3x + 3 arctg Integrace je již snadná. Užijeme vztah t t + dt = t t + dt = ln(t + ). t 3 (t )+ 3 t dt + t t + dt t t + ( t + dt = t ln t + arctgt 3x + +C ) +C Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
3x + Vypočtěte dx. x + 3x + dx x + = = t t + tdt = 3x + = t 3 dx = t dt dx = 3 t dt x = 3 (t ) t = 3x + = t t t + dt = t 3 (t )+ 3 t dt + t t + dt t t + ( t + dt = t ln t + arctgt = 3x + ln 3x + 3 arctg 3x + +C Roznásobíme závorku a provedeme zpětnou substituci pro návrat k proměnné x. ) +C Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
+ x Vypočtěte dx. x + x dx = x x = t dx = t dt + t = t dt x = t + t + x = t = = = +t t + tdt = t +t t + dt = + t t + t + dt [ t+ ] ln t + arctgt [ x ] = + ln x arctg x +C + t t + dt Funkce obsahuje odmocninu z lineárního výrazu zavedeme substituci na odstranění odmocniny. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
+ x Vypočtěte dx. x + x dx = x x = t dx = t dt + t = t dt x = t + t + x = t = = = +t t + tdt = t +t t + dt = + t t + t + dt [ t+ ] ln t + arctgt [ x ] = + ln x arctg x +C + t t + dt Výraz pod odmocninou je druhá mocnina nové proměnné. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
+ x Vypočtěte dx. x + x dx = x x = t dx = t dt + t = t dt x = t + t + x = t = +t t + tdt = t +t t + dt = = + t t + t + dt [ = t+ ] ln t + arctgt Nalezneme vztah mezi diferenciály [ x dx ] = + ln x arctg a dt x +C (x ) = (derivace podle x) (t ) = t (derivace podle t) + t t + dt Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
+ x Vypočtěte dx. x + x dx = x x = t dx = t dt + t = t dt x = t + t + x = t = = = +t t + tdt = t +t t + dt = + t t + t + dt [ t+ ] ln t + arctgt [ x ] = + ln x arctg x +C + t t + dt Nalezneme x a x ze substitučního vztahu. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
+ x Vypočtěte dx. x + x dx = x x = t dx = t dt + t = t dt x = t + t + x = t = = = +t t + tdt = t +t t + dt = + t t + t + dt [ t+ ] ln t + arctgt [ x ] = + ln x arctg x +C + t t + dt Dosadíme podle substituce. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
+ x Vypočtěte dx. x + x dx = x x = t dx = t dt + t = t dt x = t + t + x = t = = = +t t + tdt = t +t t + dt = + t t + t + dt [ t+ ] ln t + arctgt [ x ] = + ln x arctg x +C + t t + dt Odmocníme t a vytkneme konstantu před integrál. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
+ x Vypočtěte dx. x + x dx = x x = t dx = t dt + t = t dt x = t + t + x = t = = = +t t + tdt = t +t t + dt = + t t + t + dt [ t+ ] ln t + arctgt [ x ] = + ln x arctg x +C + t t + dt Převedeme na jeden zlomek násobíme čitatele. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
+ x Vypočtěte dx. x + x dx = x x = t dx = t dt + t = t dt x = t + t + x = t = = = +t t + tdt = t +t t + dt = + t t + t + dt [ t+ ] ln t + arctgt [ x ] = + ln x arctg x +C + t t + dt Vydělíme čitatel jmenovatelem. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
+ x Vypočtěte dx. x + x dx = x x = t dx = t dt + t = t dt x = t + t + x = t = = = +t t + tdt = t +t t + dt = + t t + t + dt [ t+ ] ln t + arctgt [ x ] = + ln x arctg x +C + t t + dt Rozdělíme zlomek na dva jednodušší. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0
+ x Vypočtěte dx. x + x dx = x x = t dx = t dt + t = t dt x = t + t + x = t = = = +t t + tdt = t +t t + dt = + t t + t + dt [ t+ ] ln t + arctgt [ x ] = + ln x arctg x +C + t t + dt Vytvoříme v čitateli derivaci jmenovatele pomocí multiplikativní konstanty. Integrace pomocí substituce. c Robert Mařík, 0