Funkce více proměnných 6 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Ve čtvrté kapitole jsme studovali vlastnosti funkcí jedné nezávisle proměnné K popisu mnoha reálných situací však s jednou nezávisle proměnnou nevstačíme Například výsledná cena výrobku je dána cenou vstupního materiálu, cenou vkonané práce, zahrnuje daň z přidané hodnot, marži obchodníka, případně další veličin Váha člověka závisí především na jeho výšce, ale také na věku, stravovacích návcích a životním stlu každého jedince, uplatňují se i genetické vliv Spotřeba automobilu závisí na tpu a kvalitě motoru, na stlu jízd a na použitém palivu Jednoduchým příkladem z matematik je například výpočet objemu kvádru o hranách a, b, c: V = abc 6 Funkce dvou a více proměnných Nechť D je neprázdná množina bodů v rovině o souřadnicích [, ] a H je neprázdná množina reálných čísel Funkcí dvou reálných proměnných a nazýváme každé zobrazení f množin D na množinu H [5] Zápis funkce: z = f(,, případně pouze f(, nebo f: [, ] z nebo [,, z] f Proměnné, D se nazývají nezávisle proměnné nebo také argument, proměnná z H je závisle proměnná nebo také funkční hodnota Množina D se nazývá definiční obor funkce (množina všech bodů [, ], kterým daná funkce přiřazuje funkční hodnotu z), množina H je obor funkčních hodnot (množina všech čísel z) Grafem funkce dvou proměnných rozumíme plochu v prostoru o souřadnicích [,, z], přičemž [, ] nabývají všech hodnot z definičního oboru funkce Připomeňme, že třírozměrnou soustavu souřadnic tvoří vzájemně kolmé souřadnicové os,, z, které se protínají v počátku O Dvojice souřadnicových os tvoří souřadnicové rovin, z a z Souřadnicové rovin rozdělují celý prostor na 8 oktantů Zvolíme-li na každé ose měřítko, můžeme libovolné trojici [,, z] přiřadit jediný bod o souřadnicích [,, z] Bod P na obr 5, který má souřadnice [,, ], leží v prvním oktantu z P Obr 5: Souřadnicová soustava v prostoru Poznámk: Funkci také můžeme definovat jako předpis, který každé uspořádané dvojici [, ] D přiřadí právě jedno číslo z H [7] Způsob určení funkce: Funkce dvou proměnných je určena analogick jako funkce jedné proměnné, známe-li pravidlo, které každému [, ] D přiřadí jediné z = f(, H Toto pravidlo můžeme vjádřit analtick (nejčastěji rovnicí z = f(, ), tabulkou, grafem nebo slovně
Funkce více proměnných Funkci z = f(, dvou nezávisle proměnných můžeme zobecnit na funkci u = f(,, z) tří nezávisle proměnných,, z, nahradíme-li v definici bod rovin [, ] bod v třírozměrném prostoru [,, z] Nahradíme-li bod v rovině [, ] bod v n-rozměrném prostoru [,,, n ], hovoříme o funkci z = f(,,, n ) n nezávisle proměnných,,, n Pro určení definičního oboru funkce více proměnných postupujeme analogick jako u funkce jedné proměnné Příklad 6: Určete hodnotu funkce z = v bodech A[, ], B[0, ], C[-, ] a D[, -] Řešení: Daná funkce je definována v celé rovině E Funkční hodnot v daných bodech získáme dosazením prvních souřadnic bodů za proměnnou a jejich druhých souřadnic bodů za proměnnou : z ( A) = f (, ) = = 0, z ( B) = f (0, ) = 0 =, z ( C) = f (, ) = ( ) =, z ( D) = f (, ) = ( ) = 6 Příklad 6: Určete definiční obor funkce: a) z = ( )( 5 + 6), b) z = Řešení: a) Daná funkce je definována v celé rovině E s výjimkou bodů, v nichž je jmenovatel zlomku roven nule: 0 a + 6 0 Musí ted platit a Geometrick jsou rovnice = a = rovnicemi přímek v rovině Grafick je definiční obor znázorněn na obr 6a Protože přímk = a = nepatří do definičního oboru, rýsujeme je čárkovaně = = - Obr 6: Definiční obor funkce: a) z = ( ( + 6) 5, b) z = b) Daná funkce je definována pro t bod rovin, v nichž platí 0, ted a odtud + Definiční obor tvoří množina všech bodů kruhu se středem v počátku soustav souřadnic a poloměrem r = (obr 6b)
Funkce více proměnných Příklad 6: Načrtněte graf funkce: a) z = 6, b) z = Řešení: a) Daná funkce je definována v celé rovině E Vzhledem k tomu, že všechn proměnné,, z jsou lineární, je grafem funkce rovina Nejjednodušší způsob, jak ji nakreslit, spočívá v převedení rovnice rovin na úsekový tvar: 6 z + + z = + + 6 6 6 = Z poslední rovnice je vidět, že hledaná rovina vtíná na souřadnicových osách postupně úsek o velikosti 6,, 6 (obr 7a) 6 z z 6 Obr 7: Graf funkce: a) z = 6, b) z = b) Uvedená funkce je rovnicí horní polovin kulové ploch se středem v počátku soustav souřadnic a poloměrem r = (obr 7b) 6 Parciální derivace Funkce z = f(, je funkcí dvou nezávisle proměnných Chceme-li vědět, jak se tato funkce změní v závislosti na změně jedné z proměnných nebo, rozhodneme o tom pomocí parciálních derivací funkce Parciální derivaci funkce z = f(, podle proměnné určíme tak, že funkci derivujeme pouze podle proměnné a druhou proměnnou považujeme za konstantu Značíme ji smbol: (, f = = = f Parciální derivaci funkce z = f(, podle proměnné určíme tak, že funkci derivujeme pouze podle proměnné a druhou proměnnou považujeme za konstantu Značíme ji smbol: (, f = = = f Význam parciálních derivací objasní následující jednoduchý příklad Příklad 6: Náklad na určitý výrobek jsou dán funkcí dvou nezávisle proměnných TC(, = 6 + +, kde proměnná je cena kg materiálu a proměnná je cena práce za jednotku času Určete, jak se změní cena výrobku, změní-li se cena a) materiálu, b) práce
Funkce více proměnných Řešení: a) Abchom určili, jak se změní náklad v závislosti na změně cen materiálu, budeme považovat cenu práce za konstantní a vpočítáme derivaci TC = 0 + + 0 = TC Výsledek derivace = nám říká, že změní-li se cena materiálu o hodnotu Δ při konstantní ceně práce, změní se celkové náklad o trojnásobek této hodnot, ted o Δ b) Abchom určili, jak se změní náklad v závislosti na změně cen práce, budeme považovat cenu materiálu za konstantní a vpočítáme derivaci TC = 0 + 0 + = TC Výsledek derivace = interpretujeme takto: změní-li se cena práce o hodnotu Δ při konstantní ceně materiálu, změní se celkové náklad o dvojnásobek této hodnot, ted o Δ Příklad 65: Určete parciální derivace funkce A[, ] a B[0, ] z (, = + ln + 5 v bodech Řešení: Daná funkce je definována pro > 0, ted v celé horní polorovině = 0 6 + 0 + 5 = 6 + 5, ( A) po dosazení souřadnic = 6+ 5 =, ( B) = 60 + 5 5 =, = 0 + 0 + + 5 = + 0, ( A) ( B) po dosazení souřadnic = + 0 =, = + 00 = Poznámka: Pojem parciálních derivací můžeme analogick zobecnit na funkce, i více proměnných Příklad 66: Určete parciální derivace funkce u(,, z) = z + sin + e + 5 v bodě A[,, ] Řešení: Daná funkce je definována pro všechna,, z, ted v celém prostoru E Parciální derivaci funkce u(,, z) podle proměnné vpočítáme tak, že proměnné a z budeme považovat za konstant a derivovat budeme podle proměnné : u = 6 z + cos + 0 0 + 0 = 6 z + cos, z
Funkce více proměnných 5 u( A) po dosazení souřadnic = 6 + cos = + cos Parciální derivaci funkce u(,, z) podle proměnné vpočítáme tak, že proměnné a z budeme považovat za konstant a derivovat budeme podle proměnné : u = z + 0 + 0 + 0 = 9 z, u( A) po dosazení souřadnic = 9 = 0 Parciální derivaci funkce u(,, z) podle proměnné z vpočítáme tak, že proměnné a budeme považovat za konstant a derivovat budeme podle proměnné z: = + 0 + e 0 + 0 = + e u z z po dosazení souřadnic u( A) = + e, 6 = + e 6 Parciální derivace všších řádů V předchozí kapitole jsme zadanou funkci z = f(, derivovali vžd pouze jednou Vpočítali jsme proto parciální derivace prvního řádu Vpočítané parciální derivace však mohou být opět funkcemi proměnných, Můžeme je ted stejně jako v případě funkce jedné proměnné znovu derivovat a získáme celkem čtři parciální derivace druhého řádu: Zápis = = f znamená, že první parciální derivaci znovu derivujeme podle proměnné a čteme druhá parciální derivace funkce z podle proměnné Zápis = = f znamená, že první parciální derivaci znovu derivujeme podle proměnné a čteme druhá parciální derivace funkce z podle proměnné Zápis = = f znamená, že první parciální derivaci znovu derivujeme podle proměnné a čteme druhá parciální derivace funkce z podle proměnných a Zápis = = f znamená, že první parciální derivaci znovu derivujeme podle proměnné a čteme druhá parciální derivace funkce z podle proměnných a Derivace a se nazývají druhé čisté parciální derivace funkce z(,, protože při jejich výpočtu se nemění proměnná, podle které derivujeme z z Derivace a se nazývají druhé smíšené parciální derivace funkce z(,, protože při jejich výpočtu derivujeme jednou podle proměnné a podruhé podle proměnné
Funkce více proměnných 6 Příklad 67: Určete parciální derivace druhého a třetího řádu funkce z = + ln + 5 Řešení: Derivace prvního řádu jsme vpočítali v příkladě 65: = 6 + 5, = +0 Pro druhé derivace platí: čisté = 6, = + 0, Poznámk: smíšené = 0, = 0 Z posledního řádku předchozího příkladu je vidět, že obě druhé smíšené parciální derivace si jsou rovn Tato rovnost platí obecně, ale pouze v případě, kd smíšené parciální derivace jsou spojité funkce Říkáme, že smíšené parciální derivace v případě spojitosti funkcí nezávisí na pořadí derivování Je zřejmé, že i druhé parciální derivace mohou být funkcemi proměnných a, můžeme je ted dále derivovat, čímž získáme parciální derivace třetího řádu Derivací třetích parciálních derivací dostaneme parciální derivace čtvrtého řádu, atd Příklad 68: Určete parciální derivace a funkce z = + ln + v bodech A[, ] a B[0, ] Řešení: Je zbtečné počítat všechn parciální derivace prvního a druhého řádu Stačí určít pouze = 6 + ln + (derivujeme podle, kdežto považujeme za konstantu), = 6 + ln (první derivaci znovu derivujeme podle, přičemž opět považujeme za konstantu), = ln (druhou derivaci ještě jednou derivujeme podle, přičemž znovu považujeme za konstantu), = = (třetí derivaci nní derivujeme podle, přičemž považujeme za konstantu) Teprve do vpočítaných derivací dosadíme souřadnice bodů A[, ] a B[0, ]: ( A) ( A) = ln = 0 = 0, = =, ( B) ( B) 0 = 0ln = 0, = = 0
Funkce více proměnných 7 6 Etrém funkce více proměnných Etrém funkce více proměnných jsou definován analogick jako etrém funkce jedné proměnné Stejně jako u funkce jedné proměnné je rozdělujeme na lokální nebo také relativní (v okolí daného bodu) a globální nebo také absolutní (v celém definičním oboru) Podle nutné podmínk eistence etrému funkce = f() (kap 5) nastane lokální etrém v takovém bodě, v němž je tečna rovnoběžná s osou, v němž ted musí platit df = 0 Analogick pro funkci dvou proměnných z = f(, musí být tečná rovina k ploše z d = f(, v bodě, v němž nastane lokální etrém rovnoběžná s rovinou určenou osou a osou To ale znamená, že všechn tečn v tomto bodě musí ležet v rovině rovnoběžné s osou a osou, protože leží v tečné rovině k ploše (, f Pro tečnu rovnoběžnou s osou musí proto platit = = = 0 a (, f pro tečnu rovnoběžnou s osou pak = = = 0 Nutnou podmínkou eistence lokálního etrému funkce z = f(, v bodě S, v jehož okolí má tato funkce spojité parciální derivace, je platnost soustav rovnic (, f (, f = = = 0, = = = 0 (55) Tento bod S se nazývá stacionární bod funkce z = f(, Poznámka: Pro funkci tří a více proměnných analogick musí ve stacionárním bodě platit: parciální derivace podle všech nezávisle proměnných musí být ve stacionárním bodě rovn 0 Příklad 69: Určete lokální etrém funkce z + = f (, = Řešení: Funkce je definována na celé rovině E K určení stacionárního bodu vpočítáme parciální derivace = 6 (derivujeme podle, přičemž považujeme za konstantu) a = (derivujeme podle, přičemž považujeme za konstantu) Pro stacionární bod musí podle (55) platit = 0 a = 0, ted 6 = 0 a = 0 Tato soustava má jediné řešení: stacionární bod S[0, 0] Protože platí + 0 = f ( S) pro [, ] E, znamená to, že daná funkce má v bodě S[0, 0] lokální minimum Příklad 60: Určete lokální etrém funkce z + = f (, =
Funkce více proměnných 8 Řešení: Funkce je definovaná na celé rovině E, protože pro výraz pod odmocninou platí: + 0 pro [, ] E K určení stacionárního bodu vpočítáme parciální derivace: = a = + + Pro stacionární bod musí podle (55) platit = 0 a = 0, ted = 0 a = 0 + + Tato soustava však nemá řešení, protože v počátku O[0, 0], v němž je čitatel roven nule, nejsou parciální derivace definován (jmenovatel je rovněž roven 0) Daná funkce ted nemá stacionární bod Protože vžd platí + 0 = f ( O) pro [, ] E, znamená to, že daná funkce má v počátku O[0, 0] lokální maimum Příklad 6: Určete lokální etrém funkce z = f (, = Řešení: Funkce je definovaná na celé rovině E K určení stacionárního bodu vpočítáme parciální derivace = 6 a = Pro stacionární bod musí podle (55) platit = 0 a = 0, ted 6 = 0 a = 0 Tato soustava dvou rovnic pro dvě neznámé, má jediné řešení: bod S[0,0] Protože však v okolí bodu S[0, 0] funkce nabývá kladných i záporných hodnot (například pro bod [, 0] platí f(, 0) = 0 = > 0 pro 0 a pro bod [0, ] platí f(0, = 0 = < 0 pro 0), nemá zadaná funkce z = f (, = v počátku lokální etrém Předchozí příklad ukazují, že určení lokálního etrému pomocí znaménka funkce v okolí stacionárního bodu je zdlouhavé Proto zformulujeme postačující podmínku k určení lokálních etrémů K jejímu přehlednějšímu zápisu zavedeme dva determinant, které jsou tvořen druhými parciálními derivacemi: D f =, D f f f f = (56) Postačující podmínka pro eistenci lokálního etrému ve stacionárním bodě S: Nechť bod S je stacionárním bodem funkce z = f(,, která má v tomto bodě spojité parciální derivace druhého řádu
Funkce více proměnných 9 Jestliže platí D ( ) > 0 a D ( ) > 0, potom v bodě S nastává lokální minimum S S Jestliže platí D ( ) > 0 a D ( ) < 0, potom v bodě S nastává lokální maimum S S Jestliže platí D ( ) < 0, potom v bodě S nenastává lokální etrém S Jestliže platí D ( S ) = 0, potom o etrému v bodě S musíme rozhodnout na základě chování funkce v okolí bodu S Při určování lokálních etrémů funkce dvou proměnných je vhodné dodržovat následující postup: Určíme první parciální derivace funkce Vpočítáme stacionární bod S, S, funkce podle (55) vřešením soustav: = 0, = 0 Vpočítáme druhé parciální derivace funkce Vpočítáme hodnot determinantů D a D (56) pro první stacionární bod S 5 Na základě postačující podmínk rozhodneme o eistenci a druhu etrému 6 Bod a 5 opakujeme pro zbývající stacionární bod Příklad 6: Určete lokální etrém funkce = f (, = + + 5 z + Řešení: Funkce je definována na celé rovině E K určení stacionárních bodů vpočítáme parciální derivace = + a = 6 + + 0 Pro stacionární bod musí platit (55): = 0, = 0, ted + = 0, 6 + + 0 = 0 Z první rovnice po úpravě vtknutím ( + ) = 0 vplývá řešení = 0 nebo = Dosadíme-li tato řešení do druhé rovnice získáme čtři stacionární bod: 5 S [ 0, 0 ], S 0,, [, ], [, ] S S Vpočítáme druhé parciální derivace: čisté = +, = + 0, smíšené = Vpočítáme hodnot determinantů D a D (56) pro první stacionární bod S [0, 0]: 0 D ( S ) = = 0 a D ( S ) = = 0 0
Funkce více proměnných 0 5 Protože oba determinant jsou kladné, nastává podle postačující podmínk v bodě S [0, 0] lokální minimum 6 Postup v bodech a 5 opakujeme pro zbývající stacionární bod 5 S 0, : 0 0 D ( S ) = = a 0 0 D ( S ) = = Protože determinant D ) je kladný a determinant D ) je záporný, nastává podle ( S postačující podmínk v bodě 0 S [, ] : D ( S ) = = 6 ( S 5 S 0, lokální maimum Protože determinant D ) je záporný, nenastává podle postačující podmínk v bodě [, ] ( S S lokální etrém S [, ] : D ( S ) = = Protože determinant D ) je záporný, nenastává podle postačující podmínk v bodě [, ] ( S S lokální etrém Příklad 6: Určete maimální zisk, jestliže poptávková funkce po výrobku je p ( ) = 50 a poptávková funkce po výrobku je p ( = 60 Celkové náklad na výrobu jsou dán funkcí n = n(, = Řešení: Funkce určující výsledný zisk je dána vztahem Π = Π(, = p( ) + p ( n(, = (50 ) + (60 = = 50 + 60 Abchom odpověděli na zadaný úkol, musíme určit lokální etrém funkce Π (, : K určení stacionárních bodů vpočítáme parciální derivace Π Π = 50 a = 60 Π Π Pro stacionární bod musí platit (55): = 0 a = 0, ted 50 = 0, 60 = 0 Jestliže od první rovnice odečteme druhou rovnici, dostaneme 0 + = 0 a odtud snadno určíme = 5 Dosazením do první rovnice vpočítáme = 0 S 0, 5 Stacionární bod ted má souřadnice [ ] Musíme ověřit, zda ve stacionárním bodě nastane lokální maimum Vpočítáme druhé parciální derivace:
Funkce více proměnných čisté =, =, smíšené = Vpočítáme hodnot determinantů D a D ( S) = = a D ( S) = = D (56) pro stacionární bod [ 0, 5] S : 5 Protože determinant D ( S ) je kladný a determinant D ( S ) je záporný, nastává podle S 0, 5 lokální maimum postačující podmínk v bodě [ ] Maimální zisk určíme vpočítáním funkční hodnot funkce z(, v bodě [ 0, 5] Π (0, 5) = 500 0 + 605 5 05 = 650 S : Poznámka: Uvedené lokální etrém funkce více proměnných se nazývají volné lokální etrém Kromě nich se u funkcí více proměnných vsktují ještě vázané lokální etrém, kd kromě zadané funkce více proměnných je navíc určena podmínka, kterou hledané etrém musí splňovat 65 Cvičení Určete a načrtněte definiční obor funkcí: a) z = + + 6 + [ 0 ] b) z= [ ± ] c) z = + 7 [ ] d) z = + 5 [ ] e) z = 5 [ 0, > 0] f) z = + + 5 6 [( 0 0) ( 0 0) ] Vpočítejte parciální derivace funkcí: a) z = + 5 [ = +, = + ] b) z = sin + cos [ = + cos, + c) z = e ln = cos [ e = +, d) z = + [ =, + = e sin ] + = ] + ]
Funkce více proměnných Vpočtěte parciální derivace funkce z= f (, v daném bodě A: a) z= +, A = [, ] [, ] b) z= ln( + ), A = [0, ] [0, ] c) z = e, A = [-, 0) [0, ] d) z= (5 n, A = [, 5] [0, 0] e) z = 5, A = [, ] [ 5 8 8 +, ] Vpočítejte parciální derivace druhého řádu funkcí: 5 a) z = + [ z = 6 6, z = 0, z = z = ] b) z = + [ z = 0, z =, z = ] c) z = e sin [ z = e sin, z = e cos, z = e sin] d) z = sin + cos [ z = sin, z = cos sin, z = cos ] 5 Vpočítejte lokální etrém funkcí: a) z= + [nemá etrém] b) z= + + [lokální minimum v bodě [-, ]] c) z= [lokální maimum v bodě [, ]] d) z= 6+ [lokální minimum v bodě [, ]]