FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ

Diereciálí počet ucí jedé reálé proměé -. - SPOJITOST A LIMITY FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY Níže procvičujeme pouze výpočet it, o spojitosti se ezmiňujeme. To proto, že vyšetřeí spojitosti uce je možo vždy převést výpočet ity (viz Breviář, odst..). Limitu zdé uce v zdém odě (i evlstím) reálé osy můžeme počítt ěolierým způsoem: přímo pomocí deiice, pomocí vět o lgeře it, pomocí poročilejších vět (př. L Hospitlov prvidl). V této pitole se soustředíme prví dvě možosti, L Hospitlovu prvidlu věujeme pitolu smosttou. Nezytou teorii je možo lézt v Breviáři v odst... Při výpočtu ejčstěji používých it se ovyle postupuje ásledově. Nejdříve se určí ity ejjedodušších ucí přímo z deiice, v dlším se teto záldí souor it užije výpočtu it ompliovějších pomocí vět o lgeře it, erovostech mezi itmi eo pomocí prostředů poročilejších (př. již zmíěého L Hospitlov prvidl). V ásledujícím je teto přirozeý postup ilustrová ěoli řešeých příldech i eřešeých cvičeích. VÝPOČET LIMIT POMOCÍ DEFINICE Použití deiice ity vede ovyle techicy velmi ompliový prolém vyždující zprvidl vysoce etriviálí zlosti o erovostech. Níže se můžeme proto zývt je pouze těmi ejjedoduššími příldy. Ty slouží ilustrci, j deiici použít. Jejich propočteí v žádém přípdě estčí to, yste se deiice it učili tivě používt. VLASTNÍ LIMITA VE VLASTNÍM BODĚ Jý je ovylý postup při důzu tvrzeí, že uce má v odě itu A, tj. ( ) = A?. Doplíme orétí údje ze zdáí příldu do deiice, tj. orétí tvr uce orétí hodoty čísel A do výroové ormy > 0 δ > 0 : D 0 < < δ ( ) A <, jejíž prvdivost máme doázt. Tj. máme uázt, že pro liovolé umíme lézt δ t, y yl prvdivá v deiici se vysytující implice.. V poždovém důzu vyjdeme z výrzu ( ) A, terý uprvujeme t, ž jej převedeme prostředictvím poslouposti erovostí ( ) A α výrz α, de α je ějé ldé číslo.. Poud se ám to povede, jsme hotovi, protože p již stčí je volit δ < / α, př. δ = ( / α ) / eo δ = ( / α) / td. Při tové volě totiž pltí > αδ > α ( ) A, tedy i ( ) A <. PŘÍKLAD 5 6 = 9. Dožte, že ( ) Řešeí Při řešeí příldu postupujeme podle progrmu vytýčeého v předcházející pozámce. J jsme zjistili, čemu je uvedeá it rov? Prostým doszeím. Fuce z tohoto příldu je spojitá, it v ějém odě jejího deiičího ooru je proto rov její učí hodotě v tomto odě. Protože se udete většiou setávt s ucemi spojitými, uvedeý jedoduchý postup výpočtu ity ude ovyle ugovt.

-. - Spojitost ity d ) Nejdříve dosdíme ze zdáí do deiice > 0 δ > 0 : D 0 < < δ (5 6) 9 <. d ) V dlším rou se sžíme převést výrz (5 6) 9. Tetorát to jde sdo (5 6) 9 = 5 5 = 5( ) = 5. d ) Vidíme tedy ezprostředě, že α z oecého ávodu je rovo 5 že doočeí důzu stčí volit δ < / 5, př. δ = /0. CVIČENÍ K PŘÍKLADU. Dožte pomocí deiice vlstí ity ve vlstím odě ásledující rovosti ) ( ) = 5 d) ( ) = 0 g) ( + q) = + q ) (0 + 0) = 0 e) 5 = 5 c) ( 6 ) = 8 ) = () () h) ( + q) = + q, 0 i) c = c Dožte, že PŘÍKLAD = 6 Řešeí I v tomto příldě se udeme držet oecého ávodu. ) Nejprve opět doszeí zdáí do deiice:. > 0 δ > 0 : 0 < < δ 6 < D. ) Jo dlší ro tedy máme uprvovt výrz 6. Postup je sdě 6 = ( )( + ) = +. Zísý mezivýslede ás svádí položit α = + poždovt δ < / +. Tto to ovšem ejde, musí ýt ostt, emůže proto záviset ezávislé proměé. Řešeí tohoto příldu vyžduje přece je poěud jemější úvhy oproti těm, s imiž jsme vystčili v příldu předcházejícím. Musíme si uvědomit, že při výpočtu ity v odě = ás podle deiice zjímá chováí itové uce je ějém mlém reduovém oolí tohoto odu. V Breviáři jsme tové oolí psli ve tvru (, ) (, + ). Volme yí př. =. N sjedoceí itervlů (, ) (, + ) (, ) (, 5) je uce ( ) = určitě deiová (do jejího deiičího ooru ptří dooce celý itervl (,5)) prví předpold deiice ity ve vlstím odě je proto splě. Omezíme-li se v dlším je t, terá ptří do uvedeého sjedoceí, můžeme psát < < 5, tedy i 7 < + < 9. Pltí proto zcel jistě + < 9 my můžeme porčovt ve výše zpočtých úprvách 6 erovostí Zde máme mysli osttí uci () = 5. V cvičeích i jsou,, q c osttí prmetry.

Diereciálí počet ucí jedé reálé proměé -. - 6 = = + < 9. ) Tím jsme ovšem hotovi, protože yí už můžeme podle všech prvidel volit α = 9 δ < / 9. Tže opět př. (áhodou!) δ = /0. CVIČENÍ K PŘÍKLADU. Dožte pomocí deiice vlstí ity ve vlstím odě ásledující rovosti ) ( ) = d) ) (5 ) = 5 ( 0) = g) ( + + ) = e) ( ) = h) c) ( + ) = ) ( + ) = j) = 8 l) = 6 ) = m) ( ) = = i) ( + p + q) = + p + q,, p 0 () Osttí typy it I pro osttí typy it evlstí, v evlstích odech či jedostré se používá postup velmi podoý tomu, s ímž jsme se sezmovli v předcházejícím tetu příldech vlstích it ve vlstích odech. Následující příldy mjí sloužit je jo vyré ilustrce použití tohoto postupu při výpočtu osttích typů it, v žádém přípdě si eldou z cíl porýt všechy možosti. PŘÍKLAD (evlstí it ve vlstím odě) Dožte, že 0 + = +. 5 Řešeí ) Nejdříve musíme opět dosdit ze zdáí do oecé deiice. T pro evlstí itu + uce ve vlstím odě zprv zí ( ) = + právě, dyž K > 0 δ > 0 : D 0 < < δ ( ) > K. + Po doszeí ze zdáí vidíme, že máme doázt pltost tvrzeí K > 0 δ > 0 : D 0 < < δ > K. ) I yí ude výchozím odem šich úvh druhá z erovostí, / > K. Tu můžeme vzhledem e ldému zméu i K psát též ve tvru < / K, z ějž vidíme, že poud pro zdé ldé K zvolíme δ t, že ude pltit δ < / K, jsme hotovi, eoť < δ < < > K. K K ) N závěr tedy zvolme jedu z eoečě moh možostí, j split podmíu δ < / K. Npř. δ = / K.,, p q jsou osttí prmetry. 5 Všiměte si, že tetorát se poprvé setáváme s jedostrou itou. Pmtujete si, j se změí deiice oproti itě ooustré?

-. - Spojitost ity PŘÍKLAD (vlstí it v evlstím odě) Dožte, že = 0. Řešeí ) I v tomto přípdě zčeme doszeím do oecé deiice. Připomeňme si ejdříve její tvr pro oecou uci () itu A: ( ) = A právě, dyž > 0 M > 0 : D > M ( ) A <. Po doszeí tedy máme uázt, že pltí > 0 M > 0 : D > M <. ) Jo už trdičě, vycházíme ze druhé erovosti, terou můžeme vzhledem e ldosti přepst / <. A protože i je podle předpoldu ldé, pltí též / <, odud vidíme, že vhodá vol M je / < M. P totiž můžeme psát > M > < < split t implici vysytující se ve výše uvedeé deiici. ) K uočeí důzu opět vyerme jedu z eoečě moh možostí, j split podmíu / < M. T př. M = 5/. PŘÍKLAD 5 (evlstí it v evlstím odě) Dožte, že (5 ) =. Řešeí Nyí už je stručě, postup je ž droé změy stejý jo v předcházejících dvou příldech. ) Oecá deiice zí ( ) = právě, dyž K < 0 M < 0 : D < M ( ) < K po doszeí (5 ) = právě, dyž K < 0 M < 0 : D < M 5 < K. ) Ze druhé erovosti, 5 < K, vyplývá < K / 5, je tedy tře volit M < K / 5. P totiž K K < M < < 5 < K. 5 5 ) Jed z možých vole vedoucích e splěí podmíy M < K / 5 je pro záporé M i K př. M < K.

Diereciálí počet ucí jedé reálé proměé -.5 - CVIČENÍ K PŘÍKLADŮM 5. Dožte pomocí odpovídjících deiic ásledující rovosti ) 0 = ) 0 + = c) = + + d) = + 0 e) = 0 0 ) = 0 g) = 0 + 6 h) = 0 i) ( 6 ) = j) (, ) = + ) (,5 ) = l) (6 ) = + Výpočet it pomocí vět o lgeře it PŘÍKLAD 6 Pomocí vět o itě součtu, rozdílu součiu vypočítejte ( + 6 ). Řešeí Nejdříve použijeme větu o itě součtu rozdílu 6 ( + 6 ) = ( ) ( ) + (6 ) ždý sčítec p opově větu o itě součiu ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) = = ( ) = = = = ( )( )( )( ), ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) (6 ) = ( 6)( ). ( ) = = ( ) = Noec tedy můžeme psát, ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( + 6 ) = + 6. K doočeí výpočtu potřeujeme určit ity z prvé stry posledí rovosti. Přímo pomocí deiice (viz též cvičeí i příldu ) ychom sdo doázli, že pltí proto i =, =, 6 = 6 =, ( ) ( ) ( ) ( + 6 ) = + 6 = 5. 6 Npoprvé vše podroě rozepisujeme, později už udeme stručější. I vy si zpočátu vše podroě rozepisujte vždy se ptejte, jou větu jste v dém rou použili.

-.6 - Spojitost ity CVIČENÍ K PŘÍKLADU 6. Určete ásledující ity d) + + + e) + 0 + ) ( 6 ) ) ( )( ) c) ( + ) ( + 6) 6 ) g) h) ( ) / ( ) + ( + ). Pomocí pricipu mtemticé iduce dožte pltost tvrzeí pomocí tohoto vzthu dále ( ) = ( ) =. si. Z předpoldu, že = 0 určete ásledující ity 7 ) 0 si tg ) 0 si( + ) si c) 0, cos = 0 cos d) 0 si, si = 0, cos = e =, 0 + cos cos e) 0 si ) 0 cos 0 e g) 0 + e 0 PŘÍKLAD 7 Pomocí vět o itě součtu, rozdílu součiu vypočítejte +. + 6 Řešeí Přímočrou plicí vět o itě podílu, součtu součiu (proveďte podroě smi!) ychom tetorát zísli + + 0 = = =. + 6 + 6 0 Tedy výrz, terý eí i v rámci rozšířeých prvidel pro počítáí s reálými čísly deiová. Použití vět o lgeře it je le podle Breviáře přípusté pouze tehdy, dojdeme-li pomocí ich doře deiovým výrzům. V opčém přípdě (jo je teto) eí možo příslušé věty použít tto přímočře ez dlších úvh. Řešeí se ízejí v podsttě dvě. Jed je možo použít vět soistiovějších (jou je př. vět L Hospitlov, o teré se 7 Návod: Limitové výrzy uprvte ejdříve t, y se v ich vysytovly je z dřívějš zámé ity ity ze zdáí, p užijte lgericých vět. Symolem ozčujeme osttí prmetr.

Diereciálí počet ucí jedé reálé proměé -.7 - ještě zmííme v jedé z ásledujících pitol), eo itovou uci před použitím lgericých vět uprvit. V tomto příldě se vydáme druhou cestou. Potřeá úprv je sdě. Protože hodot = je ořeem polyomů ve jmeovteli i v čitteli, musí ýt o dělitelé lieárím dvojčleem. Sdým výpočtem 8 zísáme Můžeme proto též psát ( ) ( ) ( ) ( ) + : = +, + 6 : = +. ( )( ) ( )( ) + = +, + 6 = +, tedy i 9 ( + )( ) ( )( ) + + + 9 = = = = = + 6 + + + 5. Po zčeé úprvě jsme tedy zísli výrz, jehož itováí vedlo, po použití vět o lgeře it, doře deiovému podílu dvou celých čísel. Poud ychom poprvé euspěli, museli ychom se uď vrátit výrzu původímu pousit se o úprvy jié, eo dále uprvovt zísý výrz t dlouho, ž y ylo použití lgericých vět přípusté. Bohužel e vždy se to musí povést. CVIČENÍ K PŘÍKLADU 7. Určete ásledující ity ) 6 + ) 0 c) + 5 + 8 + + + + 6 d) + 7 5 + 8 () e) ( + ) ) 0 g) h) 7 i) (0) () PŘÍKLAD 8 Pomocí vět o itě součtu součiu pomocí prvidel pro počítáí + 6 +. s eoečy vypočítejte ( ) Řešeí Nejdříve se pousíme o ezprostředí použití v zdáí vrhových vět. Poud dosteme iterpretovtelý výslede, jsme hotovi, ji udeme muset vyzoušet ěco jiého. Tže 8 O děleí polyomů viz. př. J. POLÁK, Přehled středošolsé mtemtiy. 9 Při přechodu od druhé e třetí itě využíváme toho, že podle deiice je, můžeme tedy rátit výrzem, závěr (ozčeo..., podroě doplňte smi) používáme příslušé lgericé věty. 0 Při výpočtu této ity využijte tu, že odmoci je spojitá uce svém deiičím ooru, tedy že = pro liovolé ldé že lze psát =. V cvičeí (e), () i je osttí prmetr I třetí všechy vyšší odmociy jsou svém deiičím ooru spojité uce.

-.8 - Spojitost ity ( ) ( ) ( ) ( ) + 6 + = + 6 + = + 6 +. Pomocí deiice sdo zjistíme, že což po doszeí dává =, 6 = 6, = = +, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + 6 + = = + + 6 + + = + + + 6 + + = = + + + = + + = +. Pomocí lgericých vět jsme tedy dospěli výsledu ( ) + 6 + = +. CVIČENÍ K PŘÍKLADU 8. Určete ásledující ity c) 8 5 6 d) + 6 ) ( + 0) ) ( ) e) [( + 6)( 0) ] ) ( ) Ne vždy je možo při počítáí it, v ichž se vysytují eoeč, postupovt t přímočře, j jsme si to uázli v příldě 8 v vzujících cvičeích. V ásledujících dvou příldech stííme dv užitečé triy, j si pordit, rzíme-li při itováí eurčité výrzy. PŘÍKLAD 9 Pomocí vět o itě součtu součiu pomocí prvidel pro počítáí + +. s eoečy vypočítejte ( ) Řešeí Postup stíěý v příldu 8 tetorát euguje, po použití vět ze zdáí ychom dospěli edeiovému výrzu +. Ověřte! Nštěstí je možo teto prolém oejít vhodou lgericou úprvou. Stčí, dyž si uvědomíme, že + + = + +, což zmeá, že z itového polyomu máme vytout ejvyšší mociu ezávislé proměé. P lze totiž ez potíží psát Proveďte. Využíváme ásledujících rovostí (viz Breviář, odst..): ( + ) ( + ) = +, c ( + ) = + ostt, + + c = +., de c je ldá

Diereciálí počet ucí jedé reálé proměé -.9 - Pltí tedy ( + + ) = + + = + + = = ( ) ( ) ( ) + + = + + = ( ) ( ) = + + + = + [ + 0 + 0] = +. + ( ) + + = +. PŘÍKLAD 0 Pomocí vět o itě součtu součiu pomocí prvidel pro počítáí + s eoečy vypočítejte. + 6 Řešeí Ai tuto itu emůžeme jít hruou silou. Dříve, ež použijeme věty o lgeře it, musíme provést droou úprvu itového výrzu. Tetorát tri, terý vede cíli, spočívá ve vytutí ejvyšší mociy ezávislé proměé z čittele i jmeovtele itového zlomu. V tomto orétím příldě vytýáme + + + ( ) + + = = = = 6 6 6 6 + + ( + ) + 0 + 0 = = + + = = = 6 6 0 + ( + ). ( ) Ačoliv se v mezivýsledcích vysytovl ezříd eoeč, výsledá it je oečá 6 + =. CVIČENÍ K PŘÍKLADŮM 9 A 0. Určete ásledující ity ) ( + 0) c) 6 + e) 7 6 + 5 6 + 7

-.0 - Spojitost ity ) ( 5 + + ) d) 5 + + ) ( )( + ) ( + )( + ) g) ( 0 + + + ) = 0 h) = i) = 0 0 j) = ) = 0, de 0,,, jsou ostty, 0 + + + + + + 0 0 = 0 0 = 0 0 m 0 = 0 + + + + + + m, de 0,,, 0,,, jsou ostty,, 0 m = 0 m = 0 Výsledy: CVIČENÍ K PŘÍKLADU ) ) c) d) 0 e) 6 ) δ g) δ <, δ může ýt liovolé ldé číslo, h) <, i) δ může ýt liovolé ldé číslo. CVIČENÍ K PŘÍKLADU ) ) c) d) 5 e) 5 ) g) 5 h) i) 7 5 δ < +, + p j) ) 9 l) 6, 5 m) 65 δ <. 5

Diereciálí počet ucí jedé reálé proměé -. - CVIČENÍ K PŘÍKLADŮM -5 ) ) c) d) δ <, e) K δ <, ) K δ < +, g) K M <, i) spor, ( 6 ) 0 M <, j) M > 6, ) h) M >, l) K K M >,,, K M >,,5 K + M >. 6 CVIČENÍ K PŘÍKLADU 6 ), d), g),75, ), e), h) c) 0, ) 6, ), d), g) e. ), e) 0, c) cos, ),. 5 CVIČENÍ K PŘÍKLADU 7 ), d) 5, g),,, i). ) 0, e), h) c), ) CVIČENÍ K PŘÍKLADU 8 ) +, c), e), ) +, d) 0, ) +. CVIČENÍ K PŘÍKLADŮM 9 A 0 ) +, c) e), ), d) 0, ), g) > 0 +, = 0 0, < 0 h) je liché < 0 => +, je sudé > 0 => +, je liché > 0 =>, je sudé < 0 => ; i)

-. - Spojitost ity j) < m => 0 < m => 0 ) + : = m => > m > 0 => + < 0 => : = m => > m sudé m sudé, > 0 => + sudé m sudé, < 0 => liché m liché, > 0 => + liché m liché, < 0 => sudé m liché, > 0 => sudé m liché, < 0 => + liché m sudé, > 0 => liché m sudé, < 0 => +