VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA ZÁKLADY MATEMATIKY Mrie Dostálová Elišk Grdvská Rdk Hmříková Věr Jků Miloslv Tebergová Vtvořeo v rámci projektu Operčího progrmu Rozvoje lidských zdrojů CZ00/5/006 Studijí opor s převžujícími distčími prvk pro předmět teoretického zákldu studi Teto projekt je spoluficová Evropským sociálím fodem státím rozpočtem České republik ESF ROVNÉ PŘÍLEŽITOSTI PRO VŠECHNY
ISBN 978 80 8 95
Zákld mtemtik OBSAH TITULNÍ STRÁNKA ÚVOD 5 ČÍSELNÉ OBORY (ELIŠKA GARDAVSKÁ) 9 FUNKCE (RADKA HAMŘÍKOVÁ) 9 ROVNICE A NEROVNICE (VĚRA JANKŮ) 8 KOMPLEXNÍ ČÍSLA (MILOSLAVA TANNENBERGOVÁ) 5 5 POSLOUPNOSTI (MARIE DOSTÁLOVÁ) 5 6 KOMBINATORIKA (VĚRA JANKŮ) 80 7 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ (RADKA HAMŘÍKOVÁ) 96 LITERATURA 5 - -
Zákld mtemtik Úvod STUDIJNÍ OPORY S PŘEVAŽUJÍCÍMI DISTANČNÍMI PRVKY PRO PŘEDMĚTY TEORETICKÉHO ZÁKLADU STUDIA je ázev projektu, který uspěl v rámci prví výzv Operčího progrmu Rozvoj lidských zdrojů Projekt je spoluficová státím rozpočtem ČR Evropským sociálím fodem Prter projektu jsou Regioálí středisko výchov vzděláváí, sro v Mostě, Uiverzit obr v Brě Techická uiverzit v Liberci Projekt bl zháje 5006 bude ukoče 008 Cílem projektu je zprcováí studijích mteriálů z mtemtik, deskriptiví geometrie, fzik chemie tk, b umožil především smostté studium tím miimlizovl počet kotktích hodi s učitelem Je zřejmé, že vtvořeé tet jsou urče studetům všech forem studi Studeti kombiové distčí form studi je vužijí k smostudiu, studeti v prezečí formě si z ich mohou doplit získé vědomosti z výuk Všem studetům tet pomohou při procvičeí ověřeí získých vědomostí Nezedbtelým cílem projektu je umožit zvýšeí kvlifikce širokému spektru osob, které emohl ve studiu vsoké škole z růzých důvodů (sociálích, rodiých, politických) pokrčovt bezprostředě po mturitě V rámci projektu jsou vtvoře jedk stdrdí učebí tet v tištěé podobě, kocipové pro smostté studium, jedk e-lerigové studijí mteriál, přístupé prostředictvím iteretu Součástí výstupů je rověž bk testových úloh pro jedotlivé předmět, íž si studeti ověří, do jké mír zvládli prostudové učivo Bližší iformce o projektu můžete jít drese http://wwwstudoporvsbcz/ Přejeme vám moho úspěchů při studiu budeme mít rdost, pokud vám předložeý tet pomůže při studiu bude se vám líbit Protože ikdo eí eomlý, mohou se i v tomto tetu objevit ejsosti chb Předem se z ě omlouváme budeme vám vděči, pokud ás ě upozoríte ESF ROVNÉ PŘÍLEŽITOSTI PRO VŠECHNY - 5 -
Zákld mtemtik Pok ke studiu POKYNY KE STUDIU V úvodu si vsvětlíme jedotou pevou strukturu kždé kpitol tetu, která b vám měl pomoci k rchlejší orietci při studiu Pro zvýrzěí jedotlivých částí tetu jsou používá iko brevé odlišeí, jejichž výzm í objsíme Průvodce studiem vás stručě sezámí s obshem dé kpitol jejím čleěím Cíle vás sezámí s učivem, které v dé kpitole pozáte které bste po jejím prostudováí měli umět Předpokládé zlosti shrují stručě učivo, které bste měli zát ještě dříve ež kpitolu zčete studovt Jsou ezbtým předpokldem pro úspěšé zvládutí dé kpitol Výkld ozčuje smotý výkld učiv dé kpitol, který je čleě způsobem obvklým v mtemtice defiice, vět, přípdě důkz Defiice Zvádí zákldí pojm v dé kpitole Vět Uvádí zákldí vlstosti pojmů zvedeých v dé kpitole Důkz: Vchází z předpokldů vět dokzuje tvrzeí uvedeé ve větě - 6 -
Zákld mtemtik Pok ke studiu Pozámk doplňuje ebo kometuje vkládou látku Řešeé úloh ozčují vzorové příkld, které ilustrují probré učivo Příkld Uvádí zdáí příkldu Řešeí: Uvádí podrobé řešeí zdého příkldu Úloh k smosttému řešeí obshují zdáí příkldů k procvičeí probrého učiv Úloh ozčeé ptří k obtížějším jsou urče zájemcům o hlubší pochopeí témtu Výsledk úloh k smosttému řešeí obshují správé výsledk předchozích příkldů, slouží ke kotrole správosti řešeí Klíč k řešeí úloh obshuje postup při řešeí příkldů k smosttému řešeí Kotrolí otázk obshují soubor otázek k probrému učivu Kotrolí test obshuje soubor příkldů k probrému učivu Výsledk testu uvádějí správé odpovědi příkld kotrolího testu - 7 -
Zákld mtemtik Pok ke studiu Shrutí lekce obshuje stručý přehled probrého učiv Litertur obshuje sezm kih, které bl použit při tvorbě příslušého tetu které bl přípdě uvede odkz k hlubšímu prostudováí témtu Piktogrm, který upozorňuje důležité vzth ebo vlstosti, které je ezbté si zpmtovt Předkládá skript pro předmět Zákld mtemtik (dále je ZM) jsou urče pro studet deího i kombiového studi VŠ techického ekoomického změřeí Mjí jim sloužit jko učebí pomůck pro zopkováí pro ě dále důležitých prtií středoškolské mtemtik, jejichž zlost je utým předpokldem pro zvládutí vzujících předmětů vsokoškolského studi Látk ZM je rozděle do sedmi kpitol Podrobý obsh, umístěý před kždou kpitolou, posktuje studetovi přehled o ápli jedotlivých kpitol umoží mu zvolit si t prtie, které potřebuje zopkovt V tetu je zchováo zčeí obvklé středích školách, s výjimkou 6 kpitol Tto část, týkjící se počtu vricí kombicí, uvádí místo ozčeí V ( ) C ( ) Zvoleé ozčeí se používá v tetech předmětu Počet prvděpodobosti k k sttistik, se kterým se posluchči setkjí v průběhu studi VŠB-TUO V( k, ) K( k, ) Moho úspěchů ve studiu mtemtik přeje z celý kolektiv utorek V Ostrvě, září 006 Elišk Grdvská - 8 -
Zákld mtemtik Číselé obor ČÍSELNÉ OBORY 0 Některé pojm z mtemtické logik 0 Výroková logik 0 Moži vzth mezi imi Možiové operce Grfické zázorěí moži Číselé obor 5 Čísl ázv jejich chrkteristik 5 Chrkteristik číselých oborů 7 Zákldí početí operce 7 Itervl 7 Algebrické výrz 9 Polom (mohočle) 9 Úprv rcioálích lomeých výrzů (vzorce prvidl pro umocňováí) 0 Úprv ircioálích lgebrických výrzů (prvidl pro odmocňováí) Absolutí hodot reálého čísl 5 Rozkld kvdrtického trojčleu Kotrolí otázk Úloh k smosttému řešeí 5 Výsledk úloh k smosttému řešeí 5 Klíč k řešeí úloh 6 Kotrolí test 7 Výsledk testu 8-9 -
Zákld mtemtik ČÍSELNÉ OBORY Číselé obor Průvodce studiem Tto kpitol Zákldů mtemtik je rozděle do tří meších celků t jsou ještě dále rozčleě meší oddíl, v ichž je podá stručý přehled těch prtií ze středoškolské mtemtik, které potřebujete k pochopeí dlšího učiv Jejím prostudováím si zopkujete doplíte přípdé mezer ve svých mtemtických zlostech Do třetí podkpitol jsou zřze řešeé příkld po ich Úloh k smosttému řešeí s výsledk Jk dlece jste zvládli učivo kpitol si ověříte kotrolím testu Předpokládé zlosti Zát zákldí vlstosti početích opercí (komuttivost, socitivost,distributivost), umět mohočle sčítt, odečítt, ásobit, zát výpočet kořeů kvdrtické rovice Některé pojm z mtemtické logik Cíle Cílem této kpitol je stručě se sezámit se zákldími pojm z mtemtické logik teorie moži Výkld Výroková logik VÝROK je vsloveé ebo psé tvrzeí, o ěmž má smsl rozhodout, zd je prvdivé ebo eprvdivé, přičemž musí stt právě jed z těchto dvou možostí Tvrzeí, o ichž v dém okmžiku ejsme schopi říct, zd jsou prvdivé či eprvdivé, zýváme HYPOTÉZY (doměk) Je-li výrok prvdivý, pk můžeme tké říct, že výrok pltí Je-li výrok eprvdivý, pk můžeme tké říct, že výrok epltí Výrok ozčujeme velkými písme ltiské beced (A, B, C, ) Proměá je smbol, který ozčuje kterýkoli objekt z dé moži objektů - 0 -
Zákld mtemtik Logická spojk má smbolické ozčeí :,,,, Číselé obor Pomoci logických spojek vtvoříme z dých výroků výrok ové Zákldí složeé výrok vidíme v ásledující tbulce Zákldí se jim říká proto, že vzikou použitím pouze jedié logické spojk Smbol logické spojk Název složeého výroku egce výroku A A Smbolické ozčeí Vjádřeí v jzce výroku eí prvd, že A kojukce výroků A, B A B A B, A zároveň B,(A i B) disjukce výroků A, B A B A ebo B, (ebo eí vlučovcí!) implikce výroku A výrokem B A B jestliže A, pk B A je postčující podmíkou pro B B je utou podmíkou pro A ekvivlece výroků A, B A B A právě tehd kdž B A tehd je tehd, kdž B A je utou postčující podmíkou pro B Výrokům se přiřzují tzv prvdivostí hodot Prvdivému výroku se přiřzuje prvdivostí hodot eprvdivému výroku se přiřzuje prvdivostí hodot 0 Tbulk prvdivostích hodot zákldích složeých výroků: A B A A B A B A B A B 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Zákldí kvtifikátor Název kvtifikátoru Ozčeí Čteí jzkový výzm Obecý kvtifikátor pro kždé, pro všech Eistečí kvtifikátor eistuje (lespoň jedo) Kvtifikátor jedozčé eistece! eistuje právě jedo Výrz vtvořeé z koečého počtu výrokových proměých, logických spojek přípdých závorek se zývjí výrokové formule Výrokové formule, které jsou vžd prvdivé, se zývjí tutologie, Výrokové formule, které jsou vžd eprvdivé, se zývjí kotrdikce Výrok vziklé kvtifikcí všech proměých ve výrokové formuli se zývjí výrok s kvtifikátor Uvedeme si je příkldech výroků s jedou proměou: - -
Zákld mtemtik Číselé obor ) Obecý výrok R : 0 prvdivý výrok b) Eistečí výrok: R : prvdivý výrok c) Výrok o eisteci uicitě:! R : eprvdivý Moži vzth mezi imi MNOŽINA je soubor libovolých vzájem rozlišitelých objektů, které mjí stejou vlstost, vzhledem ke které jsou chápá jko jede celek Možiu pokládáme z určeou, je-li možo o kždém objektu jedozčě rozhodout, zd do í ptří, či ikoliv Kždý z objektů, který ptří do moži, se zývá prvek moži K ozčováí moži se většiou používjí velká písme ltiské beced A, B, M,, k ozčováí jejich prvků mlá písme, b,, Výjimkou je př zčeí v geometrii Zčeí: A objekt je prvkem (elemetem) moži A, b A objekt b eí prvkem (elemetem) moži A Moži obshující lespoň jede prvek se zývá eprázdá Moži, která eobshuje žádý prvek se zývá prázdá zčí se Z hledisk počtu prvků můžeme moži rozdělit koečé mjí koečý počet prvků (prázdá moži ebo moži, jejíž počet prvků je přirozeé číslo) Počet prvků koečé moži A ozčujeme A ekoečé t, které ejsou koečé Způsob zdáí moži: ) výčtem prvků, tj vjmeováím všech prvků moži, př M,, Pozor! moži přirozeých čísel {,,,,5, } Tímto způsobem lze zdt pouze možiu koečou N eí dá výčtem prvků Moži všech jedociferých přirozeých čísel {,,,,5,6,7,8,9 } M { } b) chrkteristickou vlstostí, tj vlstostí, kterou mjí právě je prvk zdávé moži, - -
Zákld mtemtik Číselé obor Prvk moži mohou být opět moži Možiu, jejímiž prvk jsou jisté moži, zýváme sstém moži Vlučuje se přípd moži, která b obshovl jko prvek smu sebe přípd moži všech moži Vzth mezi možimi A, B vzth smbol čteí smbolu defiice Ikluze moži A B Rovost moži A B Ostrá ikluze moži A B A B moži A je podmožiou (částí) moži B A B moži A se rová možiě B A B moži A je vlstí podmožiou B A je podmožiou B, právě kdž kždý prvek moži A je zároveň prvkem moži B A B jsou si rov, právě kdž A B zároveň B A A je vlstí podmožiou B, právě kdž A B zároveň A B, A B A B A B Možiové operce Zákldí operce s možimi A B operce smbol defiice Sjedoceí moži A B A B Sjedoceí moži A B je moži všech prvků, které ptří lespoň do jedé z moži A, B Průik moži A B A B Průik moži A B je moži všech prvků, které ptří do moži A zároveň do moži B Rozdíl moži A B A B Rozdíl moži A B je moži všech prvků, které ptří do moži A zároveň eptří do moži B Doplěk moži A A Doplěk moži A je moži všech prvků U z moži U, které eptří do moži A Pro A B zveme rozdíl B A doplňkem moži A v možiě B Zčíme A Říkáme, že moži A je disjuktí s možiou B, právě kdž mjí moži A B prázdý průik ( A B ), tj emjí žádý společý prvek B Řešeá úloh Příkld Jsou dá itervl A<; > B(-; ) Určete sjedoceí, průik rozdíl těchto itervlů Řešeí: A B ( ; >, A B < ; ); A B < ; > ; B A ( ; ) - -
Zákld mtemtik Číselé obor Výkld Krtézské ásobeí moži to je vtvářeí krtézských součiů, předstvuje dlší operci s možimi, všk podsttě odlišou od zákldích možiových opercí Krtézským součiem moži A moži B, který zčíme A B, zveme možiu všech uspořádých dvojic, jejichž prví čle je libovolý prvek z moži A druhý čle je libovolý prvek z moži B {[, ], A B} A B, i j Pro počet prvků krtézského součiu dvou koečých moži A s počtem prvků B i j s počtem prvků m pltí: A B A B m Řešeá úloh Příkld Jsou dá moži A{,, }, B{, b} Vtvořte krtézský souči A B B A Řešeí: A B {[, ], [, b], [, ], [, b], [, ], [, b] }, {[, ], [, ], [, ], [ b, ], [ b, ], [ b, ] } B A Grfické zázorěí moži ) číselých Číselé moži ejčstěji zázorňujeme číselé ose, to buď přímo í ebo pomocí vodorových čr rovoběžých s číselou osou Pokud číselá moži obshuje ekoečě moho reálých čísel (viz dále), potom jed z možostí, jk zpst možiu ebo její část, je itervl, který může, le emusí obshovt krjí hodot Pokud krjí hodot itervlu do moži ptří, vzčíme tuto hodotu plým kolečkem Pokud do moži eptří, vzčíme ji kolečkem prázdým To, zd krjí hodot do itervlu ptří, či e, pozáme podle uzávorkováí itervlu Špičtá závork ozčuje hodotu, která ještě do itervlu ptří kultá závork hodotu, která již do itervlu eptří - -
Zákld mtemtik Číselé obor Řešeá úloh Příkld Je dá moži A { R : ( 5; }, zázorěte ji číselé ose Výkld b) ečíselých Nečíselé moži moži číselé, které z ějkého důvodu elze ebo eí vhodé zázorit číselé ose, zázorňujeme pomocí tzv možiových digrmů Jedá se o grfické zázorěí moži v roviě Možiové digrm zázorňující vzth mezi možimi operce s možimi se zývjí Veov digrm Číselé obor Cíle Po prostudováí této kpitol b měl studet umět bezpečě zřdit dé číslo do příslušého číselého oboru ovládt všech způsob jeho zápisu, obovit si zlosti zákldích vlstostí početích opercí umět jich vužívt, umět zobrzit reálá čísl číselé ose Výkld Čísl ázv jejich chrkteristik Jede z ejdůležitějších pojmů mtemtik je pojem čísl Pojem čísl se postupě rozšiřovl prohlubovl v souldu s potřebmi vývoje lidské společosti Vzth mezi jedotlivými druh čísel vjdřuje ásledující schém: - 5 -
Zákld mtemtik Číselé obor přirozeá čísl ul záporá čísl celá čísl ecelá rcioálí čísl rcioálí čísl ircioálí čísl reálá čísl imgiárí čísl kompleí čísl Moži všech čísel určitého druhu, ve které jsou defiová bez omezeí operce sčítáí ásobeí, se zývá obor čísel Obvklé ozčeí ejdůležitějších číselých oborů : N obor přirozeých čísel {,,,,}, N0 obor ezáporých celých čísel {0,,,, }, Z obor celých čísel {,-, -, -, -, 0,,,,, }, Q obor rcioálích čísel {, 0,,,,}, 5 R obor reálých čísel {,,, 0,, π}, C obor kompleích čísel ( viz kp) Pltí tto ikluze: N N 0 Z Q R C Přirozeá čísl vjdřují počet prvků koečých eprázdých moži pořdí prvků v uspořádých -ticích Celá čísl umožňují vjádřit eje počt prvků koečých moži, le i změ těchto počtů (přírůstk úbtk) Rcioálí čísl v porováí s celými čísl, jež jsou jejich speciálím přípdem, dovolují víc vjádřit údje o počtech dílů určitého celku Rcioálí číslo je kždé reálé číslo, které lze psát ve tvru zlomku p/q, kde p je celé číslo q je přirozeé číslo Ircioálí čísl rozvojem jsou chrkterizová ekoečým eperiodickým desetiým Reálá čísl jsou sjedoceím všech rcioálích ircioálích čísel Kompleími čísl se podrobě zbývá kpitol Zákldů mtemtik - 6 -
Zákld mtemtik Číselé obor Chrkteristik číselých oborů ) Obor přirozeých čísel N je uzvře vzhledem k opercím sčítáí ásobeí, tz výsledkem těchto opercí je opět přirozeé číslo b) Uzvřeosti vzhledem k operci odčítáí lze docílit rozšířeím oboru N obor Z celých čísel, který obshuje přirozeá čísl, ulu celá záporá čísl c) Abchom docílili uzvřeosti oboru čísel vzhledem k operci děleí (číslem růzým od ul), rozšiřuje se obor Z obor rcioálích čísel Q Obor Q je uzvřeý vzhledem k operci sčítáí, odčítáí, ásobeí děleí d) Sjedoceím rcioálích ircioálích čísel vtvoříme obor reálých čísel R, který je uzvřeý vzhledem k opercím sčítáí, odčítáí, ásobeí děleí Zákldí početí operce Použití čísel si vžádlo zvedeí početích opercí, jimiž ke dvěm či více číslům přiřzujeme předepsým způsobem jisté číslo Sčítáí + b sčítec + sčítec součet Odčítáí b mešeec mešitel rozdíl Násobeí b čiitel čiitel souči Děleí Umocňováí : b b děleec : dělitel podíl čittel jmeovtel podíl -tá moci čísl, epoet, zákld Odmocňováí -tá odmoci čísl Itervl Itervl je kždá moži reálých čísel, jejichž obrz číselé ose vplňují její souvislou podmožiu Růzé druh itervlů jsou popsá v ásledující tbulce: - 7 -
Zákld mtemtik Číselé obor Moži všech reálých čísel, pro která pltí: Ozčeí Grfické zázorěí číselé ose b, b < < b (,b) < b,b ) < b (, b, + ) > (, + ) (, < (, ) (, ) R + Číslům, b říkáme krjí bod itervlu ebo tké meze itervlu (dolí horí mez) Libovolý bod itervlu, který eí jeho krjím bodem, se zývá vitří bod itervlu Vitřích bodů itervlu je ekoečě moho Ptří-li k itervlu obě jeho meze, zývá se uzvřeý itervl Ptří-li k itervlu jediá z jeho mezí, zývá se polouzvřeý ebo polootevřeý itervl Neptří-li k itervlu žádá z jeho mezí, zývá se otevřeý itervl Řešeá úloh Příkld Jik zpište : ) (, 6) <, ), b) <, 6) (, 0), c) (, ) (0, ) Řešeí: ) <, 6), b) <, 0), c) (, ) R - 8 -
Zákld mtemtik Algebrické výrz Číselé obor Cíle Umět používt při úprvách lgebrických výrzů vzorce uváděé v jedotlivých podkpitolách Výkld Algebrický výrz je výrz (zápis) skládjící se z čísel z písme ozčujících proměé, jež jsou spoje zk opercí sčítáí, odčítáí, ásobeí, děleí, umocňováí odmocňováí Je-li třeb, obshuje tké závork, které určují pořdí prováděí opercí K výrzům obshujícím proměé se připojuje obor proměých Neí-li uvede, rozumí se jím obvkle číselý obor R Defiičím oborem D lgebrického výrzu jsou podmoži oborů proměých, pro jejichž hodot má dý výrz smsl Prvidl pro stovováí defiičího oboru lgebrického výrzu jsou: ) jmeovtel musí být růzý od ul, b) pod sudou odmociou esmí být záporé číslo Polom (mohočle) Jedočle je výrz, který vzike součiem kostt moci proměé Polom je součtem ěkolik jedočleů Čle s ejvšší mociou udává stupeň polomu Polom -tého stupě proměé může mít zápis + + + + 0, kde 0 Jedočle 0 0 je polom ultého stupě,je-li rove ule,zývá se ulovým polomem Kořeem polomu zveme kždé reálé číslo, které, po doszeí z proměou, dý polom převede polom ulový Mějme kvdrtický trojčle + b + c s podmíkou, že b c 0 ozčme jeho koře, Pk jeho rozkld v oboru R bude mít teto zápis: + b + c )( ) ( - 9 -
Zákld mtemtik Číselé obor Je-li bsolutí čle c 0, pk pro rozkld kvdrtického dvojčleu pltí: + b ( + b) Je-li b0, >0, c>0, pk kvdrtický dvojčle se dá rozložit tkto: c c c ( )( + ) Při úprvách lgebrických výrzů používáme tto vzorce: ( ± b) ± b + b ( + b) + b + b + b ( b) b + b b b ( + b) ( b) ( + b) ( b b ) + b + ( b) ( + b b ) b + V oboru reálých čísel R jsou kvdrtický dvojčle + b kvdrtické trojčle ± b + b erozložitelé souči lieárích dvojčleů Úprv rcioálích lomeých výrzů (vzorce prvidl pro umocňováí) Při úprvách rcioálích lomeých výrzů se používjí výše uvedeé vzorce o rozkldu mohočleů dále vzorce pro počítáí se zlomk V úlohách o úprvách lomeých výrzů je uté klást podmík, že jmeovtel kždého zlomku v původích výrzech i v uprveých tvrech musí být růzý od ul Při úprvách výrzů budeme používt tto prvidl pro početí operce se zlomk: rozšířeí zlomku číslem k 0 : kráceí zlomku číslem k 0 : k, b 0, k 0 b bk k, b 0, d 0 bk b sčítáí zlomků: c d + bc +, b d bd c + c +, b 0, d 0 b b b odčítáí zlomků: b c d bc, d bd b c c, b 0, d 0 b b - 0 -
Zákld mtemtik ásobeí zlomků: děleí zlomků: úprv složeého zlomku: c c, b 0, d 0 b d bd c d d :, b 0, d 0, c 0 b d b c bc b c d c d :, b 0, d 0, c 0 b d bc Číselé obor umocňováí: pro přirozeá čísl r, s pro reálá čísl,b pltí: r s r + s r s r s :, 0 r s rs ( ) r r r ( b) b b r b r r, b 0 r r, 0 Řešeé úloh Příkld Zjedodušte lgebrický výrz + b b b b Řešeí: + b b b b b + b b b b ( b )( b + ) b b + b b b ( b ) ( b + ) ( b + ) ( b ) b ( b ) Podmík řešitelosti výrzu vcházejí z toho, že všech výrz ve jmeovtelích musí být eulové, tkže postupě dostáváme: b 0, 0, b, b - -
Zákld mtemtik Číselé obor Příkld Zjedodušte lgebrický výrz ( ) + + Řešeí: ( ) + + ( ) ( )( ) ( ) + + + + ( ) ( ) ( )( ) ( ) + + + ( ) ( ) ( ) + ( )( ) ( ) ( ) + + Podmík řešitelosti výrzu eboli společý defiičí obor: všech výrz ve jmeovtelích musí být eulové, tkže postupě dostáváme:,,, 0 Výkld Úprv ircioálích lgebrických výrzů (prvidl pro odmocňováí) Při úprvách ircioálích lgebrických výrzů vužíváme poztků o odmociách mociách s rcioálími mociteli prvidel pro početí operce se zlomk Podmík, z ichž prováděé úprv mjí smsl, především vjdřují, že zákld všech sudých odmoci musí být ezáporé jmeovtelé zlomků se esmějí rovt ule Prvidl pro počítáí s odmocimi ( : 0), 0 b b b, b b pro, 0 b m m, ( ) m m m, m Z, N, p p, p N Pozámk Odmoci ze součtu se erová součtu odmoci!! b b + + - -
Zákld mtemtik Číselé obor Řešeá úloh Příkld : Uprvte výrz V() s rcioálími epoet převodem odmoci moci Řešeí: V() z předpokldu, že >0 + + Výkld Absolutí hodot reálého čísl Kždému reálému číslu je přiřzeo právě jedo reálé číslo tkto: pro 0, pro < 0 Toto číslo se zývá bsolutí hodot reálého čísl Některé vlstosti bsolutí hodot reálého čísl ) Pro R : 0,,, ) Pro, b R : b b, pro b 0 b b ) Pro, b R : + b + b ) Pro, k R, k > 0 : < k k < < k, eboli ( k, k) 5) Pro R :, pro 0, pro < 0 Geometrický výzm bsolutí hodot reálých čísel: číselé ose předstvuje vzdáleost obrzu čísl od počátku, b vzdáleost obrzů čísel, b - -
Zákld mtemtik Číselé obor 5 Rozkld kvdrtického trojčleu Kvdrtickým trojčleem s eulovými koeficiet, b, c zveme výrz + b + c Je-li diskrimit příslušé kvdrtické rovice D 0 její koře ozčíme,, pk můžeme provést rozkld kvdrtického trojčleu souči kořeových čiitelů v oboru R : + b + c )( ) ( Je-li koeficiet, pk kvdrtický trojčle se zývá ormový s koeficiet p, q, + p + q )( ), ( přičemž pltí + p, q Řešeá úloh Příkld Uprvte ) b) 8 + + 8 :, + 5 9 + : 5 + 5 Řešeí: ) 8 + + 8 ( )( + + ) ( + 7)( 7) : + 5 9 ( + 7)( ) ( + + ) z podmík, že, ± 7 7, b) + : 5 + 5 ( + ) ( 5)( + ) ( 5)( + 5) ( + )( + ), + 5 z podmík, že ± 5, Pozámk Rozkldem kvdrtického trojčleu se tké zbývá kpitol příkld procvičeí jsou uvede pod číslem téže kpitol Kotrolí otázk Umíte přečíst smbolická ozčeí,,,,,? Čeho se týkjí smbol,,,,? Kolik jste si zpmtovli vzorců z kp? - -
Zákld mtemtik Číselé obor Úloh k smosttému řešeí Uprvte stovte podmík: ) b b b + + +, b), c) : + + +, d) + +, e) 8 + +, f) 5 : 5 + + Zjedodušte v R dý výrz s mocimi: ) 9, b) ( ) ( ) 5 7 : z z, c) ( ) ( ) : b b, d) 6 5 5 b b b, e) : b b, f) : Výsledk úloh k smosttému řešeí ), 0,, ) ( b b b + b), 0,, + c) 0,, ±, d),, ± e), ±, f) 5, 5 ± + ) 0 0,, 6, b) c) 0, 0, 0,, 7 7 5 z z, 0 0,, > > b b d), 0 0,, > > b e), 0 0,, > > b b f) 0, 5 > - 5 -
Zákld mtemtik Číselé obor Klíč k řešeí úloh Ve všech příkldech je uvede je postup úprv lgebrických výrzů bez podmíek ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b b b b b b b b b b b + + + + + + + + +, b) ) )( ( ) )( ( ) ( + + + +, c) ) )( ( + + + +, d) ) )( ( ) ( + + +, e) ) )( ( ) ( ) ( + + : + + + 8 ) ( 8 8 8, f) 5 ) )( ( ) 5)( ( 5) 5)( ( ) ( + + + + + + ) 6, b), 5 9 6 ) ( z z 7 5 7 5 0 6 6 5 9 6 7 z z z z c) b b b b b b 6 6 6 ) ( ) (, d) b b b b + 6 6 5 8 9 5 6 5 5, e) b b b b b b b b b + 6 0 6 6 ) ( ) ( : ) (, f) + + + + 6 8 6 : : 5 60 9 7 9 9 6 7 6 9 9 7-6 -
Zákld mtemtik Číselé obor Kotrolí test Rozhoděte o prvdivosti výroku : { R : } ) výrok je prvdivý, b) výrok je eprvdivý, c) eí to výrok Výčtem prvků zpište možiu C { Z : <} ) C {, 0, }, b) C {, 0,, }, c) C {,, } Doplěk moži{ R : < 5} v R zpište jko sjedoceí dvou itervlů ) ( ; > < 5; + ), b) ( ; ) < 6; + ), c) ( ; ) (6; + ), d) ( ; > (5; + ) Proveďte rozkld kvdrtického polomu 5 + ) (-)(-), b) (-)(-), c) (+)(-), d) (-)(+) 5 Proveďte úplý rozkld polomu 6 ) (-)(-), b) (+)(-), c) (-)(+), d) (+)(+) 6 Sestvte ormový kvdrtický trojčle, jestliže záme koře: 8, ) 5, b) + 5, c) 5 +, d) 7 Použitím prvidel pro počítáí s mocimi odmocimi vpočtěte: : ) 9, b), c) 6, d) 9 8 Zjedodušte uveďte podmík, z jkých má dý výrz smsl Výsledek zpište ve tvru odmoci - 7 -
Zákld mtemtik Číselé obor ) 7, 0, > 0, b), >0, c), 0, > 0 9 Zjedodušte lgebrický výrz uveďte podmík řešitelosti: +,, b) ) ( ) ( 9 ) 9 9 : +, +, c), ± + 0 Zjedodušte lgebrický výrz uveďte podmík řešitelosti: + b b b + b : + b b b ( b) b b ), ± b, b 0, b, b) -, ±b, c), ± b, b 0 Výsledk testu ); ); d); b); 5c); 6); 7); 8); 9c); 0) Shrutí lekce N testu jste si ověřili, zd vše zlosti jsou výboré (00%), dosttečé (80%) ebo si potřebujete ještě vše zovu zopkovt odstrit edosttk při zvládutí uváděých příkldů Zovu si projděte řešeé příkld podle ich si propočítejte úloh k smosttému řešeí Zákldí zlosti početí dovedosti, které vcházejí z vřešeí co ejvětšího počtu úloh, jsou zárukou úspěšého studi VŠ techického směru Dlší příkld k procvičováí jdete v kterékoliv sbírce mtemtik pro středí škol Podrobější výkld pojmů z mtemtické logik teorie moži jdete v kpitole předmětu Mtemtik I ebo v ěkteré z učebic mtemtik pro gmázi - 8 -
Zákld mtemtik Fukce FUNKCE 0 Fukce Zákldí vlstosti Ohričeá eohričeá fukce Mootóost fukce, fukce rostoucí klesjící Prostá fukce 6 Sudá lichá fukce 7 5 Periodická fukce 9 6 Iverzí fukce 0 Úloh k smosttému řešeí Defiičí obor Úloh k smosttému řešeí Kosttí fukce Výkld 5 Lieárí fukce 5 Úloh k smosttému řešeí 5 6 Kvdrtické fukce 6 Úloh k smosttému řešeí 50 7 Lieárí lomeá fukce 5 7 Nepřímá úměrost 5 7 Lieárí lomeá fukce 5 Úloh k smosttému řešeí 5 8 Mocié fukce 5 9 Epoeciálí fukce 56 Úloh k smosttému řešeí 58 0 Logritmická fukce 59 Goiometrické fukce 6 Velikost úhlu oblouková stupňová mír 6 Fukce sius, kosius, tges kotges 6 Úloh k smosttému řešeí 7 Goiometrické vzorce 7 Úloh k smosttému řešeí 75 Výsledk úloh k smosttému řešeí 75 Klíč k řešeí úloh 75 Kotrolí otázk 8 Kotrolí test 8 Výsledk testu 8-9 -
Zákld mtemtik FUNKCE Fukce Průvodce studiem Kpitol Fukce je rozděle do devíti meších celků t jsou ještě dále rozděle meší oddíl V kždém oddíle je ejdříve vsvětle teorie, jsou zvede ové pojm vzorce Pk ásledují Řešeé úloh V Úlohách k smosttému řešeí si prověříte získé vědomosti K těmto úlohám jsou koci kpitol uvede výsledk pro t, kteří b si s úlohmi evěděli rd, tké ápověd N smý závěr se otestujete, jk jste zvládli tuto kpitolugrf v tetu bl vtvoře pomocí progrmu Mtemtik Hodě zdru při studiu Cíle Sezámíte se s elemetárími fukcemi, pozáte jejich defiičí obor obor hodot, budete umět kreslit jejich grf Budete umět určit vlstosti fukcí Grf elemetárích fukcí, s imiž budete prcovt, jsou vkresle úvodím obrázku Předpokládé zlosti Umíte řešit erovice metodou ulových bodů, kterou si můžete zopkovt v kpitole, tké umíte prcovt s krtézskou soustvou souřdic O v roviě e cos l si -6 - - 0 6 - - -6-0 -
Zákld mtemtik Fukce Fukce Výkld Fukce f možiě A R je předpis, který kždému číslu z moži A přiřdí právě jedo reálé číslo Moži A se zývá defiičí obor fukce Ozčeí D( f ), D f Obor hodot fukce z defiičího oboru fukce Ozčeí H( f ), H f f je moži všech f tk, že f ( ) f ( ) je fukčí předpis vjdřující závislost R, ke kterým eistuje spoň jedo je ezávisle proměá, ebo tké používáme ozčeí rgumet, vbíráme ji z D( f ) je závisle proměá, H ( f ) Hodotu fukce f v bodě 0 v 0 ozčíme ( ) f zývá se fukčí hodot fukce f o o Řešeé úloh Příkld Zpište fukci, která vjdřuje závislost ) obvodu rovormeého prvoúhlého trojúhelíku délce jeho odvěs, b) obvodu rovormeého prvoúhlého trojúhelíku délce c jeho přepo Řešeí: ) přepo c, obvod trojúhelíku o + c + ( + ), o ( + ), (0, ) b) c c c, o + c + c c( + ), o ( + ) c, c (0, ) - -
Zákld mtemtik Fukce Výkld Grf fukce f ve zvoleé soustvě souřdic O je moži všech bodů X [, f ( )], kde ptří do defiičího oboru fukce f Ve skutečosti kreslíme (črteme) je část grfu zvoleém itervlu I D( f ) Řešeé úloh Příkld Rozhoděte, která z moži bodů uvedeém obrázku je grfem fukce Svá tvrzeí zdůvoděte ) - - - - 0 - Řešeí: Toto je grf fukce, kždému přísluší jedié Kždá přímk rovoběžá s osou dou možiu bodů prote ejvýše v jedom bodě b) - - - 0 - - - Řešeí: V tomto přípdě se o grf fukce ejedá, pro, 5 cházíme dvě hodot Tto situce je stejá pro všech (, ) prote dou možiu bodů ve dvou růzých bodech, kždá přímk rovoběžá s osou - -
Zákld mtemtik Zákldí vlstosti Fukce Ohričeá eohričeá fukce Výkld Fukce f se zývá ohričeá shor možiě M, eistuje-li tkové číslo h, že pro všech M je f ( ) h Fukce f se zývá ohričeá zdol možiě M, eistuje-li tkové číslo d, že pro všech M je f ( ) d Fukce f je ohričeá možiě M, je-li v í ohričeá shor i zdol V opčém přípdě se fukce f zývá eohričeá možiě M Geometrický výzm ohričeosti fukce Je-li fukce f () možiě M D( f ) ohričeá shor, leží její grf pro kždé číslo M stále pod přímkou h ebo í Je-li fukce f () možiě M D( f ) ohričeá zdol, leží její grf pro kždé číslo M stále d přímkou d ebo í M Je-li fukce f () možiě M D( f ) ohričeá, leží její grf pro kždé číslo stále mezi přímkmi h d ebo ich Vět Fukce f je možiě M R ohričeá, právě kdž eistuje tková kostt K 0, že pro M pltí f ( ) K Řešeá úloh Příkld Dokžte, že fukce je pro všech R ohričeá ( + ) Řešeí: Protože pro R pltí erovost ( ± ) 0 eboli dostáváme odtud + Podle vět je dá fukce ohričeá, +, Pltí ted pro R : + + - - K
Zákld mtemtik Fukce Mootóost fukce, fukce rostoucí klesjící Výkld Je dá fukce f itervl I, který je částí jejího defiičího oboru ( I D( f )) Fukce f se zývá rostoucí itervlu I, právě kdž pro všech Je-li < ( ) f ( ), pk f < Fukce f se zývá klesjící itervlu I, právě kdž pro všech Je-li, pk f > f < ( ) ( ) Fukce f se zývá eklesjící itervlu I, právě kdž pro všech Je-li < ( ) f ( ), pk f Fukce f se zývá erostoucí itervlu I, právě kdž pro všech Je-li, pk f f < ( ) ( ),, I pltí: I pltí:,, I pltí: I pltí: Tto fukce I se souhrě zývjí mootóí fukce I D( f ), rostoucí klesjící fukce I se souhrě zývjí rze mootóí fukce I D( f ) Z defiice je zřejmé, že kždá rostoucí fukce je zároveň eklesjící I kždá klesjící fukce je zároveň erostoucí I Řešeé úloh Příkld Z grfu rozhoděte, kde je fukce rostoucí kde klesjící - - - - - - 0 - - Řešeí: Fukce je rostoucí itervlech (, ) (,0) klesá, itervlech ( ) 0, (, ) - -
Zákld mtemtik Fukce Příkld Která z fukcí f, f je rostoucí která klesjící D( f )? - - - 0 - - - 0 - - - - - - - - Řešeí: Defiičí obor obou fukcí D ( f ) R Z grfů těchto fukcí lze včíst, že rostou-li hodot proměé, rostou hodot fukce klesjí hodot fukce f Pro libovolá f < dosteme:, R, pro která pltí <, >, f ) < f ( ), f ) > f ( ) ( ( Pro ilustrci zvolíme čísl, dosdíme do erovic fukčích hodot < > Fukce je příkldem rostoucí fukce f je příkldem klesjící fukce R f - 5 -
Zákld mtemtik Fukce Prostá fukce Výkld Fukce se zývá prostá, právě kdž pro všech D( f ) Je-li, pk f f ( ) ( ) Řešeé úloh Příkld Z grfu rozhoděte, zd je fukce prostá, pltí: 5 9 si+ 6 - -9-6 - 0 6 9 - -6-9 Řešeí: Fukce eí prostá, pro růzá eistují stejé fukčí hodot Příkld Z grfu rozhoděte, zd je fukce prostá rctg - - - 0 - Řešeí: Fukce je prostá, pltí podle defiice, že pro je f ( ) f ( ) Fukce rostoucí ebo klesjící celém defiičím oboru je prostá - 6 -
Zákld mtemtik Fukce Sudá lichá fukce Výkld Fukce f se zývá sudá, právě kdž zároveň pltí: Pro kždé D( f ) je tké D( f ) Pro kždé D( f ) je f ( ) f ( ) Grf sudé fukce je souměrý podle os Fukce f se zývá lichá, právě kdž zároveň pltí: Pro kždé D( f ) je tké D( f ) Pro kždé D( f ) je f ( ) f ( ) Grf liché fukce je souměrý podle počátku soustv souřdic O Neí-li splě i jed z uvedeých podmíek, eí fukce i sudá i lichá Řešeé úloh Příkld 5 Z grfu určete, zd je fukce lichá ebo sudá itervlu (-5, 5) si +cos -5 - - - - 0 5 - - Řešeí: Fukce je sudá, její grf je souměrý podle os - 7 -
Zákld mtemtik Příkld 6 Z části grfu určete, zd je fukce lichá ebo sudá D( f ) R {0} Fukce si +cos - - - - 0 - - - - Řešeí: Fukce je D( f ) lichá, její grf je souměrý podle počátku Příkld 7 Z grfu určete, zd je v itervlu (-6, 6) fukce lichá ebo sudá si+cos -6-5 - - - - 0 5 6 - - Řešeí: Fukce eí i sudá i lichá 5 Příkld 8 Rozhoděte, zd je fukce sudá či lichá: Řešeí: D( f ) R {0}, D( f ) ( ) D( f ) ( ) 5 5 f ( ) ( ) f ( ) ( ) 5 Fukce je sudá - 8 -
Zákld mtemtik Fukce 5 Periodická fukce Výkld Fukce se zývá periodická, právě kdž eistuje tkové číslo p > 0, že pro kždé k Z pltí ásledující podmík: Je-li D( f ), pk kp D( f ) + pltí f ( kp) f ( ) + Číslo p se zývá period fukce f Pokud v možiě čísel p eistuje ejmeší kldé číslo, pk tuto periodu zákldí (primitiví) periodou fukce f p > 0 zýváme Grf periodické fukce se prvidelě (periodick) opkuje po itervlech, jejichž délk je rov zákldí periodě p Nejvýzmější periodické fukce jsou goiometrické fukce (kp ) Řešeé úloh Příkld 9 Z grfu periodické fukce odhděte její primitiví periodu cos+si -5 - - - - 0 5 6 7 8 9 - - Řešeí: Primitiví period je zřejmě p π - 9 -
Zákld mtemtik Fukce 6 Iverzí fukce Výkld Iverzí fukce k prosté fukci f () je f, která kždému H ( f ) přiřdí právě to ( ) D( f ), pro které je f Ozčeí proměých můžeme volit libovolě, protože je obvklé zčit závisle proměou ezávisle proměou, změňujeme ozčeí proměých Důsledkem toho je, že D ( f ) H ( f ) ( H ( f ) D( f ) ) Proto grf obou fukcí jsou souměré podle os I III kvdrtu Pltí tké, že iverzí fukce k rostoucí fukci je tké rostoucí iverzí fukce ke klesjící fukci je klesjící Řešeé úloh Příkld 0 Dokžte, že fukce f : +, R, je rostoucí ( ted prostá) Určete fukci k í iverzí f Řešeí: Je zřejmé, že oborem hodot H ( f ) R Fukce f je rostoucí, eboť pro, R pltí: je-li <, pk je + < +, tkže f ( ) < f ( ) Fukce je rostoucí, ted prostá, proto k í eistuje fukce iverzí f, která je tké rostoucí Její fukčí předpis určíme tk, že z rovice + vjádříme :, R po záměě proměých máme fukčí předpis pro fukci iverzí + f :, D( f ) H ( f ) R - - - 0 - - - - - - 0 -
Zákld mtemtik Fukce Příkld Dokžte, že fukce f : +, < 0, ), je rostoucí ( ted prostá) Určete fukci k í iverzí f Řešeí: Je zřejmé, že oborem hodot H ( f ) <, ) Fukce f je rostoucí, eboť pro, R pltí: je-li <, pk je + < +, tkže f ( ) < f ( ) Fukce je rostoucí, ted prostá, proto k í eistuje fukce iverzí f, která je tké rostoucí Její fukčí předpis určíme tk, že z rovice + vjádříme : ( ), <, ) Po záměě proměých máme fukčí předpis pro iverzí fukci f : ( ), D( f ) <, ), H ( f ) < 0, ) 6 5 + (-) - - 0 5 6 7 - - Úloh k smosttému řešeí Rozhoděte, zd je fukce sudá či lichá: ) + 5 5, b) d) l, e), c) ( cos si ), e e, f) ( si ) g) + 5 e + e, - -
Zákld mtemtik Defiičí obor Fukce D Výkld Fukci f povžujeme z defiovou, je-li zámo prvidlo, kterým je kždému číslu přiřze příslušá jediá hodot f ( ) H, tj je-li dá předpis, kterým je toto přiřzeí jedozčě určeo Teto předpis může být vjádře tbelárě (příslušou tbulkou), grfick ebo ltick Tbelárí způsob defiováí fukce se vsktuje v techických vědách velmi čsto, zvláště hledáme-li eperimetálě fukčí závislost mezi dvěm uvžovými veličimi Výhodou tohoto vjádřeí je to, že z ěho můžeme včíst hodot fukce v tbelových hodotách rgumetu Jeho velkou evýhodou všk je, že obvkle eobshuje hodot fukce ve všech potřebých hodotách rgumetu Dlším edosttkem tbelárího vjádřeí je i to, že si při ěm emůžeme učiit bližší předstvu o povze fukčí závislosti mezi rgumetem závisle proměou Proto se obvkle sžíme vjádřit tuto závislost grfick ebo (přibližým) ltickým vzorcem Výhodou grfického způsobu zdáí fukce je ázorost, eboť podle grfu fukce si obvkle uděláme jsou předstvu o povze fukčí závislosti Jeho evýhodou je, že vjdřuje fukčí hodot je přibližě edovoluje všetřovt vlstosti fukcí metodmi mtemtické lýz Altický způsob defiováí fukce (fukčím předpisem) je ejvýzmějším způsobem vjádřeí fukce Jeho předostí je, že použitím metod mtemtické lýz můžeme zkoumt vlstosti uvžové fukce Určitým edosttkem ltického vjádřeí je, že postrádá ázorost grfického vjádřeí Proto čsto používáme k sdějšímu ázorějšímu výkldu vlstostí uvžové fukce i jejího grfického, popř tbelárího vjádřeí Je-li fukce zdá fukčím předpisem f () eí-li zároveň uvede defiičí obor fukce, pk se jim rozumí ejširší možý obor, v ěmž má výrz Ve fukčím předpisu ás budou zjímt ásledující možosti: f () smsl Je-li ve fukčím předpisu zlomek, jmeovtel musí být růzý od ul Je-li ve fukčím předpisu odmoci se sudým odmocitelem, výrz pod odmociou musí být větší ebo rove ule (ezáporý) Je-li ve fukčím předpisu logritmus, jeho rgumet musí být větší ež ul (kldý) - -
Zákld mtemtik Je-li ve fukčím předpisu tges, eulový si tg, musí být jmeovtel, ted cos Fukce cos, Je-li ve fukčím předpisu kotges, si, eulový cos cotg, musí být jmeovtel, ted si Řešeé úloh Příkld Určete defiičí obor fukce Řešeí: 0 ( )( + ) 0, (, ) (,) ( ) D ( f ), ebo zápis D ( f ) R {, } Příkld Určete defiičí obor fukce + 0 + Řešeí: + 0 0 + 0 + druhá podmík pltí vžd tké + > 0 vžd pltí Stčí ted vřešit erovici +0 0 0 ) D ( f ) 0, Příkld Určete defiičí obor fukce log( 5) Řešeí: 5 > 0 5 5 > D ( f ), - -
Zákld mtemtik π Příkld Určete defiičí obor fukce tg( ) Fukce Řešeí: cos( π π π π ) 0 + kπ + 5π 5π π + kπ :, tkže + k, k Z 6 5 D( f ) R { π + k π } pro k Z π Příkld 5 Určete defiičí obor fukce cotg( ) Řešeí: si( π ) 0 π π kπ + π π + kπ, tkže kπ + π D ( f ) R { + kπ} pro k Z Úloh k smosttému řešeí Určete defiičí obor fukce: ) l, b) l l, c) 9, + + d) cotg, e) +, f) l( ) Kosttí fukce Výkld Kosttí fukce je kždá fukce možiě R, která je dá předpisem c Defiičím oborem jsou všech reálá čísl, obor hodot je rove kosttě c Grfem je přímk rovoběžá s osou procházející bodem [ 0, c], fukce eí prostá - -
Zákld mtemtik 5 Lieárí fukce Fukce Výkld Lieárí fukce je kždá fukce možiě R, která je dá předpisem + b, 0,, b R,,b kostt Defiičím oborem oborem hodot jsou všech reálá čísl Grfem lieárí fukce je přímk růzoběžá s osou Kždá přímk, která eí rovoběžá s osmi, je grfem ějké lieárí fukce K sestrojeí grfu ám ted stčí růzé bod > 0 fukce je rostoucí R, je prostá < 0 fukce je klesjící R, je prostá b 0, přímá úměrost grf fukce prochází počátkem soustv souřdic Příkld užití lieárí fukce ve fzice: Přímá úměrost mezi zrchleím hmotého bodu o kosttí hmotosti m velikosti působící síl F, F m Řešeá úloh Příkld 5 Nkreslete grf fukce Řešeí: Nejprve jdeme dv růzé bod grfu fukce: Všiměte si, v zdáí fukce je b, tz grf protíá osu v bodě [ 0, ] Dlší bod grfu zjistíme doszeím, pk Bod [ 0, ] [, ] spojíme výsledá přímk je grfem dé fukce - - 0 - Úloh k smosttému řešeí Nkreslete grf lieárí fukce: ) + pro,,,,,, b) + b pro b,,,,, - 5 -
Zákld mtemtik 6 Kvdrtické fukce Fukce Výkld Kvdrtickou fukcí rozumíme kždou fukci možiě předpisem + b + c, kde R { 0} ; b, c R R, která je dá Defiičím oborem jsou všech reálá čísl Obor hodot se liší podle zdáí Grfem kvdrtické fukce je prbol, jejíž os je rovoběžá s osou Řešeé úloh Příkld 6 Nkreslete grf fukce Řešeí: Vrchol prbol je bod V [ 0,0] prbol je os Dlší bod si můžeme určit tbulkou, os prbol je v ose vrcholová teč 0 8 6-6 - - 0 Výkld Všech prbol, které mjí k souřdicovým osám, mjí stejý tvr, liší se pouze umístěím vzhledem Grf fukcí ) + c, b) ( k) se kreslí zákldě posuutí grfu fukce (výchozí prbol) ve směru ) os tk, že vrchol V [ 0, 0] přejde do vrcholu V [ 0, c], b) os tk, že vrchol V [ 0, 0] přejde do vrcholu V [k, 0] - 6 -
Zákld mtemtik Podívejme se í grf fukcí, které mjí růzé hodot Fukce ), b), c), d), e), e) 5, g), h) 0 Pokud je > 0, je prbol otevřeá ve směru kldé poloos, pokud je < 0, je prbol otevřeá ve směru záporé poloos Je-li >, pk se prbol zúží vzhledem k prbole Je-li <, pk se prbol rozšíří Tto skutečosti můžeme pozorovt ásledujícím ilustrčím obrázku 5 0-5 - - - - 0 - - - - - - - Fukce + b + fukce itervlu miimum Je-li V [, ] V V c eí prostá svém defiičím oboru (, ) klesá (, ) V < 0, pk fukce itervlu (, ) má fukce mimum V D ( f ) R Je-li > 0, pk [ V roste Ve vrcholu V, ] V má fukce roste (, ) V klesá Ve vrcholu V Při kresleí grfů kvdrtických fukcí můžeme ejprve uprvit výrz doplěím druhou mociu dvojčleu přepst fukčí předpis do tvru ( + 0 ) 0 + b + c Z tohoto zápisu kvdrtické fukce určíme sdo souřdice vrcholu V 0, ] [ 0-7 -
Zákld mtemtik Fukce Řešeé úloh Příkld 6 Nkreslete grf fukce Řešeí: Ze zápisu fukce včteme souřdice vrcholu [ 0, ] V Protože je, posueme grf fukce o jedotku ve směru záporé poloos Průsečík grfu s osou vpočítáme z rovice 0, 0 8 6 - -6 - - 0 - Příkld 6 Nkreslete grf fukce + Řešeí: Pomocí průsečíků s osou Vřešíme ted rovici 0 + Koře jsou, 0 Protože prbol je souměrá podle své os, která je kolmá k ose, jsou bod 0, tké podle této os souměré os prbol je os úsečk Její rovice je Vrchol prbol této ose leží jeho prví souřdice je ted Druhou souřdici vpočteme doszeím do rovice V prbol +, posueme grf prbol měl vrchol v bodě V, Vrchol má souřdice [, ] V [ ] V V Protože, tk, b ose procházel bod, 0-8 -
Zákld mtemtik Doplěím druhou mociu dvojčleu získáme souřdice vrcholu prbol Fukčí předpis převedeme tvr + + ( + ), souřdice vrcholu jsou V [, ] Protože je, posueme grf fukce o jedotk ve směru záporé poloos o jedotk ve směru záporé Fukce poloos 8 6 + -6 - - 0 - - Příkld 6 Nkreslete grf fukce 6 Řešeí: Zápis fukce uprvíme tvr ( + ) 6 ( ) 6, ze zápisu kvdrtické fukce ( ) 8 určíme souřdice vrcholu, V [, 8] Průsečík s osou zjistíme vřešeím rovice 0 6, její koře jsou, Průsečík s osou je [ 0, 6] Protože je, posueme grf fukce o 8 jedotek ve směru záporé poloos o jedotku ve směru kldé poloos 8 6 --6 - - - - 0 5 6 7 8 9 0 - - -6-8 - 9 -
Zákld mtemtik Fukce Příkld 65 Nkreslete grf fukce + Řešeí: Zápis kvdrtické fukce uprvíme tvr 9 9 9 9 ( + ) ( ) +, vrchol V [, ] Protože je, posueme grf fukce o, 5 jedotek ve směru kldé poloos o, 5 jedotk ve směru kldé poloos Vřešeím rovice 0 + zjistíme průsečík s osou, koře jsou, 0 - - - 0 5 6 7 8 - - -6 - + -8-0 Úloh k smosttému řešeí Nkreslete grf fukce ) +, b) +, c) + 6 + 9 5 Nkreslete grf fukce ) +, b) 6 6 Nkreslete grf fukce ) +, b) + 8 9-50 -
Zákld mtemtik 7 Lieárí lomeá fukce Fukce Výkld Dříve, ež se zčeme zbývt lieárí lomeou fukcí v obecém tvru, zmííme se krátce o fukci, která je jejím speciálím přípdem epřímou úměrostí 7 Nepřímá úměrost Výkld Nepřímá úměrost je kždá fukce možiě R { 0} {} kde k R 0 Podíváme se podrobě grf epřímé úměrosti pro k dá ve tvru k, 0,5 0, -0,5-0, 0,5 0,5 0 0, 5 0, 5 0 - - - 0 - - - - Grfem je rovoosá hperbol o středu S [0, 0], os souřdicového sstému jsou její smptot (hperbol se k těmto přímkám přibližuje, le eprote je i se jich edotke) Grf epřímé úměrosti je souměrý podle počátku souřdicového sstému fukce je ted lichá - 5 -
Zákld mtemtik Fukce Jk se měí průběh grfu fukce v závislosti kosttě k, je zchce ásledujícím obrázku Zvolíme pro k postupě hodot: -, -,, odpovídjící grf kreslíme do jedoho souřdicového sstému - - - - - 0 - - - - Je-li k > 0, pk fukce itervlu (,0) klesá klesá tké itervlu ( 0, ) Větve hperbol se cházejí v I III kvdrtu Je-li - k < 0, pk fukce itervlu (,0) roste roste tké itervlu ( 0, ) Větve hperbol se cházejí v II IV kvdrtu Nemůžeme všk říci, že fukce je rostoucí ebo klesjící celém defiičím oboru! Fukce je prostá Eistuje k í fukce iverzí, která má stejý zápis f : k, D ( f ) (, 0) (0, ) H ( f ) Příkld užití epřímé úměrosti v mtemtice ve fzice: Délk je epřímo úměrá šířce obdélík při kosttím obshu S S Záko Bolův-Mrriottův pro izometrický děj s ideálím plem c p, kde c je kostt, V tlk p ideálího plu je epřímo úměrý jeho objemu V při kosttí teplotě T - 5 -
Zákld mtemtik Fukce 7 Lieárí lomeá fukce Výkld Lieárí lomeá fukce je kždá fukce možiě + b, kde, b, d R; c R {} 0 d bc 0 c + d R d c, dá předpisem Grfem kždé lieárí lomeé fukce je rovoosá hperbol, kterou získáme z grfu fukce k pomocí posuutí tk, že ejprve fukčí předpis lieárí lomeé fukce f převedeme k tvr f: + 0, bod [ 0, 0] se posue do bodu [ 0, 0 ], 0 smptot procházejí středem S[ 0, 0 ] rovoběžě se souřdicovými osmi Řešeá úloh Příkld 7 Nkreslete grf fukce { } Řešeí: D(f) R Zdou fukci uprvíme poždový tvr vděleím čittele jmeovtelem, dosteme + + Střed má souřdice [, ] S, rovice smptot jsou, k + + + + 7 6 5-5 - - - - 0 5 6 7 - - - - - -5 Úloh k smosttému řešeí 7 Nkreslete grf fukce: ), b), c) + +, d) - 5 -
Zákld mtemtik 8 Mocié fukce Fukce Výkld Mocié fukce jsou defiová předpisem, N N, Jiý zápis pro druhou vritu, Z ( Z zčí celá záporá čísl), N, sudé liché 7 6 6 5 5 9 6 5 - - - 0 - - - 0 - - - Defiičí obor: R R Obor hodot: 0, ) R Fukce sudá lichá Klesjící (, 0 ----- Rostoucí 0, ) R Miimum: [, 0 0 ] emá Mimum: emá emá Uvedeé grf vužijte k áčrtku grfů: ), b) 5 +, c) ( ) V úloze ) se grf fukce posue o jedotku ve směru záporé poloos, b) grf fukce se posue o jedotk ve směru kldé poloos, 5 c) grf fukce se posue o jedotku ve směru kldé poloos - 5 -
Zákld mtemtik, N, sudé liché Fukce 5 5 5 6 - - - 0 - - 0 - - - - Defiičí obor: {} 0 Obor hodot: (, R R {} 0 0 ) R {} 0 Fukce sudá lichá Klesjící (, (, 0 0 ) ), ( 0, ) Rostoucí (, 0) ---- Miimum: emá emá Mimum: emá emá Uvedeé grf vužijte k áčrtku grfů těchto fukcí: ), b) ( ), c) ( + ) V úloze ) grf fukce se posue o jedotku ve směru záporé poloos b) grf fukce se posue o jedotk ve směru kldé poloos c) grf fukce se posue o jedotku ve směru záporé poloos Pozámk Obecě se defiují mocié fukce předpisem r pro r R {0} - 55 -
Zákld mtemtik 9 Epoeciálí fukce Fukce Výkld Epoeciálí fukce o zákldu je fukce možiě R dá předpisem, kde > 0, Epoeciálí fukce o zákldu e je velmi důležitou fukcí mtemtické lýz Grfem epoeciálí fukce je tzv epoeciálí křivk ( krátce epoeciál) Kždý grf epoeciálí fukce o libovolém zákldě prochází bodem pro všech 0 : 0, os je smptotou Epoeciálí křivk ásledující obrázk [0, ], protože pltí, pro totéž jsou souměrě sdružeé podle os, viz > 0 < < 5 ( ) - - - 0 - - - 0 - D + ( f ) R, H ( f ) R Je zdol ohričeá, shor eí ohričeá Nemá v žádém bodě i mimum i miimum Fukčí hodot v bodě 0 je rov Fukce je rostoucí, ted prostá Fukce je klesjící, ted prostá - 56 -
Zákld mtemtik Fukce Je-li zákldem epoeciálí fukce Eulerovo číslo e, 78888, mluvíme o přirozeé epoeciálí fukci, e e - - - 0 Řešeé úloh Příkld 9 Nkreslete grf epoeciálí fukce: ) e, b) e, c) e, d) e +, e) e, f) e Řešeí: ) b) e e - - - - 0 - - - 0 c) d) - 5 e e + - - - 0 - - - - 0 - - 57 -
Zákld mtemtik e) f) Fukce e - - - - 0 - - - - 0 - e - - N ilustrčím obrázku máte pro srováí průběh všech fukcí z úlohvšiměte si posuutí zákldích grfů fukcí e, e 6 5 e e e + e - + e - - - - 0 e - - Úloh k smosttému řešeí 8 Nkreslete grf fukce: ) 0, b) 5, c) - 58 -
Zákld mtemtik 0 Logritmická fukce Fukce Výkld Logritmická fukce o zákldu je fukce iverzí k epoeciálí fukci, kde je libovolé kldé číslo růzé od jedé, R + { } R resp D ( f ) R Logritmus čísl při zákldu je tkové číslo, pro které pltí, ted log Nejčstěji používáme fukce: o zákldu o zákldu 0, pk se logritmus zývá dekdický zčí se e, pk se logritmus zývá přirozeý zčí se log, l Prvidl pro počítáí s logritm: ( ) log log log +, log log log, log log, log, log 0, l e, log 0, 0 log, l 0 Řešeé úloh Příkld 0 Nkreslete grf fukce: ) log, b) log, c) l, d) log /, e) log 0, Řešeí: Grf sestrojíme souměrě podle os I III kvdrtu ke grfu fukce - 59 -
Zákld mtemtik ) b) Fukce log 0 log - - 0 5 - c) - - - 0 5 - - c) d) l - - 0 5 - - - 0 5 - - - - - - - log / e) - - 0 5 - - - - log /0-60 -
Zákld mtemtik Fukce Výkld Srováme průběh fukcí log, pro růzá R + + { }, R > 0 < < l - - 0 5 - - - 0 5 - - - - - - - log / Fukce je rostoucí, ted prostá ( 0, ), H( f R D ( f ) ) Je zdol i shor eohričeá Nemá v žádém bodě i mimum i miimum Fukčí hodot v bodě je rov 0 Fukce je klesjící, ted prostá Řešeé úloh Příkld 0 Nkreslete grf fukce: ) l( + ), b) log, c) log, d) log 0, Řešeí: ) Argumet logritmické fukce musí být kldý, proto > D( f ) (, ) Posueme grf fukce l o jedotku ve směru záporé poloos l(+) - 0 - - - - 6 -
Zákld mtemtik Fukce V osttích příkldech budeme postupovt obdobě: b) dvojásobý rgumet zrchlí průběh fukce 0, 5 log -0,0 0 0, 0 0, 60 log 0 0, 0 0, 60 0, 90 log log 0 - - c) fukčí hodot se ztrojásobí 0 - log / - d) grf fukce log 0, se posue o jedotk ve směru záporé poloos 0 - - log 0 - - - - 6 -
Zákld mtemtik Goiometrické fukce Fukce Výkld Goiometrické fukce ostrého úhlu jste pozli již zákldí škole, zvedli jste je jko poměr str v prvoúhlém trojúhelíku Následující defiice jsou speciálími přípd obecé defiice těchto fukcí Mějme ted prvoúhlý trojúhelík s odvěsmi,b přepoou c Pk defiujeme: Sius α je poměr délk odvěs protilehlé k úhlu α délk přepo prvoúhlého trojúhelíku si α c Kosius α je poměr délk odvěs přilehlé k úhlu α délk přepo prvoúhlého trojúhelíku b cos α c Tges α je poměr délek odvěs protilehlé k úhlu α odvěs přilehlé k úhlu α prvoúhlého trojúhelíku tgα b Kotges α je poměr délek odvěs přilehlé k úhlu α odvěs protilehlé k úhlu α prvoúhlého trojúhelíku b cotgα B c C b α A - 6 -
Zákld mtemtik Fukce Velikost úhlu oblouková stupňová mír Středoškolská defiice goiometrických fukcí se opírá především o pojem velikost úhlu, kterou udáváme buď v míře obloukové, ebo v míře stupňové Mějme libovolý orietový úhel AVB, který umístíme do krtézské soustv souřdic tk, že vrchol V umístíme do jejího počátku O, počátečí rmeo AV do os Sestrojme jedotkovou kružici k se středem V, tj kružici o poloměru Délk této kružice je π Obloukovou míru úhlu AVB defiujeme jko délku oblouku jedotkové kružice mezi průsečík rme VA, VB jedotkové kružice Pokud délk tohoto oblouku má velikost, je velikost úhlu AVB rov rd (rdiá) N středí škole se většiou dávl předost vjádřeí velikosti úhlu ve stupňové míře Jedotk stupňové mír zvá úhlový stupeň je úhel rovjící se 90 prvého úhlu Kromě jedotk stupeň, zčíme, používáme i meší jedotk: miut (zčíme ') pro šedesátiu stupě vteři ( zčíme kružici odpovídá úhel 60, přísluší oblouku délk rdiáu přísluší úhel 60 0 57 0 7 5 π Převodí vzth mezi stupi rdiá dosteme z přímé úměrosti π rd 60stupňů rd α stupňů απ, 80 80 α π '' ) pro jedu šedesátiu miut Protože celé π úhel velikosti 60, tkže jedomu Fukce sius, kosius, tges kotges Goiometrické fukce reálé proměé defiujeme pomocí jedotkové kružice V krtézské soustvě souřdic sestrojíme kružici se středem v počátku o poloměru jed Kždému reálému číslu můžeme přiřdit orietový úhel velikosti ( v obloukové míře), jehož počátečí rmeo je kldá poloos vrchol je v počátku soustv souřdic Průsečík kocového rmee s kružicí ozčme M [, M M ] Nepřehléděme podsttý fkt, že defiičím oborem kždé z goiometrických fukcí je podmoži reálých čísel; i jedou ebude řeč o stupích!! - 6 -
Zákld mtemtik Fukce sius, kosius, tges kotges defiujeme tkto: Fukce α M M[ M, M ] si M, M cos M, si tg, cos 0 cos cos cotg, si 0 si si cos -π - π π π 0 - -π - π π π 0 - v kždém bodě Defiičí obor R R Obor hodot,, Fukce lichá sudá Zákldí period π π Rostoucí v kždém itervlu π π + kπ, + kπ v kždém itervlu π + kπ,π + kπ Klesjící v kždém itervlu π π + kπ, + kπ v kždém itervlu 0 + kπ, π + kπ shor i zdol ohričeá shor i zdol ohričeá Mimum v kždém bodě v kždém bodě π kπ + kπ Miimum v kždém bodě π kπ + π + kπ Písmeo k v tbulce ozčuje libovolé celé číslo - 65 -
Zákld mtemtik Fukce - 5 π - -π π π π -π π - π π 0 - si - - π - -π π π π - 5 π -π π π 0 - cos - tg cotg 6 6 5 5 -π - π - 0 - π π -π - π 0 - π π - - - - - - 5 Defiičí obor moži všech π R { ( k + ) } pro k Z moži všech R { kπ } pro k Z Obor hodot R R Fukce lichá lichá Zákldí period π π Rostoucí v kždém itervlu π π + kπ, + kπ Klesjící v kždém itervlu ( 0 + k π, π + kπ ) shor i zdol eohričeá shor i zdol eohričeá Mimum eeistuje eeistuje Miimum eeistuje eeistuje 5-66 -
Zákld mtemtik Fukce 5 tg - 5 π - π π -π -π π - π π π 5π 0 - - - - -5 5 cotg - 5 π - π - π -π π π 5π π -π π 0 - - - - -5 Zméko fukce I kvdrt II kvdrt III kvdrt IV kvdrt si + + - - cos + - - + tg + - + - cotg + - + - Mootóost I kvdrt II kvdrt III kvdrt IV kvdrt si roste klesá klesá roste cos klesá klesá roste roste tg roste roste roste roste cotg klesá klesá klesá klesá - 67 -