Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu............... 3. Predikátový počet......................... 4.. Tautologie predikátového počtu............. 4.3 Množinové operace........................ 4 Algebra 5. Mocniny a odmocniny...................... 5. Logaritmy............................. 5.3 Komplexní čísla.......................... 6.3. Moivreova věta...................... 6.4 Posloupnosti............................ 6.4. Aritmetická posloupnost................. 6.4. Geometrická posloupnost................. 7.5 Kombinatorika.......................... 7 3 Goniometrie 8 3. Vztahy mezi goniometrickými funkcemi stejného úhlu..... 8 3. Funkce součtu a rozdílu dvou úhlů............... 8 3.3 Funkce dvojnásobného a polovičního úhlu........... 9 3.4 Funkční hodnoty goniometrických funkcí............ 9
4 Analytická geometrie v rovině 0 4. Přímka............................... 0 4.. Rovnoběžné přímky.................... 0 4.. Kolmé přímky....................... 0 4..3 Parametrická rovnice přímky............... 0 4. Kružnice.............................. 0 4.3 Elipsa............................... 0 4.4 Hyperbola............................. 4.5 Parabola.............................. 5 Matematická analýza 5. Základní pravidla pro výpočet it............... 5. Limity důležitých funkcí..................... 5.3 L Hospitalovo pravidlo...................... 3 5.4 Šikmé asymptoty......................... 3 6 Diferenciální počet 4 6. Základní pravidla pro derivování................. 4 6. Derivace elementárních funkcí.................. 4 6.3 Taylorův polynom......................... 5 6.4 Wronského determinant..................... 5 7 Integrální počet 6 7. Základní vzorce.......................... 6 7. Integrační metoda per partes................... 7 7.3 Integrace substitucí........................ 7 7.4 Integrály racionálních funkcí................... 8 7.5 Simpsonova formule........................ 9 7.6 Geometrické aplikace....................... 9 7.6. Délka grafu hladké funkce................ 9 7.6. Objem tělesa vytvořeného rotací grafu......... 9 7.6.3 Plášť tělesa vytvořeného rotací grafu.......... 9
Jazyk matematiky. Výrokový počet.. Logické spojky Logická operace Zapisujeme Čteme Česky negace α non α není pravda, že α α není pravdivé α neplatí disjunkce α β α vel β α nebo β konjunkce α β α et β α a β α a současně β implikace α β α implikuje β jestliže α, potom β α je dostačující podmínka pro β β je nutná podmínka pro α ekvivalence α β α je ekvivalentní β α právě tehdy, jestliže β α tehdy a jen tehdy, jestliže β α je nutná a postačující podmínka pro β α β α α β α β α β α β 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.. Tautologie výrokového počtu α α (α β) ( β α) (α β) ( α β) (α β) ( α β) (α β) (α β) (α β) ((α β) (β α)) 3
. Predikátový počet.. Tautologie predikátového počtu (α(x)) x M (α(x)) x M x M x M x M (α(x)) (α(x)) x M (α(x)) (α(x)) x M (α(x)) (α(x)) x M.3 Množinové operace sjednocení množin A B = {x; x A x B} průnik množin A B = {x; x A x B} rozdíl množin A B = {x; x A x / B} kartézký součin A B = {[x, y]; x A y B} 4
Algebra. Mocniny a odmocniny a r a s = a r+s a r /a s = a r s (a r ) s = a rs. Logaritmy (ab) r = a r b r ( a ) r a r = b b r log z n = l z l = n log z a n = n log z a log z (ab) = log z a + log z b log b x = log a x log b a 5
.3 Komplexní čísla z = a + bi z = z (cos ϕ + i sin ϕ) z = a + b cos ϕ = a z sin ϕ = b z.3. Moivreova věta z z = z z (cos (ϕ + ϕ ) + i sin (ϕ + ϕ )).4 Posloupnosti.4. Aritmetická posloupnost z n = z n (cos nϕ + i sin nϕ) a n+ = a n + d a n = a + (n )d s n = n(a + a n ) 6
.4. Geometrická posloupnost a n+ = a n q.5 Kombinatorika a n = a q n s n = a qn q s n = a qn q ( ) n = k n! (n k)!k! 7
3 Goniometrie 3. Vztahy mezi goniometrickými funkcemi stejného úhlu sin α + cos α = tg α cotg α = tg α = sin α cos α = cotg α + tg α = cos α + cotg α = sin α 3. Funkce součtu a rozdílu dvou úhlů sin α ± β = sin α cos β ± cos α sin β cos α ± β = cos α cos β sin α sin β sin α + sin β = sin α + β cos α β 8
3.3 Funkce dvojnásobného a polovičního úhlu sin α = sin α cos α sin α cos α = cos α = cos α sin α cos α + cos α = sin α = cos α = cos α + cos α 3.4 Funkční hodnoty goniometrických funkcí π π 0 6 4 3 3 3 π 3 3 π 3π π π 0 0 sin α 0 cos α 0 0 tg α 0 3 0 0 cotg α 3 3 0 0 3 9
4 Analytická geometrie v rovině 4. Přímka y = kx + q y y = k(x x ) 4.. Rovnoběžné přímky y y = y y x x (x x ) Ax + By + C = 0 4.. Kolmé přímky k = k k = k 4..3 Parametrická rovnice přímky s = B A 4. Kružnice X = P + ts 4.3 Elipsa (x m) + (y n) = r (x m) (y n) + = a b 0
4.4 Hyperbola (x m) (y n) = a b 4.5 Parabola (x m) = p(y n) (y n) = p(x m)
5 Matematická analýza 5. Základní pravidla pro výpočet it x c x c (f(x) ± g(x)) = x c (f(x) g(x)) = x c f(x) f(x) x c g(x) = x c g(x) x c f(x) ± x c g(x)) f(x) x c g(x) (k f(x)) = k f(x) x c x c f(x) = f(x) x c x c 5. Limity důležitých funkcí n n = 0 n n n = n n n! = sin x x 0 x = ( + n e = e n n) x x 0 x ( + a ) x = e a x x = n a 0 n k + a n k + + a k n + a k b 0 n m + b n m + + b m n + a m = a 0 b 0 pro k = m = 0 pro k < m = pro k > m a 0 b 0 > 0 = pro k > m a 0 b 0 < 0 n qn = pro q > = pro q = = 0 pro q ( ; ) = neexistuje pro q
5.3 L Hospitalovo pravidlo f(x) x c g(x) = f (x) x c g (x) platí pro 0 0 5.4 Šikmé asymptoty Funkce y = f(x) má v šikmou asymptotu y = kx+q pokud existují ity: f(x) x x = k (f(x) kx) = q x 3
6 Diferenciální počet 6. Základní pravidla pro derivování (f ± g) = f ± g (f g) = f g + fg ( f ) f g fg = g g (f[g]) = f [g] g f (n+) = (f (n) ) (f g) = f g + 4f g + 6f g + 4f g + fg 6. Derivace elementárních funkcí (ax n ) = nax n (tg x) = cos x (x) = (cotg x) = sin x (a) = 0 (arcsin x) = x (e x ) = e x (arccos x) = x (a x ) = a x ln a (arctg x) = + x (ln x) = x (log a x) = x ln a (arccotg x) = (sinh x) = cosh x + x 4
(log x) = x ln 0 = x log e (cosh x) = sinh x (sin x) = cos x (tgh x) = cosh x (cos x) = sin x (cotgh x) = sinh x 6.3 Taylorův polynom T n (x) = f(a) + f (a)(x a) + f (a)! 6.4 Wronského determinant W (f, f, f 3, f n )(x) = (x a) + + f (n) (a) (x a) n n! f (x) f (x) f 3 (x) f n (x) f (x) f (x) f 3(x) f n(x) f (x) f (x) f 3 (x) f n (x)....... f (n ) (x) f (n ) (x) f (n ) 3 (x) f n (n ) (x) Pokud platí W (f, f, f 3, f n )(x) 0 je soustava rovnic lineárně nezávislá. 5
7 Integrální počet 7. Základní vzorce 0 dx = C dx = x + C cos x dx = sin x + C sin x dx = cos x + C dx = arctg x + C + x e x dx = e x + C dx = arccotg x + C + x Pro a, a > 0 a x dx = ax ln a + C Pro n N x n dx = xn+ n + + C Pro x (, ) platí dx = arcsin x + C x dx = arccos x + C x Na každém intervalu neobsahující body x n = (n + ) π, resp. x n = nπ, kde n Z, je dx = tg x + C cos x sin dx = cotg x + C x Pro x > α a α R, α je x α dx = xα+ α + + C Pro x (0, + ), resp. pro x (, 0) je dx = ln x + C x 6
7. Integrační metoda per partes f (x) g(x) dx = f(x) g(x) f(x) g (x) dx = f(x) g(x) f(x) g (x) dx f (x) g(x) dx 7.3 Integrace substitucí ( f ( g(x) )) = f ( g(x) ) g (x) ( f ( g(x) )) dx = f ( g(x) ) = f ( g(x) ) g (x) dx y = g(x) x = g (y) dy = g (x) dx dx = g (y) dy Zužující substituce f ( g(x) ) g (x) dx = f (y) dy = f(y) = f ( g(x) ) Rozšiřující substituce f (y) dy = f ( g(x) ) g (x) dx = f ( g(x) ) = f(y) Kombinovaná substituce f ( g(x) ) dx = f (y) g (y) dy 7
7.4 Integrály racionálních funkcí dx = ln x + a + C x + a x + b x + bx + c dx = ln x + bx + c + C (x + a) n dx = ( n)(x + a) n + C dx = arctg x + C x + Pro n > x + b (x + bx + c) n dx = ( n + )(x + bx + c) n + C dx dále neřešit, považovat za výsledek (x + ) n Jmenovatel má dva různé reálné kořeny Ax + B x + px + q dx = ( = γ x α + γ + δ = A βγ αδ = B δ ) dx = γ ln x α + δ ln x β + C x β Jmenovatel má jedendvojnásobný reálný kořen Ax + B Ax + B x + px + q dx = (x α) dx = x α = y dx = dy A(y + α) + B = y = A ln x α Aα + B x α x = y + α dy = A dy + (Aα + B) y + C y dy = 8
Jmenovatel nemá reálné kořeny Ax + B x + px + q dx = Ax + B = (x + p ) + ϱ dx = = A y y + ϱ dy + (B A p ) x + px + q = (x + p ) + (q p (q p ) = ϱ 4 x + px + q = (x + p ) + ϱ x + p = y dx = dy A(y p ) + B dy = y + ϱ y + ϱ dy = = A ln(x + px + q) + B A p ϱ arctg x + p ϱ 4 ) 7.5 Simpsonova formule b a (b a) h = n f(x) dx h [ ] f(x 0 ) + 4f(x ) + f(x ) + 4f(x 3 ) + f(x 4 ) +... + f(x n ) 3 7.6 Geometrické aplikace 7.6. Délka grafu hladké funkce d ( f, a, b ) = b a + ( f (x) ) dx 7.6. Objem tělesa vytvořeného rotací grafu V ( f, a, b ) b = π f (x) dx a 7.6.3 Plášť tělesa vytvořeného rotací grafu S ( f, a, b ) b = π f(x) + ( f (x) ) dx a 9