PŘÍKLADY K MATEMATICE 3

PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Křivkové integrály.. Křivkový integrál prvního druhu. Příklad.. Vypočítejme křivkový integrál A =, ), B = 4, ). Řešení: Úsečka AB je hladká křivka. Funkce ψt) = 4t, + t), t,, ds, kde je úsečka AB, x y je parametrizace křivky. Protože b fx, y) ds = fxt), yt)) x t) + y t) dt, je potom ds x y = = 5 a 4 + 4t + t) dt = t + dt = 5 [ln t + ] = 5 ln. Příklad.. Vypočítejme křivkový integrál x + y) ds, kde je obvod trojúhelníku AB, A =, ), B =, ), =, 3). Řešení: není hladká křivka, ale vznikne spojením tří na sebe navazujících křivek,, 3 stran trojúhelníku AB), kde Potom x + y) ds = : x = + t, y = + t, t,, : x = t, y = + t, t,, 3 : x = + t, y = + t, t,. + t + ) dt + t + ) dt = 8 + 3 8. Příklad.3. Vypočítejme křivkový integrál fx) = ln x, x,. t) + + t)) 8 dt + x ds, kde je graf funkce

ZDENĚK ŠIBRAVA -4-3 - - - -4 Obr. -6 Řešení: Položíme-li x = t, potom y = ln t je ψt) = t, ln t), t, parametrizace křivky. Potom x ds = t + t dt = t t + dt. Označíme-li u = t + a dále du = t dt dostaneme t t + dt = 5 u du = 3 5 5 Příklad.4. Vypočítejme křivkový integrál x +y ) ds, kde je křivka Obr. pro a = ) s parametrizací ψt) = acos t + t sin t), asin t t cos t)), t, π, a > ). Řešení: Předně je ψ t) = at cos t, at sin t) a Potom x +y ) ds = π ). x t) + y t) = at) cos t + sin t) = at. a cos t + t sin t) + sin t t cos t) ) at dt = a 3 π +π ). Příklad.5. Vypočítejme křivkový integrál křivka jeden závit kuželové šroubovice) s parametrizací ψt) = t cos t, t sin t, t), Řešení: Opět nejříve vypočítáme ψ t) = cos t t sin t, sin t + t cos t, ) a ) x + y z ds, kde je t, π. x t) + y t) + z t) = + t.

PŘÍKLADY K ATEATIE 3 3 Potom ) x + y z ds = = π π t cos t + sin t) t) + t dt = t + t dt = + 4π ) 3 3 ). V příkladech.6.5 vypočítejte křivkové integrály podél křivky. Příklad.6. x+y+ x +y ds, kde je úsečka s krajními body, ), 4, ). Výsledek: 5 ). Příklad.7. xy ds, kde je obvod obdélníku určeného přímkami x =, x = 4, y =, y =. Výsledek: 4 Příklad.8. x y ds, kde je část paraboly y = x, y,. Výsledek: 5 5 6 3)/3 Příklad.9. x y ds, kde je oblouk kružnice x +y = a a > ) s koncovými body a, ),, a). Výsledek: a 4 /3 Příklad.. x + y ds, kde je kružnice x + y ax = a > ). Výsledek: a Příklad.. y ds, kde je lemniskáta x + y ) = a x y ) a > ). Výsledek: a ) Příklad.. y ds, kde část cykloidy s parametrizací ψt) = at sin t), a cos t)), t, π a > ). Výsledek: 4πa 3/ Příklad.3. z x +y ds, kde je šroubovice ψt) = cos t, sin t, t), t, π. Výsledek: 8π 3 /3 Příklad.4. x ds, kde je průniková křivka ploch x + y + z =, x z =. Výsledek: π/ Příklad.5. x + y) ds, kde je část kružnice x + y + z = a, y = x a > ), ležící v prvním oktantu. Výsledek: a Aplikace křivkového integrálu prvního druhu Geometrické aplikace I) Nechť je jednoduchá křivka. Potom délka této křivky je dána vztahem ) ds.

4 ZDENĚK ŠIBRAVA.5 - -.5.5 -.5 - Obr. II) Nechť je jednoduchá rovinná křivka v rovině xy), f je spojitá funkce dvou proměnných nezáporná v bodech křivky a κ = { x, y, z) R 3 : x, y) z fx, y) } je válcová plocha určená řídicí křivkou s přímkami rovnoběžnými s osou z, zdola omezená křivkou a shora průnikem grafu funkce z = fx, y) a plochy κ). Potom pro obsah S válcové plochy κ platí ) S = fx, y) ds. Příklad.6. Vypočítejme délku asteroidy jejíž parametrizace je ψt) = a cos 3 t, a sin 3 t) a >, t, π. Řešení: Asteroida není hladká křivka, neboť v bodech a, ),, a), a, ),, a) k ní neexistuje tečný vektor. Platí totiž ψ t) = 3a cos t sin t, 3a sin t cos t), a např. pro t = je ψ) = a, ) a ψ ) =, ), tj. v bodě a, ) neexistuje tečný vektor. Analogicky je tomu i v ostatních uvedených bodech. V těchto bodech jsou na křivce body vratu Obr. pro a = ). Křivku tedy budeme uvažovat jako spojení čtyř jednoduchých křivek, které na sebe navazují. Protože funkce F x, y) = 3 x + 3 y 3 a je sudá v proměnné x i v proměnné y, je zřejmé, že křivka je souměrná podle osy y i podle osy x a k výpočtu její délky stačí vypočítat pouze délku její části ležící v první kvadrantu a její délku pak násobit čtyřmi.

PŘÍKLADY K ATEATIE 3 5 3 3,5-3 z,5-3 - - x -,5 - y 3 Obr. 3 Nejdříve určíme x t) + y t) = 3a cos 4 t sin t + sin 4 t cos t = 3a cos t sin t. Odtud ds = 4 ds = 4 π/ [ sin t 3a cos t sin t dt = a ] π/ Příklad.7. Vypočítejme obsah válcové plochy Obr.3) κ = {x, y, z) R 3 : x + y = 4 z } 4 x. Řešení: Podle ) je obsah válcové plochy roven číslu fx, y) ds, = 6a. kde je její řídicí křivka a plocha je zdola omezena rovinou z = a shora grafem funkce fx, y) = 4 x. Křivka kružnice) je parametrizována funkcí ψt) = cos t, sin t), t, π. Potom ψ t) = sin t, cos t) a odtud 4 x ds = π π = 4 4 4 cos t dt = 4 sin t dt + 4 π π π sin t dt = 4 sin t) dt = 4 [ cos t] π π sin t dt = ) + [cos t]π π = 6.

6 ZDENĚK ŠIBRAVA Příklad.8. Vypočítejte délku křivky s parametrizací ψt) = 3t, 3t, t 3 ), jejímiž krajními body jsou,, ), 3, 3, ). Výsledek: 5 Příklad.9. Vypočítejte délku křivky s parametrizací ψt) = e t cos t, e t sin t, e t ), t,. Výsledek: 3e ) V příkladech..7 vypočítejte obsahy daných válcových ploch. Příklad.. κ = Příklad.. κ = { } x, y, z) R 3 : x + y = z 9x + 4y. 4 9 4 9 Výsledek: { } x, y, z) R 3 : x + y = z 4x 4 + y. 4 Výsledek: Příklad.. κ = { x, y, z) R 3 : y = x z x + y x, }. Výsledek: )/3 Příklad.3. κ = { x, y, z) R 3 : y = 3 x3 z x 3 + 3y x, }. Výsledek: )/3 Příklad.4. κ = { x, y, z) R 3 : y = x z Příklad.5. κ = Příklad.6. κ = Příklad.7. κ = { x, y, z) R 3 : x = y z { x, y, z) R 3 : y = ln x z { x, y, z) R 3 : y = sin x z 3π 5π y x+ x, 3 }. Výsledek: 4 }. x y, 4 y+ Výsledek: y x + x, e }. Výsledek: / y cos x cos x+ x, π/ }. Výsledek: / Fyzikální aplikace Nechť je jednoduchá hmotná křivka, jejíž hustota v každém jejím bodě x, y, z) je hx, y, z). I) Hmotnost m této křivky je 3) m = hx, y, z) ds II) Statický moment této křivky vzhledem k rovině xy, resp. vzhledem k rovině xz, resp. vzhledem k rovině yz je 4) S xy = zhx, y, z) ds, S xz = yhx, y, z) ds, S yz = xhx, y, z) ds.

PŘÍKLADY K ATEATIE 3 7 III) Souřadnice těžiště této křivky v pravoúhlém souřadnicovém systému) jsou 5) x T = S yz m, y T = S xz m, z T = S xy m. IV) oment setrvačnosti této křivky vzhledem k ose x, resp. vzhledem k ose y, resp. vzhledem k ose z je I x = y + z )hx, y, z) ds, I y = x + z )hx, y, z) ds, 6) I z = x + y )hx, y, z) ds. V případě rovinné křivky platí všechny uvedené vztahy s tím, že z =. Příklad.8. Vypočítejme souřadnice těžiště homogenní křivky, jejíž parametrizace je ψt) = t sin t, cos t), t, π část cykloidy, Obr.4)..5.5.5.5.5 3 Obr. 4 Řešení: Podobně jako u ploch a těles budeme i u homogenních křivek předpokládat, že hustota v každém bodě křivky je. Souřadnice těžiště jsou na této konstantě nezávislé. Je ψ t) = cos t, sin t) a x t) + y t) = cos t) + sin t = sin t. Potom m = ds = π sin t [ dt = 4 cos t ] π = 4.

8 ZDENĚK ŠIBRAVA Dále S x = = 4 π π y ds = cos t) sin t π dt = 4 cos t sin t dt = sin t sin t π dt = 4 cos t ) sin t dt = 8 ) u du = 6 3 při výpočtu integrálu volíme substituci u = cos t ) a π S y = x ds = t sin t) sin t π dt = t sin t π dt sin t sin t ) dt = 6 3. První integrál počítáme metodou per partes, ve druhém po úpravě sin t = sin t cos t volíme substituci u = sin t.) Je tedy x t = 6 3 4 = 4 3, y t = 6 3 4 = 4 3. Příklad.9. Vypočítejte hmotnost části elipsy x + y =, x, y, jestliže 9 4 její hustota je v každém bodě hx, y) = xy. Výsledek: 38/5 Příklad.3. Vypočítejte hmotnost jednoho závitu šroubovice s parametrizací ψt) = a cos t, a sin t, bt), t, π a >, b > ), jestliže její hustota v každém bodě je rovna druhé mocnině vzdálenosti tohoto bodu od počátku, tj. hx, y, z) = r. Výsledek: π a + b 3a + 4π b )/3 Příklad.3. Vypočítejte hmotnost křivky s parametrizací ψt) =, t, t /), t,, jestliže její hustota v každém bodě je hx, y, z) = z. Výsledek: )/3 Příklad.3. Vypočítejte hmotnost drátu, který má tvar kružnice x +y +z =, x + z =, je-li jeho hustota hx, y, z) = x. Výsledek: π/ Příklad.33. Najděte souřadnice těžiště homogenního oblouku cykloidy s parametrizací ψt) = at sin t), a cos t)), t, π a > ). Výsledek: aπ, 4a/3) Příklad.34. Najděte souřadnice těžiště homogenního obvodu sférického trojúhelníku x + y + z = a, x, y, z a > ). Výsledek: 4a/3π), 4a/3π), 4a/3π)) Příklad.35. Drát má tvar kružnice x + y = a a > ). Vypočítejte jeho moment setrvačnosti vzhledem k jeho průměru, je-li jeho hustota hx, y) = x + y. Výsledek: 4a 3 Příklad.36. Vypočítejte momenty setrvačnosti vzhledem k souřadnicovým osám jednoho závitu homogenní šroubovice s parametrizací ψt) = cos t, sin t, t), t, π. Výsledek: I x = I y = 5π + 3π/3), I z = 5π

.. Křivkový integrál druhého druhu. PŘÍKLADY K ATEATIE 3 9 Příklad.37. Nechť Fx, y, z) = y z, yz, x ) je vektorové pole a kladně orientovaná hladká křivka s parametrizací ψt) = t, t, t 3 ), t,. Vypočítejme křivkový integrál druhého druhu F T ds. Řešení: Připomeňme si nejdříve několik skutečností, které při výpočtu integrálu použijeme. Je-li Fx, y, z) = P x, y, z), Qx, y, z), Rx, y, z)) vektorové pole, hladká orientovaná křivka s parametrizací ψt) = xt), yt), zt)), t a, b T je její jednotkový tečný vektor), potom 7) F T ds = P x, y, z) dx + Qx, y, z) dy + Rx, y, z) dz. Užitím věty o substituci dostaneme F T ds = P xt), yt), zt))x t) + Qxt), yt), zt))y t) + 8) + Rxt), yt), zt))z t))) dt. Připomeňme ještě, že v případě rovinného vektorového pole 7) i 8) platí, s tím, že R a z jsou nulové. Nyní se vrátíme k našemu příkladu. Protože Fx, y, z) = y z, yz, x ), budeme podle 7) počítat integrál y z ) dx + yz dy x dz, a protože je podle 8) ψt) = t, t, t 3 ) a ψ t) =, t, 3t ), F T ds = t 4 t 6 + t t 3 t t 3t ) dt = 35. Příklad.38. Vypočítejme křivkový integrál x xy) dx + y xy) dy, kde je parabola y = x, x, s počátečním bodem, ) a koncovým bodem, ). Řešení: Křivkový integrál je zadán ve tvaru 7) a Fx, y) = x xy, y xy) je rovinné vektorové pole. Označíme-li xt) = t a yt) = t je ψt) = t, t ), t, parametrizací křivky. Protože, ) je počátečním bodem a, ) koncovým bodem křivky, je křivka při zvolené parametrizaci orientována kladně je orientována ve směru rostoucího parametru). Dále ψ t) =, t) a podle 8) x xy ) dx + y xy ) dy = t t 3 ) + t 4 t 3 ) t ) dt = 4 5.

ZDENĚK ŠIBRAVA Příklad.39. Vypočítejme křivkový integrál y) dx + + x) dy, kde je obvod trojúhelníku s vrcholy, ),, ),, ) a orientace je dána uvedeným pořadím vrcholů. Řešení: Křivka není hladká. Vznikne spojením tří na sebe navazujících křivek úseček stran trojúhelníka), a 3 s parametrizacemi : ψt) = t, t), t,, kladně orientovaná, : ψt) = t, t), t,, záporně orientovaná, : ψt) =, t), t,, záporně orientovaná. Potom y) dx+ + x) dy = t++t) dt +t t) dt V příkladech.4.47 vypočítejte křivkové integrály podél křivky. ) dt =. Příklad.4. y dx + x dy, kde je čtvrtkružnice x + y = a, x, y a > ) s počátečním bodem a, ) a koncovým bodem, a). Výsledek: Příklad.4. x + y ) dx + x y ) dy, kde je křivka y = x, x, s počátečním bodem, ). Výsledek: 4/3 Příklad.4. x + y ) dy, kde křivka je obvod obdelníku s vrcholy, ), 5, ), 5, 4),, 4) orientovaná souhlasně s uvedeným pořadím vrcholů. Výsledek: 4 y Příklad.43. dx+x dy, kde křivka je část hyperboly xy = s počátečním x bodem 3, /3) a koncovým bodem /, ). Výsledek: ln 6 5/3 Příklad.44. y 6xy3 ) dx + x 9x y ) dy, kde a) je parabola y = x s počátečním bodem, ) a koncovým bodem, ), b) je úsečka s počátečním bodem, ) a koncovým bodem, ). Výsledek: a), b) Příklad.45. yz dx + z a x dy + yx dz, kde křivka s parametrizací ψt) = a cos t, a sin t, bt), t, π a >, b > ) s počátečním bodem a,, ) a koncovým bodem a,, πb). Výsledek: π a b Příklad.46. x + y + z) dx, kde křivka je obvod trojúhelníku s vrcholy,, ),,, ),,, ) orientovaná souhlasně s uvedeným pořadím vrcholů. Výsledek: Příklad.47. y dx + z dy + x dz, kde je průniková křivka ploch z = xy a x + y = orientovaná souhlasně s pořadím bodů,, ),,, ),,, ). Výsledek: π

PŘÍKLADY K ATEATIE 3 Aplikace křivkového integrálu druhého druhu Fyzikální aplikace Příklad.48. Vypočítejme práci silového pole Fx, y, z) = y, z, x), kterou vykoná posunutím hmotného břemene z bodu,, e π ) do bodu,, ) podél křivky s parametrizací ψt) = cos t, sin t, e t ). Řešení: Připomeňme, že práce W silového pole F podél křivky je 9) W = F T ds = P x, y, z) dx + Qx, y, z) dy + Rx, y, z) dz. Křivka je parametrizována funkcí ψt) = cos t, sin t, e t ) a je ψ) =,, ) a ψπ) =,, e π ). Protože je parametrizována spojitou funkcí, je t, π. Po křivce však postupujeme proti rostoucímu parametru, tj. křivka je orientována záporně, a to znamená, že u počítaného křivkového integrálu musíme změnit znaménko. Pro práci silového pole F podél křivky tedy dostáváme π W = sin t + e t cos t + e t cos t ) dt = + e π + π. Příklad.49. Vypočítejme tok rovinného vektorového pole Fx, y) = x +y, xy) uzavřenou kladně orientovanou křivkou kružnicí) x + y = x. Řešení: Podobně jako v předchozím příkladu nejdříve připomeňme, že tok rovinného vektorového pole Fx, y) = P x, y), Qx, y)) uzavřenou kladně orientovanou křivkou je n je vnější normála křivky) ) F n ds = Qx, y) dx + P x, y) dy. Symbolem zdůrazňujeme, že počítáme křivkový integrál přes uzavřenou křivku.) Pro nalezení toku vektorového pole křivkou budeme tedy počítat Qx, y) dx + P x, y) dy = xy dx + x + y ) dy. Kružnici x + y = x můžeme parametrizovat funkcí ψt) = + cos t, sin t), t, π. Potom π F n ds = + cos t) sin t sin t) + + cos t) cos t) dt =. Příklad.5. Vypočítejme cirkulaci rovinného vektorového pole Fx, y) = x y, xy), podél uzavřené kladně orientované hranice půlkruhu x + y x, y. Řešení: irkulace vektorového pole Fx, y) = P x, y), Qx, y)) podél uzavřené kladně orientované křivky je dána křivkovým integrálem ) F T ds = P x, y) dx + Qx, y) dy.

ZDENĚK ŠIBRAVA V našem případě hranice půlkruhu není hladká křivka. Vznikne však spojením dvou na sebe navazujících křivek, tj. půlkružnice x + y = x, y, a, tj. úsečky spojující body, ) a, ). Je tedy F T ds = F T ds + F T ds Křivku budeme parametrizovat funkcí ψt) = + cos t, sin t), t, π a křivku funkcí ψt) = t, ), t,, přičemž obě křivky jsou orientovány shodně s rostoucím parametrem, tedy kladně. Potom π F T ds = sin t cos t ) sin t dt + t dt = 3 + 8 3 =. Příklad.5. Vypočítejte práci, kterou vykoná silového pole Fx, y) =, x ) podél křivky y = x s počátečním bodem, ) a koncovým bodem, ). Výsledek: 8/5 Příklad.5. Vypočítejte práci, kterou vykoná silového pole Fx, y) = x+y, x) podél kladně orientované kružnice x + y = a a > ). Výsledek: πa Příklad.53. Vypočítejte práci, kterou vykoná silového pole Fx, y, z) = x, y, z) podél lomené čáry spojující body,, ),,, ),,, ),,, ) orientované souhlasně s uvedeným pořadím bodů. Výsledek: 3/ Příklad.54. Na hmotný bod, který se pohybuje po elipse x /a + y /b = a >, b > ) z bodu a, ) do bodu, b) působí síla, jejíž velikost je rovna vzdálenosti bodu od středu elipsy, a která směřuje do středu této elipsy. Vypočítejte práci, kterou pole vykoná při pohybu bodu. Výsledek: a b )/ Příklad.55. Vypočítejte práci, kterou vykoná silového pole Fx, y, z) = yz, xz, xy) podél průnikové křivky ploch x + y + z = a x + z = orientované souhlasně s pořadím bodů /,, / ),,, ), /,, / ). Výsledek: V příkladech.57.59 vypočítejte tok, resp. cirkulaci daného vektorového pole křivkou, resp. podél uzavřené křivky. Příklad.56. Fx, y) = x, y) a je kladně orientovaná hranice množiny 3 x + 3 y 3 a a > ) viz příklad.6), x, y. Výsledek: 3a π/, resp. Příklad.57. Fx, y) = ) x, y+ r r r je vzdálenost bodu x, y) od počátku) a je kladně orientovaná kružnice x ) + y + ) =. Výsledek: π, resp. Příklad.58. Fx, y) = x + y, x) a kladně orientované kružnice x + y = a a > ). Výsledek: πa, resp. πa Příklad.59. Fx, y) = x e y, e y ) a je kladně orientovaná hranice množiny y x, x 4. Výsledek: 76 e 4 e, resp. 6 e +4 e

PŘÍKLADY K ATEATIE 3 3 Příklad.6. Užitím Greenovy věty vypočítejme křivkový integrál x + y) dx x y) dy, kde je kladně orientovaná elipsa x /a ) + y /b ) =, a >, b > ). Řešení: Připomeňme, že je-li Fx, y) = P x, y), Qx, y)) rovinné vektorové pole a jednoduchá uzavřená po částech hladká kladně orientovaná křivka, jež tvoří hranici množiny, pak podle Greenovy věty platí, že tok tohoto vektorového pole přes hranici množiny tj. křivku ) je roven úhrnému množství divergence tohoto pole na. Tedy platí ) F n ds = div F da, tj. 3) Qx, y) dx + P x, y) dy = P x, y) + x ) Qx, y) da. hceme-li nyní použít k výpočtu integrálu x + y) dx x y) dy vzorec 3), ) znamená to, že místo toku vektorového pole Fx, y) = x y), x + y)) přes křivku, můžeme počítat úhrné množství divergence tohoto pole na. Protože div Fx, y) =, ), je π x + y) dx x y) dy = ) da = abr dr dϕ = abπ ) Dvojný integrál jsme vypočítali substitucí pomocí zobecněných polárních souřadnic.) Příklad.6. Užitím Greenovy věty vypočítejme křivkový integrál ) ) y3 + xy dx + x 3 y + x + x3 dy, 3 ) kde je kladně orientovaná hranice množiny { = x, y) R : 4 x + y 9 x y } 3 x. 3 Řešení: Protože počítaný křivkový integrál nám opět představuje levou stranu ve vzorci 3), je Fx, y) = y + x + x3 3, ) y3 xy +. x 3 Odtud div Fx, y) = x + x, x + y ).

4 ZDENĚK ŠIBRAVA Podle vzorce 3) pak dostáváme ) ) y3 + xy dx + ) x 3 y + x + x3 dy = 3 3 π/3 = x + y ) da = r 3 dϕ dr = 65 4 π. Dvojný integrál jsme vypočítali substitucí pomocí polárních souřadnic.) Příklad.6. Vypočítejme obsah plochy omezené jedním obloukem cykloidy s parametrizací ψt) = at sin t), a cos t)) a > ), t, π a osou x. Řešení: Jednoduchým důsledkem Greenovy věty je vzorec pro výpočet míry obsahu) množiny ohraničené uzavřenou kladně orientovanou křivkou. Zvolíme-li např. x Fx, y) =, y, je div Fx, y) = ) + = a podle vzorce 3) je 4) y dx + x dy = π/6 + ) da = da = µ). Obecně stačí, zvolíme-li si libovolné rovinné vektorové pole F, jehož div F =. Zvolíme-li např. Fx, y) = x, ) a z 3) dostáváme další vztah pro výpočet míry množiny 5) x dy = da = da = µ). V našem případě je hranice množiny tvořena dvěma jednoduchými na sebe navazujícími křivkami a, kde je část osy x mezi body, ) a aπ, ) a je oblouk cykloidy vycházející z bodu aπ, ) a vracející se do bodu, ). Hranice je pak při takto zvolené orientaci orientována kladně. Připomeňme jednoduché pravidlo pro určení orientace uzavřené křivky - hranice množiny: Procházíme-li křivkou ve směru zvolené orientace a máme-li uzavřenou množinu po levé ruce, je křivka orientována kladně. V případě, že množina je po pravé ruce, je křivka orientována záporně.) Je tedy µ) = y dx + x dy = y dx + x dy + y dx + x dy. Křivku parametrizujeme funkcí ψt) = t, ), t, aπ. Snadno zjistíme, že y dx + x dy =. Křivka je parametrizována funkcí ψt) = at sin t), a cos t)), t, π. Protože jsme hranici množiny orientovali kladně, postupujeme po křivce proti rostoucímu parametru, a to znamená, že při výpočtu druhého integrálu musíme u tohoto integrálu změnit znaménko. Je tedy po úpravě y dx + x dy = a π + cos t + t sin t) dt = 3a π,

a tedy PŘÍKLADY K ATEATIE 3 5 µ) = 3a π. Příklad.63. Užitím Stokesovy věty v rovině vypočítejme křivkový integrál ) x x y + xy e x y dx + xy ) y + x e x y dy, ) kde je kladně orientovaná část lemniskáty x + y ) = xy, x, y ). Řešení: Připomeňme, že je-li Fx, y) = P x, y), Qx, y)) rovinné vektorové pole a jednoduchá uzavřená po částech hladká kladně orientovaná křivka jež tvoří hranici množiny, potom pro cirkulaci a rotaci tohoto pole platí k =,, )) 6) F T ds = rot F k da, tj. 7) Předně je P x, y) P x, y) dx + Qx, y) dy = = x e xy +x 3 y e xy x, Potom podle 7) je ) x x y + xy e x y dx + Qx, y) x Qx, y) x ) P x, y) da. = x e xy +x 3 y e xy +y. xy ) y + x e x y dy = y + x ) da, kde = {x, y) R : x + y ) xy x y }. Použítím substituce pomocí polárních souřadnic??) pak dostaneme π/ cos ϕ sin ϕ y + x ) da = r 3 dr dϕ = π 64. V příkladech.64.73 vypočítejte křivkové integrály pomocí Greenovy věty. Příklad.64. e x sin y 3y 3 ) dx + e x cos y + 4 3 x3) dy, kde je kladně orientovaná křivka 4x + 9y = 36. Výsledek: 8π Příklad.65. ) cos x ln y + e x y sin x ) dx + + e x y + 4 y 3 x3 dy, kde je kladně orientovaná křivka 4x + y = 4. Výsledek: π Příklad.66. ) e x ln y y e x) dx+ x y x y dy, kde je kladně orientovaná křivka x ) + y ) =. Výsledek: 4π Příklad.67. e x sin y xy ) dx + e x cos y x y ) dy, kde je kladně orientovaná křivka x + ) + y + ) =. Výsledek: 4π

6 ZDENĚK ŠIBRAVA Příklad.68. xy + y ) dx + x + 3xy) dy, kde je kladně orientovaná hranice množiny = {x, y) R : x + y x}. Výsledek: Příklad.69. xy + y ) dx + x + xy) dy, kde je kladně orientovaná hranice množiny = {x, y) R : x + y y}. Výsledek: Příklad.7. e x cos y) dx e x y sin y) dy, kde je kladně orientovaná { hranice množiny = x, y) R : x, π y } sin x. Výsledek: e π +)/4 Příklad.7. arctg y dx + arctg x dy, kde je kladně orientovaná hranice x x y y množiny = { x, y) R : x + y 4 x y 3 x }. Výsledek: π ln Příklad.7. y 3 dx x 3 dy, kde je kladně orientovaná hranice množiny = {x, y) R : x y x + y ) a x y )} a > ). Výsledek: 3 3 πa4 Příklad.73. e x sin y y) dx + e x cos y ) dy, kde je půlkružnice x + y = ax a > ), y s počátečním bodem, ) a koncovým bodem a, ). [Návod: Doplňte křivku úsečkou spojující počáteční koncový bod půlkružnice na uzavřenou křivku.] Výsledek: πa /8 V příkladech.64.73 vypočítejte křivkové integrály pomocí Stokesovy věty v rovině. Příklad.74. Pomocí křivkového integrálu odvoďte vztah pro výpočet obsahu kruhu o poloměru R. Příklad.75. Pomocí křivkového integrálu vypočítejte obsah plochy omezené křivkami x = y a x = 4. Výsledek: 3/3 Příklad.76. Pomocí křivkového integrálu vypočítejte obsah plochy omezené křivkami x = y 3, x = 8 a y =. Výsledek: Příklad.77. Vypočítejte obsah plochy ohraničené smyčkou Descartesova listu x 3 + y 3 3at 3axy = a > ) s parametrizací ψt) =, ), 3at t, + ). +t 3 +t 3 Výsledek: 3a / Příklad.78. Vypočítejte obsah plochy ohraničené lemniskátou x + y ) = a x y ) a > ). Výsledek: a

PŘÍKLADY K ATEATIE 3 7 Příklad.79. Vypočítejte obsah plochy ohraničené asteroidou s parametrizací ψt) = a cos 3 t, a sin 3 t) a > ), t, π. Výsledek: 3πa /8 Příklad.8. Vypočítejte obsah plochy ohraničené srdcovkou s parametrizací ψt) = cos t cos t, sin t sin t), t, π. Výsledek: 6π.3. Konzervativní pole. Příklad.8. Vypočítejme křivkový integrál x4 + 4xy 3 ) dx + 6x y 5y 4 ) dy, kde je křivka spojující body, ) a 3, ). Řešení: Nejdříve ukážeme, že rovinné vektorové pole Fx, y) = x 4 + 4xy 3, 6x y 5y 4 ) je v R nerotační, tj. že platí 8) Qx, y) x P x, y) =, tj. Qx, y) x = P x, y). Platí Qx, y) = xy P x, y), = xy x a podmínka 8) je splněna. To znamená, že pole F je nerotační a je v R potenciální konzervativní). Počítaný integrál je tedy nazávislý na cestě a je na nás, jakou křivku spojující body, ) a 3, ) si zvolíme. Zvolme v našem případě jako lomenou čáru složenou ze dvou úseček a spojující body, ), 3, ) a 3, ). Jejich parametrizace jsou Potom x 4 + 4xy 3 ) dx + 6x y 5y 4 ) dy = : x = t, y =, t, 3, : x = 3, y = t, t,. 3 t 4 4t) dt + 54t 5t 4) dt = 6. Příklad.8. Vypočítejme křivkový integrál yz dx + + xz) dy + xy ) dz, kde je křivka spojující body,, ) a,, ). Řešení: Vektorové pole Fx, y, z) = yz, + xz, xy ) je v R 3 nerotační. Platí totiž Rx, y, z) Qx, y, z) P x, y, z) Rx, y, z) Qx, y, z) P x, y, z) =, =, = z z x x a vektorové pole F je potenciální a počítaný integrál je nezávislý na cestě. Zvolme tentokrát za křivku úsečku spojující body,, ) a,, ). Její parametrizace je ψt) = + t, + t, + t), t,. Potom yz dx + + xz) dy + xy ) dz = = + t) + + + t) ) + + t) )) dt = 4.

8 ZDENĚK ŠIBRAVA Poznámka.83. V případě, že křivkový integrál je nezávislý na cestě a křivka je libovolná křivka s počáteční bodem A a koncovým bodem B, je zvykem místo F T ds psát B F T ds. Dále je třeba si uvědomit, že křivka, kde A je množina, na které je F potenciální. Příklad.84. Vypočítejme práci, kterou) vykoná rovinné vektorové pole y Fx, y) = x x + arcsin y, + arcsin x posunem hmotného břemene z bodu y A =, ) do bodu B = /, /). Řešení: Ukážeme nejdříve, že pole F je na množině =, ), ) potenciální. Je Qx, y) P x, y) = = x +, x y tj. pole je nerotační a vektorové pole F je na množině potenciální. Dále víme, že práce, kterou vykoná vektorové pole podél křivky křivka musí ležet v ) je dána křivkovým integrálem ) ) y 9) W = + arcsin y x dx + + arcsin x dy. x y Protože pole F je potenciální, existuje skalární pole f potenciál pole F) takové, že F = f, a platí W = fb) fa). Potenciál f budeme hledat analogickou metodou, kterou jsme řešili exaktní diferenciální rovnice. Podle předpokladu je ) y x fx, y) = + arcsin y, + arcsin x, x y tedy fx, y) y = + arcsin y. x x Integrací této rovnice podle x dostaneme fx, y) = y arcsin x + x arcsin y + φy), kde φy) je integrační konstanta, která ovšem může být funkcí y. Derivováním f podle y dostaneme fx, y) Podle předpokladu je ale také fx, y) = x y + arcsin x + φ y). = Qx, y) = x + arcsin x. y

PŘÍKLADY K ATEATIE 3 9 Odtud pak φ y) = φy) = c, kde c je libovolná konstanta můžeme položit c = ). Je tedy fx, y) = y arcsin x + x arcsin y a W = f /, /) f, ) = 4 π. Příklad.85. Vypočítejme práci, kterou vykoná prostorové vektorové pole Fx, y, z) = y z 3 + z, xyz 3 z, 3xy z + x y) posunem hmotného břemene z bodu A =,, ) do bodu B =,, ). Řešení: Podobně jako v předchozím příkladě ukážeme, že pole F je v R 3 nerotační, tedy, že je potenciální. Je Rx, y, z) Qx, y, z) = = 6xyz, z P x, y, z) Rx, y, z) = = 3y z +, z x Qx, y, z) P x, y, z) = = yz 3. x Existuje tedy skalární pole f potenciál pole F) takové, že F = f, a platí W = fb) fa). Potenciál f budeme opět hledat analogicky stejnou metodou jako v předchozím příkladu. Podle předpokladu je fx, y, z) = y z 3 + z, xyz 3 z, 3xy z + x y ), tedy fx, y, z) = y z 3 + z fx, y, z) = xy z 3 + zx + φ y, z), x kde φ y, z) je integrační konstanta, která ovšem může být funkcí y a z. Derivováním f podle y dostaneme fx, y, z) = xyz 3 + φ y, z). Je ale také fx, y, z) = Qx, y, z) = xyz 3 z. Odtud pak φ y, z) = z φ y, z) = zy + φ z), kde φ z) je integrační konstanta, která však už může být funkcí pouze z. Pro funkci f tedy dostáváme fx, y, z) = xy z 3 + zx yz + φ z).

ZDENĚK ŠIBRAVA Nyní derivováním f podle z dostaneme fx, y, z) = 3xy z + x y + φ z z), a protože je také fx, y, z) = Rx, y, z) = 3xy z + x y, z dostáváme φ z) = φ z) = c, kde c je libovolná konstanta můžeme položit c = ). Je tedy fx, y, z) = xy z 3 + zx yz a pro velikost vykonané práci W dostáváme v příslušných jednotkách) W = fb) fa) = 5 = 4. Příklad.86. Vypočítejte křivkový integrál y + y) dx + ln x + xy) dy, kde x je křivka s počátečním bodem A =, ) a koncovým bodem B =, 3). Výsledek: 3 ln + 7 Příklad.87. Vypočítejte křivkový integrál ) x ln y y) dx+ x x dy, kde y je křivka s počátečním bodem A =, ) a koncovým bodem B = 3, ). Výsledek: 9 ln 5 Příklad.88. Vypočítejte křivkový integrál 3x y + y ) dx + x 3 y + xy + ) dy, kde je křivka s počátečním bodem A =, ) a koncovým bodem B =, ). Výsledek: Příklad.89. Vypočítejte křivkový integrál xy3 + y + ) dx + 3x y + xy) dy, kde je křivka s počátečním bodem A =, ) a koncovým bodem B =, ). Výsledek: ) y x Příklad.9. Ukažte, že vektorové pole F x, y) = + arctg y, + arctg x +x +y je potenciální, najděte potenciál tohoto pole a určete práci, kterou toto pole vykoná posunem hmotného břemene z bodu A =, ) do bodu B =, ). Výsledek: fx, y) = y arctg x + x arctg y, W = π/ Příklad.9. Ukažte, že vektorové pole F x, y) = x sin y y sin x, cos x + x cos y) je potenciální, najděte potenciál tohoto pole a určete práci, kterou toto pole vykoná posunem hmotného břemene z bodu A =, ) do bodu B = π, ) π. Výsledek: fx, y) = x sin y + y cos x, W = π /4 Příklad.9. Ukažte, že vektorové pole F x, y) = sin y y sin x, x cos y + y cos x) je potenciální, najděte potenciál tohoto pole a určete práci, kterou toto pole vykoná posunem hmotného břemene z bodu A =, ) do bodu B = π, ) π. Výsledek: fx, y) = x sin y + y cos x, W = π/

PŘÍKLADY K ATEATIE 3 Příklad.93. Vypočítejte křivkový integrál x yz) dx + y xz) dy + z xy) dz, kde je křivka s počátečním bodem A =,, ) a koncovým bodem B =,, ). Výsledek: /3 Příklad.94. Vypočítejte křivkový integrál ) ) xz + dx x+z dy + x + dz, kde je křivka s počátečním bodem y y y A =, 3, ) a koncovým bodem B =,, 3). Výsledek: 8 Příklad.95. Vypočítejte křivkový integrál 3x y z dx + x 3 yz z ) dy + x 3 y yz + 3z ) dz, kde je křivka s počátečním bodem A =, 3, ) a koncovým bodem B =,, ). Výsledek: 4 Příklad.96. Ukažte, že vektorové pole ) F x, y, z) = ln yz + xy, xy + x + z, xz + y je potenciální, najděte potenciál tohoto pole a určete práci, kterou toto pole vykoná posunem hmotného břemene z bodu A =,, ) do bodu B =,, ). Výsledek: fx, y, z) = x ln yz + x y + zy, W = ln + 4 Příklad.97. Ukažte, že vektorové pole ) xz F x, y, z) = arctg yz + z, + z xy, + x + yz + je potenciální, najděte potenciál tohoto pole a určete práci, kterou toto pole vykoná posunem hmot- +y z +y z ného břemene z bodu A =,, ) do bodu B =,, 3). Výsledek: fx, y, z) = x arctg yz + xz + yz + z, W = π/3 + 5 + 3