1 Tato Příloha 801 je sočástí článk 19 Návrh axiálních a diagonálních stpňů lopatkových strojů, http://wwwtransformacni-technologiecz/navrh-axialnicha-diagonalnich-stpn-lopatkovych-strojhtml Odvození rovnice pro optimální aerodynamické zatížení axiální stpně Přibližno rovnici lze odvodit za těchto zjednodšjících předpokladů: (1) Sočinitel odpor lopatkové mříže je velmi malý a blízký nle c x 0 (2) Stpeň pracje při optimální obvodové práci tzn c 2 0 pro trbínové stpně a 0 pro stpně pracovních strojů Optimální zatížení lze vypočítat z rovnice pro hstot lopatkové mříže: σ 2 l c z w st cos ε w st sin(β st + ε) Pro cx 0 bde klozací poměr roven nle: ε0 Odtd lze rovnici (a) zjednodšit: [16 id809] (a) σ 2 l c z w st w st sinβ st w st sinβ st w st, a σ 2 l c z w st (b)
2 Sočinitel vztlak při absenci třecích sil: c z c z, iz 2 σ (cotgβ 1 cotgβ 2 )sinβ st [16 id633] Odtd po dosazení do rovnice (b) a úpravě lze získat optimální poměr mezi obvodovo prací stpně, obvodovo rychlostí, axiální rychlostí a zakřivení prod: σ 2 l 2 σ (cotgβ 1 cotgβ 2 )sinβ st w st l 1 (cotgβ 1 cotgβ 2 ) Dále lze rovnici ještě zjednodšit zvlášť pro trbínový stpeň a zvlášť pro stpeň pracovního stroje Tvar rychlostních trojúhelníků pro trbínový stpeň je následjící: (c) α 1 β 1 Optimální rychlostní trojúhelník trbínového stpně Z rychlostního trojúhelník lze odvodit: sinα 1 w 1 cotgβ 1 cos α 1 c a β 2 c 2 w 2
3 cotg(β 2 90 ) cotgβ 2 cotg90 +1 1 cotg90 cotgβ 2 cotgβ 2 cotgβ 2 Dosazením posledních rovnic do rovnice (c): l 1 ( c cos α 1 1 ) l cos α 1 (d) K poslední rovnici se lze dopracovat i jednodšeji: 1 l l l cos α, ovšem při tomto odvození šlo 1 především o sovislost s aerodynamiko lopatkové mříže Spojení s aerodynamickým zatížením stpně lze vytvořit pomocí zakřivení prod, které je velmi blízké zakřivení střední čáry profil lopatky, ze kterého lze szovat konstrkční požadavky a typ stpně Zakřivení prod je definováno: β 2 β 1 Δβ označení zakřivení podle [15 id315] V trigonometrii je přehlednější pracovat s fnkcí tangent než kotangent, proto předchozí rovnice pro výpočet úhl relativních rychlostí převedeme na tvar: tgβ 1 ( c cos α 1 1 1 ) ( cotgα 1 1 sin α 1)
β 1 atg[( cotgα 1 sin α 1) 4 1] Úhel β 1 bde při c1 cos α 1 <0 vždy větší jak 90 Při výpočt je ntné tto sktečnost kontrolovat, protože fnkce tangent je opakjící se tgβ 2 sinα 1 β 2 atg( sinα 1) Člen atg ( ) nemůže vyjít větší než 90 přesto úhel β 2 bde vždy větší jak 90, takže je ntné poslední rovnici psát ve tvar: β 2 atg( Δ β90 +atg( sinα 1) +90 sinα 1) atg [( cotgα 1 Poměr / je tzv rychlostní poměr: x 1 [18 id345] Δβ90 +atg( x 1 sinα 1) 1 sinα 1) [( atg cotgα 1 1 x 1 sinα 1) 1] 1] (e) Minimální poměr / pro případ trbínové mříže lze odvodit z nerovnosti:
5 w 2 w 1 1 Z tvar optimálního rychlostního trojúhelníka pro axiální trbínové stpně plyne: cos α 1 cosα 1 2 Obdobně lze pro stpeň pracovního stroje přímo odvodit: l 1 l l c 2 (f) Při prodění stpněm pracovního stroje je sledovano veličino rychlost w 1, která přímo ovlivňje aerodynamik profil, a nikoliv c 2, proto bde praktičtější, když poslední rovnice bde pravena jako fnkce rychlosti w 1 : c 2 w 2 tgβ 2 w 2 w 2 tgβ 2 2 w 1 2 2 β 2 β 1 +Δβ tgβ 2 tg (β 1 +Δβ ) tgβ 1+tgΔβ 1 tgβ 1 tgδβ tgβ 1
6 w 2 c (1 tgβ tgδβ) c a 1 a( 1 ) tgδβ tgβ 1 +tg Δβ +tg Δβ c c 2 a atgδβ + tgδβ c w 2 a 1 tgδβ+ 2 tgδβ + tgδβ c c 2 a a tg Δβ +tg Δβ c 2 c w 2 a 1 tg Δβ+ 2 tgδβ + tgδβ c w 2 a 1 tgδβ+ 2 tg Δβ 2 tg Δβ w 2 1 tgδβ + tg Δβ + tg Δβ l 1 w 2 1 tgδβ + tg Δβ l w 2 1 tgδβ +tgδβ l w 1 2 tg Δβ tgβ 1 +tgδβ Podstatné pro návrh je také to v jakých řádech se bdo měnit otáčky respektive obvodová rychlost: cosβ 1 w 1 w 1 cosβ 1 Podklady pro konstrkci nomogramů Zde popsaná konstrkce nomogram [42] pro aerodynamické zatížení axiálního trbínového stpně je pro α 1 13 (úhel vstpní absoltní rychlosti bývá obvykle větší jak 10 a menší než 20 ), v logaritmických sořadnicích, kde na svislé ose jso velikosti vstpní absoltní rychlosti a na vodorovné obvodové rychlosti
7 V tomto diagram jso pak izopléty obvodové práce l a zakřivení prod Δβ jako fnkce a Izopléta obvodové rychlosti bde přímka, protože tvar Rovnice (d) v logaritmických sořadnicích bde přímka: cos α 1 l log+log(0,9743 )logl Tato přímka má záporno směrnici, protože při růst obvodové rychlosti msí klesat vstpní absoltní rychlost při konstantní obvodové práci Izopléta zakřivení prod bde také přímka Toto tvrzení o opřeno o tvar Rovnice (e) pro zakřivení prod, ze které je očividné, že konstantní zakřivení bde při konstantním poměr obvodové a vstpní absoltní rychlosti Tvar této přímky lze odvodit z následjící rovnice:
K log log logk 8 kde K je konstanta, které se vypočítá pro požadovano velikost zakřivení prod Δβ
9 Tvar nomogram pro aerodynamické zatížení axiálního trbínového stpně Rozsah i navrhji od 1 m s -1 do 1000 m s -1 tj rozdíl tří řádů, jestliže vzdálenost mezi řády bde 1 potom ostatní vzdálenosti na ose a bdo následjící: 1~0,0000 2~0,3010 3~0,4771 4~0,6021 5~0,6990 6~0,7782 7~0,8451 8~0,9031 9~0,9542 10~1 [Tablka 42942] Sořadnice konstrkce izopléty l 10 J kg -1 bdo následjící: Os protíná tato izopléta:
10 l 10 cos α 1 cos 13 10,263m s 1 Os rychlosti protíná: l 10 cos α 1 cos 13 10,263 m s 1 Na ose nebo tato hodnota odpovídá vzdálenosti log10,2631,0113 Všechny izopléty l bdo s toto izopléto rovnoběžné Takže izopléta o řád vyšší l 100 J kg -1 bde protínat osy při 102,6304 m s -1 respektive os při 102,6304 m s -1 Na ose nebo tato hodnota odpovídá vzdálenosti log102,63042,0113 Hodnoty mezi l 10 J kg -1 a 100 J kg -1 se vypočítají obdobně viz následjící tablka: l ; log l ; log ----------------------------------------------------------------------- 10 10,263 1,0113 60 61,5783 1,7894 20 20,5261 1,33123 70 71,8413 1,8564 30 30,7891 1,4884 80 82,1043 1,9144 40 41,0522 1,6133 90 92,3674 1,9655 50 51,3152 1,71025 100 102,6304 2,0113
11 zde důkaz že posb o 5 na obě strany dělá chyb přibližně