Veronika Chrastinová, Oto Přibyl

Integrální počet II. Příklady s nápovědou. Veronika Chrastinová, Oto Přibyl 16. září 2003 Ústav matematiky a deskriptivní geometrie FAST VUT Brno

Obsah 1 Dvojný integrál 3 2 Trojný integrál 7 3 Křivkový integrál ve skalárním poli 10 4 Křivkový integrál ve vektrovém poli 13 4.1 Přímým výpočtem........................ 13 4.2 Nezávislost na integrační cestě.................. 15 4.3 Greenova věta........................... 17 2

1 Dvojný integrál Vypočtěte: ln(x 1.1 2 +y 2 ) dxdy, kde D = {[x, y] R 2 ; 1 x 2 + y 2 e 2 }. x 2 +y 2 D [polární souřadnice, meze konstantní, restrikce lze použít, substituce ln ρ = t; vyjde 2π] 1.2 Statický moment S y pro homogenní oblast D vymezenou křivkou y = sin x a úsečkou spojující body [0, 0], [ π 2, 1]. (Hustota pro homogenní oblast σ(x, y) k R +.) [bez transformace, nekonstantní meze proměnné y, per partes; vyjde: k(1 π2 12 )] 1.3 Těžiště T homogenní oblasti D = {[x, y] R 2 ; x 2 + y 2 r 2, y 0}. (r > 0) [ ] [polární souřadnice, konstantní meze, restrikce možná; vyjde T = 0, 4r 3π, x T ihned.] 1.4 Hmotnost rovnoběžníka D vymezeného přímkami y = x, y = x + 2, y = 2, y = 6 s hustotou σ(x, y) = x 2 + y 2. [bez transformace, pozor na meze prommené x; vyjde 224] 1.5 (9x 2 + 4y 2 + 4)dxdy, kde D = {[x, y] R 2 ; 9x 2 + 4y 2 36}. D [zobecněné polární souřadnice, konstantní meze, restrikce možná; vyjde 132π] 1.6 Obsah plochy obrazce D = { [x, y] R 2 ; x 2 + y 2 4y, x 2 + y 2 2y, x 0, y 3x }. [polární souřadnice, pozor na nekonstantní meze proměnné ρ; vyjde 1 2 ( π + 3 3 2 ) ] 1.7 (2x y + 3)dxdy, kde D D = { [x, y] R 2 ; 0 x 4, 0 y x, y 4 }. x [bez transformace, nutno rozdělit na 2 integrály; vyjde 24 + 12 ln 2] 3

1.8 Moment setrvačnosti I y homogenní oblasti D = {[x, y]; 6x + y 6, 2x + y 6, y 0}. 1.9 [bez transformace, který způsob (pořadí) integrace je lepší? vyjde 13k] xy 2 dxdy, kde oblast D je vymezena parabolou y 2 = 2px a částí D přímky x = p. (p > 0) 2 [bez transformace, můžeme použít restrikce; vyjde p5 21 ] 1.10 Objem tělesa Ω = {[x, y, z] R 3 ; x 2 + y 2 + z 2 r 2, x 2 + y 2 + (z r) 2 r 2 }. [těžší příklad, polární souřadnice s konstantními mezemi, restrikce lze 8x, subst. = t; vyjde 5πr3 12 ] 1.11 Objem tělesa Ω ohraničeného plochami az = a 2 x 2 y 2, z = 0. (a > 0) [polární souřadnice, restrikci lze použít, nakreslete si také zde obrázky v R 3 i v rovině xy; vyjde πa3 2 ] 1.12 Objem tělesa Ω ohraničeného plochami z = x 2 +y 2, z = 0, x = 0, y = 0, x + y = 1. [bez transformace, stačí obrázek projekce do roviny xy (x = 0,y = 0,x + y = 1); snadno vyjde 1 6 ] 1.13 Obsah plochy rotačního paraboloidu x 2 +y 2 = 2z uvnitř válce x 2 + y 2 1. [polární souřadnice, ( konstantní meze, restrikce lze použít, subst. odmocninová ; vyjde 2π 3 2 ) 2 1 ] 1.14 Obsah plochy z = 4 x 2 y 2 uvnitř kužele 3x 2 + 3y 2 = z 2. [polární souřadnice, opět ( si nakreslete obrázek v R 3 i v souř. rovině xy, restrikce lze; vyjde 4π 2 ) 3 ] 1.15 Težiště homogenní oblasti D = {[x, y] R 2 ; x 2 +y 2 1, 0 y x+1}. [bez transformace, [ které ] pořadí integrace je jednodušší? 2x subst. metoda; vyjde T = 2 3π+6, 2 π+2 ] 4

1.16 Souřadnici x T težiště T [x T, y T ] oblasti D = {[x, y] R 2 ; 1 x 2 + y 2 4, 0 y x} s danou hustotou σ(x, y) = xy. [polární souřadnice; bez problémů vyjde 124(4 2) 225 ] 1.17 Moment setrvačnosti I z homogenní oblasti D ohraničené přímkami x + y = 2, x = 2 a y = 2. [bez transformace; snadno vyjde 8k] 1.18 Momenty setrvačnosti I x, I y, I z homogenní oblasti 1.19 D = {[x, y] R 2 ; x 2 y x} [bez transformace; integrací polynomů bez problémů I x = k 28, I y = k 20, I z = 3k 35 ] (x 2 + y 2 )dxdy, je-li D = {[x, y] R 2 ; x 2 + y 2 a 2, y x}. (a > 0) D [polární souřadnice s konstantními mezemi, můžeme i restrikcí; πa4 4 ] 1.20 Težiště oblasti D = {[x, y] R 2 ; 4x 2 + y 2 4, x 0, y 0} s danou hustotou σ(x, y) = x. [ ] [zobecněné polární souřadnice; snadno vyjde T = 3π 16, 3 4 ] 1.21 Objem tělesa Ω vymezeného plochami x 2 + y 2 = 4z, z = 4. [polární souřadnice, nakreslete si obrázek v R 3 i projekci, nejlépe restrikcí; vyjde 32π] 1.22 Objem tělesa Ω vymezeného plochami x 2 +y 2 = 1, z = 0, z = x 2 + y 2 + 1. [polární souřadnice, ( stačí obrázek projekce, jaké jsou meze proměnné z? Restrikcí; 2π 3 2 ) 2 1 ] 1.23 Obsah části plochy z = x 2 + y 2 nad oborem D = {[x, y]; x 2 + y 2 2y}. [pokud si napíšete správně integrand, pak vyjde okamžitě: 2π] 1.24 Hmotnost oblasti D = { [x, y]; 1 } 4 (x 3)2 + (y 1) 2 1 s danou hustotou σ(x, y) = (x 3) 2 (y 1) 2. [zobecněné polární souřadnice s posunutím do počátku, raději bez restrikce; vyjde π 3 ] 5

1.25 Objem tělesa Ω vymezeného plochami x 2 = y, x 2 = 4 3y, z = 0, z = 9. [nakreslete si projekci do roviny xy ( x 2 = y, x 2 = 4 3y ), bez transformace, restrikce ano; vyjde 16 ] 1.26 Těžiště T oblasti s hustotou σ(x, y) = x 2. D = {[x, y]; x 2 + y2 4 1, x2 + y2 4 4, y 0} [zobec. polár. [ souřadnice ] x = ρ cos ϕ, y = 2ρ sin ϕ, pozor na meze ρ, restrikce lze; T = ] 0, 992 225π 1.27 Objem tělesa Ω vymezeného plochami z = 4 x 2 +y 2, z = 0, x 2 + y 2 = 1, x 2 + y 2 = 4. [stačí projekce do roviny xy (mezikruží) (zkuste obr. i v R 3 ), polár. souřadnice s restrikcí; 8π ln 2] 1.28 Obsah plochy z = x 2 + y 2 uvnitř válce x 2 + y 2 = r 2. (r > 0) [nakreslete si obrázek v R 3 i projekci, polární souřadnice s restrikcí, substituce ( odmocninová, ) upravíte-li dobře integrand, pak bez problémů vyjde (1 + 4r 2 ) 3 2 1 ] π 6 1.29 Obsah rovinného obrazce D = {[x, y]; y 1, y 4x, y 8}. x [bez transformace, které pořadí integrace je lepší? Meze x nekonstantní; vy- 2 ln 2] jde 15 2 1.30 Moment setrvačnosti I y homogenního kruhu D = {[x, y]; (x a) 2 + y 2 a 2 }, (a > 0). [polární souřadnice s restrikcí, nekonstantní mez ρ, cos 6 ϕ = ( cos 2 ϕ ) 3 =...; vyjde 5πka4 4 ] 1.31 Obsah části kužele y 2 + z 2 = x 2 uvnitř válce x 2 + y 2 a 2. (a > 0) [těžší příklad, polární souřadnice s konstantními mezemi, restrikce 8x, obrázky nutné; vyjde 2πa 2 ] 1.32 Objem tělesa Ω vymezeného plochami x2 4 + y2 9 = z2, x2 4 + y2 9 = 2z. [ Ω tedy vymezeno eliptickým kuželem a eliptickým paraboloidem, obrázek v R 3 ani projekce nejsou obtížné, zobecněné polární souřadnice, restrikce 4x; vyjde 8π] 6

2 Trojný integrál Vypočtěte f(x, y, z) dx dy dz, kde: Ω 2.1 f(x, y, z) = xy, Ω = {[x, y, z] R 3 ; x 0, y 0, z 0, x + y 1, z x 2 + y 2 + 1 }. [bez transformace, stačí obrázek projekce do roviny xy, zkuste také obrázek v R 3 ; integrací polynomů vyjde 7 120 ] 2.2 f(x, y, z) = z 2, Ω je vymezena rovinami x = 2, y = 5, x + z = 6 v 1. oktantu. [bez transformace, nakreslete obrázek projekce i obrázek v R 3 ; integrací polynomů vyjde 1300 3 ] 2.3 f(x, y, z) = xyz, Ω = {[x, y, z] R 3 ; y x 2, x y 2, z 0, z xy}. [bez transformace, stačí obrázek projekce, zkuste také obrázek v R 3 (sedlová plocha); vyjde 1 96 ] 2.4 f(x, y, z) = xyz, Ω = {[x, y, z] R 3 ; x 2 + y 2 + z 2 1, x 0, y 0, z 0}. [sférické souřadnice, všechny meze konstantní ; vyjde 1 48 ] 2.5 f(x, y, z) = xy, Ω = {[x, y, z] R 3 ; x 2 + y 2 + z 2 4z, z sqrtx 2 + y 2 }. [cylindrické souřadnice, obrázek v R 3 i projekce nutné (koule a vršek rotačního kužele), restrikci raději ne; snadno vyjde 0] Vypočtěte: 2.6 Objem tělesa Ω vymezeného plochami z = 4 x 2, 2x + y = 4 v 1. oktantu. [bez transformace, projekce i obrázek v R 3 nutné; integrací polynomů vyjde 40 3 ] 2.7 Objem tělesa Ω = {[x, y, z] R 3 ; x 2 + y 2 1, z 1 x 2 y 2, z 0, 0 y x}. [cylindrické souřadnice, stačí projekce, zkuste také obrázek v R 3 (rotáční paraboloid), restrikci nepoužít; vyjde π 16 ] 2.8 Objem tělesa Ω = {[x, y, z] R 3 ; x 2 + y 2 + z 2 a 2, x 2 + y 2 + z 2 2az}, kde a > 0 je konstanta. 7

[cylindrické souřadnice, obrázek v R 3 (2 koule) i projekce nutné, jaký je poloměr projekce?, restrikce 4x; vyjde 5πa3 12 ] 2.9 Těžiště tělesa Ω = {[x, y, z] R 3 ; x 2 + y 2 + z 2 a 2, z 0} s danou hustotou σ(x, y, z) = k x 2 + y 2 + z 2, kde a > 0, k > 0 jsou konstanty. [sférické souřadnice, obrázek v R 3 i projekce snadné; x T = y T = 0, z T = 2a 5 ] 2.10 Hmotnost tělesa Ω = {[x, y, z] R 3 ; x 2 + y 2 + z 2 a 2, z x 2, x 0, y 0, z 0}, kde a > 0 je konstanta, s danou hustotou σ(x, y, z) = x. [cylindrické souřadnice, stačí obrázek projekce (meze z jasné); snadno vyjde 2a 5 15 ] 2.11 Těžiště tělesa Ω s danou hustotou σ(x, y, z) 1 vymezeného hraničními rovinami x = 0, z = 0, y = 1, y = 3, x + 2z = 3. [bez transformace, obrázek v R 3 i projekce jsou snadné; vyjde T = [1, 2, 1 2 ]] 2.12 Objem tělesa Ω vymezeného plochami hz = x 2 + y 2, z = h, kde h > 0 je konstanta. [cylindrické souřadnice, pozor na meze proměnné z; vyjde πh3 2 ] 2.13 Momenty setrvačnosti I x, I y, I z tělesa Ω s danou hustotou σ(x, y, z) 1 vymezeného plochami x 2 + y 2 = a 2, z = 0, z = b, kde a > 0, b > 0 jsou konstanty. [cylindrické souřadnice, ( obrázek ) v R 3 i projekce snadné, (zdůvodněte si); vyjde I x = I y = πa 2 b a 2 4 + b2 3, I z = πa4 b 2 ] 2.14 Hmotnost tělesa Ω = {[x, y, z] R 3 ; x 2 + y 2 + z 2 a 2, z 2 x 2 + y 2, z 0 }, kde a > 0 je konstanta, s danou hustotou σ(x, y, z) = x 2 + y 2 + 1. [lepší jsou sférické souřadnice, všechny meze konstantní, restrikce 4x, obrázek v R 3 i projekce; výsledek není pěkný, ale integrace je jednoduchá (po úpravě): π 2 a 4 16 πa4 8 + 2πa3 3 2πa 3 3 ] 2.15 Objem tělesa Ω = {[x, y, z] R 3 ; x 2 + y 2 2ax, y x, 0 z x}, kde a > 0 je konstanta. [cylindrické souřadnice, stačí obrázek projekce, zkuste i obrázek v R 3, restrikce 2x ( ( ) ϕı 0, π 4 ) ; vyjde a 3 π 2 + 4 3 ] 2.16 Hmotnost tělesa Ω = {[x, y, z] R 3 ; a 2 x 2 + y 2 4a 2, y x, 0 z x 2 + y 2 1 } s danou hustotou σ(x, y, z) =, kde a > 0 je x 2 +y 2 +a2 konstanta. 8

[cylindrické souřadnice, stačí obrázek projekce, restrikce 4x ( ϕı 0, π 4 ) ; vyjde ( 2 5 + ) 2 ] πa 3 3 2.17 Objem a hmotnost tělesa Ω = {[x, y, z] R 3 ; x 2 + y 2 1, y x, 0 z, z x 2 + y 2 } s danou hustotou σ(x, y, z) = 8 (64x 2 y 2 + z). [cylindrické souřadnice,stačí obrázek projekce (meze z jasné) restrikce 4x; vyjde V = π 4, m = 26π 3 ] 2.18 Objem tělesa Ω = {[x, y, z] R 3 ; x 2 + y 2 2x, 1 z 4 x 2 y 2 }. [cylindrické souřadnice, stačí obrázek projekce, zkuste i obrázek v R 3, restrikce 2x; vyjde 7π 2 ] Ve všech příkladech jsou pouze obvyklé goniometrické nebo odmocninové substituce. Vždy zkuste také obrázek v R 3. 9

3 Křivkový integrál ve skalárním poli Vypočtěte: 3.1 Hmotnost křivky : r(t) = cos t i + sin t j + t k, t 0, 2π, je-li dána hustota křivky σ(x, y, z) = 2z x 2 + y 2. 3.2 [integrací polynomu ihned vyjde 2 2π(2π 1)] xy ds, kde = {[x, y] R 2 ; x2 + y2 = 1, x 0, y 0}, kde a > a 2 b 2 0, b > 0 jsou konstanty. [obvyklá parametrizace elipsy (viz Integrální počet II, str. 37), odmocninová substituce, a 3 b 3 = (a b) ( a 2 + ab + b 2) ; vyjde ab(a2 +ab+b 2 ) 3(a+b) ] 3.3 Hmotnost šroubovice : r(t) = t cos t i + t sin t j + 3t k, t 0, 2π, je-li dána hustota křivky σ(x, y, z) = z. [obvyklá substituce, snadno vyjde (4π 2 + 10) 3 10 3 ] 3.4 Obsah části válcové plochy s řídící křivkou = {[x, y, z] R 3 ; x 2 + y 2 = 1, z = 0}, je-li tato válcová plocha vymezena plochami z = x 2, z = 2+y 2. [parametrizace kružnice; vyjde 4π (zkuste i obrázek) ] 3.5 Obsah části válcové plochy s řídící křivkou = {[x, y, z]; 4x 2 + 9y 2 = 36, y 0, z = 0}, je-li tato válcová plocha vymezena plochami z = 0, z = xy. [parametrizace elipsy, nutno integrovat v 1. a2. kvadrantu zvlášť, v obou integrálech obvyklá substituce = u; snadno vyjde: 76 5 ] 3.6 Hmotnost křivky = {[x, y, z]; x 2 + y 2 = 2y, z = x 2 + y 2, x 0, y 1}, je-li dána hustota křivky σ(x, y, z) = x (y 1). 3.7 [parametrizace kružnice x 2 + y 2 = 2y pro x 0, y 1, = u; vyjde 1 12 (5 5 1)] (z x) 2 ds, kde : r(t) = (cos t sin t) i + 3t j + (cos t + sin t) k, t 0, 2π. [snadno vyjde 4 11π] 10

3.8 2 + x2 + y 2 ds, kde z + 1 : r(t) = t cos t i + t sin t j + t k, t 0, 2π. [po správném dosazení do integrálu a úpravě integrandu vyjde lehce: 2π 2 2π + 3 ln(2π + 1)] 3.9 Hmotnost oblouku šroubovice : r(t) = 3 cos t i + 3 sin t j + t k, t 0, 2π, je-li dána hustota křivky σ(x, y, z) = 2 + x2 y 2 10. [snadno vyjde 4 10π] 3.10 Těžiště homogenního oblouku : r(t) = a cos t i + a sin t j + bt k, t 0, π, kde a > 0, b > 0 jsou konstanty. [přesně podle vzorcu pro výpočet těžiště vyjde bez problémů T = 3.11 Hmotnost oblouku šroubovice : r(t) = 2 cos t i + 2 sin t j + 3t k, t 0, 2, 3 [ ] 0, 2a π, πb 2 ] 3.12 3.13 3.14 je-li dána hustota křivky σ(x, y, z) = 1 x 2 +y 2 +z 2. [při integraci užijte vzorec dt t 2 +a 2 = 1 a arctan t a ; vyjde 13π 24 ] xy ds, kde : r(t) = sin t 2 i + sin t cos t j + cos t k, t 0, π 2 [ds = 1 + sin 2 2 tdt, obvyklá substituce, 15 ( 2 + 1)] xy ds, kde = {[x, y] R 2 ; x 2 + y 2 = 4}. [parametrizace kružnice s restrikcí 4x snadno vyjde 16] y ds, kde : r(t) = a(t sin t) i + a(1 cos t) j, t 0, 2π (první oblouk tzv. cykloidy).. [po správném zderivování a dosazení do integrálu ihned vyjde 2 2πa 3/2 ] 11

3.15 16x 2 + y 2 ds, kde = {[x, y] R 2 ; x 2 + y2 4 = 1}. [parametrizace elipsy, integrand je po úpravě jednoduchý (odmocnina zmizí), vyjde 10π] 3.16 Moment setrvačnosti I y homogenního oblouku ÂB křivky : y = ln x, A = [1, 0], B = [2, ln 2]. [přesně podle vzorce pro I y a parametrizaci x = t, y = ln t vyjde: 1 3 (5 5 2 2)] 3.17 3.18 3.19 xy ds, kde křivka je dána jako obvod obdélníka ABCD s vrcholy na přímkách x = 0, x = 4, y = 0, y = 2. [ = 1 2 3 4, snadná parametrizace, vyjde 24] xyz ds, kde je dána jako oblouk křivky x = t, y = 1 3 mezi body určenými hodnotami parametru t = 0, t = 1. [integrací polynomu snadno vyjde 16 2 143 ] z ds, : r(t) = t cos t i + t sin t j + t k, t 0, 2. 8t3, z = 1 2 t2 [také jednoduchý příklad, vyjde 1 3 (3 3 1)] 12

4 Křivkový integrál ve vektrovém poli 4.1 Přímým výpočtem 4.1 Spočítejte práci síly F = y i + z j + x k při pohybu hmotného bodu po orientované křivce, která je dána jako oblouk ABC na průnikové křivce ploch x 2 + y 2 = 1, z = xy od počátečního bodu A = [1, y A, z A ] přes bod B = [x B, 1, z B ] do koncového bodu C = [ 1, y C, z C ]. [nezadané souřadnice bodů A, B, C snadno spočítáte z rovnic ploch, stačí projekce oblouku ABC do roviny xy, parametrizace lehká: x = cos t, y = sin t z =, t 0, π, (proč?) vyjde: π 2 + 2 3 ] 4.2 Spočítejte práci vektorového pole F = x i + z 2 j + e xy k podél křivky, která je dána jako uzavřená orientovaná křivka ABC tvořená oblouky na ploše z = 1 x 2 pro x 0, y 0, z 0, které leží postupně v rovinách y = 0, z = 0, y = x. Orientace je dána pořadím bodů A = [0, 0, 1], B = [1, 0, 0], C = [1, 1, 0]. [nakreslete si obrázek v prostoru R 3 (parab. válec proťatý 3 rovinami); ihned uvidíte = 1 2 3, parametrizací 1, 2, 3 (není obtížná) a součtem 3 integrálů (polynomy a substituce) vyjde: 38 15 + e ] 4.3 Spočítejte práci silového pole F = xy i y j které působí při pohybu hmotného bodu po kladně orientované uzavřené křivce + tvořené oblouky na křivkách y = x 2, y = x. [obrázek = 1 2 je snadný, parametrizací 1, 2 a součtem dvou integrálů snadno vyjde: 3 20 ] 4.4 Spočítejte práci vektoru F = (e x y 2 + z) i + 2ye z j + x k podél křivky : x = ln t, y = t 2, z = t, která je orientovaná z počátečního bodu A = [0, 1, 1] do koncového bodu B = [ln 2, 4, 2]. [obrázek nepotřebujeme, interval t, zřejmý, integrací polynomu a per partes vyjde: 31 5 + 8(e2 + e) + 2 ln 2. (e ln t = t) ] 4.5 Určete hodnotu integrálu 4xydx + xdy dz, kde : r(t) = sin t i + sin(2t) j + e t k, t 0, π. 13

[přímým dosazením do integrálu a rozepsáním sin(2t) =..., cos(2t) =... vyjde: π 1 3 e π ] 4.6 Spočítejte integrál ydx xdy, kde x + : 2 jsou konstanty. [parametrizace elipsy, ihned vyjde: 2πab ] a 2 + y2 b 2 = 1, kde a > 0, b > 0 4.7 Spočítejte práci vektrového pole F = (x + y) i + 2x j podél kladně orientované kružnice + se středem v počátku a poloměrem r. [také lehký příklad, parametrizace kruřnice, vyjde: πr 2 ] 4.8 Spočítejte práci vykonanou vektorem síly F = (3x 2 + 2y 2 ) i + (4xy 3y 2 ) j po křivce : x 2 +y 2 = 1 od počátečního bodu A = [1, 0] do koncového bodu B = [0, 1]. [obr. a parametizace kružnice jednoduché, obvyklými goniometrickými substitucemi vyjde: 2 ] 14

4.2 Nezávislost na integrační cestě Ověřte podmínky nezávisloti na integrační cestě v daném potenciálovém poli F = (P, Q) resp. F = (P, Q, R), najděte potenciál V a pro zadané body A, B případně interval parametru t spočítejte práci konanou při pohybu bodu z počátečního bodu A do koncového bodu B. 4.9 F = (1 2xy y 2 ) i + (1 2xy x 2 ) j, A = [0, 2], B = [1, 0]. [ V (x, y) = x x 2 y y 2 x + y + c, W = 1 ] 4.10 xz2 dx + y 3 dy + x 2 zdz, A = [ 1, 1, 2], B = [ 4, 2, 1]. [ V (x, y, z) x2 z 2 2 + y4 39 4 + c, W = 4, spočítejte si také integrací po orientované úsečce AB!] 4.11 F = y2 1+x 2 y 4 i + 2xy 1+x 2 y 4 j, : r(t) = t i + t 2 j, t 0, 1. [tento příklad si spočítejte více způsoby vychází velice jednoduše integrací a) po zadané křivce gamma (subst. t 5 = u) b) orientované úsečce AB (A = [0, 0], B = [1, 1]) c) lomené orientované křivce = AC CB, kde C = [1, 0] V (x, y) = arctg(xy 2 ) + c, W = π 4 ] 4.12 F = (x + yz) i + (y + xz) j + (z + xy) k, A = [1, 2, 3], B = [0, 0, 0]. [V (x, y, z) = x2 +y 2 +z 2 2 + xyz + c, W = 13] 4.13 F = 2xy i + x 2 j 1 k, : r(t) = t cos t i + t sin t j + t k, z 2 t π, π. 2 [V (x, y, z) = x 2 y + 1 z + c, W = 1 π, komplikovaný vypočet, když počítáme přímým výpočtem po křivce ] 4.14 F = e x yz i + (1 + e x z) j + e x z k, : r(t) = t i + (t 1) j 3t k, A = [1, 0, 3], B = [ 1, 2, 3]. [V (x, y, z) = yz e x + y + c, W = 6 e 2, spočítejte si také přímým dosazením] 4.15 F = 1 z i + 1 z j x+y z k, : r(t) = t 2 i 3t j + t 3 k, t 1, 2. [V (x, y, z) = x+y z + c, W = 7 4, velice pěkně vyjde i bez výpočtu V přímým dosazením] 15

4.16 F = (3x 2 y 2 2z 4 ) i + 2x 3 y j 8xz 3 k, spočítejte kmenovou funkci V. [V (x, y, z) = x 3 y 2 2xz 4 + c] 4.17 F = y i + x j + 2z k, A = [0, 0, 0], B = [1, 1, 2]. [V (x, y, z) = xy + z 2 + c, W = 5] 4.18 F = 1 y i + y2 x y 2 j, A = [1, 1], B = [ 6, 3]. (předpokládáme, že y 0). [V (x, y) = x y + y + c, W = 1] 4.19 F = cos(2y) i 2x sin(2y) j, A = [1, π 6 ], B = [2, π 4 ]. [V (x, y) = x cos(2y) + c, W = frac12] 4.20 Zjistěte, zda výraz (2x cos y y 2 sin x) dx + (2y cos x x 2 sin y) dy je totálním diferenciálem a určete potenciál V. [tedy opět ověříme podmínky nezávislosti a spočítáme V (x, y) = x 2 cos y + y 2 cos x + c] 4.21 F = (yz y + z + 3) i + (xz x + 1) j + (xy + x + 2z) k, A = [0, 1, 2], B = [3, 2, 5]. [V (x, y, z) = xyz xy + xz + 3x + y + z 2 + c, W = 70] 4.22 F = (3x 2 + 2y 2 ) i + (4xy 3y 2 ) j, : x 2 + y 2 = 1 A = [1, 0] do konc B = [0, 1]. [V (x, y) = x 3 + 2xy 2 y 3 + c, W = 2, spočítejte si také přímou integrací po ] 16

4.3 Greenova věta Ověřte podmínky použitelnosti Greenovy věty a užijte ji k výpočtu následujícího integrálu (cirkulace vektorového pole F ) po zadané křivce : 4.23 (x+y) 2 dx (x y) 2 dy, kde je záporně orientovaná křivka tvořená obloukem grafu funkce y = sin x a úsečkou na ose x pro x 0, π. [obrázek i výpočet dvojného integrálu jsou jednoduché (per partes), vyjde: 4π] 4.24 F = (1 x 2 ) i + x (1 + y 2 ) j, + : r(t) = 3 cos t i + 3 sin t j, t 0, 2π. [obrázek i výpočet dvojného integrálu je snadný (transformace do polárních souřadnic), bez problémů vyjde: 117 4 π, zkuste si také spočítat přímým výpočtem bez Greenovy věty - vychází to pěkně] 4.25 F = (xy + x + y) i + (xy + x y) j, + : x 2 + y 2 = y. 4.26 4.27 [parametrizace posunuté kružnice (polární souřadnice), v intergrandu je rozdíl dvou funkcí a rozdělíte-li si integrál na dva, bude druhý z nich nulový (proč?), pak už hned vyjde π 8 ] + (e x sin y 16y) dx+(e x cos y 16) dy, kde + je kladně orientovaná hranice oblasti D = {[x, y]; x 2 + y 2 = ax, x 0, y 0}, kde a > 0 je konstanta. [opět posunutá kružnice, polárními souřadnicemi s posunem, nebo bez posunu do počátku, vyjde okamžitě 2πa 2 (výsledek lze také uhodnout, protože integrand je konstanta)] y 2 dx x 2 dy, kde + je kladně orientovaná kružnice se středem S = [1, 1] a poloměrem r = 1. [polárními souřadnicemi nutně s posunem do počátku x = 1 + ρ cos ϕ y = 1 + ρ sin ϕ, konst. meze ρ, ϕ; vyjde snadno 4π (vychází pěkně i přímým výpočtem bez použití Greenovy věty)] ( 4.28 x 2 y 2) dx + ( x 2 + y 2) dy, kde je záporně orientovaná křivka tvořená půlkružnicí y = r 2 x 2 a úsečkou na ose x. 17

4.29 [ obyčejné polární souřadnice s konstantními mezemi, bez problémů vyjde 4 3 r3 ] ( 6x cos y y 3 ) dx+ ( x 3 3x 2 sin y ) dy, kde + je kladně orientovaná kružnice x 2 + y 2 = 1. 4.30 [také obyčejné polární souřadnice s konstantními mezemi, velice jednoduchý integrál, výsledek 3π 2 (bez použití Greenovy věty vychází nepěkně)] (x + y) 2 dx (x y) 2 dy, kde + je kladně orientovaná křivka tvořená obloukem paraboly y = x 2 a úsečkou na přímce y = x. [bez problémů ihned vyjde 1 3 ] 4.31 F = 1 y i 1 x j, + je trojúhelník ABC s vrcholy A = [1, 1], B = [2, 1], C = [2, 2]. 4.32 [také jednoduchý příklad bez transformace do polárních souřadnic, vyjde 1 2 ] ( ) xy + x 2 dx + x 2 ydy, kde + je kladně orientovaná hranice oblasti D = {[x, y]; 0 x y 1}. [snadné s Greenovou větou i bez Greenovy věty, integrací polynomu vyjde 1 12 ] 4.33 F = (1 + xy)e xy i + x 2 (1 + e xy ) j, + obdélník ABCD s vrcholy A = [0, 0], B = [2, 0], C = [2, 1], D = [0, 1]. [integrand vychází velice jednoduše, lehce vyjde: 4] 4.34 F = x arctan y i + 1 1+y 2 j, + je trojúhelník KLM s vrcholy K = [ 1, 0], L = [0, 0], M = [0, 1]. [těžší příklad: nejdříve substituce x+1 = t potom per partes u = arctg t, v = t 1; pak už bez problémů vyjde 1 2 (1 ln 2)] Obrácenou Greenovou větou spočítejte obsah rovinného obrazce D: 4.35 D = {[x, y] R 2 ; x 2 y x}. [parametrizace + = 1 2 snadná, bez problémů vyjde 1 6 věty ješte kratší)] (bez Greenovy 18

4.36 D = {[x, y] R 2 ; y ln x, x + 1 y 1}. [také nutný obrázek, parametrizace + = 1 2 3 není obtížná, vyjde e 3 2 ] 4.37 D = {[x, y] R 2 ; e x y e π, x 0}. (Pozor: e π je konstanta!) [opět parametrizace + = 1 2 3, užitím per partes vyjde e π (π 1) + 1 (bez Greenovy věty je výpočet kratší zkuste si spočítat)] 19