Příkld 22 : Kpcit rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem Předpokládné znlosti: Elektrické pole mezi dvěm nbitými rovinmi Příkld 2 Kpcit kondenzátoru je konstnt udávjící vzth mezi nábojem npětím n elektrodách: Kpcit je závislá n tvru vzájemné poloze elektrod tké n permitivitě izolčního mteriálu mezi elektrodmi. N obrázku je nkreslen deskový kondenzátor, S znčí plochu desek kondenzátoru. Budeme-li předpokládt, že mezi desky kondenzátoru přiložíme npětí, objeví se n deskách stejně veliký le opčný náboj, n levé desce npříkld, n prvé desce. Mezi deskmi vznikne elektrické pole, které je totožné s polem dvou rovnoběžných rovin (Příkld 2) : Elektrická indukce tohoto pole bude : Dx ( ) konst σ S Intenzit elektrického pole bude: Ex () Dx () ε ε 0 S Máme-li vyjádřeny veličiny elektrického pole pro dný náboj n deskách, je možné zpětně dopočítt odpovídjící npětí mezi deskmi : x d x 0 Ex () dx ε 0 S d Pozn.: Vzth mezi npětím intenzitou pole v této podobě pltí v přípdě, že integrční dráh vede podél siločáry elektrického pole. Obecně by v integrálu musel být sklární součin intenzity pole vektoru ve směru dráhy. vážíme-li, že pltí : Potom po úprvě v nšem přípdě :
ε 0 S d Pro kpcitu deskového kondenzátoru vyplyne vzth: ε 0 S d Z technického hledisk je velice důležitá úloh vypočítt pro zdné npětí zdný tvr elektrod intenzitu elektrického pole v libovolném místě. Intenzit pole je mírou elektrické pevnosti, elektrickou pevností izolčních mteriálů rozumíme obvykle mximální dovolenou intenzitu elektrického pole. Vzth pro intenzitu v závislosti n npětí je možno získt zpětným doszením z náboj do výchozího vzthu pro intenzitu elektrického pole: Ex () ε 0 S ε 0 d S ε 0 S d V deskovém kondenzátoru je podle předpokldu všude stejně veliká intenzit elektrického pole, je dán podílem npětí vzdálenosti mezi deskmi. V přípdě homogenního dielektrik intenzit elektrického pole vůbec nezávisí n velikosti permitivity.
Příkld 23 : Kpcit rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru se složeným dieletrikem Předpokládné znlosti: Elektrické pole mezi dvěm nbitými rovinmi Příkld 2 Kpcit kondenzátoru je konstnt udávjící vzth mezi nábojem npětím n elektrodách: Kpcit je závislá n tvru vzájemné poloze elektrod tké n permitivitě izolčního mteriálu mezi elektrodmi. N obrázku je nkreslen deskový kondenzátor se složeným dielektrikem, S znčí plochu desek kondenzátoru. Budeme-li předpokládt, že mezi desky kondenzátoru přiložíme npětí, objeví se n deskách stejně veliký le opčný náboj, n levé desce npříkld, n prvé desce. Mezi deskmi vznikne elektrické pole, které je totožné s polem dvou rovnoběžných rovin (Příkld 2) : Elektrická indukce tohoto pole bude : Dx ( ) konst σ S Pozn. Elektrická indukce není závislá n prostředí, le pouze n volných nábojích, které jsou zdrojem elektrického pole n geometrii elektrod. ( indukce je tedy shodná jko v Příkldu 22 u kondenzátoru s neděleným dielektrikem) Intenzit elektrického pole je závislá n permitivitě, odráží se zde vliv vázných nábojů v dielektriku, bude pro kždý úsek s rozdílnou permitivitou jiná : Intenzit elektrického pole bude: v úseku : 0 x d E () x Dx () ε v úseku 2: d x d 2 E 2 () x Dx () ε 2 ε 0 S ε 0 2 S
v úseku 3: d 2 x d 3 E 3 () x Dx () ε 3 ε 0 3 S Máme-li vyjádřeny veličiny elektrického pole pro dný náboj n deskách, je možné zpětně dopočítt odpovídjící npětí mezi deskmi ( integrci je třeb rozdělit n tři úseky, ve kterých je intenzit elektrického pole spojitá) : x d x 0 Ex () dx 0 d E () x dx d 2 d E 2 () x dx d 3 d 2 E 3 () x dx ε 0 S d ε 0 2 S d 2 ε 0 3 S d 3 Pozn.: Vzth mezi npětím intenzitou pole v této podobě pltí v přípdě, že integrční dráh vede podél siločáry elektrického pole. Obecně by v integrálu musel být sklární součin intenzity pole vektoru ve směru dráhy. vážíme-li, že pltí : Potom po úprvě v nšem přípdě : d ε 0 S d 2 ε 0 2 S d 3 ε 0 3 S Pro kpcitu deskového kondenzátoru s děleným dielektrikem vyplyne vzth: d ε 0 S d 2 ε 0 2 S d 3 ε 0 3 S 2 3 Z výsledného vzthu pro kpcitu je ptrno, že si můžeme celý problém předstvit v podobě pomyslných dílčích kondenzátorů jednotlivých úseků, které jsou spojeny do série: ε 0 S d 2 ε 0 2 S d 2 3 ε 0 3 S d 3
Z technického hledisk je velice důležitá úloh vypočítt pro zdné npětí zdný tvr elektrod intenzitu elektrického pole v libovolném místě. Intenzit pole je mírou elektrické pevnosti, elektrickou pevností izolčních mteriálů rozumíme obvykle mximální dovolenou intenzitu elektrického pole. Vzth pro intenzitu v závislosti n npětí je možno získt zpětným doszením z náboj do výchozích vzthů pro intenzitu elektrického pole: E () x ε 0 S d ε 0 S d 2 ε 0 2 S d 3 ε 0 3 S ε 0 S E () x d d 2 2 d 3 3 Podobně i ve zbylých dvou úsecích: E 2 () x d d 2 2 2 d 3 3 E 3 () x d d 2 3 2 d 3 3 V deskovém kondenzátoru se složeným dielektrikem se intenzit elektrického pole rozdělí n jednotlivé úseky v poměru permitivit, není závislá n bsolutní hodnotě permitivity.
Příkld 24 : Kpcit rozložení intenzity elektrického pole v kondenzátoru s kulovými elektrodmi jednoduchým dielektrikem Předpokládné znlosti: Elektrické pole mezi dvěm opčně nbitými koulemi Příkld 9 Kpcit kondenzátoru je konstnt udávjící vzth mezi nábojem npětím n elektrodách: Kpcit je závislá n tvru vzájemné poloze elektrod tké n permitivitě izolčního mteriálu mezi elektrodmi. N obrázku je nkreslen kondenzátor, jehož elektrody tvoří sférické plochy o poloměru b: Budeme-li předpokládt, že mezi elektrody kondenzátoru přiložíme npětí, objeví se n nich stejně veliký le opčný náboj, n vnitřní elektrodě npříkld, n vnější. Mezi elektrodmi vznikne elektrické pole, které je totožné s polem mezi dvěm opčně nbitými koncentrickými koulemi (Příkld 2) : Elektrická indukce tohoto pole bude : Dr () 4π Intenzit elektrického pole bude: Er () Dr () ε Máme-li vyjádřeny veličiny elektrického pole pro dný náboj n elektrodách, je možné zpětně dopočítt odpovídjící npětí mezi deskmi : b Er () dr b dr Pozn.: Vzth mezi npětím intenzitou pole v této podobě pltí v přípdě, že integrční dráh vede podél siločáry elektrického pole. Obecně by v integrálu musel být sklární součin intenzity pole vektoru ve směru dráhy. vážíme-li, že pltí : Potom po úprvě v nšem přípdě : b
4π ε 0 b Pro kpcitu kulového kondenzátoru vyplyne vzth: b Z technického hledisk je velice důležitá úloh vypočítt pro zdné npětí zdný tvr elektrod intenzitu elektrického pole v libovolném místě. Intenzit pole je mírou elektrické pevnosti, elektrickou pevností izolčních mteriálů rozumíme obvykle mximální dovolenou intenzitu elektrického pole. Vzth pro intenzitu v závislosti n npětí je možno získt zpětným doszením z náboj do výchozího vzthu pro intenzitu elektrického pole: Er () b b V kulovém kondenzátoru klesá intenzit s kvdrátem poloměru. V přípdě homogenního dielektrik intenzit elektrického pole vůbec nezávisí n velikosti permitivity. Poznámk : V přípdě, že bude mít vnější elektrod hodně velký poloměr, přejde vzth pro kpcitu n: 4π ε 0 V této souvislosti lze mluvit o kpcitě osmocené koule proti elektrodě v nekonečnu.
Příkld 25 : Kpcit rozložení intenzity elektrického pole v kondenzátoru s kulovými elektrodmi složeným dieletrikem Předpokládné znlosti: Elektrické pole mezi dvěm nbitými koulemi Příkld 9 Kpcit kondenzátoru je konstnt udávjící vzth mezi nábojem npětím n elektrodách: Kpcit je závislá n tvru vzájemné poloze elektrod tké n permitivitě izolčního mteriálu mezi elektrodmi. N obrázku je nkreslen kondenzátor s kulovými elektrodmi složeným dielektrikem. Budeme-li předpokládt, že mezi elektrody kondenzátoru přiložíme npětí, objeví se n elektrodách stejně veliký le opčný náboj, n vnitřní elektrodě npříkld, n vnější. Mezi elektrodmi vznikne elektrické pole, které je totožné s polem dvou koncentrických koulí (Příkld 9) : Elektrická indukce tohoto pole bude : Dr () 4π Pozn. Elektrická indukce není závislá n prostředí, le pouze n volných nábojích, které jsou zdrojem elektrického pole n geometrii elektrod. ( indukce je tedy shodná jko v Příkldu 24 u kondenzátoru s neděleným dielektrikem) Intenzit elektrického pole je závislá n permitivitě, odráží se zde vliv vázných nábojů v dielektriku, bude pro kždý úsek s rozdílnou permitivitou jiná : Intenzit elektrického pole bude: v úseku : r r E () r v úseku 2: Dr () ε r r 3 E 2 () r Dr () ε 2 v úseku 3: r 3 r r 4 E 3 () r Dr () ε 3 2 3
Máme-li vyjádřeny veličiny elektrického pole pro dný náboj n deskách, je možné zpětně dopočítt odpovídjící npětí mezi deskmi ( integrci je třeb rozdělit n tři úseky, ve kterých je intenzit elektrického pole spojitá) : r 4 r Er () dr r E () r dr r 3 E 2 () r dr r 4 r 3 E 3 () r dr r 2 r 3 3 r 3 r 4 Pozn.: Vzth mezi npětím intenzitou pole v této podobě pltí v přípdě, že integrční dráh vede podél siločáry elektrického pole. Obecně by v integrálu musel být sklární součin intenzity pole vektoru ve směru dráhy. vážíme-li, že pltí : Potom po úprvě v nšem přípdě : r 4π ε 0 2 r 3 3 r 3 r 4 Pro kpcitu kondenzátoru s kulovými elektrodmi děleným dielektrikem vyplyne vzth: r 4π ε 0 2 r 3 3 r 3 r 4 2 3 Z výsledného vzthu pro kpcitu je ptrno, že si můžeme celý problém předstvit v podobě pomyslných dílčích kondenzátorů jednotlivých úseků, které jsou spojeny do série: r 2 2 r 3 3 3 r 3 r 4 Z technického hledisk je velice důležitá úloh vypočítt pro zdné npětí zdný tvr elektrod intenzitu elektrického pole v libovolném místě. Intenzit pole je mírou elektrické pevnosti, elektrickou pevností izolčních mteriálů rozumíme obvykle mximální dovolenou intenzitu elektrického pole. Vzth pro intenzitu v závislosti n npětí je možno získt zpětným doszením z náboj do výchozích vzthů pro intenzitu elektrického pole:
E () r r 4π ε 0 2 r 3 3 r 3 r 4 E () r r 2 r 3 3 r 3 r 4 Podobně i ve zbylých dvou úsecích: E 2 () r 2 r 2 r 3 3 r 3 r 4 E 3 () r 3 r 2 r 3 3 r 3 r 4 V kondenzátoru se složeným dielektrikem se intenzit elektrického pole rozdělí n jednotlivé úseky v poměru permitivit, není závislá n bsolutní hodnotě permitivity. V kždém úseku je největší intenzit elektrického pole n vnitřním poloměru tohoto úseku.
Příkld 26 : Kpcit rozložení intenzity elektrického pole v kondenzátoru s válcovými elektrodmi jednoduchým dielektrikem Předpokládné znlosti: Elektrické pole mezi dvěm opčně nbitými válci Příkld 20 Kpcit kondenzátoru je konstnt udávjící vzth mezi nábojem npětím n elektrodách: Kpcit je závislá n tvru vzájemné poloze elektrod tké n permitivitě izolčního mteriálu mezi elektrodmi. N obrázku je nkreslen válcový kondenzátor poloměrech elektrod b. Budeme-li předpokládt, že mezi elektrody kondenzátoru přiložíme npětí, objeví se n nich stejně veliký le opčný náboj, n vnitřní elektrodě npříkld náboj o liniové hustotě, n vnější. Mezi elektrodmi vznikne elektrické pole, které je totožné s polem mezi dvěm opčně nbitými koncentrickými válci (Příkld 20) : Elektrická indukce tohoto pole bude : Dr () 2π r Intenzit elektrického pole bude: Er () Dr () ε r Máme-li vyjádřeny veličiny elektrického pole pro dný náboj n elektrodách, je možné zpětně dopočítt odpovídjící npětí mezi deskmi : b Er () dr b r dr ln b Pozn.: Vzth mezi npětím intenzitou pole v této podobě pltí v přípdě, že integrční dráh vede podél siločáry elektrického pole. Obecně by v integrálu musel být sklární součin intenzity pole vektoru ve směru dráhy. vážíme-li, že pltí : elkový náboj je dán liniovou hustotou náboje délkou kondenzátoru : h
Potom po úprvě v nšem přípdě : 2π ε 0 ln b Pro kpcitu válcového kondenzátoru vyplyne vzth: h 2π ε 0 ln b h V přípdě koxiálních kbelů, které se z hledisk elektrosttického pole chovjí jko válcové kondenzátory, se čsto specifikuje kpcit n jednotku délky : 2π ε 0 l ln b Z technického hledisk je velice důležitá úloh vypočítt pro zdné npětí zdný tvr elektrod intenzitu elektrického pole v libovolném místě. Intenzit pole je mírou elektrické pevnosti, elektrickou pevností izolčních mteriálů rozumíme obvykle mximální dovolenou intenzitu elektrického pole. Vzth pro intenzitu v závislosti n npětí je možno získt zpětným doszením z náboj do výchozího vzthu pro intenzitu elektrického pole: 2π ε 0 Er () 2π ε 0 r ln b 2π ε 0 r rln b Ve válcovém kondenzátoru klesá intenzit nepřímo úměrně s poloměrem. V přípdě homogenního dielektrik intenzit elektrického pole vůbec nezávisí n velikosti permitivity.
Příkld 27 : Kpcit rozložení intenzity elektrického pole ve válcovém kondenzátoru se složeným dieletrikem Předpokládné znlosti: Elektrické pole mezi dvěm nbitými válci Příkld 20 Kpcit kondenzátoru je konstnt udávjící vzth mezi nábojem npětím n elektrodách: Kpcit je závislá n tvru vzájemné poloze elektrod tké n permitivitě izolčního mteriálu mezi elektrodmi. N obrázku je nkreslen válcový kondenzátor se složeným dielektrikem. Budeme-li předpokládt, že přiložíme mezi elektrody kondenzátoru npětí, objeví se n elektrodách stejně veliký le opčný náboj, n vnitřní elektrodě npříkld náboj o liniové hustotě, n vnější. Mezi elektrodmi vznikne elektrické pole, které je totožné s polem dvou koncentrických válců (Příkld 20) : Elektrická indukce tohoto pole bude : Dr () 2π r Pozn. Elektrická indukce není závislá n prostředí, le pouze n volných nábojích, které jsou zdrojem elektrického pole n geometrii elektrod. ( indukce je tedy shodná jko v Příkldu 26 u kondenzátoru s neděleným dielektrikem) Intenzit elektrického pole je závislá n permitivitě, odráží se zde vliv vázných nábojů v dielektriku, bude pro kždý úsek s rozdílnou permitivitou jiná : Intenzit elektrického pole bude: v úseku : r r E () r Dr () ε r v úseku 2: r r 3 E 2 () r Dr () ε 2 2 r
v úseku 3: r 3 r r 4 E 3 () r Dr () ε 3 3 r Máme-li vyjádřeny veličiny elektrického pole pro dný náboj n elektrodách, je možné zpětně dopočítt odpovídjící npětí mezi elektrodmi ( integrci je třeb rozdělit n tři úseky, ve kterých je intenzit elektrického pole spojitá) : r 4 r Ex () dx r E () x dx r 3 E 2 () x dx r 4 r 3 E 3 () x dx ln r 2 ln r 3 3 ln r 4 r 3 Pozn.: Vzth mezi npětím intenzitou pole v této podobě pltí v přípdě, že integrční dráh vede podél siločáry elektrického pole. Obecně by v integrálu musel být sklární součin intenzity pole vektoru ve směru dráhy. vážíme-li, že pltí : Po vyjádření pomocí liniové hustoty náboje : h Potom po úprvě v nšem přípdě : ln r 2π ε 0 ln r 3 2 ln r 4 r 3 3 Pro kpcitu kondenzátoru s kulovými elektrodmi děleným dielektrikem vyplyne vzth: h ln r 2π ε 0 ln r 3 2 ln r 4 r 3 3 h 2 3
Z výsledného vzthu pro kpcitu je ptrno, že si můžeme celý problém předstvit v podobě pomyslných dílčích kondenzátorů jednotlivých úseků, které jsou spojeny do série: ln r 2π ε 0 h 2 ln r 3 2 2π ε 0 h 3 ln r 4 r 3 3 h koxiálních kbelů, které předstvují z hledisk elektrického pole tké válcový kondenzátor, se čsto uvádí kpcit n jednotku délky kbelu: l ln r 2π ε 0 ln r 3 2 ln r 4 r 3 3 Z technického hledisk je velice důležitá úloh vypočítt pro zdné npětí zdný tvr elektrod intenzitu elektrického pole v libovolném místě. Intenzit pole je mírou elektrické pevnosti, elektrickou pevností izolčních mteriálů rozumíme obvykle mximální dovolenou intenzitu elektrického pole. Vzth pro intenzitu v závislosti n npětí je možno získt zpětným doszením z náboj do výchozích vzthů pro intenzitu elektrického pole: E () r r ln r 2π ε 0 ln r 3 2 ln r 4 r 3 3 ( 2π ε 0 ) r E () r r ln r ln r 3 2 ln r 4 r 3 3 Podobně i ve zbylých dvou úsecích:
E 2 () r 2 r ln r ln r 3 2 ln r 4 r 3 3 E 3 () r 3 r ln r ln r 3 2 ln r 4 r 3 3 V kondenzátoru se složeným dielektrikem se intenzit elektrického pole rozdělí n jednotlivé úseky v poměru permitivit, není závislá n bsolutní hodnotě permitivity. V kždém úseku je největší intenzit elektrického pole n vnitřním poloměru tohoto úseku.
Příkld 28 : Kpcit mezi dvěm kulovými dosttečně vzdálenými elektrodmi Přepokládné znlosti: Potenciál nbité vodivé koule Příkld 3 Intenzit elektrického pole nbité koule Příkld 8 Kpcit kondenzátoru je konstnt udávjící vzth mezi nábojem npětím n elektrodách: Kpcit je závislá n tvru vzájemné poloze elektrod tké n permitivitě izolčního mteriálu mezi elektrodmi. Budeme-li předpokládt, že mezi kulové elektrody přiložíme npětí, objeví se n elektrodách stejně veliký le opčný náboj, n levé elektrodě npříkld, n prvé. Mezi elektrodmi vznikne elektrické pole. Výsledné elektrické pole lze sndno vypočítt z předpokldu, že se náboj n elektrodách rozloží rovnoměrně se sférickou symetrií podobně jko u smosttných nbitých kulových elektrod. To pltí v přípdě, že poloměry kulových elektrod i 2 jsou podsttně menší než vzdálenost s., 2 < s Výsledné elektrické pole je potom možno počítt jko superpozici polí dvou osmocených kulových elektrod. Z veličin vzniklého elektrického pole lze zpětně dopočítt velikost npětí tím získt závislost mezi npětím nábojem. Pro výpočet npětí mezi elektrodmi je možné v tomto přípdě použít potenciály elektrického pole. Potenciály od jednotlivých nábojů lze v kždém bodě sčítt, npětí mezi dvěm body je dáno rozdílem potenciálů těchto bodů. V bodě n elektrodě A je : příspěvek potenciálu od vlstní elektrody A příspěvek od elektrody B: φ A K φ B 4π ε 0 K 2 s V bodě je výsledný potenciál : φ φ A φ B K K 2 4π ε 0 4π ε 0 s
V bodě 2 n elektrodě B je : příspěvek potenciálu od elektrody A příspěvek od vlstní elektrody B: φ A2 K φ B2 K 2 4π ε 0 s 2 4π ε 0 2 V bodě 2 je výsledný potenciál : φ 2 φ A2 φ B2 K K 2 4π ε 0 s 2 4π ε 0 2 Mezi elektrodmi ( mezi bodem 2) je npětí : φ φ 2 s s 2 2 Poloměry 2 můžeme ve srovnání se vzdáleností znedbt, což je důležitý výchozí předpokld tohoto výpočtu, můžeme je tedy znedbt i ve výsledném vzthu pro npětí, jejich uvžováním se stejně přesnost výpočtu nezlepší: 2 s 2 N konstntách K K2 vůbec nezáleží, použijeme-li potenciál pro výpočet npětí, konstnty se nvzájem odečtou. Mezi nábojem npětím pltí vzth: V nšem přípdě tedy : 4π ε 0 2 s 2 Z toho vyplývá vzth pro velikost kpcity mezi kulovými elektrodmi : 2 s 2 Zcel stejné vzthy obdržíme integrcí výsledné hodnoty intenzity elektrického pole mezi kulovými elektrodmi.
Výsledné elektrické pole bude mít velikost: Ex () E A () x E B () x x 2 ( s x) 2 Při výpočtu je třeb uvážit, že se v tomto prostoru elektrické pole kldně i záporně nbité kulové elektrody sčítá. Pro výsledné npětí bude pltit : s 2 Ex () dx s 2 x 2 ( s x) 2 dx s s 2 2 To jsou zcel identické vzthy jko při výpočtu npětí pomocí potenciálů.
Příkld 29 : Kpcit mezi dvěm rovnoběžnými válcovými dosttečně vzdálenými vodiči (dvouvodičové vedení) Předpokládné znlosti: Potenciál intenzit elektrického pole nbitého válcového vodiče- Příkld 7 Kpcit kondenzátoru je konstnt udávjící vzth mezi nábojem npětím n elektrodách: Použijeme-li tento vzth pro jednotkovou délku vedení, je n ní náboj dný liniovou hustotou, vedení má kpcitu n jednotku délk /l pltí: l Kpcit je závislá n tvru vzájemné poloze elektrod tké n permitivitě izolčního mteriálu mezi elektrodmi. Budeme-li předpokládt, že mezi vodiče přiložíme npětí, objeví se n vodičích stejně veliký le opčný náboj, n levém vodiči npříkld náboj o liniové hustotě, n prvém náboj o liniové hustotě -. Mezi vodiči vznikne elektrické pole. Výsledné elektrické pole lze sndno vypočítt z předpokldu, že se náboj n vodičích rozloží rovnoměrně s válcovou symetrií podobně jko u smosttných nbitých válcových vodičů. To pltí v přípdě, že poloměry vodičů jsou podsttně menší než vzdálenost s. < s Výsledné elektrické pole je potom možno počítt jko superpozici polí dvou osmocených válcových vodičů. Z veličin vzniklého elektrického pole lze zpětně dopočítt velikost npětí tím získt závislost mezi npětím nábojem. Pro výpočet npětí mezi vodiči je možné v tomto přípdě použít potenciály elektrického pole. Potenciály od jednotlivých vodičů lze v kždém bodě sčítt, npětí mezi dvěm body je dáno rozdílem potenciálů těchto bodů. V bodě n vodiči A je : příspěvek potenciálu od vlstního vodiče A příspěvek od vodiče B: φ A ln K φ B ln K 2 2π ε 0 2π ε 0 s V bodě je výsledný potenciál :
φ φ A φ B ln K ln K 2 2π ε 0 s V bodě 2 n vodiči B je : příspěvek potenciálu od vodiče A příspěvek od vlstního vodiče B: φ A2 ln K φ B2 s 2π ε 0 ln K 2 V bodě 2 je výsledný potenciál : φ 2 φ A2 φ B2 ln K ln K 2 2π ε 0 s 2π ε 0 Mezi vodiči (mezi bodem 2) je npětí : φ φ 2 ln ln s ln s ln Poloměr můžeme ve srovnání se vzdáleností znedbt, což je důležitý výchozí předpokld tohoto výpočtu, můžeme jej tedy znedbt i ve výsledném vzthu pro npětí, jeho uvžováním se stejně přesnost výpočtu nemůže zlepšit: πε 0 ln s πε 0 ln s N konstntách K K2 vůbec nezáleží, použijeme-li potenciál pro výpočet npětí, konstnty se nvzájem odečtou. Mezi nábojem npětím pltí vzth: l V nšem přípdě tedy : πε 0 ln s Z toho vyplývá vzth pro velikost kpcity n jednotku délky mezi dvěm rovnoběžnými válcovými vodiči: πε 0 l ln s
Zcel stejné vzthy obdržíme integrcí výsledné hodnoty intenzity elektrického pole mezi válcovými vodiči. Výsledné elektrické pole bude mít velikost: Ex () x s x Při výpočtu je třeb uvážit, že se v tomto prostoru elektrické pole kldně i záporně nbitého vodiče sčítá. Pro výsledné npětí bude pltit : s Ex () dx s x s x dx πε 0 ln s To jsou zcel identické vzthy jko při výpočtu npětí pomocí potenciálů.
Příkld 30 : Kpcit kulové elektrody proti vodivé nekonečně rozlehlé rovině Předpokládné znlosti: Potenciál nbité vodivé koule Příkld 3 Intenzit elektrického pole nbité koule Příkld 8 Kpcit mezi kulovými elektrodmi Příkld 28 Vodivá rovin je z hledisk elektrického pole : ) ekvipotenciální ploch ( fi=konst) b) siločáry elektrického pole vstupují do této roviny kolmo Splnění uvedených podmínek dosáhneme náhrdním uspořádáním, ve kterém vliv vodivé roviny nhrdíme stejně velkým le opčným nábojem, umístěným symetricky n druhé strně roviny ( metod zrcdlení). Potom je potenciál v libovolném bodě roviny skutečně konstntní. Kždý bod n rovině musí mít totiž stejnou vzdálenost od kldného i záporného náboje, npříkld vzdálenost r X jko n obrázku. Pro výsledný potenciál n rovině bude pltit : φ ( r x ) K K 2 K K 2 konst r x 4π ε 0 r x Intenzit elektrického pole v libovolném místě roviny, npříkld v bodě o vzdálenosti r X, je dán součtem intenzity od kldného i záporného náboje. Výslednice (viz obrázek) skutečně směřuje ve směru normály k rovině. Libovolnou veličinu elektrického pole, intenzitu i potenciál, lze potom vypočítt pomocí superpozice dvou nábojů v náhrdní soustvě. Budeme-li uvžovt, že mezi kulovou elektrodu vodivou rovinu připojíme npětí o velikosti, potom se n elektrodě objeví náboj n rovině náboj. Vypočteme-li zpětně pomocí náboje velikost pole, můžeme dopočítt velikost npětí njít vzth pro kpcitu. Npětí lze vypočítt jko rozdíl potenciálů v bodě 2. Dále uvedené vzthy pltí pouze z předpokldu, že pole kulových elektrod zchová svojí sférickou symetrii rozložení náboje n elektrodách nebude podsttně ovlivněno
výsledným rozložením elektrického pole. Příspěvky jednotlivých nábojů lze potom počítt ze vzthů pltných pro osmocené kulové elektrody. To vše je splněno z podmínky, že poloměr kulové elektrody je podsttně menší, než vzdálenost k vodivé rovině. Potenciál v bodě je dán součtem potenciálu kldného záporného náboje v tomto bodě: φ K K 2 4π ε 0 2h Konstnt K K2 může být zcel libovolná, při výpočtu npětí n velikosti konstnt nezáleží. Potenciál v bodě 2 je dán součtem potenciálu kldného záporného náboje v tomto bodě: φ 2 K K 2 K K 2 konst h 4π ε 0 h Npětí mezi bodem 2 ( npětí mezi vodičem rovinou) je potom dáno vzthem: φ φ 2 2h V tomto vzthu lze poloměr kulové elektrody znedbt proti vzdálenosti kulové elektrody od roviny. Vzdálenost od roviny musí být podsttně větší než poloměr vodiče, jink by uvedený výpočet nepltil. Toto znedbání nemůže tedy přesnost výpočtu ni poškodit, ni vylepšit. 2h Pro vzth mezi nábojem kpcitou pltí: V nšem přípdě je tedy : 2h Z toho vyplývá vzth po kpcitu kulové elektrody proti vodivé rovině: 2h
Příkld 3 : Kpcit válcového vodiče proti vodivé nekonečně rozlehlé rovině Předpokládné znlosti: Potenciál válcového vodiče Příkld 7 Intenzit elektrického pole válcového vodiče Příkld 7 Kpcit mezi rovnoběžnými vodiči Příkld 29 Koule nd vodivou rovinou podobná úloh Příkld 30 Vodivá rovin je z hledisk elektrického pole : ) ekvipotenciální ploch ( fi=konst) b) siločáry elektrického pole vstupují do této roviny kolmo Splnění uvedených podmínek dosáhneme náhrdním uspořádáním, ve kterém vliv vodivé roviny nhrdíme stejně velkým le opčně nbitým fiktivním vodičem, umístěným symetricky n druhé strně roviny ( metod zrcdlení) Potom je potenciál v libovolném bodě roviny skutečně konstntní. Kždý bod n rovině musí mít totiž stejnou vzdálenost od kldného i záporného náboje, npříkld vzdálenost r X jko n obrázku. Pro výsledný potenciál n rovině bude pltit : φ ( r x ) ln K ln r K 2 K K 2 konst x 2π ε 0 r x Intenzit elektrického pole v libovolném místě roviny, npříkld bodě o vzdálenosti r X, je dán součtem intenzity od kldně i záporně nbitého vodiče. Výslednice (viz obrázek) skutečně směřuje ve směru normály k rovině. Libovolnou veličinu elektrického pole, intenzitu i potenciál, lze potom vypočítt pomocí superpozice dvou nábojů v náhrdní soustvě. Budeme-li uvžovt, že mezi vodič vodivou rovinu připojíme npětí o velikosti, potom se n vodiči objeví náboj n rovině náboj s hustotou odpovídjící hodnotě. Vypočteme-li zpětně pomocí náboje velikost pole, můžeme dopočítt velikost npětí njít vzth pro kpcitu. Npětí lze vypočítt jko rozdíl potenciálů v bodě 2.
Dále uvedené vzthy pltí pouze z předpokldu, že pole válcového vodiče zchová svojí válcovou symetrii rozložení náboje n vodiči nebude podsttně ovlivněno výsledným rozložením elektrického pole. Příspěvky jednotlivých nábojů lze potom počítt ze vzthů pltných pro osmocené válcové vodiče. To vše je splněno pouze z předpokldu, že poloměr válcového vodiče je podsttně menší, než vzdálenost k vodivé rovině. Potenciál v bodě je dán součtem potenciálu kldně záporně nbitého vodiče v tomto bodě: φ ln K ln K 2 2π ε 0 2h Konstnt K K2 může být zcel libovolná, při výpočtu npětí n velikosti konstnt nezáleží. Potenciál v bodě 2 je dán součtem potenciálu kldně záporně nbitého vodiče v tomto bodě φ 2 ln K ln K 2 K K 2 konst h 2π ε 0 h Npětí mezi bodem 2 ( npětí mezi vodičem rovinou) je potom dáno vzthem: φ φ 2 ln 2h V tomto vzthu lze poloměr válcového vodiče znedbt proti vzdálenosti od roviny. Vzdálenost od roviny musí být podsttně větší než poloměr vodiče, jink by uvedený výpočet nepltil. Toto znedbání nemůže tedy přesnost výpočtu ni poškodit, ni vylepšit. ln 2h Pro vzth mezi nábojem kpcitou pltí: l V nšem přípdě je tedy : ln 2h Z toho vyplývá vzth po kpcitu n jednotku délky vodiče proti vodivé rovině: l ln 2h
Příkld 32 : Kpcit válcového vodiče proti dvěm vodivým nekonečně rozlehlým kolmým rovinám Předpokládné znlosti: Potenciál válcového vodiče Příkld 7 Intenzit elektrického pole válcového vodiče Příkld 7 Vodič nd vodivou rovinou podobná úloh - Příkld 30 Vodivé roviny jsou z hledisk elektrického pole : ) ekvipotenciální plochy ( fi=konst) b) siločáry elektrického pole vstupují do těchto rovin kolmo Splnění uvedených podmínek dosáhneme náhrdním uspořádáním, ve kterém vliv vodivých rovin nhrdíme doplněním fiktivních vodičů s náboji jko n obrázku. Potenciál v libovolném bodě obou z rovin je potom skutečně konstntní. Kždý bod n rovině má totiž stejnou vzdálenost od kldných i záporných nábojů. Libovolnou veličinu elektrického pole, intenzitu i potenciál, lze potom vypočítt pomocí superpozice pole nbitých vodičů v náhrdní soustvě. Budeme-li uvžovt, že mezi vodič vodivou rovinu připojíme npětí o velikosti, potom se n vodiči objeví náboj n rovinách náboj s hustotou odpovídjící hodnotě. Vypočteme-li zpětně pomocí náboje velikost pole, můžeme dopočítt velikost npětí njít vzth pro kpcitu. Npětí lze vypočítt jko rozdíl potenciálů mezi body 2.
vedené vzthy pltí podobně jko v předchozím příkldu ( Příkld 30 ) pouze z předpokldu, že vzdálenost od rovin je podsttně větší, než poloměr vodiče. Potenciál v bodě je dán součtem potenciálu skutečného vodiče i fiktivních obrzů, zvolíme-li nvíc potenciál n vodivých rovinách nulový, budou nulové i všechny integrční konstnty u potenciálů bude pltit : φ ln ln 2h ln 2 h 2 h 2 2 ln 2h 2 φ ln 2h h 2 2 h h 2 2 Potenciál v bodě 2 n rovině je konstntní, jeho hodnot byl zvolen nulová : φ 2 0 Npětí mezi bodem 2 ( npětí mezi vodičem rovinou) je potom dáno vzthem: φ φ 2 ln 2h h 2 2 h h 2 2 Pro vzth mezi nábojem kpcitou pltí: l V nšem přípdě je tedy : ln 2h h 2 2 h h 2 2 Z toho vyplývá vzth po kpcitu n jednotku délky vodiče proti vodivým rovinám: l ln 2h h 2 2 h h 2 2