. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKE JEDNÉ PROMĚNNÉ Při řešení technických prolémů, ve fyzice pod. je velmi čsto tře řešit orácenou úlohu k derivování. K zdné funkci f udeme hledt funkci F tkovou, y pltilo F f. Budeme se tedy ptát, jkou funkci je nutné derivovt, ychom dostli zdnou funkci f. Tudíž ze znlosti směrnic tečen ke grfu funkce udeme chtít njít tuto funkci, ze znlosti okmžité rychlosti odu udeme chtít zjistit polohu tohoto odu, ze znlosti okmžitého zrychlení odu udeme chtít určit jeho okmžitou rychlost pod. Poznáme, že tto úloh je podsttně složitější než derivování, protože neeistuje oecný lgoritmus výpočtu. I. PRIMITIVNÍ FUNKE A NEURČITÝ INTEGRÁL..Definice: Funkce F se nzývá primitivní funkcí k funkci. kždé číslo, pltí F f..vět: Nechť funkce F je primitivní k primitivní funkce k funkci f n intervlu, f n, f n intervlu, má tvr F c, kde c R., jestliže pro, pk kždá jiná..definice: Množin všech primitivních funkcí k funkci neurčitý integrál funkce f znčí se symolem f d. Tedy f n intervlu, se nzývá,, f d F c Poznámk:. Integrční znk vznikl protžením písmene S, kterým zčíná slovo sum. Funkci f nzýváme integrndem 3. Výrz d je diferenciál proměnné v tuto chvíli je jeho význm jen v tom, že nám říká, jk je oznčená proměnná. 4. Číslo c nzýváme integrční konstntou Zkusme nyní njít nějkou primitivní funkci npř. k funkci cos, R. Ze znlostí derivcí není těžké odhdnout, že tková funkce je npř. F sin neo tké F sin Tzn., že všechny funkce sin c, kde c R, jsou primitivní k funkci cos + 3, td..
cos d sin c, c R...Vět: Ke kždé spojité funkci f n intervlu,.3.vět: Nechť n intervlu, eistují integrály eistuje rovněž integrál jejich součtu, rozdílu násoku konstntou: f gd f d g kf d k f d, k R. Poznámk: Z definice neurčitého integrálu vyplývá pltnost rovností:. f d f. d F F c, c R, eistuje primitivní funkce. f d g d, pk n, tkže operce derivování integrce jsou nvzájem komplementární. O správnosti výsledku integrce se můžeme vždy přesvědčit derivcí výsledku. d. 0 d. d Tulkové integrály n n 3. d, n n 4. d ln d ln 5. e d e e d e 6. d,, 0 ln sin d cos 7. sin d cos cos d sin 8. cos d sin 9. d rctg d rctg
0. d rcsin d rcsin. d ln. cos d tg d tg cos 3. d cotg sin sin d cotg 4. 5. f d F c f d F c, 0 f d ln f c f Poznámk: Protože derivce funkcí rkustngens rkuskotngens se liší pouze znménkem totéž pltí pro rkussinus rkuskosinus je možné ve vzorci 9. resp. 0. psát d rccotg resp. d rccos. METODA PER PARTES Víme, že integrál ze součtu rozdílu je součtem rozdílem integrálů. Pro součin podíl nic tkového nepltí. Z prvidl pro derivci součinu dostneme vzth pro integrci součinu..4. Vět: Nechť funkce u tomto intervlu pltí: v mjí spojitou derivci n intervlu, v d uv uv u d, Tto metod se nzývá metod per prtes po částech. Čsto používáme zkrácený zápis: uvd uv uvd. Pk n Poznámk: Integrály typické pro výpočet metodou per prtes: Nechť je P polynom. Metodou per prtes integrujeme npř. integrály následujících typů. 3
P e d, P sin d, P cos d m P rctgd, P ln d. U první skupiny postupujeme tk, že polynom derivujeme snížíme jeho stupeň, v přípdě potřey postup opkujeme. U druhé skupiny nopk polynom integrujeme derivujeme druhý činitel. SUBSTITUČNÍ METODA Tto metod se používá velmi čsto, její podsttou je sustituce náhrd integrční proměnné jinou proměnnou tk, y vznikl integrál jednodušeji řešitelný..5.vět: Nechť eistuje f d pro, nechť funkce t, která je diferencovtelná n intervlu c, d zorzuje tento intervl do intervlu,. Pk n intervlu c, d eistuje f t t dt pltí f t t dt f d Poznámk: Integrční metod zložené n předchozí větě se nzývá první sustituční metod spočívá v nhrzení integrční proměnné novou proměnnou tk, y vznikl jednodušeji řešitelný integrál. Použijeme, chceme-li vypočítt integrál integrál f d. Sustitucí t, f tt dt n výpočet f d F t. f t t dt přitom umíme vypočítt t dt d převedeme výpočet integrálu do výsledku zpětně dosdíme z funkci Př. sin 3 t cost dt.6.vět: Nechť eistuje f tt dt n intervlu, c d, nechť funkce diferencovtelná v tomto intervlu, nechť t 0 pro kždé t c, d nechť funkce t zorzuje intervl c, d n,. Pk eistuje f d n, pltí t je 4
f d f t t dt Metod zložená n předchozí větě se nzývá druhá sustituční metod. Použijeme, chceme-li vypočítt integrál f tt dt. Sustitucí t, d f d n výpočet proměnné, tj ze t dosdíme t f d přitom umíme vypočítt integrál t dt převedeme výpočet integrálu f t t dt G t ve výsledku se vrátíme k původní Př. d,, INTEGRAE RAIONÁLNÍ LOMENÉ FUNKE Důležitou skupinu funkcí, které můžeme integrovt v množině elementárních funkcí, tvoří rcionální lomené funkce..3.definice: Rcionální funkce je funkce ve tvru P R, kde P Q jsou Q polynomy liovolných stupňů, které nemjí společné kořeny, definiční oor tvoří všechn reálná čísl, pro které je Q 0.4.Definice: Rcionální funkce P Q Q neryze lomená když stupeň P stupeň Q. se nzývá ryze lomená, když stupeň P < stupeň.7.vět: Kždou neryze lomenou funkci můžeme vyjádřit jko součet polynomu ryze lomené rcionální funkce, tzn. R U.8.Vět: Ryze lomenou rcionální funkci rozkld W, kde stupeň W < stupeň Q Q W Q k k K m n m r r Q p q p q, jejíž jmenovtel má v reálném ooru lze jednoznčně rozložit n součet prciálních částečných zlomků. V tomto rozkldu přísluší: kždému k- násonému reálnému kořenu i součet zlomků Kr 5
A A A i i i k k kždému j- násonému kořenu c di součet zlomků M N M N M j N j p q p q p q j kde p 4 q < 0, A Ak, MN M jn j jsou jednoznčně určené relné konstnty. Určení koeficientů rozkldu ryze rcionální funkce. srovnávcí metod. doszovcí metod 3. oě metody kominujeme Shrnutí:. rcionální funkce: neryze lomená- uprvíme, tj. převedeme ji dělením n součet polynomu ryze lomené funkce.. jmenovtel rozložíme v součin 3. ryze lomenou funkci rozložíme n součet prciálních zlomků, určíme koeficienty rozkldu 4. integrujeme INTEGRAE NĚKTERÝH SPEIÁLNÍH TYPŮ FUNKÍ Integrály oshující goniometrické funkce m n Integrály typu cos sin d, kde m, n Z. Pokud je spoň jedno z čísel m,n liché použijeme k řešení sustituce: sin t, je li m liché cos t, je li n liché. Pokud jsou oě liché, můžeme si vyrt. O eponenty jsou sudé. Pokud jsou oě čísl m, n nezáporná, je nejvýhodnější použití vzorců pro dvojnásoný úhel: cos cos sin, cos, kde R. 6
Je-li spoň jedno z čísel m, n záporné, použijeme sustituci: tg t rctgt. dt d t Univerzální sustituce: Integrály typu cos,sin, R tg d, kde R znčí rcionální funkci, používáme sustituci: tg t, rctg t, d dt, t t sin, cos dt. t t Integrály typu cos,sin tg t, rctg t, d dt, t t t sin, cos dt. t t R d, kde R znčí rcionální funkci, používáme sustituci: Integrály oshující odmocniny Ircionální funkce integrujeme většinou pomocí sustituční metody. n Integrnd oshuje výrz, n N, n,, R. Zvedeme sustituci n t převedeme n integrál z rcionální lomené funkce. Z této rovnosti nejprve osmosttníme pk dopočítáme diferenciál: n n n t nt t d dt. Oshuje-li integrovná funkce více odmocnin s různými odmocniteli n n,,..., zvádíme sustituci t n, kde n je nejmenší společný násoek čísel n, n, n3,.... 3 Integrce goniometrickými sustitucemi: R, d, sustituce sin t 7
R, d, sustituce cos R, d, sustituce tgt t II. URČITÝ INTEGRÁL Neurčitý integrál - funkci přiřzovl množinu funkcí Určitý integrál - funkci přiřzuje číslo.5.definice: Nechť F je primitivní funkcí k funkci f v intervlu I. Pk pro čísl, z tohoto intervlu definujeme Newtonův určitý integrál funkce f v mezích od do vzorcem: f d F F F, číslo se nzývá dolní mez, číslo horní mez, funkce f integrnd d diferenciál proměnné. Říkáme, že funkce f je intergovtelná n,. Geometrický význm Mějme nezápornou ohrničenou funkci f, spojitou n intervlu,. Dá se dokázt, že určitý integrál f d udává osh rovinného orzce U ohrničeného grfem funkce f, osou přímkmi =, =. Vlstnosti určitého integrálu.9.vět: Nechť f g jsou integrovtelné n,, k R pk pltí: Dlší vlstnosti: f g d f d g d, kf d k f d, k R. c f d f d f d, c, c 8
.0.Vět: Nechť f g jsou integrovtelné n,, pk pltí: f d 0, f d f d, f d f d, je-li f g pro,, pk tké f d g d. Metod per prtes pro určitý integrál..vět: Nechť jsou funkce u, v spojité mjí tké spojité derivce prvního řádu n,,. Potom: u v u v d. u v d Sustituční metod pro určitý integrál..vět: Je-li funkce t spojitá ryze monotonní n intervlu, je-li funkce f integrovtelná n,, pk pltí:.3.vět: Je-li funkce f d f t dt t spojitá ryze monotonní n intervlu c, d, který zorzuje n intervl,, pk pltí: f d f t t dt APLIKAE URČITÉHO INTEGRÁLU Pomocí integrálního počtu je možné vypočítt osh rovinných útvrů, ojemy rotčních těles délky rovinných křivek. Velké upltnění má určitý integrál tké ve fyzice chemii. 9
Geometrické plikce. Osh rovinného útvru Pokud se jedná o rovinný útvr omezený osou, přímkmi =, = grfem spojité, nezáporné funkce y = f, pk je jeho osh dán určitým integrálem, jk ylo uvedeno u geometrické interpretce určitého integrálu: S f d. V přípdě, že funkce f je v intervlu <,> záporná, je integrál rovněž záporný. Vzhledem k tomu, že osh kždého orzce je vždy nezáporné číslo, použijeme pro liovolnou funkci ve výpočtu oshu její solutní hodnotu: S f d f d. Jestliže funkce y = f nývá v intervlu <,> jk kldných, tk i záporných hodnot, potom tento intervl rozdělíme n dílčí intervly, ve kterých funkce nývá pouze nekldných hodnot resp. nezáporných hodnot vypočteme oshy podle předcházejících úvh. Pokud je rovinný útvr ohrničený dvěm funkcemi křivkmi y f, y g přímkmi,, je jeho osh určen: S f g d. V přípdě, že je rovinný útvr ohrničený pouze dvěm funkcemi, musíme první určit -ové souřdnice průsečíků křivek řešíme rovnici f g. 0
Je-li funkce f určen prmetrickými rovnicemi t, y t, t, předpokládáme, že t je ryze monotonní funkce n, přitom, se spojitou derivcí t. Pk pltí pro osh útvru ohrničeného grfem funkce f n intervlu, : S t t dt. Délk rovinné křivky Je-li funkce y f definovná n, spojitá má-li zde spojitou derivci, pk pro délku křivky pltí: f l d. Je-li funkce f určen prmetrickými rovnicemi t, y t, t, jsou-li,,, spojité funkce, nejsou zároveň rovny nule v žádném odě intervlu t,, pk pro délku křivky pltí vzth: l t t dt. 3. Ojem rotčního těles Necháme-li rovinný útvr rotovt kolem osy, vznikne rotční těleso, jehož ojem můžeme vypočítt pomocí určitého integrálu. Nechť rotční těleso vznikne rotcí křivky y f kolem osy v intervlu,, přičemž funkce y f je n, spojitá, pk pro jeho ojem pltí: V f d. Poznámk: Pokud získáme těleso rotcí útvru ohrničeného křivkmi f, g n,, pk V f g d.
Je-li funkce f určen prmetrickými rovnicemi t, y t,, t je-li t spojitá t nezáporná, pltí pro ojem těles, které vznikne rotcí útvru kolem osy : V t t dt. 4. Osh rotční plochy Je-li funkce y f definovná n, spojitá nezáporná má-li zde spojitou derivci, pk pro osh pláště rotčního těles kolem osy pltí vzth: S f f d. Je-li funkce f je určen prmetrickými rovnicemi t, y t, t,,,, spojité funkce t osy pltí vzth:, jsou-li nezáporná, pk pro osh pláště rotčního těles kolem S t t t dt. Fyzikální plikce Hmotnost souřdnice těžiště rovinné křivky Předstvme si drát, který je v oecném přípdě nehomogenní. Mtemtickým modelem je křivk. Předpokládejme, že máme nezápornou funkci ρ, která je definovná ve všech odech křivky kždému odu přiřzuje délkovou hustotu v tomto odě. Je - li křivk dán prmetrickými rovnicemi t, y t, kde t, Nechť t t mjí spojitou derivci n intervlu, t je spojitá nezáporná. Pk křivk mjící délkovou hustotu t má hmotnost Pro souřdnice jejího těžiště pltí M t t t dt. S y S T,, M M
3 kde,. y S t t t t dt S t t t t dt Veličiny, S S y nzýváme sttické momenty křivky vzhledem k ose y. Poznámk: Je-li křivk grfem funkce f udává její délkovou hustotu v odě, dostáváme z předchozího zjednodušenou verzi: Pro souřdnice těžiště grfu G funkce f pltí stejný vzorec,, M S M S T y kde.,, y d f G S d f f G S d f G M