DERIVACE FUKNCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

DERIVACE FUKNCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

Reálná funkce dvou proměnných a definiční obor Kartézský součin R R značíme R 2 R 2 je množina všech uspořádaných dvojic reálných čísel (rovina) Prvk R 2 jsou bod v rovině C = [c, c 2 ] R 2 Definice: Zobrazení f: A R, kde A R 2 ted zobrazení podmnožin R 2 do množin reálných čísel Se nazývá reálná funkce dvou reálných proměnných A = D(f) z = f, =. z 6 4 9 C = [4,9]

Definiční obor f, > 0 <, > = ln 2 + 3 + arcsin + > 0 D f = {, R 2 ; 2 + 3 > 0, <, >, + > 0} Zobrazíme definiční obor NENÍ GRAF FUNKCE!!! 2 + 3 > graf f = {,, f, R 3 ;, D f } 3 > - = 2 + 3 = = =

Definice: Nechť A a, a 2 R 2. Kartézský součin otevřených intervalů Se nazývá okolí bodu A=[a, a 2 ] a ε, a + ε a 2 ε, a 2 + ε ε > 0 a 2 + ε a 2 3 2 + 3 > > a 2 ε - a ε a a + ε Definice: Nechť M R 2. Bod A R 2 se nazývá a) Vnitřní bod množin M, Jestliže eistuje jeho okolí, které je podmnožinou M b) Hraniční bod množin M Jestliže v každém jeho okolí je bod, který patří i nepatří do M

Definice: Nechť M R 2. Množina M se nazývá a) Otevřená, jestliže neobsahuje žádný hraniční bod b) Uzavřená, jestliže obsahuje všechn své hraniční bod c) Omezená (ohraničená), jestliže je podmnožinou okolí nějakého bodu Definice: Nechť M R 2. Množina M se nazývá kompaktní Jestliže je uzavřená a omezená f, = arcsin 2 + 2 3 2 + 2 3 2 2 + 2 4 3 2 + 3 > > 2 2 -

f, = ln 2 + 3 2 + 3 > 0 2 + 3 > f, = 9 2 2 + + 9 2 2 0 2 + 2 9 + 0 = 3 3 Otevřená, jestliže neobsahuje žádný hraniční bod Uzavřená, jestliže obsahuje všechn své hraniční bod

f, = 9 2 2 + + 9 2 2 0 2 + 2 9 + 0 = Kompaktní množina 3

f, = arccos 0 f, = arcsin 2 + 2 3 2 + 2 3 2 2 + 2 4 0 2 2 Definice: Definice: Nechť M R 2. Množina M se nazývá kompaktní Říkáme, že množina M R n Jestliže je uzavřená a omezená Je omezená (resp. ohraničená) Jestliže eistuje k > 0, takové, že vzdálenost každého bodu X M od počátku O je menší nebo rovno k

Derivace funkce dvou a více proměnných úvod Dík derivaci jedné proměnné jsme mohli: a) Zjistit jak se změní, kdž se změní b) Minimum a maimum etrém funkce Ve většině případech si nevstačíme s jednou proměnnou U =. U =..z dπ dq = 0 Ma. zisk Min. náklad dtc dq = 0 Q = A. K a. L a P ČEZ = f(, ) Q = 2Y P + P 2 Dík derivaci více proměnných budeme schopni Určit příspěvk jednotlivých nezávislých proměnných k závislé proměnné Znaménko derivace Klíčové pro pochopení optimalizačních problémů Celá ekonomie je jedna velká optimalizace

Derivace funkce dvou proměnných teorie z = + 2 z = f, Parciální derivace Podle matematik pro VŠE výraz zúžená funkce pomůže při počítání zúžíme jednu proměnnou si představíme jako nějakou konstantu f = ln ( 2 + ) f, = ln ( 2 + 2 ) f 2 = ln (4 + 2 ) C=[2,] Definice: Nechť f je funkce dvou proměnných, C=[c,c 2 ] je vnitřní bod D(f) a f resp. f 2 je zúžení funkce f definované předpisem f ()=f(,c 2 ) resp. f 2 ()=f(c,) Číslo f C, resp. f C definované vztahem f C = f c resp. f C = f 2 c 2 Se nazývají parciální derivace funkce f podle (resp. ) v bodě C f 2 = 4 + 2. 2 f = 2 +. 2 f 2, = f 2 = 4 +. 4 f 2, = f 2 = 4 +. 2

kdž derivujeme funkci více proměnných tak derivujeme podle jedné proměnné a na zbtek se díváme jako na konstant f, = ln ( 2 + 2 ) C=[2,] f f f, f, = 2 + 2. 2 = 2 + 2. 2 = f = f f C = f C = 2 2 + 2. 2.2 = 4 5 2 2 + 2. 2 = 2 5 Chceme vědět jak se změní závislá proměnná kdž se změní konkrétní nezávislá proměnná A zbtek se nemění C piva = 0,5T + 0,0Y 2P piva + 4P vína C piva T = 0,5 C piva Y = 0,0 C piva P piva = 2 C piva P vína = 4 Jak se změní spotřeba kdž: ) Vzroste teplota 2) Klesne důchod 3) Vzroste cena piva 4) Vzroste cena vína!!!všímat si znaménka derivace!!!

Definice: Nechť f je funkce dvou proměnných, C=[c,c 2 ] je vnitřní bod D(f). Vektor f (C) definovaný vztahem f C = ( f C, f C ) Se nazývá derivace funkce f v bodě C f C = 2 Název gradient funkce f v bodě C 2 + 2. 2.2 = 4 5 f C = f 2, = ( 4, 2 ) 5 5 Definice: Nechť f je funkce dvou proměnných. Funkce dvou proměnných Pokud jsou všechn druhé f, parciální f, f, derivace f funkce f spojité Se nazývají druhé parciální derivace funkce f z = f, 2 z 2 = f, 2 z = f, = 5 + e. = e.. = e.. + e = Smíšené parciální derivace z = f, = 5 + e 3 z = f, 2 z 2 = f, 2 z = f, f, = ln ( 2 + 2 ) f f = e. = = = e.. C=[2,] 2 + 2. 2 2 + 2. 2 2 2 + 2. 2 = 2 5 = e.. + e

Etrém funkce dvou proměnných Definice: Nechť M je podmnožina definičního oboru funkce dvou proměnných M D f Jestliže pro všechna X=[,] M platí f(x) f(c) Resp. f(x) f(c) Říkáme, že funkce f má v bodě C=[c,c 2 ] maimum resp. minimum na množině M Maimum a minimum funkce jsou tzv. etrém funkce Opět musíme rozlišovat lokální a globální (absolutní) etrém Pokud je množina M jen okolí bodu C, hovoříme o lokálních etrémech Kdž M=D(f) má funkce v C globální (absolutní) etrém f(, ) =. < 0,3 > f C = 3.3 = 9 f X 9 f C = 0 f X 0 < 0,3 > C[3,3] C[0,0]

Věta (nutná podmínka pro lokální etrém dvou proměnných) Má-li funkce dvou proměnných f ve vnitřním bodě C D f lokální etrém a eistuje f (C), pak f C = 0,0 Pozor stejně jako u etrému funkcí proměnné Kdž f C = 0,0 nutně to neznamená etrém!!! Stacionární bod bod podezřelé z etrému f, = 3 3 3 3 z = f, = 2 f, = 2 = 0 = 0 Hledám bod podezřelé z etrému = 2 = 2 = 0 = 0 A=[0,0] = = B=[,] Stacionární bod Etrém může být, ale nemusí!!!

Věta: (postačující podmínka pro lokální etrém funkce dvou proměnných) Nechť C je vnitřní bod D(f), ve kterém f (C)=(0,0) a funkce dvou proměnných f Má v okolí bodu C spojité druhé parciální derivace. Označme D = f(c) D 2 = f(c) f(c) f(c) f(c) D = f 0,0 = 0 D D 2 = 0 0 = = f, = 2 D 2 = 2 2 = 2 a) Jestliže D 2 >0 a D >0, pak funkce f má v bodě C lokální minimu b) Jestliže D 2 >0 a D <0, pak funkce f má v bodě C lokální maimum c) Jestliže D 2 <0, pak funkce f nemá v bodě C lokální etrém (sedlový bod) D 2 = 0 nemůžeme rozhodnout Hessova matice Hessián f, = 3 3 3 3 z = f, = 2 f, = 2 = 0 = 0 A=[0,0] = 0 = 0 = = A=[,] = 2 = 2 Lok. Ma. 2 z 2 = f, = 2 2 z 2 = f, = 2 2 z = f, = 2 z = f, =

Věta: Slvestrovo kritérium Kvadratická forma q: R n R je (i) Pozitivně definitní, jestliže všechn hlavní subdeterminant matice A jsou kladné a a 2 a a 3 a 2 a > 0 a 2 a 22 a a 23 > 0 2 a > 0 22 a 3 a 32 a 33 (ii) Negativně definitní, jestliže subdeterminant střídají znaménka počínaje záporným a a 2 a 3 a a 2 a a 2 a 22 a <0 23 <0 a 2 a > 0 22 a 3 a 32 a 33 (iii) Indefinitní, jestliže jsou všechn subdeterminant nenulové a přitom neplatí ani pravidlo (i) ani (ii) Subdeterminant (minor) získáme ze čtvercové matice A, odstraněním i-tého řádku a j-tého sloupce determinant osekané matice

H f 0, 0 = 2 f 2 ( 0, 0 ) 2 f ( 0, 0 ) 2 f ( 0, 0 ) 2 f 2 ( 0, 0 ) 0, 0 je stacionární bod funkce f. Potom ) Je-li H f 0, 0 >0, má funkce f v bodě 0, 0 lokální etrém a) 2 f 2 (, )>0, má funkce f v bodě 0, 0 ostré lokální minimum (PD) b) 2 f 2 (, )<0, má funkce f v bodě 0, 0 ostré lokální maimum (ND) 2) Je-li H f 0, 0 < 0, má funkce f v bodě 0, 0 sedlový bod Nemá ted v tomto bodě lokální etrém (ID)

Vázané etrém Hledáme etrém jedné funkce, ale jsme svázáni jinou funkcí Hledáme maimální užitek, ale jsme svázání rozpočtovým omezením Mám rozpočet a chci za něj získat nejvšší možný užitek Vrábíme auta, ale jsme vázáni rozpočtem firm Mám rozpočet a chci při něm vrobit maimální objem Pro hledání vázaných etrémů vužijeme: a) Dosazovací metodu b) Jacobián c) Metodu Lagrangeových multiplikátorů Definice: Nechť f a g jsou funkce dvou proměnných, M={[,] D f ; g, = 0} Etrém funkce f v množině M se nazývají vázané etrém Rovnici g(,)=0 říkáme vazební podmínka U = 2pivo + rum I = P pivo pivo + P rum rum 500 = 25pivo + 5rum 25pivo + 5rum 500 = 0

Dosazovací metoda Nejjednodušší, ale její použití je omezené Lze použít v případě, kd jsme schopni z vazební podmínk g, = 0 Vjádřit jako funkce (a naopak) g, = 0 = φ() = 0 = Následně dosadíme = φ() do funkce f Věta: Nechť je funkce f() spojitá na intervalu (a,b) A na tomto intervalu má také derivace. Jestliže f ( 0 )=0 a f ( 0 )>0 Resp. f ( 0 )=0 a f ( 0 )<0 Pak má funkce f() v 0 lokální minimum lokální maimum f, = f(, φ ) = h() postup stejný jako u funkce jedné proměnné f, = 2 3 9 + 3 h = f(, ) = 2 3 9( ) + 3( ) = 2 3 9 2 + 9 + 3 3 h = 6 2 8 + 2 h = 2 8 = 2 3 9 2 + 2 3 = 6 2. = 0 = 2 = h 2 = 2.2 8 = 6 > 0 h = 2. 8 = 6 < 0 lokální minimum lokální maimum A = [2,] B = [,0]

Jacobiho determinant Dosazovací metoda nám nebude většinou stačit Z g(,)=0 nepůjde vdolovat / Věta: (nutná podmínka pro vázaný etrém) Má-li funkce dvou proměnných f při vazební podmínce g(,)=0 v bodě C vázaný etrém A funkce f,g, mají v okolí bodu C spojité parciální derivace, pak f(c) f(c) g(c) g(c) = 0 Jacobián

f, = e +2 2 + 2 = 5 g, = 0 g, = 2 + 2 5 f(c) f(c) g(c) g(c) = 0 Věta (zobecněná Weierstrassova) Funkce (dvou proměnných) spojitá v neprázdné kompaktní množině Má na této množině maimum i minimum f, = e +2. g, = 2 f, = e +2.2 g, = 2 e +2 2 2e +2 2 = 2. e +2 4e +2 = 2e +2. ( 2) 5 2e +2. 2 = 0 2 + 2 5 = 0 = 2 = = 2 = = 2 A = [,2] B = [, 2] 2 + 4 2 = 5 = ± f A = e 5 f B = e 5 Vázané maimum Vázané minimum

Metoda Lagrangeových multiplikátorů g(,)=0 Vužijeme kdž nepůjde použít dosazovací metoda, Jacobián + pro etrém 3 a více proměnných + pro více vazebných podmínek ) Vtvoříme Lagrangeho funkci L L,, r = f,, r + λ g (,, r ) + λ 2 g 2,, r +.. L,, z = 4 + 2 + 4z 5 + λ ( 2 + 2 + z 2 9) 2) Zjistíme podezřelé bod z etrému L,, r r L,, r = 0 = 0 g,, r = 0 g 2,, r = 0 Množina bodů vhovující vazební podmínce je uzavřená a omezená Kompaktní WV. D(f)=R 2 M D(f) f A = 23 Vázané minimum f B = 3 Vázané maimum A = ( 2,, 2) B = (2,,2) L = 4 + 2λ = 0 L = 2 + 2λ = 0 L z = 4 + 2zλ = 0 f,, z = 4 + 2 + 4z 5 2 λ 2 λ = 2 + 2 + z 2 = 9 + λ = 2 λ = λ z = 2 λ 2 + 2 + z 2 = 9 2 λ 2 = + 2 λ 2 = 9

Etrém na kompaktní množině s vnitřními bod Podezřelé bod budeme muset hledat a) Uvnitř množin b) Na hranici množin a) Na závěr spočítat funkční hodnot a určit etrém f, = 2 + 2 2 + 6 M = {, ; 2 + 2 25, 0} f, = 2 2 = 0 f, = 2 + 6 = 0 = 6 = 8 b ) g, = 2 g, = 2 2 2 2 + 6 2 2 8. 4 + 3 = 0 2 + 2 = 25 = 8. (4 + 3) = 4 3 b 2 ) Funkce f má NA MNOŽINĚ M minimum v bodě B a maimum v E f B = 75 f E = 05 f F = 55 2 + 2 < 25, > 0 A = [6, 8] 2 + 2 = 25, > 0 2 = 9 = ±3 f 0, B = [3, 4] C = [ 3,4] = 0 = 2 + 6 = h() h = 2 + 6 = 0 D = [0, 8] b 3 ) hrot na hranici 5 5 5 = 8 E = [0,5] 5 6 F = [0, 5]