1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010
Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... ) definice limity a spojitosti funkce jedné proměnné Klíčová slova kapitoly hromadný bod množiny, funkce více proměnných, graf funkce více proměnných, limita, spojitost funkce dvou proměnných Pozn.: Protože důkazy zde uvedených vět jsou analogií důkazů vět pro funkce jedné proměnné, nebudou až na výjimky uváděny.
Definice 1 (Intervaly a okolí) Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se nazývají omezené množiny. Okolí bodu je každá množina, která obsahuje nějaký interval s daným bodem ležícím uprostřed intervalu. Intervalem v R 2 je např. kartézský součin 1, 2 1, 3. Tato množina je okolím např. bodu (1, 2).
Definice 2 (Vlastnosti množin) Podmnožina A se nazývá otevřená, jestliže je okolím každého svého bodu. Podmnožina A se nazývá uzavřená, jestliže její doplněk je otevřený. Hranice množiny A je množina těch bodů, jejichž každé okolí obsahuje body z A i z doplňku A. Množinu A budeme nazývat polootevřenou, jestliže vznikne z otevřené množiny přidáním části své hranice. Množina O = {(x, y) R 2 ; x 2 + y 2 < 4} je otevřená. Množina U = {(x, y) R 2 ; x 2 + y 2 4} je uzavřená. Množina H = {(x, y) R 2 ; x 2 + y 2 = 4} je hranicí množin O a U. Množina P = {(x, y) R 2 ; 1 < x 2 + y 2 4} je polootevřená.
Konvergence a hromadné body Následující definice využijeme při studiu limit a spojitosti funkcí více proměnných. Definice 3 Posloupnost {p n } bodů konverguje k bodu p, jestliže každé okolí bodu p obsahuje skoro všechny prvky posloupnosti. Pak p se nazývá limita posloupnosti a značí se lim p n = p nebo p n p. Definice 4 Bod P je hromadným bodem množiny A, jestliže existuje prostá posloupnost bodů z A konvergující k P (ekvivalentně, každé okolí bodu P obsahuje body A různé od P).
Poznámky 1 Množina A je uzavřená právě když obsahuje limity posloupností z A. 2 Množina A je uzavřená právě když obsahuje svou hranici (ekviv., všechny své hromadné body). 3 Množina je omezená právě když její projekce na osy souřadnic jsou omezené. 4 Posloupnost {p n } konverguje k bodu p právě když projekce bodů p n na osy souřadnic konvergují k projekcím bodu p. 5 Pro konvergenci platí obdobné věty jako pro konvergenci na přímce, kromě vět obsahující nerovnosti v definičním oboru.
Zajímavosti Úvod V euklidovských prostorech dimenze aspoň 2 neexistuje uspořádání, pomocí kterého by se daly definovat intervaly a konvergence. V euklidovských prostorech dimenze aspoň 2 lze přidat jen jedno nekonečno (nebo nekonečně mnoho). Přidání nekonečna si lze představit jako stočení roviny do koule bez horního (severního) pólu. Nekonečno je pak tento severní pól. Jeho okolí jsou množiny obsahující doplňky kruhu (nebo koulí) se středem v počátku. Rovina spolu s tímto nekonečnem se nazývá rozšířená rovina. Okolí jsou doplňky omezených množin. Lze definovat: r R, r 0 r. =, p, p ± =.
Definice funkce více proměnných je zobecněním definice funkce jedné proměnné. Definice 5 Zobrazení f z nějaké podmnožiny roviny nebo prostoru do reálných čísel se nazývá reálná funkce dvou, resp. tří proměnných a značí se f (x, y) nebo f (x, y, z) pro x, y, z R, nebo f (p), kde p je bod roviny nebo prostoru. Definiční obor funkce f (značí se D(f )) je množina bodů p, pro která je f (p) zadána nebo, pokud není zadána, pro která má f (p) smysl. Obor hodnot funkce f (značí se H(f )) je množina reálných čísel f (p) pro p z definičního oboru f.
Definice 6 Grafem funkce f dvou proměnných je množina {(x, y, f (x, y)); (x, y) D(f )} v prostoru. Podobně se definuje graf funkce tří proměnných, který leží ve čtyřrozměrném prostoru. Nakreslit graf funkcí dvou a více proměnných je daleko obtížnější než u funkcí jedné proměnné (pohybujeme se minimálně v trojrozměrném prostoru). Postup je ukázán v úlohách.
Úvod Funkce, která má jednobodový obor hodnot, se nazývá konstantní (tedy f (p) = f (q) pro všechna p, q D(f )). k(x, y) = 2 je konstantní funkce
Funkce f se nazývá sudá (resp. lichá), jestliže její definiční obor je symetrický kolem 0 (tj. p D(f ) právě když p D(f )) a f ( p) = f (p) (resp. f ( p) = f (p)) pro všechna p D(f ). f (x, y) = x 2 y 2 je sudá funkce g(x, y) = 1 je lichá funkce x
Říkáme, že funkce f je omezená (resp. shora omezená nebo zdola omezená), jestliže její obor hodnot má uvedenou vlastnost, tj. existuje číslo k tak, že f (p) k (resp. f (p) k, nebo f (p) k) pro všechna p D(f ). h(x, y) = sin x cos y je omezená funkce
Jsou-li f, g funkce, budeme značit f + g, f g, f /g funkce, které mají za hodnotu v bodě p postupně f (p) + g(p), f (p) g(p), f (p)/g(p). Složení f (g 1, g 2 ), kde f, g 1, g 2 jsou funkce dvou proměnných, definujeme jako funkci, která má v bodě (x, y) hodnotu f (g 1 (x, y), g 2 (x, y))).
Úvod Limitu funkcí více proměnných budeme definovat přes posloupnosti. Definice 7 Necht q je hromadný bod definičního oboru funkce f. Říkáme, že limita funkce f v bodě p se rovná r, jestliže lim f (p n ) = r pro každou prostou posloupnost {p n } D(f ) konvergující ke q. Značíme lim p q f (p) = r, nebo f (p) r pro p q.
Tato věta může sloužit jako alternativní definice limity funkce. Věta 2.1 ( pomocí okolí) Následující tvrzení jsou pro funkci f, hromadný bod q definičního oboru f a bod r R ekvivalentní: 1 lim p q f (p) = r; 2 Pro každé okolí U bodu r existuje okolí V bodu q takové, že f (p) U jakmile p V D(f ), p q. 3 (Jsou-li q, r vlastní.) Pro každé ε > 0 existuje δ > 0 takové, že f (p) r < ε jakmile p D(f ), 0 < p q < δ. Následuje několik vět charakterizujících limitu funkce.
Věta 2.2 (Vlastnosti limit) 1 Necht q D(f ) je hromadným bodem D(f ). Funkce f je spojitá v bodě q právě když lim p q f (p) = f (q). 2 Funkce má v daném bodě nejvýše jednu limitu. Věta 2.3 (Aritmetické operace) Necht q je hromadný bod definičních oborů funkce f + g. Pak platí, pokud mají pravé strany smysl: 1 lim(f (p) + g(p)) = lim f (p) + lim g(p); 2 lim(f (p) g(p)) = lim f (p) lim g(p); 3 lim f (p) lim f (p) g(p) = lim g(p).
Věta 2.4 ( složené funkce) Mějme reálné funkce dvou proměnných f, g 1, g 2. Necht q je hromadný bod definičního oboru funkcí f (g 1, g 2 ) a necht lim g 1(p) = a, lim g 2 (p) = b p q p q 1 Jestliže f je spojitá v bodě (a, b), pak lim (f g)(p) = f (a, b) p q 2 Jestliže jedna z limit a, b je nevlastní, pak pokud pravá strana existuje. lim (f g)(p) = lim f (x, y), P C (x,y) Podobně pro všechna další složení funkcí.
Věta 2.5 (Limity a uspořádání na R) Mějme funkce f, g definované na množině A a q bud hromadný bod A. 1 Jestliže lim f (p) < lim g(p), pak existuje okolí U bodu q takové, p q p q že f (p) < g(p) pro všechna p U A, p q. 2 Jestliže existuje okolí U bodu q takové, že f (p) g(p) pro všechna p U A, p q, pak lim f (p) lim g(p) (pokud p q p q existují).
Věta 2.6 (Dva policajti) Mějme funkce f, g, h definované na množině A, q bud hromadný bod A, U okolí q a pro p A U, p q necht f (p) g(p) h(p). Pokud existují lim f (p), lim h(p) a rovnají se, pak existuje i lim g(p) a rovná p q p q p q se oběma zbývajícím. Důsledek Necht lim p q f (p) = 0 a funkce g je omezená na nějakém okolí bodu q. Pak lim p q f (p)g(p) = 0.
Úvod Definice spojitosti v bodě využívá limitu funkce. Definice 8 Necht f je funkce, p D(f ), a pro jakoukoli posloupnost {p n } z D(f ) konvergující k p necht lim f (p n ) = f (p). Pak říkáme, že f je spojitá v bodě p a tento bod se nazývá bodem spojitosti funkce f. Je-li f spojitá v každém bodě množiny A, říkáme, že f je spojitá na množině A. Je-li f spojitá v každém bodě svého definičního oboru, říkáme, že f je spojitá.
Opět budou uvedeny některé věty týkající se spojitosti funkcí více proměnných. Věta 2.7 ( pomocí okolí) Necht f je funkce a p je bod jejího definičního oboru. Následující tvrzení jsou ekvivalentní: 1 f je spojitá v p. 2 Pro každé okolí U bodu f (p) existuje okolí V bodu p takové, že f (q) U jakmile q V a f (q) je definováno. 3 Pro každé ε > 0 existuje δ < 0 tak, že q p < δ, q D(f ) f (q) f (p) < ε.
Věta 2.8 ( aritmetických operací) Jsou-li funkce f, g spojité v bodě p, jsou i funkce f + g, f g a f /g (v případě g(p) 0) spojité v bodě p. Racionální funkce jsou spojité. Věta 2.9 ( složení) Mějme reálné funkce dvou proměnných f, g 1, g 2. Jsou-li g 1, g 2 spojité v bodě (x, y) a f je spojitá v bodě (g 1 (x, y), g 2 (x, y)), je f (g 1, g 2 ) spojitá v bodě (x, y). (Stejně pro libovolná další složení.) Je-li f spojitá funkce, je i f spojitá funkce.
Věta 2.10 (Zachovávání souvislosti) 1 Je-li f spojitá na uzavřeném omezeném intervalu J a p, q jsou body J s hodnotami f (p) < 0 < f (q), pak existuje r J s hodnotou f (r) = 0. 2 Spojitá funkce zobrazuje interval (souvislou množinu) na bod nebo na interval. Důkaz
Věta 2.11 (Zachovávání kompaktnosti) 1 Spojitá funkce zobrazuje uzavřený interval (nebo uzavřenou omezenou množinu) na bod nebo na uzavřený omezený interval (nebo na uzavřenou omezenou množinu, resp.). 2 Spojitá funkce dosahuje na uzavřené omezené množině A své největší a nejmenší hodnoty, tj., existují body c, d A takové, že f (c) = sup f (p), p A f (d) = inf p A f (p).
Úvod Úloha 1 Určete a načrtněte definiční obor funkcí 1 f (x, y) = 1 x 2 + y 2 1 2 g(x, y) = 1 x 2 +y 2 1 3 h(x, y) = ln( x y) Řešení Úloha 2 Nakreslete graf funkce z = f (x, y) = x 2 + y 2. Určete vlastnosti této funkce. Řešení
Úloha 3 Vypočtěte následující limity: 1 2xy lim x 0 x 2 +y 2 y 0 2 x lim 3 y x 0 x 6 +y 2 y 0 Řešení
Úloha 4 Ukažte, že funkce g(x, y) = { xy 2 je spojitá v bodě (0, 0) x 2 +y 2 (x, y) (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0) Řešení
Úvod 1 : Jarník Diferenciální počet (I), kap. XIII. (základy) Jarník Diferenciální počet (II), kap. VII. (rozšíření) Kopáček Matematická analýza pro fyziky (II), kap. 8. 2 Úlohy: Děmidovič Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy, kap. VI. Pelikán, Zdráhal Matematická analýza funkce více proměnných, cvičení III., kap. 2 5
Důkaz věty 2.10 Úvod Důkazy Řešení a odpovědi Úsečka spojující body P a Q leží celá v I a dá se popsat jako množina {(1 t)p + tq; t [0, 1]}. Funkce g : [0, 1] R definovaná jako g(t) = f ((1 t)p + tq) je spojitá funkce jedné proměnné (ukažte to) a podle Bolzanovy věty existuje t tak, že g(t) = 0. Tedy existuje R I s hodnotou f (R) = 0. zpět
Řešení úlohy 1 Úvod Důkazy Řešení a odpovědi 1 Z definice druhé odmocniny plyne, že 1 x 2 0 y 2 1 0 Úpravou první nerovnice získáme x 2 1, a proto x 1. Z druhé nerovnice plyne y 2 1, tudíž y 1. Musí tedy platit x 1, 1 y (, 1 1, + )
Důkazy Řešení a odpovědi 2 Vzhledem k tomu, že ve jmenovateli zlomku je odmocnina, musí platit x 2 + y 2 1 > 0, tj. x 2 + y 2 > 1. Definičním oborem funkce g(x, y) jsou všechny body vně kružnice se středem v bodě (0, 0) a poloměrem 1. 3 Z definice přirozeného logaritmu vyplývá, že x y > 0, tedy y < x. Definičním oborem funkce h(x, y) je polorovina pod přímkou y = x, ovšem bez této přímky.
Důkazy Řešení a odpovědi Modré oblasti znázorňují definiční obory funkcí f, g, h. D(f ) D(g) D(h) zpět
Řešení úlohy 2 Úvod Důkazy Řešení a odpovědi Při vyšetřování grafu funkce dvou proměnných budeme postupovat následovně. Sestrojíme průnik grafu této fukce s rovinami rovnoběžnými s rovinami xy, yz a xz, a to tak, položíme postupně z = c, x = a, y = b, a, b, c jsou reálná čísla. Tímto způsobem dostaneme funkce jedné proměnné, jejichž průběh již vyšetřit umíme. Položíme z = c, kde c je reálné číslo. Získáme rovnici x 2 + y 2 = c, která je pro c > 0 rovnicí kružnice se středem (0, 0) a poloměrem r = c (pro c < 0 rovnice nemá řešení a pro c = 0 získáme bod (0, 0)). Při postupné volbě c tedy dostaneme soustředné kružnice se středem v bodě (0, 0) a bod (0, 0) jsou průnikem grafu funkce z s rovinami rovnoběžnými s rovinou xy (viz obrázek).
Důkazy Řešení a odpovědi průniky v rovině xy
Důkazy Řešení a odpovědi Položíme x = a, kde a je reálné číslo. Dostaneme funkci jedné proměnné z = a 2 + y 2. Grafem této funkce jsou při různé volbě a paraboly, jejichž osa se shoduje s osou z. Např. pro a = 0 je z = x 2, pro a = 1 je z = x 2 + 1, a = 2 je z = x 2 + 4, pro a = 1 je z = x 2 + 1, atd. Průnikem grafu funkce z s rovinami rovnoběžnými s rovinou yz jsou tedy paraboly, posunuté ve směru osy z. Položíme y = b, kde b je reálné číslo. Získáme tak funkci jedné proměnné z = x 2 + b 2. Grafem této funkce jsou při různé volbě b paraboly, jejichž osa se shoduje s osou z. Průnikem grafu funkce z s rovinami rovnoběžnými s rovinou xz jsou opět paraboly, posunuté ve směru osy z (viz obrázky).
Důkazy Řešení a odpovědi průniky v rovině yz průniky v rovině xz
Důkazy Řešení a odpovědi Graf funkce potom vypadá takto: D(f ) = R R, H(f ) = 0, + ). Funkce f je zdola omezená a sudá. Jedná se o rotační paraboloid. zpět
Řešení úlohy 3 Úvod Důkazy Řešení a odpovědi 1 Postupujeme podle definice limity posloupnosti. Vezmeme posloupnost p n = {x n, y n } = { 1 n, k n }, kde k R. Tato posloupnost konverguje k bodu (0, 0). Určíme lim n f (p n ): lim f (p n) = lim n n k n + k 2 n 2 n 2 2 1 n 1 = lim n { 2k > 0, pokud k > 0 1 + k 2 < 0, pokud k < 0 Při různé volbě k mají posloupnosti f (p n ) různé limity. Funkce tedy nemá limitu.
Důkazy Řešení a odpovědi 2 Postupujeme-li analogicky s předchozí úlohou, dojdeme k závěru, že lim f (p n) = lim n n 1 n 3 1 + k 2 n 6 n 2 k n Tato funkce však limitu nemá. Proč? kn 2 = lim n 1 + n 4 k 2 = 0. Vezmeme nyní posloupnost q n = { 1 n, 1 n 3 }. Tato posloupnost také konverguje k bodu (0, 0). f (q n ) je potom rovna lim f (q n) = lim n n 1 1 n 3 n 3 1 + 1 = 1 2. n 6 n 6 Posloupnosti f (p n ) a f (q n ) mají různé limity a přitom p n i q n konvergují k (0, 0). zpět
Řešení úlohy 4 Úvod Důkazy Řešení a odpovědi Postupujeme podle definice spojitosti, máme tedy ukázat, že lim g(p n ) = g(0, 0) = 0, pokud p n (0, 0). Necht p n = {x n, y n } je libovolná prostá posloupnost, konvergující k bodu (0, 0). Označme m n = max{ x n, y n }. Potom platí: 2 0 g(p n ) = x n y n x n2 + y 2 n m n 3 m 2 = m n n Z věty 2.6 (Dva policajti) plyne, že lim g(p n ) = 0, tedy i lim g(p n ) = 0. zpět