Transformace grafů funkcí c Helena Říhová 2006
Obsah Posunutívesměruos 2 Posunutívesměruos 4 Kontrakceadilatacevesměruos 5 4 Kontrakceadilatacevesměruos 6 5 Překlopení podle os 7 6 Překlopení podle os 7 7 Absolutní hodnota argumentu 8 8 Absolutní hodnota funkční hodnot 9 9 Převrácená hodnota funkční hodnot 0
Znalost jednoduchých transformací grafů funkcí podstatně rozšiřuje možnosti kreslení grafů. Budemevcházetzeznáméhografufunkce = aukážemesi,cosgrafemprovedelineární transformace argumentu nebo funkční hodnot, nahrazení argumentu nebo funkční hodnot jejich absolutními hodnotami a převrácení funkční hodnot. Posunutívesměruos = f( ± a) Úkolemjenakreslitgraffunkce =f( ± a), a >0,známe-ligraffunkce =.Graf funkce = f( a), a >0vznikneposunutímgrafu = vkladnémsměruos,tj. dopravaoajednotek.grafsenikteraknedeformuje.máme-linakreslitgraf =f(+a), posouvámepůvodnígrafoajednotekvzápornémsměruos,teddoleva. f(+a) f( a) a a obr.
2 Posunutívesměruos = ± b Graffunkce = +b, b >0sedostaneposunutímgrafu =objednotekvkladnémsměruos,tj.nahoru,graf = b, b >0vznikneposunutímpůvodníhografu objednotekdolů,tj.vzápornémsměruos.možnásezdáněkomudivné,žezatímco = f( a)znamenáposunutívkladnémsměruos, = bznamenáposutívzáporném směru os, čili jakob analogie pokulhávala. Ale napíše-li se písmenko b k proměnné,kekterésevztahuje: + b=,analogiepracuje,jakbchomočekávali. +b b b b obr.2 4
Kontrakceadilatacevesměruos = f(c) Je-liargumentfunkcenásobenčíslem c >0,projevísetonagrafubuďjakokontrakce-stlačení vesměruos(pro c >),nebodilatace-prodlouženívesměruos(pro0<c<).jako bchom na konce os tlačili, nebo za ně naopak tahali. Pokud eistuje průsečík grafu sosou,zůstávánamístě,případnéprůsečíksosousepodlehodnotčíslaczhušťují,nebo vzájemně vzdalují. Hodnot maim a minim funkce zůstávají zachován, nikoli však bod, ve kterých funkce minima nebo maima nabývá. U periodických funkcí se mění perioda, zatímco amplituda zůstává stejná, viz obr. 4. f(c) c > f(c) 0 < c < obr. cos2 obr.4 cos 2 cos 5
4 Kontrakceadilatacevesměruos = d Násobení funkční hodnot číslem d >, znamená protažení- dilataci grafu ve směru os, násobeníčíslem0 < d <představujestlačení-kontrakcivesměruos.případnýprůsečík grafusosouseposouvá,průsečíksosou,pokudjsou,zůstávajínamístě.hodnotmaim a minim se podle hodnot d zvětšují nebo zmenšují. U periodických funkcí se mění amplituda, perioda zůstává stejná. d d > d 0 < d < obr.5 2cos 2 cos cos obr.6 6
5 Překlopenípodleos = f( ) Graffunkce = f( )jeosověsouměrnýsgrafem = podleos. f( ) obr.7 6 Překlopenípodleos = Graffunkce = jeosověsouměrnýsgrafem = podleos. obr.8 7
7 Absolutní hodnota argumentu = f( ) Protože =,jefunkce = f( )vždsudáajejígrafjetudížsmetrickýpodleos. a)pro 0je =,tj. f( )=apříslušnéčástiobougrafůsplývají(jsmenapravo odos). b)pro <0je =,tj. f( )=f( )agrafdostanemepřeklopenímpravéčástigrafu podleos. f( ) obr.9 8
8 Absolutní hodnota funkční hodnot = Graffunkce = dostanemenásledovně:tčástigrafu,kteréležínadosou (kladné funkční hodnot), překopírujeme, t, které leží pod osou (záporné funkční hodnot), překlopíme podle os nahoru. obr. 0 9
9 Převrácená hodnota funkční hodnot = Pronačrtnutígrafu = nazákladěznáméhografu = jetřebasiuvědomit,že: ) =, = bodgrafu,vnichž =±jsouspolečnéproobagraf i (v grafu vznačeno kroužk). 2) Je-li >,potom0< < tam,kdepůvodnígrafležívhornípolorovině vmezenépřimkou =,budegrafpřevrácenéfunkceležetvpásumeziosou apřímkou =.Anaopakpro0< <je >,tzn.,žečástemgrafu vpásumeziosou apřímkou =budouodpovídatčástigrafu vhornípoloroviněurčenépřímkou =. ) Podobněpro < je < <0,grafsezdolnípolorovinpodpřímkou = přesouvámezipřímk = aosu,naopakpro < <0je < agrafputujezpásumezipřímkou = aosoudodolnípolorovinpodpřímku =. 4) Konečnětam,kde(vesmslulimit) =0 ±,je = ± anaopak.grafick:kde graf původní funkce má průsečík s osou, bude mít převrácená funkce svislé asmptot, v bodech, kde původní funkce má svislé asmptot, převrácená funkce může(je třeba prozkoumat definiční obor) mít průsečík s osou. Je-li původní funkce rostoucí a zachovává znaménko, převrácená funkce bude klesající a naopak, bod lokálního maima se mění na bod minima a naopak. Sudost, lichost, periodičnost se při převrácení funkčních hodnot zachovává. - obr. 0
Příklad Načrtněte graf funkcí = Řešení: 2 2, = ( ) 2, = 2 2+2.5, = 2 2+2. U všech zadaných funkcí vjdeme z toho, že umíme nakreslit graf kvadratické funkce a z něho graf převrácené hodnot funkce. a) = 2 2 = Nejprvenakreslímegraffunkce = 2 2.Grafemjeparabola.Zjistímesouřadnice jejíhovrcholu(zupravenéhotvaru: =( ) 2 4)aprůsečíksosami(použijemesoučinový tvar =( )(+)).Vrcholje V[, 4],průsečíksosouje P [0, ],průsečíksosou jsou P [,0], P 2 [,0]. Načrtneme parabolu a pro získání grafu převrácené funkce aplikujeme postup uvedený v kapitole9(obr.2).společnébodobougrafůjsouprůsečíkparabolspřímkami = a =, svislé asmptot převrácené funkce procházejí bod, kde parabola protíná osu, = a=.parabola = 2 2 jeosověsouměrnápodlepřímk =,převrácená funkce má tutéž smetrii. b) = ( ) 2= Pronakreslenígrafutétofunkcemůžemepoužítbuďgraffunkce = 2,kterýposunemeve směru os o jednu jednotku doprava, nebo můžeme zopakovat výše uvedený postup. Zůstanemeudruhémožnosti.Grafemfunkce =( ) 2 jeparabolasvrcholem V[,0]=P, průsečíksosouje P [0,].Grafpřevrácenéfunkcemájedinousvislouasmptotuprocházející vrcholem parabol(obr. ). c) = 2 2+ 5 = 4 Nakreslímegrafparabol = 2 2+ 5 4,jejívrcholmásouřadnice V[, 4 ],průsečíksosou nejsou(převrácenáfunkcenebudemítsvisléasmptot),průsečíksosouje P [0, 5 4 ].Zminima[, 4 ]původnífunkcesestanemaimum[,4]převrácenéfunkce,smetriepodlepřímk =sezachovává. d) = 2 2+2 = Parabola,kterájegrafemfunkce = 2 2+2,mávrchol V[,],osuneprotíná,průsečík sosouje P [0,2].Protožeoborhodnotfunkce = 2 2+2jeinterval,+ ),bude grafpřevrácenéfunkceležetmeziosou apřímkou =.Obagrafmajíjedinýspolečný bod,atobod[,].
- obr. 2 obr. obr. 4 obr. 5 2
Na závěr příklad na skládání transformací. Příklad 2 Načrtnětegraffunkce = log 2 Řešení: Začnemeznámýmgrafemfunkce =log.základlogaritmujemenšínež,takžefunkce jeklesající.grafmásvislouasmptotuvose,osuprotínáv=-obr.6.absolutní hodnota argumentu změní předchozí funkci na funkci sudou- červená křivka. Absolutní hodnotafunkčníhodnotobracíčástigrafupodosounadosu-modrákřivka.výslednýgraf získámeposunutímmodrékřivkodvějednotkvkladnémsměruos(posouváseisvislá asmptota)- zelená křivka. - log log obr. 6 obr. 7 log log 2 - - obr. 8 obr. 9