Moderí techologie ve studiu plikové fzik CZ.1.07/2.2.00/07.0018 8. Elemetárí fukce Historie přírodích věd potvrzuje, že většiu reálě eistujících dějů lze reprezetovt mtemtickými model, které jsou popsá tzv. elemetárími fukcemi. Elemetárí fukce je kždá fukce, která vzike jko výsledek koečého počtu opercí sčítáí, odčítáí, ásobeí, děleí skládáí fukcí kosttích, mociých, epoeciálích, logritmických, goiometrických cklometrických, ted tzv. zákldích elemetárích fukcí. Uveďme í stručý přehled těchto fukcí včetě jejich vlstostí. KONSTANTNÍ FUNKCE Kosttí fukce je fukce f () =, kde je pevě zvoleé číslo ( R). Grfem je rovoběžk s osou. MOCNINNÁ FUNKCE, ODMOCNINA Mociá fukce s přirozeým epoetem N je fukce ( ) f =, D ( f ) = R. Jejím grfem je tzv. prbol -tého stupě (pro = 2 je to zámá kuželosečk). Viz obr. 8.1. Pro -sudé je sudá fukce, rostoucí itervlu 0, + ) klesjící itervlu (, 0. Obor fukčích hodot je H ( f ) = 0, + ). Pro -liché je lichá fukce, rostoucí R ted tké celém svém defiičím oboru prostá. H ( f ) = R. Mociá fukce se záporým celým epoetem, N, je fukce f 1 =. ( ) = 68
Defiičím oborem této fukce je D ( f ) = R {0}. Jejím grfem je tzv. hperbol stupě + 1 (pro = 1 je to zámá kuželosečk rovoosá hperbol), viz obr. 8.2. Pro -sudé je fukce sudá, rostoucí itervlu (, 0) klesjící itervlu (0, + ). Oborem fukčích hodot je zde H ( f ) = (0, + ). Pro -liché je fukce lichá, klesjící itervlu (, 0) i (0, + ) ted celém svém defiičím oboru tké prostá. Obor fukčích hodot je pk H ( f ) = R {0}. Obrázek 8.1 Grf fukce ( ) f = = 1 = Obrázek 8.2 Grf fukce ( ) f 69
Fukce -tá odmoci ( N, 2) je defiová jko f ( ) =. Pro -sudé je defiičím oborem této fukce itervl 0, + ), ted D( f ) = 0, + ), fukce je rostoucí obor fukčích hodot je H( f ) = 0, + ) (viz obr. 8.3). Tto fukce je iverzí k fukci = uvžové itervlu 0, + ). Pro -liché je D( f ) = R, fukce je rostoucí, lichá H( f ) = R (viz obr. 8.4). Fukce je iverzí k fukci = uvžové R. Obrázek 8.3 Grf fukce f ( ) = (-sudé) Obrázek 8.4 Grf fukce f ( ) = (-liché) EXPONENCIÁLNÍ FUNKCE Epoeciálí fukce je fukce tvru ( ) f =, 70
kde je pevě zdé, > 0, 1, D ( f ) = R, H ( f ) = (0, ). Pro < 1 je epoeciálí fukce klesjící, pro > 1 rostoucí (viz obr. 8.5). Epoeciálí fukce je ted prostá. Je zdol omezeá ( > 0), le eí shor omezeá. Grfem této fukce je tzv. epoeciál. Pro epoeciálí fukci pltí zámé vzth: + =. =. ( ) =. Obrázek 8.5 Grf epoeciálí logritmická fukce LOGARITMICKÁ FUNKCE Logritmická fukce je fukce iverzí k fukci epoeciálí, zčí se = log, číslo je zákld logritmu ( > 0, 1). Z defiice iverzí fukce vplývá, že D (log ) = (0, ), H (log ) = R. Grf fukcí, log jsou ted souměré podle os = (viz obr. 8.5). Logritmická fukce o zákldu 10 ( = 10), se zývá dekdická logritmická fukce, obvkle se zčí log. Speciálě pro = e, kde e = 2,71828 (ircioálí 71
číslo) 1 se zčí l místo log e dostáváme tzv. přirozeou logritmickou fukci, zákld e se pk zývá přirozeý. Jestliže < 1 je logritmická fukce klesjící, kdž > 1 je rostoucí (obr. 8.5.). Neí i zdol omezeá i shor omezeá. Grfem logritmické fukce je tzv. logritmická křivk. Pro logritmickou fukci pltí zámé vzth: log ( ) log + log =. log = log log. log = log. log = ( ). protože pltí = log = l = e. ( protože pltí = l e = ) l = e. Užitím posledího vzthu můžeme vjádřit fukci f ( ) = r( ) s( ) v tzv. epoeciálím tvru ( ) ( ) s( ) s( ) l f r = e r( ) plikce. = ; což je důležité pro prktické Příkld: f si sil ( ) = e =. GONIOMETRICKÉ A CYKLOMETRICKÉ FUNKCE Goiometrické fukce zvedeme stejým způsobem, jk se zvádějí středí škole. U všech goiometrických fukcí vstupuje jko ezávisle proměá velikost úhlu. Velikost úhlu může být zdá v míře stupňové ebo v míře obloukové 2, přičemž pltí převodí vzth: 1 o = rd, 180 1 o 180 o rd = 57 17 45. 1 1 e je tzv. Eulerovo číslo, které se defiuje jko limit tkto: e = lim 1 +. 2 Jedotkou obloukové mír jsou rdiá (rd). 72
Formálě o = rd, 180 180 o rd =. Umístíme-li úhel XOA tk, že X, A leží jedotkové kružici se středem O (obr.8.6), pk jeho velikost o ve stupňové míře odpovídá velikosti rd v obloukové míře, přičemž rd je délk příslušého oblouku kružice. Jeli úhel vjádře v obloukové míře, pk se rd vechává. Pozámk: Je zřejmé proč převodí vzth mjí shor uvedeý tvr. U jedotkové kružice je totiž její obvod rove O = 2. Délce kružice 2 ted odpovídá úhel 360 o. X rd 1 O o 1 A Obrázek 8.6 Velikost úhlu Z obrázku 8.6 jsou ptré vzth 30 o = / 6, 45 o = / 4. V dlším výkldu bude dá předost míře obloukové. Sestrojme í jedotkovou kružici se středem O (obr. 8.7). Od bodu A = [1, 0] esme kružici oblouk délk, to proti směru otáčeí hodiových ručiček, je-li > 0 ve směru otáčeí hodiových ručiček, je-li 0. Tím dosteme bod X. si O cotg cos X tg, > 0 A = [1, 0] Obrázek 8.7 Goiometrické fukce 73
Pk se defiuje cos (čte se kosius ) jko -ová souřdice bodu X, si (čte se sius ) jko -ová souřdice bodu X. Dále se defiují fukce si tg =, cos cos cotg =, si (čte se tges, kotges ). Pltí D (si) = D (cos) = R, D (tg) = R {; = /2 + k, k Z}, D (cotg) = R {; = k, k Z} H (si) = H (cos) = 1, 1, H (tg) = H (cotg) = R. Fukce si, cos, tg, cotg se souhrě zývjí goiometrické. Vjm výzčých hodot jsou hodot goiometrických fukcí ircioálí čísl. Převážá větši klkulček obshuje goiometrické fukce jko stdrdí, tj. hledá hodot je k dispozici po stiskutí příslušého tlčítk (pozor stveí správého režimu pro stupňovou přípdě obloukovou míru). Grf goiometrických fukcí jsou obrázcích 8.8 8.10. Obrázek 8.8 Grf fukcí si cos Obrázek 8.9 Grf fukce tg 74
Obrázek 8.10 Grf fukce cotg Goiometrické fukce vkzují tto zákldí vlstosti: si( ) = si, tg( ) = tg, cotg( ) = cotg ( ) cos cos = liché fukce, sudá fukce; si ( + 2k ) = si, cos ( 2k ) = cos ( + k ) tg, cotg ( k ) = cotg tg = + periodické fukce se zákldí periodou 2 + periodické fukce se zákldí periodou ; pro k Z. si, cos tg, cotg omezeé fukce eomezeé fukce Fukce cklometrické jsou fukce iverzí k fukcím goiometrickým. Jsou defiové vhodých itervlech, kterých jsou fukce goiometrické prosté. Fukce si je rostoucí / 2, / 2 ; pro / 2, / 2 je H (si) = 1, 1. Fukce k í iverzí se zývá rkussius, zčí se rcsi ; D (rcsi) = 1, 1, H (rcsi) = / 2, / 2 (obr. 8.11). Příkld: si = 4 2 ; 2 rcsi 2 = ; 2 4 rcsi 1=. 2 75
Obrázek 8.11 Grf fukcí si rcsi Obrázek 8.12 Grf fukcí cos rccos Fukce cos je klesjící 0, ; pro 0, je H (cos) = 1, 1. Fukce k í iverzí se zývá rkuskosius, zčí se rccos ; D(rccos) = 1, 1, H (rccos) = 0, (obr. 8.12). Příkld: rccos 2 3 = ; rccos 1= 0. 6 Fukce tg je rostoucí ( / 2, / 2); pro ( / 2, / 2) je H (tg) = R. Fukce k í iverzí se zývá rkustges, zčí se rctg ; D (rctg) = R, H (rctg) = ( / 2, / 2) (obr. 8.13). Příkld: rctg 3 = ; 3 rctg 1=. 4 76
Fukce cotg je klesjící ( 0, ); pro ( 0, ) je H (cotg) = R. Fukce k í iverzí se zývá rkuskotges, zčí se rccotg ; D (rccotg) = R, H (rctg) = ( 0, ) (obr. 8.14). Příkld: rccotg 3 = ; 6 rccotg 1=. 4 Obrázek 8.13 Grf fukcí tg rctg Obrázek 8.14 Grf fukcí cotg rccotg 77
HYPERBOLICKÉ A HYPERBOLOMETRICKÉ FUNKCE N závěr šeho povídáí o elemetárích fukcích si ještě, pro iformci, uvedeme defiice zákldí vlstosti fukcí hperbolických hperbolometrických. Tto fukce sice ejsou tk obvklé, le své upltěí cházejí v techické pri. Jko hperbolické fukce ozčujeme fukce hperbolický sius, hperbolický kosius, hperbolický tges hperbolický kotges. Kokrétě: Fukci f ( ) e = e 2 zýváme hperbolický sius zčíme f ( ) = sih. Defiičím oborem i oborem hodot fukce je moži D (sih) = H (sih) = R ; fukce je lichá, čili sih (- ) = - sih ; fukce eí periodická; je rostoucí. Její grf vidíme obr. 8.15. Fukci f ( ) e = + e 2 zýváme hperbolický kosius zčíme f ( ) = cosh. Defiičím oborem fukce je moži D (cosh) = R ; oborem hodot fukce itervl H (cosh) = 1, ); fukce je sudá, čili cosh (- ) = cosh ; fukce eí periodická; je rostoucí itervlu 0, ) klesjící itervlu (, 0. Její grf vidíme obr. 8.16. Fukci f sih = cosh ( ) = e e e + e zýváme hperbolický tges zčíme f ( ) = tgh. Defiičím oborem fukce je moži D (tgh) = R ; oborem hodot je itervl H (tgh) = (-1, 1); fukce je lichá, čili tgh (- ) = - tgh ; fukce eí periodická; je rostoucí. Její grf vidíme obr. 8.17. Fukci f cosh = sih ( ) = e e + e e 78
Obrázek 8.15 Grf fukce = sih Obrázek 8.16 Grf fukce = cosh Obrázek 8.17 Grf fukce = tgh zýváme hperbolický kotges zčíme f ( ) = cotgh. Defiičím oborem fukce je moži D (cotgh) = R {0}; oborem hodot itervl H (cotgh) = (, -1) ( 1, ); fukce je lichá, čili cotgh (- ) = -cotgh ; fukce eí periodická; je klesjící itervlu (, 0) klesjící itervlu ( 0, ). Její grf vidíme obr. 8.18. 79
Obrázek 8.18 Grf fukce = cotgh Fukcemi hperbolometrickými zveme rgumet hperbolického siu, rgumet hperbolického kosiu, rgumet hperbolického tges rgumet hperbolického kotges. Defiujeme je jko fukce iverzí k fukcím hperbolickým (pozor fukci hperbolický kosius eí prostá!). Mějme fukci f ( ) = sih. Fukce je D ( f ) rostoucí, ted prostá, tudíž k í D ( f ) eistuje fukce iverzí f -1. Tuto fukci zveme rgumet hperbolického siu, zpisujeme f -1 ( ) = rgsih () Defiičím oborem i oborem hodot této fukce je moži D (rgsih) = H (rgsih) = R ; fukce je lichá, čili rgsih (- ) = - rgsih ; fukce eí periodická; je rostoucí. Její grf vidíme obr. 8.19. Mějme fukci f ( ) = cosh. N itervlu (0, ) D ( f ) je fukce rostoucí, ted prostá, proto k í tomto itervlu eistuje fukce iverzí, kterou zveme rgumet hperbolického kosiu, zpisujeme f -1 ( ) = rgcosh. Defiičím oborem fukce je moži D (rgcosh) = 1, ) ; oborem hodot fukce itervl H (rgcosh) = (0, ); fukce eí i lichá i sudá; fukce eí periodická; je rostoucí. Její grf vidíme obr. 8.20. Obrázek 8.19 Grf fukce = rgsih 80
Obrázek 8.20 Grf fukce = rgcosh Mějme fukci f ( ) = tgh. Fukce je D ( f ) rostoucí, ted prostá, tudíž k í D ( f ) eistuje fukce iverzí f -1. Tuto fukci zveme rgumet hperbolického tges, zpisujeme f -1 () = rgtgh. Defiičím oborem fukce je moži D (rgtgh) = (-1, 1); oborem hodot fukce je itervl H (rgtgh) = R fukce je lichá, čili rgtgh (- ) = - rgtgh ; fukce eí periodická; je rostoucí. Její grf vidíme obr. 8.21. Obrázek 8.21 Grf fukce = rgtgh Mějme fukci f ( ) = cotgh. Fukce je D ( f ) prostá, tudíž k í D ( f ) eistuje fukce iverzí f -1. Tuto fukci zveme rgumet hperbolického kotges, zpisujeme f -1 = rgcotgh. Defiičím oborem fukce je moži D (rgcotgh f ) = (, -1) ( 1, ); oborem hodot fukce je moži H (rgcotgh) = R {0}; fukce je lichá, čili pltí rgcotgh (- ) = - rgcotgh ; fukce eí periodická; je klesjící itervlu (, -1) klesjící itervlu ( 1, ). Její grf vidíme obr. 8.22. 81
Obrázek 8.22 Grf fukce = rgcotgh 82
Cílové zlosti 1. Vlstosti všech elemetárích fukcí, jejich grf. 83