Repetitorium z matematiky

Podobné dokumenty
Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 11. červenec 2012 Název zpracovaného celku: LINEÁRNÍ ROVNICE S PARAMETREM

Lineární nerovnice a jejich soustavy

FUNKCE SINUS A KOSINUS

Větu o spojitosti a jejich užití

ZÁKLADNÍ ŠKOLA PŘI DĚTSKÉ LÉČEBNĚ Ostrov u Macochy, Školní 363 INOVACE VÝUKY CZ.1.07/1.4.00/

Jsou to rovnice, které obsahují neznámou nebo výraz s neznámou jako argument logaritmické funkce.

2.5.9 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice

2.5.9 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice

{ } ( ) ( ) Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507

KVADRATICKÁ FUNKCE (vlastnosti, grafy)

Zvyšování kvality výuky technických oborů

2.1 - ( ) ( ) (020201) [ ] [ ]

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic

Koš Znění otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správná odpověď 1. 1 Které číslo doplníte místo otazníku? ?

Trigonometrie - Sinová a kosinová věta

Střední škola obchodu, řemesel, služeb a Základní škola, Ústí nad Labem, příspěvková organizace Vzdělávací středisko Trmice

4.4.3 Kosinová věta. Předpoklady:

Riemannův určitý integrál.

( t) ( t) ( t) Nerovnice pro polorovinu. Předpoklady: 7306

Digitální učební materiál

56. ročník Matematické olympiády. b 1,2 = 27 ± c 2 25

Přijímací řízení akademický rok 2011/12 Kompletní znění testových otázek matematický přehled

Logaritmická funkce, logaritmus, logaritmická rovnice

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA 1.1. Matice

x + F F x F (x, f(x)).

Zvyšování kvality výuky technických oborů

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ MATEMATIKA K PŘIJÍMACÍM ZKOUŠKÁM NA PEF

skripta MZB1.doc /81

GONIOMETRICKÉ ROVNICE -

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

Hyperbola, jejíž střed S je totožný s počátkem soustavy souřadnic a jejíž hlavní osa je totožná

Zvyšování kvality výuky technických oborů

7 Algebraické a nealgebraické rovnice a nerovnice v C. Numerické e²ení rovnic

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b b2 2.

Půjdu do kina Bude pršet Zajímavý film. Jedině poslední řádek tabulky vyhovuje splnění podmínky úvodního tvrzení.

Říkáme, že přímka je tečnou elipsy. p T Přímka se protíná s elipsou právě v jednom bodě.

Logaritmická funkce teorie

3. ROVNICE A NEROVNICE Lineární rovnice Kvadratické rovnice Rovnice s absolutní hodnotou Iracionální rovnice 90

Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu

( ) ( ) ( ) Exponenciální rovnice Řeš v R rovnici: = ŘEŠENÍ: Postup z předešlého výpočtu doplníme využitím dalšího vztahu: ( ) t s t

Sada 1 Matematika. 04. Množiny Vennovy diagramy - slovní úlohy

Řešení diferenciálních rovnic 1. řádu (lineárních, s konstantními koeficienty)

4.4.1 Sinová věta. Předpoklady: Trigonometrie: řešení úloh o trojúhelnících.

Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studia

( t) ( t) ( ( )) ( ) ( ) ( ) Vzdálenost bodu od přímky I. Předpoklady: 7308

Jak již bylo uvedeno v předcházející kapitole, můžeme při výpočtu určitých integrálů ze složitějších funkcí postupovat v zásadě dvěma způsoby:

Digitální učební materiál

( ) ( ) Sinová věta II. β je úhel z intervalu ( 0;π ). Jak je vidět z jednotkové kružnice, úhly, pro které platí. Předpoklady:

( 5 ) 6 ( ) 6 ( ) Přijímací řízení ak. r. 2010/11 Kompletní znění testových otázek - matematický přehled

Integrály definované za těchto předpokladů nazýváme vlastní integrály.

7 Analytická geometrie

Zavedení a vlastnosti reálných čísel PŘIROZENÁ, CELÁ A RACIONÁLNÍ ČÍSLA

Hyperbola a přímka

Petriho sítě PES 2007/2008. Doc. Ing. Tomáš Vojnar, Ph.D.

2.8.5 Lineární nerovnice s parametrem

Základní pojmy: Číselné obory a vztahy mezi nimi Zákony pro počítání s číselnými množinami

Zvyšování kvality výuky technických oborů

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x = 0

Nerovnosti a nerovnice

3. Kvadratické rovnice

+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c

ZÁKLADNÍ POZNATKY. p, kde ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množina všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n,

Digitální učební materiál

Konstrukce na základě výpočtu II

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

6. Zobrazení δ: (a) δ(q 0, x) obsahuje x i, x i Z. (b) δ(x i, y) obsahuje y j, x i y j P 7. Množina F je množinou koncových stavů.

Opakovací test. Klíčová slova: výraz, interval, množina, kvadratický trojčlen, mocnina, exponent, výrok, negace

METODICKÝ NÁVOD MODULU

TROJÚHELNÍK. JAN MALÝ UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. sin α = b a.

Lomené výrazy (sčítání, odčítání, násobení, dělení, rozšiřování, krácení,.)

Digitální učební materiál

3.2. LOGARITMICKÁ FUNKCE

Opakování ke státní maturitě didaktické testy

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17

4. Určete definiční obor elementární funkce g, jestliže g je definována předpisem

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

ALGEBRA, ROVNICE A NEROVNICE

Zkoušku snadno provedeme tak, že do soustavy (1), která je ekvivalentní dané soustavě rovnic, dosadíme příslušné hodnoty s a p.

Definice. Nechť k 0 celé, a < b R. Definujeme. x < 1. ϕ(x) 0 v R. Lemma [Slabá formulace diferenciální rovnice.] x 2 1

Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra

Gaussovská prvočísla

Konstrukce na základě výpočtu I

ŘEŠENÍ JEDNODUCHÝCH LOGARITMICKÝCH ROVNIC. Řešme na množině reálných čísel rovnice: log 5. 3 log x. log

Obsah rovinného obrazce

2. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ

ZOBRAZOVACÍ ROVNICE OKY A KULOVÉHO ZRCADLA

Zvyšování kvality výuky technických oborů

( ) ( ) Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky.

Cvičení 4.ročník rovnice, nerovnice, výrazy, funkce . 4 3

3.3. EXPONENCIÁLNÍ A LOGARITMICKÁ ROVNICE A NEROVNICE

KVADRATICKÉ FUNKCE. + bx + c, největší hodnotu pro x = a platí,

4. cvičení z Matematiky 2

8. Elementární funkce

. V trojúhelníku ABC platí 180. Součet libovolného vnitřního úhlu a jemu odpovídajícího vnějšího úhlu je úhel přímý. /

Hledání hyperbol

Vnit ní síly ve 2D - p íklad 2

Spojitost funkce v bodě, spojitost funkce v intervalu

KFC/SEM, KFC/SEMA Rovnice, nerovnice

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU

( a) Okolí bodu

Transkript:

Rovnie, nerovnie jejih soustvy (lineární, kvdrtiké, irionální) Reetitorium z mtemtiky Podzim Ivn Vulová

A) Rovnie jejih řešení Mnoho fyzikálníh, tehnikýh jinýh úloh lze mtemtiky formulovt jko úlohu tyu: Jsou dány výrzy L() P() s roměnnou. Určete hodnoty této roměnné z dného číselného ooru M, ro něž jsou si rovny hodnoty oou výrzů. Zisujeme ROVNICÍ: levá strn rovnie ( ) P ( ) L rvá strn rovnie neznámá Kořeny rovnie( k ) hodnoty neznámé, ro něž je rovnie slněn Oor řešení rovnie (M) číselný oor, ve kterém hledáme kořeny rovnie Definiční oor rovnie (D) odmnožin množiny M, v níž jsou definovány výrzy L() P(). Oor rvdivosti rovnie (K): Množin všeh kořenů rovnie, K D M

Postu řešení rovni. ROZBOR rovnii ostuně urvujeme n rovnii, jejíž kořeny známe, neo je sndno dokážeme určit. Důsledkové (imlikční) úrvy kždý kořen dné rovnie je tké kořenem rovnie získné její úrvou. Ekvivlentní úrvy množin všeh kořenů nové rovnie množině všeh kořenů zdné rovnie. 3

Postu řešení rovni Ekvivlentníúrvy: - Vzájemná výměn strn rovnie - Přičtení téhož čísl neo výrzu s neznámou k oěm strnám rovnie. - Vynásoeníoou strn rovnie týmž číslem neo výrzem s neznámou, který je definován různý od nuly v elém ooru řešení. - Umonění oou strn rovnie řirozeným monitelem (jsou-li oě strny rovnie nezáorné v elém ooru řešení rovnie). - Odmonění oou strn rovnie řirozeným odmonitelem (jestliže jsou oě strny rovnie nezáorné v elém ooru řešení). - Zlogritmování oou strn rovnie ři témž zákldu, jsou-li oě strny rovnie kldné.

Postu řešení rovni. ZÁVĚR ROZBORU určíme množinu M všeh kořenů/řešení rovnie získné důsledkovými úrvmi. Množin M M ředstvuje všehn možná řešení dné rovnie..3 ZKOUŠKA -zjistíme, které z rvků k množiny M jsou kořeny dné rovnie: Postuně dosdíme kždé z čísel k do levé i rvé strny rovnie. Pltí-li L( k ) P( k ), je k kořenem dné rovnie. Výsledkem zkoušky je získání množiny K všeh kořenů rovnie. Přitom ltí: K M ` M 5

LINEÁRNÍ ROVNICE kždá rovnie, kterou lze urvit n tvr :, ro, R Při řešení mohou nstt tři řídy. 6

R K! : A) y K B) K R : y R t t ; K R R t t ; t C) y { } řešení nemá K { } { } 7 { }

. Řešení rovni v dném ooru Př.: Zjistěte, zd má rovnie 3 5 3 3 řešení v ooru ) řirozenýh čísel (N) ) elýh čísel (Z) ) kldnýh čísel (R) Řešení: 3 5 3 3 ) K { } 3 3 3 5 ) K { } ( 3 3 5) ) K 3 3 5 3 3 ( ) 8

. Lineární rovnie s neznámou ve jmenovteli Rovnie tyu: d Řešení: Stnovíme definiční oor (D) o vyřešení rovnie zkontrolujeme, zd získné řešení vyhovují tomuto definičnímu ooru. d, Úlohy: 3 ) 5 3 6 ) 3 3 6 ) 5 9

.3 Lineární rovnie s solutní hodnotou Při řešení vyházíme z definie solutní hodnoty výrzu M() oshujíího roměnnou, ro kterou ltí: M M M ( ) M ( ), je - li M ( ) > ( ), je - li M ( ) ( ) M ( ), je - li M ( ) < Řešení metodou intervlů: ) Výrzy v solutníh hodnotáh okládáme rovny nule ->dostáváme tzv. nulové ody. ) Provedeme dílčí řešení ro kždý intervl, v němž nhrzujeme solutní hodnoty výrzy ez solutníh hodnot, to s ohledem n definii solutní hodnoty. 3) Dostneme tolik dílčíh oorů rvdivosti K i, kolik je intervlů. ) Konečný oor rvdivosti Kzískáme sjednoením dílčíh oorů rvdivosti.

KVADRATICKÉ ROVNICE kždá rovnie, kterou lze vyjádřit ve tvru :, ro,, R kvdrtiký člen solutní člen lineární člen Při řešení mohou nstt tři řídy.

A) Ryze kvdrtiká rovnie B) Rovnie ez solutního členu ( ) < K { } ± K ( ) > ±, K, { } K C) Oená kvdrtiká rovnie D D ± ± D K, ± Je-li D > > rovniemá rávě různé kořeny. Je-li D > > rovniemá rávě různé kořeny. Je-li D >rovnie má dvojnásoný kořen. K Je-li D < >rovnie nemá v R řešení. K { }

Vlstnosti kořenů kvdrtiké rovnie Vlstnosti kořenů kvdrtiké rovnie,, ro, R Má-li rovnie kořeny, ltí:, Důkz: ( ) 3

. Vlstnosti kořenů kvdrtiké rovnie. Vlstnosti kořenů kvdrtiké rovnie, q Pro rovnii ( normovná rovnie, kde /, q /) q ltí: Vietovy vzore Důkzy: q q Důkzy: ( ) q q q q q ( ) ( ) ( ) q >, jsou kořeny dné rovnie

. Vlstnosti kořenů kvdrtiké rovnie Má-li re kořeny,, ltí: ( ) ( ) kořenoví činitelé Má-li re dvojnásoný kořen, ltí: ( ) Př.: N zákldě Vietovýh vzorů určete kořeny rovnie 7. Př.: Njděte kvdrtikou rovnii, jejímiž kořeny jsou čísl -3 8. 5

3 IRACIONÁLNÍ ROVNICE rovnie s neznámou v odmoněni. Oshují odmoniny z výrzů s neznámou. Urvujeme neekvivlentními úrvmi, roto je zkoušk nezytnou součástí řešení těhto rovni. 3. Rovnie oshujíí jednu odmoninu Př.: Řešení: ( ) 3 P( 5) ( 5) ( ) Zkoušk: 5,, Závěr: K { 5 } L L Postu řešení:. Osmosttníme odmoninu. Umoníme oě strny rovnie (neekvivlentní úrv) 3. Dořešíme rovnie. Provedeme zkoušku ( 5) ( ) 5 5 5 L( ) P ( ) ( 5) P( 5) L( ) P( ) 6

3 IRACIONÁLNÍ ROVNICE 3. Rovnie oshujíí dvě odmoniny 8 3 5 3 6 3 3.3 Rovnie oshujíí víe odmonin 3. Řešení rovni omoí sustitue ( ) 3 6 7 3 7 7

B) Nerovnie jejih řešení Jsou dány výrzy L() P() s roměnnou. Určete hodnoty této roměnné z dného číselného ooru M, ro něž ltí: ( ) < P ( ), res. L ( ) > P ( ) ( ) P ( ), res. L ( ) P ( ) L > L Tento záis se nzývá NEROVNICE. 8

Ekvivlentní úrvy: Vzájemná výměn strn nerovnie se součsnou změnou znménk. Přičtení téhož čísl neo výrzu s neznámou k oěm strnám rovnie. Vynásoeníoou strn rovnie kldnýmčíslem neo výrzem s neznámou, který je definován kldný v elém ooru řešení. Znk nerovnosti se nemění. Vynásoeníoou strn rovnie záornýmčíslem neo výrzem s neznámou, který je definován záorný v elém ooru řešení. Znk nerovnosti se změní v oráený. Umonění oou strn rovnie řirozeným monitelem (jsou-li oě strny rovnie nezáorné v elém ooru řešení rovnie). Znk nerovnosti se nemění. Odmonění oou strn rovnie řirozeným odmonitelem (jestliže jsou oě strny rovnie nezáorné v elém ooru řešení). Znk nerovnosti se nemění. Zlogritmování oou strn rovnie ři témž zákldu větším než, jsou-li oě strny rovnie kldné v elém ooru řešení. Znk nerovnosti se nemění. 9

B) Nerovnie jejih řešení Lineární nerovnie <, res. > Př.: 3 7 5 3, res., R Lineární nerovnie v odílovém tvru Př.: 3 Kvdrtiké nerovnie,, R <, res. >, res. Řešení:omoí rozkldu kvdrtikého trojčlenu Př.: řevedeme nerovnii n součinový tvr řešíme nlogiky jko nerovnii v odílovém tvru. Nerovnie s solutní hodnotou Př.: Řešení: metodou intervlů 6 7 5 > 5 Irionální nerovnie Řešení: umoněním, řídně sustituí. Př.: 6 < 3

C) Soustvy rovni Soustvy lineárníh rovni řešení metodou doszoví neo sčítí Soustvy s kvdrtikými rovniemi řešení metodou doszoví

Litertur Delventhl, K., M., Kissner, A., Kulik, M. Komendium mtemtiky. Prh: Euromedi Grou k. s., 3. Bušek, I. kol. Zákldní ozntky z mtemtiky. Mtemtik ro gymnázi, Prh: Prometheus, 99. Odvárko, O. kol. Funke. Mtemtik ro gymnázi, Prh: Prometheus, 996. Polák, J. Přehled středoškolské mtemtiky. Prh: Prometheus, 998.