1 Semestrální Projekt 1 Měření rchlosti projíždějících voidel a použití jedné kalibrované kamer (version reprint 2005) Jaromír Brambor 17.5.2000
2 1. ÚVOD Tento semestrální projekt se abývá měřením rchlosti jedoucích voidel. Jednu jeho část le onačit a více teoretickou. Je věnovaná projekčním modelům, matematickému popisu a popisu v praktické části použité gradientní metod minimaliace kritéria nejmenších čtverců. Druhá část se abývá kalibrací kamer, protože právě správná kalibrace kamer je nebtnou součástí celého postupu měření. Be správně nastavených transformačních parametrů je totiž celá teorie nepoužitelná. Třetí část je věnovaná měření a pracování eperimentálně naměřených hodnot. Ve čtvrté části jsou diskutován růné působ měření rchlosti jedoucích voidel, které přímo ávisí na metodách určení poloh bodu v prostoru.
3 2. POUŽITÉ ZNAČENÍ V této semestrální práci je použito následující načení Použitá matematika: maticový součin X T X X skalární součin vektor vektor transponovaný matice Středové promítání a lineární projekce: S H d ν X s v v h h S 1 střed středového promítání, lineární projekce, hlavní bod středového promítání, lineární projekce, distance středového promítání, lineární projekce, (ný) promítací rovina, (spodní inde s) středový průmět výška oka výška horiontu horiont ákladnice stanoviště Souřadné sstém a transformace: S ákladní souřadný sstém S natočený a posunutý souřadný sstém S uv u, souřadný sstém na ploše CCD čipu, u u vektor báe souřadného sstému S u u, u, vektor báe souřadného sstému S u u, u v vektor báe souřadného sstému S uv R T rotační matice sloupcový translační vektor
4 P(,,) bod P v souřadném sstému S o souřadnicích,, P sloupcový polohový vektor bodu P v souřadném sstému S P (,, ) bod P v souřadném sstému S o souřadnicích,, P ' sloupcový polohový vektor bodu P v souřadném sstému S α, β, γ úhl natočení Gradientní metoda e o Θ α f C 0 X k E předmětový vektor o n složkách obraový vektor o m složkách chbový vektor o m složkách nulový vektor vektor parametrů o q složkách vektor určující krok měn obraení prostoru předmětového dimene n do prostoru obraového dimene m třída spojitých funkcí (horní inde) proměnná X v kroku k Laplaceův operátor chbová funkce Kalibrace kamer ϖ úhel natočení kamer vůči souřadnému sstému S na voovce v ose µ úhel natočení kamer vůči souřadnému sstému S na voovce v ose Měření rchlosti l t v vdálenost časový interval průměrná rchlost
5 3. PROMÍTACÍ METODY 3.1 STŘEDOVÉ PROMÍTÁNÍ Středové promítání (v některé literatuře naývané centrální projekce) je určeno, náme-li průmětnu a prvk vnitřní orientace [1]. 3.1.1 Základní pojm Průmětnou ν (ný) je naývána rovina, na kterou se promítají bod předmětového prostoru. Střed promítání je S a platí S ν. Pata kolmice spuštěná e středu promítání S na průmětnu ν je naývána hlavním bodem H. Distance d je délka úsečk SH. Ted SH = d, vi obr. 1. Distanci d a hlavní bod H se naývají prvk vnitřní orientace středového promítání. 3.1.2 Určení bodu ve středovém promítání Středový průmět A s bodu A je ískán jako průsečík paprsku SA s průmětnou ν. Poue e středového průmětu A s nele určit polohu bodu A v prostrou. Obr. 1 Středové promítání
6 3.2 LINEÁRNÍ PERSPEKTIVA Lineární perspektiva je vláštním případem středového promítání [1]. 3.2.1 Základní vtah a onačení Za průmětnu je volena rovina ve svislé, průčelné poloe a je onačena ν (ný). Předmět stojí na ákladní rovině, která je horiontální a protíná průmětnu v ákladnici. Střed promítání, (oko), načí se S, jeho kolmý průmět na průmětnu je hlavní bod, načíme jej H, vdálenost středu promítání od průmětn je distance d, vdálenost středu promítání od ákladní rovin je naývána výškou oka v. Horiontální rovina jdoucí středem promítání rovnoběžně se ákladní rovinou je oborová rovina a její průsečnice s průmětnou se naývá horiont (obor) a načí se h. Vdálenost horiontu od ákladnice je naývána výškou horiontu v h, a rovná se výšce oka v. Obr. 2 Lineární perspektiva
7 Kolmý průmět středu promítání S do ákladní rovin je tv. stanoviště S 1. Přímka vedená hlavním bodem H kolmo k ákladnici je hlavní vertikála. Její průsečík Z se ákladnicí je ákladní bod. Hloubkové přímk jsou kolmé k průmětně. Průnik orného kužele s průmětnou je kruh se středem v hlavním bodě H a naývá se orné pole. Perspektivní průmět útvaru se krátce naývá perspektivou útvaru a leží v orném poli. V této práci bude uvedená definice lineární perspektiv upravena následujícím působem: - ákladní rovina bude totožná s oborovou rovinou, ted v=v h =0 - předmět a bod nemusí ležet na ákladní rovině - předmět jsou obraován na obdélníkovou oblast (CCD čip v kameře) - orné pole pokrývá celou plochu CCD čipu a dále již nebude uvažováno
8 4. SOUŘADNÉ SYSTÉMY Vájemný vtah a přepočet souřadnic mei dvěma souřadnými sstém v prostoru, které mají stejná měřítka na osách, le jednonačně vjádřit translací a rotací. Níže popsanou metodu le najít i v literatuře, např. [2]. Mějme dán dva ortonormální pravotočivé souřadné sstém S a S. Dále mějme dán bod P(,,) v souřadném sstému S, který máme transformovat do souřadného sstému S obecně natočeného a posunutého vůči S jako bod P (,, ). Transformaci provedeme pomocí 3-roměrné rotace, vjádřené rotační maticí R a 3-roměrné translace vjádřené translačním vektorem T. 4.1 ROTAČNÍ MATICE A TRANSLAČNÍ VEKTOR Rotační matice R vjadřuje obecné natočení os sstému S vůči sstému S. Prvk matice R mají výnam směrových kosinů k jednotlivým osám. r r r R = r r r (4.1.1) r r r Translační vektor T vjadřuje posunutí počátku souřadného sstému S vůči počátku S v souřadném sstému S. ( t t t ) T T = (4.1.2) 4.2 TRANSFORMACE SOUŘADNÝCH SYSTÉMŮ Rotační matice R a translační vektor T transformují souřadnice bodu P v sstému S na souřadnice bodu P v sstému S : ( P T ) P = R (4.2.1) nebo po úpravě P = R P R T = R P T (4.2.2) kde T = R T (4.2.3)
9 T je týž translační vektor (jeho délka je stejná) jako T, jeho složk jsou ale vjádřen v souřadném sstému S. Pokud vjádříme P pomocí P, R a T dostáváme soustavu rovnic: ( t ) + r ( t ) + r ( t ) = r (4.2.4) ( t ) + r ( t ) + r ( t ) = r (4.2.5) ( t ) + r ( t ) + r ( t ) = r (4.2.6) 4.3 ROZKLAD OBECNÉ ROTACE Obecnou rotaci souřadného sstému S popsanou maticí R roložíme na tři dílčí navájem kolmé rotace podle jednotlivých os souřadného sstému S (vi. [3]): Obr. 3 Směr rotací pravotočivá rotace kolem os o úhel α: 1 0 0 R α = 0 cosα sinα (4.3.1) 0 sinα cosα pravotočivá rotace kolem os o úhel β: cos β 0 sin β R β = 0 1 0 (4.3.2) sin β 0 cos β pravotočivá rotace kolem os o úhel γ cosγ sinγ 0 R γ = sinγ cosγ 0 (4.3.3) 0 0 1
10 výsledná matice R je potom: α ( R R ) R = R (4.3.4) β γ Násobení matic není komutativní a áleží ted na pořadí v jakém matice v rovnici (4.3.4) mei sebou násobíme, proto jsou ávork nutné. V tomto případě vjadřují následnost dílčích rotací. Nejdříve rotujeme kolem os, potom kolem os a nakonec kolem os. Ronásobením v rovnici (4.3.4) a následnou úpravou dostáváme: cos β cosγ cos β sinγ sin β R = sinα sin β cosγ cosα sinγ sinα sinβ inγ + cosα cosγ sinα cosβ (4.3.5) cosα sinβ cosγ + sinα sinγ cosα sinβ sinγ - sinα cosγ cosα cosβ
11 5. TRANSFORMACE BODU Z PROSTORU DO KAMERY 5.1 PROJEKCE BODU Ze působu obraení lineární perspektivou je možné určit velikosti průmětů bodu P na průmětnu ν podobnosti trojúhelníků jako: s = (5.1.1) d odkud a trojúhelníků s = d (5.1.2) SH P a S P P (vi obr. 4) jako: s Ps a P P SH s = (5.1.3) d odkud s = d (5.1.4) kde s a s jsou velikosti průmětů v jednotlivých osách na průmětnu ν. S (vi. obr. 4) Obr. 4 Středový průmět bodu P
12 Dosaením rovnic (4.2.4) až (4.2.6) do (5.1.2) a (5.1.4) le určit: r ( t ) + r ( t ) + r ( t ) ( t ) + r ( t ) + r ( t ) s = d (5.1.5) r r ( t ) + r ( t ) + r ( t ) ( t ) + r ( t ) + r ( t ) s = d (5.1.6) r 5.2 PLOŠNÝ SOUŘADNÝ SYSTÉM Zavedeme na průmětně plošný (2D) souřadný sstém S uv, který bude mít počátek obecně růný od hlavního bodu lineární perspektiv S uv (0,0) H, jeho osa u bude rovnoběžná s osou a jeho osa v bude rovnoběžná s osou, měřítko na osách u, v bude dáno diskretiačními jednotkami (dále jen piel). Bod H má v souřadném sstému S uv souřadnice H(u H,v H ). Obr. 5 Souřadný sstém S uv Celý souřadný sstém S uv je podprostorem prostoru S a leží v rovině =d. Souřadnice bodu P s le potom vjádřit v souřadném sstému S uv takto: u = K + u (5.2.1) u v s s H v = K + v (5.2.2) H
13 kde K u a K v jsou přepočítávací koeficient jednotek délk (metrů) na diskretiační jednotk na ploše čipu (piel) v obou směrech čipu a mají roměr Po dosaení (5.1.5), (5.1.6) do (5.2.1), (5.2.2) dostáváme ( t ) + r ( t ) + r ( t ) u H ( t ) + r ( t ) + r ( t ) r u = K ud + (5.2.3) r ( t ) + r ( t ) + r ( t ) vh ( t ) + r ( t ) + r ( t ) r v = K vd + (5.2.4) r 1 piel m. čímž bl eliminován souřadný sstém S. Dostáváme tak jednonačné rovnice popisující přechod 3D souřadného sstému S na 2D souřadný sstém S uv.
14 6. TRANSFORMACE BODU Z KAMERY DO PROSTORU Je řejmé, že při přechodu 3D souřadného sstému do 2D souřadného sstému je tracena jedna souřadnice. Zpětný postup ted není jednonačný a je ávislý na jednom parametru. Za tento parametr bla volena vdálenost v souřadnici (ted výška) v souřadném sstému S. Převedeme nejdříve bod (u,v) e souřadného sstému S uv do souřadného sstému S pomocí rovnic (5.2.1) a (5.2.2) takto: ( u u ) H ś = (6.1) K u ( v v ) H ś = (6.2) K v rovnice (5.1.5), (5.1.6) vnásobíme jmenovatelem a upravíme do tvaru: ( t )( r s dr ) + ( t )( r s dr ) = ( t )( r s + dr ) ( t )( r dr ) + ( t )( r dr ) = ( t )( r + dr ) (6.3) (6.4) s s s což le apsat maticově r r s dr dr s r r s dr dr s t t = r + dr s ( t ) r s + dr (6.5) avedeme nové načení, matici A s prvk a ij a vektor B s prvk b i a jednodušíme ápis předchoí rovnice což je a a 11 21 a a 12 22 t t = b b2 1 ( t ) (6.6) t A = ( t ) B t (6.7) Rovnice (6.7) je řešitelná, jestliže matice A není singulární.
15 Analtick pomocí determinantů vpočítáme nenámé této rovnice a provedeme opětovné přenačení složitých výraů ( t ) ( t ) 1 = ( A) ( A) ( A) ( A) = 1 22 2 12 ( t ) = R ( t ) b a a a 11 22 b a a a 12 21 (6.8) 2 b2a11 b1a 21 = = ( t ) = R ( t ) (6.9) a a a a 11 22 12 21 kde R b a a a 1 22 2 12 = (6.10) 11 22 b a a a 12 21 a b a a a 11 22 b a a a 2 11 1 21 R = (6.11) 12 21 Skutečnými nenámými v rovnicích (6.8), (6.9) jsou souřadnice, v souřadném sstému S, námým parametrem potřebným k jednonačné řešitelnosti je souřadnice v souřadném sstému S. ( t ) t = R + (6.12) ( t ) t = R + (6.13) Tímto je vřešena pětná transformace 2D prostoru kamer do 3D prostoru S. Tato transformace je ávislá na jednom parametru.
16 7. MINIMALIZACE GRADIENTNÍ METODOU Gradientní metoda bla navržena a použita pro minimaliaci chbové funkce při kalibraci kamer. Požadavk kladené na chbovou funkci: - Nemusí mít etrém v prohledávané oblasti. Pokud nemá etrém v této oblasti, je naleen etrém váaný na hranici prohledávané oblasti. - Funkce b neměla mít více etrémů v prohledávané oblasti, protože není aručeno, který etrém bude naleen. - Funkce b měla být konvení a spojitá na prohledávané oblasti. Za počáteční bod je volen bod uvnitř prohledávané oblasti. 7.1 KVADRATICKÉ KRITÉRIUM Mějme dán dva prostor, předmětový n R a obraový m R. Nechť n R je vektor o n předmětových proměnných, m R vektor o m obraových proměnných a f obraení prostoru předmětového do obraového q parametrech. Vektor parametrů onačíme Θ. Le psát ( Θ) e = f, + (7.1.1) kde e je chbový vektor ( Θ) e = f, (7.1.2) f R R n m : ávislé na jehož složk jsou při námých vektorech a ávislé poue na vektoru parametrů Θ. Vektor e je roven nulovému vektoru o právě tehd, pokud vektor parametrů obsahuje takové parametr Zapisujeme: e Θ p, že f obrauje bod právě na bod. ( Θ p ) = o Θ = Θ p = f, (7.1.3)
17 Zaveďme chbovou funkci E definovanou jako: E = m í = 1 e i e i T (7.1.4) V praktické části budou minimaliován parametr obraení pro r bodů. Celková chbová funkce E pak bude počítána jako součet dílčích chbových funkcí E j přes všechn bod: E = r E j j = 1 (7.1.5) 7.2 GRADIENTNÍ METODA Je-li funkce E spojitá (patří do tříd spojitých funkcí) pokud každá funkcí E j je spojitá, 0 E C (což je splněno, 0 ), eistuje gradient funkce E, který je E j C definován jako derivace funkce E podle vektoru parametrů Θ : ( ) ( ) ( ) ( ) ( E Θ E Θ E Θ Θ = E Θ =,, ) grad E... Θ1 Θ2 Ze ápisu rovnice (7.1.5) pro r bodů plne následující: grad E ( Θ) = E( Θ) = r E Θ j = 1 1 j Θ ( Θ) r E ( Θ) r E ( Θ) q (7.2.1) j j,,... (7.2.2) Θ Θ j = 1 2 j = 1 q Gradient udává směr největšího přírůstku, áporný gradient směr největšího poklesu. Přesun řešení bodu k k k k Θ = Θ + E( Θ ) + 1 α k k k k a Θ = Θ E( Θ ) + 1 α kde k Θ podél gradientu do bodu k α je vektor určující krok měn. +1 Θ k namená měnu pokud jde o maimaliaci (7.2.3) pokud jde o minimaliaci (7.2.4) Použitá metoda mění v průběhu výpočtu krok měn. Pokud dojde ke měně naménka gradientu, což namená, že bl přeskočen etrém, sníží se hodnota kroku. Naopak, pokud je překročen stanovený počet kroků během nichž se naménko gradientu nemění, výší se hodnota kroku, čímž dojde k rchlejšímu postupu po gradientu funkce.
18 Pokud je nově vpočtená hodnota parametru Θ i mimo definovaný rosah, tj. mimo prohledávanou oblast, přiřadí se takovému parametru hodnota nejbližšího omeení (maimum nebo minimum rosahu parametru Θ i ). Výpočet končí, pokud je hodnota chbové funkce ostře menší než stanovená přesnost. Vývojový diagram algoritmu této gradientní metod je v příloe číslo 1. 7.2.1 Realiace výpočtu derivace funkce E podle Θ Výpočet derivace funkce E podle vektoru parametrů Θ je realiován s vužitím rovnice (7.2.2). Každá složka gradientu je součtem dílčích derivací funkce E přes všechn bod, čehož je vužito. Jsou realiován funkce počítající derivaci funkce E podle příslušného parametru. Jejich vstup jsou hodnot i a i pro i-tý bod. Jejich výstup jsou hodnot derivace funkce E i podle vektoru parametrů Θ. Požadovaná derivace funkce E podle vektoru parametrů Θ je potom součtem těchto výstupů přes všechn minimaliované bod
19 8. KALIBRACE KAMERY Kalibrace kamer spočívá v nastavení všech 11 parametrů navržené transformace (distance d, úhlů α, β, γ, posunutí ve všech 3 osách t, t, t, souřadnic hlavního bodu u H, v H a koeficientů K u, K v ). Výhodou nastavování 11 proměnných je větší variabilita, která může namenat i výšení přesnosti. Nevýhodou je dlouhá doba, po kterou se nastavování parametrů provádí. Vhledem k tomu, že toto nastavování se provádí pro dané místo a danou poici kamer poue 1 krát, je možné tuto nevýhodu pominout. Nastavování je prováděno pomocí gradientní metod popsané v předchoí kapitole po počátečním odhadu. 8.1 ZVOLENÉ KALIBRAČNÍ BODY Za kalibrační bod bl volen 4 bod, 1 bod ležící v počátku a 3 bod ležící každý na jedné ose voleného souřadného sstému S v předmětovém prostoru (v obráku jsou to bod na souřadných osách ležící 35 mm od počátku). Obr. 6 Kalibrační trojnožka 8.2 POSTUP ODEČTU BODŮ Z OBRÁZKU Obráek s kalibračními bod bl většen na 400 %, vhlaen a poté něj bl určen jednotlivé bod. Po vdělení jejich souřadnic hodnotou 4 bl dosažen
20 původní roměr, ale s rolišením 4 krát všším, tj. 0,25 pielu. (a ted s chbou ± 0,125 pielu). Takto měřené bod bl spolu s poicí svých vorů v souřadném sstému S adán jako vstupní parametr do gradientní metod. 8.3 POSTUP PŘI URČENÍ POČÁTEČNÍHO ODHADU - Počáteční hodnota distance d bla určena slepým odhadem. - Počáteční hodnota posunutí t, t, t bla určena jako poloha přední části kamer vůči počátku souřadného sstému. - Počáteční hodnota souřadnic hlavního bodu u H, v H bla určena v polovině obráku. - Počáteční hodnota koeficientů K u, K v bla určena e nalosti velikosti 1 pielu, která činí 8,5 µm. Vhledem k tomu, že ve svislém směru je vnecháván jeden půlsnímek, je hodnota K v dvakrát všší než hodnota K u (obráek je obdélníkový). - Počáteční hodnota úhlů α, β, γ bla určena následujícím působem: Pomocí naček v obráku (milimetrový papír) bla určena poloha průsečíku paprsku SH lineární perspektiv s rovinou =0 v sstému S jako P( p, p ) (vi obr. 7). Prostorové náornění této situace spolu se akreslenými kótami všech diskutovaných vdáleností je na obr. 8. Obr.7 Pohled na silnici
21 Obr. 8 Prostorové náornění pohledu na silnici Z těchto souřadnic a odhadů posunutí kamer v jednotlivých osách t, t, t bl určen úhl µ a ϖ (vi obr 9). Pomocí těchto dvou úhlů bl určen odhad úhlů α, β, γ. Obr. 9 Úhl µ a ϖ Úhel γ namená pravotočivé otočení kamer kolem os. Ze situace na obr. 9: γ = 180-µ (8.3.1) Úhel β namená pravotočivé otočení kamer kolem os. Otočení okolo této os blo anedbáno: β = 0 (8.3.2) Úhel α namená pravotočivé otočení kamer kolem os. Z obr. 9: α = -90-ϖ (8.3.3) Příklad natočení podle os na obr. 10, ostatní směr le analogick odvodit.
22 Obr. 10 Natočení podle os Takto volené parametr bl adán jako počáteční parametr gradientní metod, která chbovou funkci minimaliovala až pod předem určenou přesnost.
23 9. EXPERIMENTÁLNÍ VÝSLEDKY Blo provedeno pokusné měření, jehož cílem blo jistit přesnost navržené metod aplikované na měření vdálenosti. Na pokusné autíčko bl nalepen terčík milimetrového papíru pro snadné a jednonačné určení referenčního bodu. Tento bod bl měřen v obráku a při jeho námé souřadnici v prostoru (výška) bla pomocí popsané transformace obráku do prostoru určena jeho poloha v prostoru. Takových bodů blo měřeno 11 v romeí posunu autíčka v ose 50 až +50 mm s krokem 10 mm. Z nich bla určena vájemným odečtem poloh dvou bodů jejich vdálenost, která bla porovnána s teoretick správnou hodnotou. Bla vpočítána relativní chba určení této vdálenosti a ta bla vnesena do grafu. 9.1 PARAMETRY ZOBRAZENÍ Pro dané uspořádání scén bl pomocí metod popsaných v kapitolách 7 a 8 jištěn parametr transformace obrau do prostoru. Výsledk vi příloha 2. 9.2 HODNOTY ZMĚŘENÉ A VYPOČTENÉ Změřené a vpočtené hodnot jsou přehledně apsán v tabulkách v příloe 3. Hodnot souřadnic v prostou bl počítán dosaením námých hodnot v obrae a námé výšk bodu v prostoru při námých parametrech obraení do rovnic (6.12), (6.13) s vužitím rovnic předchoích. 9.3 GRAFICKÉ ZNÁZORNĚNÍ V příloe 4 jsou obraen relativní chb vpočítaných výsledků pro správnou vdálenost 20 mm, 30 mm a 40 mm. 9.4 ZHODNOCENÍ VÝSLEDKŮ Z grafického náornění relativních chb je řejmé, že se většující se vdáleností se tto chb menšují. Ted čím delší dráhu auto ujede, tím menší chba určení vdálenosti. Velikost relativní chb je v romeí přibližně 0 až 8 %. Tento posun je pravděpodobně působen nepřesným určením teoretick správné poloh kalibračního
24 bodu v prostoru. (Nepřesně nastavený kalibrační bod.) Příliš veliká hodnota romeí 8 % je pravděpodobně působena stejnou hrubou chbou při měření. Důvod nepřesného nastavení je ve velikosti modelu a vdálenosti, kterou měříme. Např. 8 % 20 mm je 1,6 mm. Proto jakýkoliv chbný posuv už v řádu 0,1 mm má a následek také nesprávné určení relativní chb měřené hodnot. Přestože tento eperiment nepřinesl příliš přesné výsledk, je řejmé, že vdálenost tímto působem měřit le. Pro diskusi o eperimentálně jištěné přesnosti této metod je potřebné eperiment opakovat s preciním nastavením a odměřením správných hodnot referenčních bodů.
25 10. MĚŘENÍ RYCHLOSTI 10.1 URČENÍ RYCHLOSTI Metoda popsaná a odkoušená v předchoích kapitolách měří polohu bodu obraeného bodu na CCD čipu v předmětovém prostoru, resp. distanci dvou bodů, ted absolutní vdálenost mei dvěma bod v předmětovém prostoru při jejich námé výšce. interval Rchlost bodu pak le určit jako vdálenost l, kterou bod uraí a časový t. Takto určená rchlost ted není okamžitá, nýbrž průměrná v daném časovém okamžiku t a bude onačována v. l v = (10.1.1) t Pokud časový interval bude dostatečně krátký ( definice rchlosti jako derivace vdálenosti podle času jde časový interval limitně k nule) nebo se bude bod pohbovat konstantní rchlostí rovnoměrně přímočaře, bude možné průměrnou rchlost totožnit s okamžitou rchlostí. Konstantní rchlost bodu však není možné aručit, protože jde o bod, který se pohbuje nenámou rchlostí a který se obecně nemusí pohbovat rovnoměrně přímočaře. Proto bude vužito prvního působu a to jištění uražené vdálenosti a dostatečně krátký časový interval. Odtud vplývají vsoké nárok na dobu mei ískáním dvou po sobě jdoucích snímků. Tato doba b měla být co nejkratší a je omeená konstrukčními možnostmi kamerového sstému. 10.2 URČENÍ VZDÁLENOSTI Vdálenost dvou bodů A( A, A, A ) a B( B, B, B ) v prostoru S uvažovaném v předchoích kapitolách (euklidovském) le určit jako délku rodílu jejich polohových vektorů A a B AB ( ) + ( ) 2 + ( ) 2 B 2 A B A B A l = (10.2.1)
26 Z této rovnice je řejmé, že nejdůležitější pro určení správné vdálenosti dvou bodů je určení jejich správné poloh. 10.3 METODY URČENÍ POLOHY BODU Popsané metod se abývají určením poloh bodu na pohbujícím se objektu (automobilu) v prostoru. Protože správné určení stejného bodu na několika po sobě jdoucích obrácích automobilu poue jednou kamerou je velice obtížné, je vužito faktu, že každé auto má státní ponávací načku (dále jen SPZ). Jsou námé algoritm na vhledávání SPZ a proto je velice výhodné bod repreentující pohb automobilu hledat právě na SPZ. Za takové bod je vhodné volit t bod, které le jednonačně totožnit v několika obrácích. Např. vrchol obrsu (rámečku) načk nebo střed načk atp. 10.3.1 Metoda Z jednoho bodu pomocí jedné jeho námé souřadnice V kapitole 6 blo ukááno, že transformace bodu kamer do prostrou je ávislá na jednom parametru, a který bla volena souřadnice v ose (výška bodu). V prai to namená, že pokud budeme měřit bod na automobilu jako bod na SPZ, budeme muset nát jeho souřadnici v ose. Pokud bude souřadný sstém S volen tak, že rovina =0 je totožněna se silnicí, bude touto námou souřadnicí v ose výška bodu odvoená výšk SPZ nad voovkou, která je normovaná. Námětem k další diskusi je chba určení rchlosti (vdálenosti) v ávislosti na chbném určení výšk SPZ, která se ve skutečnosti nemusí rovnat oné normované výšce SPZ nad voovkou. 10.3.2 Metoda Z více bodů se námými vaebními podmínkami Transformační rovnice kamer do prostoru (6.12) a (6.13) jsou vlastně dvě rovnice o třech nenámých. Pokud budeme uvažovat dva bod, dostáváme čtři rovnice o šesti nenámých,neboli 4 rovnice ávislé na dvou parametrech. Podaří-li se najít on dvě vaební podmínk, je teoretick možné soustavu vpočítat. Tímto působem le eliminovat pevně volenou výšku bodu popsanou v 1.3.1. Le uvažovat dva nestejné bod mající stejné souřadnice a (což jsou dvě vaební
27 podmínk). Takovými bod jsou bod ležící na rovnoběžce s osou. V tomto případě le jistit vájemnou vdálenost těchto bodů a jejich výšku v ose výpočtem obraových souřadnic.ve skutečnosti to mohou být bod ležící na stejné kolmici k voovce, např. horní a dolní roh SPZ (uvažujeme-li plochu SPZ kolmou k voovce). Le vužít i námého roměru SPZ v ose (výška načk), která je také normovaná. Za předpokladu, že SPZ uvažujeme kolmo k voovce, je možné výšku SPZ považovat a relativní vdálenost v ose. Známe-li výšku načk, je nutný už jen jeden pevný parametr, jímž jsou sváán oba bod. Nebo le oba působ kombinovat pro výšení přesnosti. Problém nastává, pokud chceme v prai určit takovým působem polohu bodu. Počet pielů ve svislém směru na kterých je achcena načka je nedostatečný na přesné určení poloh rohu načk. Je to působeno diskretiační chbou, kterou b blo možno odstranit všším rolišením kamer nebo bližším pohledem na načku. Obojí však není možné aplikovat do stávajícího kamerového sstému. Dalším problémem je poměrně malá vdálenost bodů horního rohu načk od dolního. Při výpočtu není možné se vhnout odčítání dvou hodnot, které jsou si právě tohoto důvodu velmi blíké. Vniká tak velmi špatně podmíněná soustava rovnic, protože v matici soustav se vsktují velmi rodílné hodnot, které se mei sebou liší o několik řádů. Řešení špatně podmíněných úloh je velmi obtížné a je lepší se mu vhnout. Řešením b blo nalét na autě dva od sebe dostatečně vdálené bod, což ale odporuje tomu, že bod hledáme na SPZ.
28 11. ZÁVĚR V této semestrální práci bl ukáán teoretické postup transformace bodu prostoru do kamer a naopak, které jsou ákladem pro měření rchlosti automobilu v předmětovém prostoru. Zvláště důležité jsou transformační rovnice pro přechod kamer pět do prostoru, protože právě pomocí těchto rovnic bude rchlost počítána. Bla také vtvořena gradientní metoda, která je vužita pro praktické nastavení parametrů popsané transformace. Funkčnost algoritmů gradientní metod bla ověřena při pokusné kalibraci kamer. Této metod bude při kalibraci kamer dále vužíváno. Pokusným měřením blo potvreno, že navrženou metodou le měřit rchlost projíždějících voidel. Toto měření dává ároveň hrubý náhled toho, v jakých přesnostech se měření bude pohbovat. Přestože ve hodnocení výsledků bla diskutována hrubá chba při měření, je možné říci, že při preciním nastavení budou výsledk mnohem lepší než při popsaném měření, ted že relativní chba určení vdálenosti bude při námé výšce bodu vžd v tolerančním poli širokém 8 % a že s větší ujetou vdáleností se bude menšovat. Tento ávěr je ovšem nutné potvrdit dalšími měřeními. Pro výšení přesnosti už při kalibraci kamer je vhodné volit v prostrou více bodů, které budou adán do gradientní metod než pouhé čtři. Je řejmé, že přesnost je mnohem všší, pokud se měřený bod nacháí v blíkosti bodů, na něž bla kamera kalibrována. Proto je vhodné kalibrační bod volit rovnoměrně roptýlené do celého měřicího prostoru a nikoliv poue jako bod ležící na trojnožce blíko středu měřicího prostoru. Na ávěr bl diskutován růné působ měření rchlosti, které přímo ávisí na působu určení vdálenosti. Za nejlepší metodu určení bodu v prostoru, která je ároveň výpočetně nejméně náročná je v 10.3 popsaná metoda Z jednoho bodu pomocí jedné jeho námé souřadnice.
29 POUŽITÁ LITERATURA [1] Holáň, Š., Holáňová, L.: Cvičení deskriptivní geometrie II. Promítací metod, VUT Brno 1989 [1] Pavlica, J.: Sledování objektu kamerou, VUT Brno, 1999 [2] Popov P., Richter M.: Eterior orientation of digital images using CCD cameras in Close-range Photogrammetr, VUT Brno, 1995
Příloha č. 1 PARAMETRY TRANSFORMACE náev onačení hodnota jenotka distance f 24,2776644 mm úhel alfa a 2,9464778 rad úhel beta b -0,0506454 rad úhel gama c 4,3321987 rad translace v ose T 91,2861893 mm translace v ose T 334,2715195 mm translace v ose T 144,7920845 mm souřadnice hlavního bodu Xs 363,1452354 pi souřadnice hlavního bodu Ys 137,7413415 pi koeficient měřítka v ose K 132,4204636 pi/mm koeficient měřítka v ose K 67,7200679 pi/mm
Příloha č. 2 ZMĚŘENÉ BODY onačení obrau obr 000 010 020 030 040 050 060 070 080 090 100 skutečná poloha v ose 0* -50,0-40,0-30,0-20,0-10,0 0,0 10,0 20,0 30,0 40,0 50,0 skutečná výška v ose 0* 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 obraové souřadnice u 203,0 210,0 228,0 242,0 257,0 270,0 282,0 296,0 314,0 329,0 349,0 v 33,0 47,0 60,0 73,0 87,0 102,0 119,0 134,0 153,0 171,0 192,0 ZPĚTNĚ VYPOČTENÉ SOUŘADNICE ZE ZNÁMÉ VÝŠKY BODU onačení obrau obr 000 010 020 030 040 050 060 070 080 090 100 vpočtená souřadnice 0 29,9608 30,6878 29,9426 29,7021 29,4632 29,5659 29,9773 29,9560 29,9024 30,0636 29,9941 vpočtená souřadnice 0-47,0257-36,3768-26,8706-17,7887-8,4291 1,1257 11,4070 20,0695 30,5047 39,8595 50,2092 námá souřadnice 0* 17,5000 17,5000 17,5000 17,5000 17,5000 17,5000 17,5000 17,5000 17,5000 17,5000 17,5000 VYPOČTENÁ VZDÁLENOST správná vdálenost l* = 10 mm střed ujeté dráh s -45,00-35,00-25,00-15,00-5,00 5,00 15,00 25,00 35,00 45,00 vdálenost správná l* 10,00 10,00 10,00 10,00 10,00 10,00 10,00 10,00 10,00 10,00 vdálenost vpočítaná l 10,67 9,54 9,09 9,36 9,56 10,29 8,66 10,44 9,36 10,35 chba absolutní -pravá delta 0,67-0,46-0,91-0,64-0,44 0,29-1,34 0,44-0,64 0,35 chba relativní delta/pravá*100 deltar 6,74-4,65-9,15-6,37-4,45 2,89-13,37 4,35-6,44 3,50 správná vdálenost l* = 20 mm střed ujeté dráh s -40,00-30,00-20,00-10,00 0,00 10,00 20,00 30,00 40,00 vdálenost správná l* 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 vdálenost vpočítaná l 20,16 18,61 18,45 18,91 19,84 18,95 19,10 19,79 19,70 chba absolutní -pravá delta 0,16-1,39-1,55-1,09-0,16-1,05-0,90-0,21-0,30 chba relativní delta/pravá*100 deltar 0,78-6,93-7,76-5,43-0,79-5,26-4,51-1,05-1,48 správná vdálenost l* = 30 mm střed ujeté dráh s -35,00-25,00-15,00-5,00 5,00 15,00 25,00 35,00 vdálenost správná l* 30,00 30,00 30,00 30,00 30,00 30,00 30,00 30,00 vdálenost vpočítaná l 29,24 27,97 28,00 29,20 28,50 29,38 28,45 30,14 chba absolutní -pravá delta -0,76-2,03-2,00-0,80-1,50-0,62-1,55 0,14 chba relativní delta/pravá*100 deltar -2,61-7,24-7,15-2,75-5,25-2,11-5,44 0,46 správná vdálenost l* = 40 mm střed ujeté dráh s -30,00-20,00-10,00 0,00 10,00 20,00 30,00 vdálenost správná l* 40,00 40,00 40,00 40,00 40,00 40,00 40,00 vdálenost vpočítaná l 38,60 37,52 38,28 37,86 38,94 38,74 38,80 chba absolutní -pravá delta -1,40-2,48-1,72-2,14-1,06-1,26-1,20 chba relativní delta/pravá*100 deltar -3,63-6,61-4,50-5,66-2,73-3,26-3,09 správná vdálenost l* = 50 mm střed ujeté dráh s -25,00-15,00-5,00 5,00 15,00 25,00 vdálenost správná l* 50,00 50,00 50,00 50,00 50,00 50,00 vdálenost vpočítaná l 48,15 47,79 46,94 48,29 48,29 49,09 chba absolutní -pravá delta -1,85-2,21-3,06-1,71-1,71-0,91 chba relativní delta/pravá*100 deltar -3,84-4,63-6,52-3,53-3,54-1,86 správná vdálenost l* = 60 mm střed ujeté dráh s -20,00-10,00 0,00 10,00 20,00 vdálenost správná l* 60,00 60,00 60,00 60,00 60,00 vdálenost vpočítaná l 58,43 56,45 57,38 57,65 58,64 chba absolutní -pravá delta -1,57-3,55-2,62-2,35-1,36 chba relativní delta/pravá*100 deltar -2,68-6,29-4,57-4,08-2,32 správná vdálenost l* = 70 mm střed ujeté dráh s -15,00-5,00 5,00 15,00 vdálenost správná l* 70,00 70,00 70,00 70,00 vdálenost vpočítaná l 67,10 66,89 66,73 68,00 chba absolutní -pravá delta -2,90-3,11-3,27-2,00 chba relativní delta/pravá*100 deltar -4,33-4,66-4,90-2,94 správná vdálenost l* = 80 mm střed ujeté dráh s -10,00 0,00 10,00 vdálenost správná l* 80,00 80,00 80,00 vdálenost vpočítaná l 77,53 76,24 77,08 chba absolutní -pravá delta -2,47-3,76-2,92 chba relativní delta/pravá*100 deltar -3,19-4,93-3,79 správná vdálenost l* = 90 mm střed ujeté dráh s -5,00 5,00 vdálenost správná l* 90,00 90,00 vdálenost vpočítaná l 86,89 86,59 chba absolutní -pravá delta -3,11-3,41 chba relativní delta/pravá*100 deltar -3,58-3,94 správná vdálenost l* = 100 mm střed ujeté dráh s 0,00 vdálenost správná l* 100,00 vdálenost vpočítaná l 97,23 chba absolutní -pravá delta -2,77 chba relativní delta/pravá*100 deltar -2,84
Příloha č. 3 RELATIVNÍ CHYBY URČENÍ RYCHLOSTI 10,00 5,00 REL. CHYBA 0,00-50,00-40,00-30,00-20,00-10,00 0,00 10,00 20,00 30,00 40,00 50,00-5,00-10,00-15,00 STŘED UJETÉ DRÁHY správná vdálenost l* = 10 mm správná vdálenost l* = 20 mm správná vdálenost l* = 30 mm správná vdálenost l* = 40 mm správná vdálenost l* = 50 mm správná vdálenost l* = 60 mm správná vdálenost l* = 70 mm správná vdálenost l* = 80 mm správná vdálenost l* = 90 mm správná vdálenost l* = 100 mm
Příloha č. 4 RELATIVNÍ CHYBY URČENÍ RYCHLOSTI 2,00 1,00 0,00-50,00-40,00-30,00-20,00-10,00 0,00 10,00 20,00 30,00 40,00 50,00-1,00-2,00 REL. CHYBA -3,00-4,00-5,00-6,00-7,00-8,00-9,00 STŘED UJETÉ DRÁHY správná vdálenost l* = 20 mm správná vdálenost l* = 30 mm správná vdálenost l* = 40 mm