1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH V minulém semestru jsme studovali vlastnosti unkcí jedné nezávislé proměnné. K popisu mnoha reálných situací obvkle s jednou proměnnou nevstačíme. FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH 1.1.Deinice: Reálná unkce dvou reálných proměnných každému bodu [, ] R přiřadí nejvýše jedno (, R. : R R je zobrazení, které Poznámka:1. zápis unkce: z (,. množina D R z R z se nazývá deiniční obor, : : (, ) unkce. Pro určení deiničního oboru unkce dvou proměnných postupujeme analogick jakou u unkce jedné proměnné 3. množina H z R :, D : (, z se nazývá obor hodnot unkce 4. graem unkce dvou proměnných rozumíme plochu v prostoru, je to množina všech bodů o souřadnicích,, z, kde, nabývají všech hodnot z deiničního oboru unkce Příklad: a) Znázorněte gra unkce (, 1 1. 3 b) Všetřete a nakreslete deiniční obor unkce (, ln(. 1
Řešení: a) b) PARCIÁLNÍ DERIVACE 1..Deinice: Nechť unkce z, je deinovaná v bodě A, g (, ) o jedné proměnné derivaci v bodě, (ted eistuje tj. eistuje,, h lim h podle proměnné v bodě A,, ( A) z( A),, ( A),, z ( A) h. Má-li unkce h g lim h g ) nazýváme ji parciální derivací unkce (,, (obdobně pro proměnnou a značíme ji: h Poznámka: Již samotná deinice posktuje návod, jak parciální derivace počítat. Parciální derivaci unkce podle zvolené proměnné vpočítáme tak, že unkci derivujeme jen podle této proměnné, přičemž druhou proměnnou považujeme za konstantu. Při hledání parciálních derivací užíváme ted známá pravidla pro derivace unkcí jedné proměnné.
Podobně jako u unkcí jedné reálné proměnné zavádíme pojem derivace všších řádů. Vpočítané parciální derivace prvního řádu mohou být opět unkcemi proměnných,. Můžeme je ted stejně jako v případě unkce jedné proměnné znovu derivovat a získáme celkem čtři parciální derivace druhého řádu: z z 1.... druhá parciální derivace podle vznikne tím, že derivujeme první parciální derivaci podle znovu podle z z.... druhá parciální derivace podle vznikne tím, že derivujeme první parciální derivaci podle znovu podle z z 3. parciální derivaci podle derivujeme podle z z 4. parciální derivaci podle derivujeme podle... druhá parciální derivace podle a vznikne tím, že první... druhá parciální derivace podle a vznikne tím, že první Poznámka: 1. Druhé smíšené parciální derivace, si jsou rovn. Tato rovnost neplatí obecně, ale pouze v případě, kd smíšené parciální derivace jsou spojité unkce.. Je zřejmé, že i druhé parciální derivace mohou být unkcemi proměnných a, můžeme je ted dále derivovat, čímž získáme parciální derivace třetího řádu. Derivací třetích parciálních derivací dostaneme parciální derivace čtvrtého řádu, atd. DIFERENCIÁL FUNKCE Opakování: dierenciál unkce jedné proměnné 3
Dierenciálem unkce jedné proměnné v bodě nazýváme výraz d = ( )( ) = ( )d. Stejně jako u unkce jedné proměnné je i u unkcí dvou proměnných často vhodné nahrazovat přírůstek unkce pomocí dierenciálu (přírůstek na tečné rovině). Bod P 1 leží v tečné rovině, bod Dierenciál unkce (, P 1 a P. P leží v rovině : z A z v bodě. A, představuje na obrázku vzdálenost bodů 1.3.Deinice: Má-li unkce z (, spojité parciální derivace, na okolí bodu A,, nazýváme totálním (úplným) dierenciálem unkce z (, ) v bodě A, výraz Kde a,, d A, jsou přírustk argumentů,., 4
Poznámka: 1. jiný zápis dierenciálu: dierenciál proměnných,. (, ) A A d A d d, kde d,d jsou. totální dierenciál unkce z (, je obecně roven výrazu X X d ( X ) d d, kde X, 3. pomocí dierenciálu můžeme určit přibližnou unkční hodnotu v libovolném bodě X, z deiničního oboru, který je "blízko" bodu A, : ( X ) ( A) ( A) ( ) ( A) ( ) 1.1.Věta: Funkce (, z je dierencovatelná v bodě A bodu A parciální derivace, které jsou v bodě A spojité.,, má-li v nějakém okolí TEČNÁ ROVINA A NORMÁLA Tečná rovina ploch (, unkce (, z v bodě z v bodě T,, (, ) eistuje právě tehd, má-li A, totální dierenciál. 1. Rovnice tečné rovin v bodě T je dána vztahem:. Její vektor normál má souřadnice:,, : z z,, n,, 1 3. Porovnáme-li vztah pro totální dierenciál unkce (, a rovnici tečné rovin v bodě T,, z z z d A, z v bodě A, k ploše z (,, vidíme, že Poznámka: Dierenciál unkce se používá mj. k přibližným výpočtům hodnot unkce dvou proměnných, kd skutečný přírůstek unkce je nahrazen přibližným přírůstkem, tj. dierenciálem (přírůstkem na tečné rovině): 5
( d d d, ) (, ) (, ) (, ) d DERIVACE IMPLICITNÍCH FUNKCÍ 1..Věta: Je dána unkce () proměnné implicitní rovnicí F(,. Nechť unkce F F F(,,, jsou spojité v bodě A,, který vhovuje rovnici F (, ) a platí F (, ) spojitou derivaci a platí. Potom má unkce () v bodě A, F (, ). F (, ) Derivaci implicitně zadané unkce můžeme počítat podle vzorce nebo přímo, a to tak, že obě stran rovnice derivujeme podle, přičemž považujeme za unkci proměnné. EXTRÉMY FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH Lokální etrém Lokální etrém unkce dvou proměnných jsou deinován analogick jako etrém unkce jedné proměnné. 1.4.Deinice: Řekneme, že unkce z (, má v bodě A,, z : 1. lokální maimum, jestliže eistuje takové okolí bodu A tak, že pro každý bod X A z tohoto okolí platí X A. lokální minimum, jestliže eistuje takové okolí bodu A tak, že pro každý bod X A z tohoto okolí platí X A 6
Poznámka: Jsou-li nerovnosti v deinici splněn ostře, pak se etrém nazývají ostré. Stejně jako u unkcí jedné proměnné eistují pro unkce dvou proměnných nutné a postačující podmínk pro eistenci lokálních etrémů. 1.3.Věta (nutná podmínka eistence etrému): Nechť má unkce z (, v bodě A,, z lokální etrém. Eistují-li v bodě A (, ) (, ) parciální derivace prvního řádu, pak jsou rovn nule, tj.. 1.5.Deinice: Bod, ve kterém se obě parciální derivace prvního řádu unkce z (, rovnají nule se nazývá stacionární bod unkce z (,. Poznámka: Bod podezřelé z etrému: a) stacionární bod b) bod, v nichž alespoň jedna parciální derivace neeistuje a zbývající je rovna c) bod, v nichž neeistuje ani jedna parciální derivace 1.4.Věta (postačující podmínka eistence etrému): Nechť bod A,, z je stacionárním bodem unkce z (, a nechť unkce z (, má v bodě A spojité parciální derivace do druhého řádu. Označme: 1 D A a A A D. A A 7
Potom platí: 1. Jestliže D, má unkce z (, ) v bodě A ostrý lokální etrém Navíc - je-li D 1, jedná se o ostré lokální minimum - je-li D 1, jedná se o ostré lokální maimum - je-li D1, nemůžeme tímto způsobem rozhodnout. Jestliže D, nemá unkce z (, ) v bodě A lokální etrém 3. Jestliže D, nelze tímto způsobem rozhodnout. Geometrická interpretace: Výpočet lokálních etrémů unkce dvou proměnných vede k nalezení stacionárních bodů ploch z (,, v nichž je tečná rovina rovnoběžná s rovinou z. Stacionárním bodům, které nejsou lokálními etrém, odpovídají bod, v jejichž okolí má plocha tvar sedla (tzv. sedlové bod. Algoritmus pro nalezení lokálních etrémů unkce dvou proměnných: 1. Určíme první parciální derivace a položíme je rovn, dostaneme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých.. Vřešíme soustavu. Řešením jsou stacionární bod. 3. Vpočteme druhé parciální derivace a sestavíme determinant. 4. Vpočítáme hodnot determinantů pro první stacionární bod. 5. Na základě postačující podmínk rozhodneme o eistenci a druhu etrému. 6. Bod 4., 5. budeme opakovat pro všechn stacionární bod. 7. Nelze-li rozhodnout pomocí postačující podmínk, použijeme deinici. Příklad: Určete lokální etrém unkce (, 3. 8
Vázané etrém V prai je obvklá situace, kd kromě lokálních etrémů je potřeba určit etrém unkce z (, vzhledem k množině. Tpick tuto množinu tvoří bod z deiničního oboru splňující zadanou podmínku (vázanou podmínku g (, ). Znamená to, že zkoumáme unkci pouze v bodech dané množin a mezi nimi hledáme největší nebo nejmenší hodnotu. Takové etrém budeme nazývat vázané etrém. Geometrická interpretace: Bodům, které leží v de. oboru unkce z (, a vhovují rovnici g (,, odpovídají na ploše z (, bod, které tvoří křivku k. Bod vázaných etrémů jsou pak t bod, v nichž unkce z (, nabývá svého lokálního etrému na křivce k. Metod hledání vázaných etrémů: Úkolem je nalézt vázané lokální etrém unkce z (, dvou proměnných s vazbou g (,. Mohou nastat dva případ: 1. Z unkce v implicitním tvaru g (, lze vjádřit proměnnou, tj dostaneme unkci v eplicitním tvaru (). Po dosazení () do unkce z (, dostáváme unkci jedné proměnné. Lokální etrém této unkce jsou pak vázanými etrém unkce z (, při vazbě g (,. Této metodě se říká přímé dosazení a spočívá ted v převedení úloh vázaného etrému unkce dvou proměnných na úlohu určení lokálního etrému unkce jedné proměnné.. Zmíněnou metodu není vhodné použít tehd, pokud z podmínk g (, nelze žádnou proměnnou vjádřit (nebo je toto vjádření složité). V této situaci se použivá tzv. Lagrangeova metoda neurčitých koeicientů. ( nebudeme probírat). 9