Řešení úloh... Hroch dostane 80 mg prvního a 80 mg druhého přípravku.. V hospodě je 0 čtyřmístných šestimístných a osmimístné stoly.. i) pro ab právě jedno řešení: x = 5b ab y = a+5 ab pro a = 5 ab = nekonečně mnoho řešení: x = + 5t y = t pro ab = a 5 žádné řešení. ii) Nemá řešení pro c + b a 0 nekonečně mnoho řešení pro c + b a = 0. iii) Nemá řešení pro a = nekonečně mnoho řešení pro a = v ostatních případech právě jedno řešení. iv) Pro všechna a b c právě jedno řešení: x = + b + 5c y = a b c z = a + b + c. v) Pro a = nekonečně mnoho řešení: x = t y = t z = pro a = 0 žádné řešení pro a a 0 právě jedno řešení: x = a y = 0 z =.. První přípravek 8 t druhý t třetí t kde t =... 8. Nejlevnější řešení je pro t =. 5. i) 9 9 9 9 ) ii) ) iii) α+8α+α ) iv) 0 0 0) 5 0) 8 ).. i) 8) ii) ) iii) 0 0 0). 7. Např. rovnice x = 0. Homogenní soustava nemůže mít právě dvě řešení neboť každá jejich lineární kombinace by byla opět řešením. 8. Společné body odpovídají řešením soustavy dvou rovnic o třech neznámých. Protože je soustava homogenní roviny procházejí počátkem) je takových řešení nekonečně mnoho. 9. Ne neboť hodnost matice soustavy je vždy menší než počet neznámých buď nemají žádné řešení nebo nekonečně mnoho. 0. i) rovnoběžné ii) mimoběžné.. V první síti tečou ve větvích proudy 5 0 A A a 5 A. Ve druhé síti tečou ve větvích proudy A A a A.. i) t t + ) ii) žádné řešení iii) 0 0 0 0).. i) různoběžné průsečík P = ) ii) rovnoběžné.. i) různoběžné průsečík P = 5 7) ii) různoběžné průsečík P = ).... a) 8 8 5i b) +i c) d) 09i e) 0.. a) 5 b) c) d) 09 e) 0.. a) + i; i b) 0 c) i d) 0; e) + i; + i f) ; + i; i g) ; + i; i.. a) cos π + i sin π ) b) cos π + i sin π ) c) cos π + i sin π ) d) cos π + i sin π ). 5. a) uzavřený kruh se středem v bodě + 0i) a poloměrem b) prázdná množina c) doplněk otevřeného kruhu se středem v bodě + i) a poloměrem d) mezikruží se středem v bodě 0 i) a poloměry 9 resp. vnitří kružnice do množiny patří vnější nikoli...5. AB = CD = 5 5 0 AD = a+ 0 a+ a+ a 0 a+ a+ a a+ ) a a 0 a CA = ) ; ead bc) 0 ead bc) a a 5 a 5 5 ed eb 0 ec ae 0 0 0 ad bc BC = ) CB = ; 0 5 0 0 ).. ;
7.. a) ve schodovitém tvaru jsou A B B 5 trojúhelníkové jsou B 5 B b) definované součty jsou A + B A + B A + B součiny A B A B 5 A B A B A B A B A B 5 A B A B A B B A B A B A B A B A B A 5 B A c) ha = deta = 5 ha = deta = i + ) + ) ha = deta = ha = deta = 8 i) ha 5 = deta 5 = 5 hb = detb = hb = hb = hb = hb 5 = ) hb =. 5. AE n = E m A = A. 7. Neplatí 0 například matice ; je horní trojúhelníková a přesto není ve schodo- 0 viém tvaru. Platí například tvrzení: Je-li čtvercová matice ve schodovitém tvaru pak je horní trojúhelníková. Také platí tvrzení: Regulární čtvercová matice je horní trojúhelníková právě tehdy když má schodovitý tvar. 8. a) b) c). 9. n n... nn ) inverzí. 0. a) ) n n) b) ) n n) c) ) n n)...5. a) nezávislé b) závislé.. a) závislé pro a = a = jinak nezávislé b) nezávislé pro každé a.. Jsou ortogonální nejsou ortonormální.. a) b = 5 a = 9 b) a = b = 0 a = b =. 5. x = 0 s s 0). 8. a) např. α 0 b) např. α = β = γ = c) α 0 β 0 γ 0. 9. a) ± π b) b = ± ); a b =. 0. e = e + e e e = e e = e + e + e ); e = e + e + e e = e + e ) e = e ; S = Závislé.. S = 0 0 0 0 0 0 0 ; T = T = 0 5 0 0 0.. ; e = e e + e e = 5 e e e + e e = e + e + e e ) e ) = e + e e cos ϕ sin ϕ b) 0 ) c) ne.. ±.. T =. 5. T = T T ; sin ϕ cos ϕ cos ϕ sin ϕ 0 0 0 sin ϕ cos ϕ 0 ; T 0 cos ϑ sin ϑ ; na pořadí obecně závisí.. T 0 0. 7. D = [ 0 0]...9 0 sin ϑ cos ϑ. a) R { } b) k Z kπ + kπ + π + ) c) [ + ] d) R {0} e) R {0} f) 0) ) ).. a) lichá b) lichá c) sudá d) lichá e) lichá.. a) π b) π c) π d) π.. a) x ) x + ); kladné v R b) x +)x x +); kladné v R c) x+)x )x 5); kladné ) 5 ); záporné ) 5) d) x )x +x+); kladné ); záporné ) e) x + )x + ) x; kladné ) 0 ); záporné ) 0) f) x + )x )x + x + ); kladné ) ); záporné ). 5. a) x = 5y+ y ; R { 5 } b) x = + ln y ln 0 ; R c) x = lny + y + ); R d)
x = π + arctan y) + kπ pro k sudé; x = π arctan y) + k+)π pro k liché; k Z kπ + π k+)π + π ) e) x = y pro x > 0; x = y pro x < 0 f) x = lny + y ) pro x > 0; x = lny + y ) pro x < 0.. a) x + + x +x x + x x b) x + 5 + 5 x + 7 x+5 c) x ) + +x ) + x+) + x x+) + +x ) + x ) d) +x ) x+) + x+ +x ) e) + + x x x+ + x + x ). 7. a) 7 b) c) d) e) 0 f) g) 0 h). 8. a) neexistuje b)...7. a) e x) x lnx) ) x ; 0 ) b) 7 x) e 5 x) x ln7) + 5); R c) e x) sin x) cos x)); R ; a ) e) + x) x ; 0 ) x + x) d) x+a f) +tanx)) + tanx ) ) x ln); R g) tanx) ln) ) + tanx) ) ln); k Z kπ k+)π ) h) + x x+ ; ) i) x x) x lnx) + + x ); R x + x x+) ) x lnx) x ) x+) j) ; 0 ).. a) Df = R {0} klesající na Df inflexní bod 0 konkávní na 0) konvexní na 0 ). asymptota y = 0. b) Df = R { } průsečíky [ 0] [0 ] stac. body { 5 } rostoucí na 5) ) klesající na 5 ) inflexní bod konkávní na ) konvexní na ) ) asymptoty y = x x =. c) Df = k Z kπ k + )π) průsečíky [ π + kπ 0] k Z stac. body π + kπ k Z rostoucí na kπ k + )π) k Z klesající na k + )π k + )π) k Z konvexní na Df asymptoty y = kπ k Z. d) Df = R průsečíky [ π + kπ 0] k Z [0 ] stac. body kπ k Z rostoucí na π + kπ π + kπ) k Z klesající na kπ π + kπ) k Z inflexní body π + k π konkávní π + k π π + k π ) k Z konvexní π + k π π + k π ) k Z perioda π. e) Df = R {0} stac. bod rostoucí na 0) ) klesající na 0 ) konkávní na Df asymptoty y = 0 x = 0. f) Df = R { } průsečíky [ 0] [ 0] [0 ] stac. bod 0 rostoucí na 0 ) ) klesající na 0) inflexní body { } konkávní na ) konvexní na ) ) asymptoty y = x = 0. g) Df = R { } průsečík [0 ] stac. body {0 } rostoucí na ) 0 ) klesající na ) 0) inflexní bod konkávní na ) konvexní na ) asymptoty y = x x =. h) Df = R {} průsečíky [ 0] [ 0] [0 ] rostoucí na Df inflexní bod konkávní na ) konvexní na ) asymptoty y = x + x =. i) Df = R {0 } stac. body { } rostoucí na 0) 0 ) klesající na ) ) ) ) konkávní na 0) ) konvexní na ) 0 ) asymptoty y = 0 x = 0 x = x =. j) Df = [ ) průsečíky [ 0] [ 0] [0 / ] stac. bod v bodě extrém rostoucí na [ ) ) klesající na ) konvexní na Df {} asymptota y = x. k) Df = R průsečík [0 0] stac. bod rostoucí na )
klesající na ) inflexní bod konkávní na ) konvexní na ) asymptota y = 0. l) Df = R {0} rostoucí na Df konkávní na 0) konvexní na 0 ) asymptoty y = y = 0 x = 0. m) Df = R průsečíky [0 ] stac. bod 0 rostoucí na 0 ) klesající na 0) konkávní na R. n) Df = ) průsečíky [ 0] [ 0] [0 ] stac. bod 0 rostoucí na 0) klesající na 0 ) konvexní na Df.. a) min ; max 9 b) min ; max c) min ; max 8 d) min ; max 9 e) min sinsin)); max sinsin)).. 0 m/s; m/s. 5. R. 7. a) 0 b) 0 c) e d) e) f) g) h). 8. a) 0 b) c) e d) e. 9. a) cosx) sinx)+ x b) cosx) +cosx) ) c) ln sinx) cosx)+ ) d) cos x) + cos x) cos x) e) cosx) + cosx) cosx) f) lnx + ) + lnx + ) + lnx + ) g) lnx + ) + lnx+)+ lnx+) h) x +a ) /) i) x x + x 9 + x+ x + x+ 9 x) j) cosx) k) + ln) l) cos + x ) m) x arctan ) n) x + ln + + x + x x + x + x x ) + arctanx) o) + + 7 7 + x) 8 arcsinh ) 7 p) ex cosx) sinx)) q) lnx). 0.a = h =...8. S = πr m = r.. S = π S = m = π m = π.. S =.. S = 9. 5. S = πr.. a) S = r arccos r v r r v r r v r ) ) b) S = πab c) S = av a. 7. a) V = πr v J = mr z = v b) V = πr v J = 0 mr z = v c) V = πr J = 5 mr z = 0 d) V = πa b J = 5 ma z = 0 e) V = πv r v) J = mv0r 5vr+v ) 0r v) z = r v) r v). 8. a) J = mr b) J = ml J = ml +md. 9. a) T = 0 0 πb) T = 0 0 πb ). 0. l = a.. a) S = πrv J = πr v X t = v ; b) S = πr r + v J = πr r + v X T = v od vrcholu); c) S = πr J = 8 πr X T = 0.. a) M = a X T = a J y = 8 5 a ; b) M = aπ + π ln + π π); c) M = ) ) e π ) X T = 5 +e π e π ; Y T = 5 +e π e π J X = 9 eπ ) J Y = 9 eπ ) J Z = eπ ); d) M = πr X T = 0 Y T = 0 J X = J Y = πr J Z = πr ; e) M = r Y T = r J X = r 8 5 ; f) M = r X T = Y T = 0 J X = J Y = r J Z = r...5. a)! b) c) ) 5 + ) 5 + 5) 5+ d) ) 5 e) f) g) např. P = P 7 = P 8 = + ) P 9 = + )+ ) P 0 = + )+ )+ )+ ).. a) b) 9 5 c) d) 8.. a) a ϑ)n b) k n i= i) ϑ i ϑ) n i c) n k) ϑ k ϑ) n k. 5. 7.. l. 7. πd. b) p + q p q c) p q d) p q + p q. 9. 0.. a) 0 a) k+00 00 b) 00 k k+00. a) 00 b) 00... 8. a) p q)+q p) 8 b) 8... a) { 7 7 0 ) 5 ) 0 ) 0 ) 5 0 )} b) P = P = 7 0 P = 0
P = 8 5 P 5 = 7 0 c) d) 08 e).. a) {0; 0) ; 05) ; 05) ; 05) ; 005)} b) 9; c) 05.. a) k = b) 9 c) d) x 05 = x 05 = x 075 = e) F x) = 0 pro x < 0 F x) = x pro 0 x F x) = pro x >.. a) k = b) F x) = x x+ pro x > 0 F x) = 0 pro x 0 c) 0 d) x 05 = x 05 = x 075 =. 5. k = c = F x) = 0 pro x < F x) = x x pro x F x) = pro x > F x) = 0 pro x < 0 F x) = x x pro 0 x F x) = pro x >. c) f : ln ln g : 5 0.. a) { 0) ) ) ) 5 ) ) 7 ) 8 5 ) 9 ) 0 ) ) )} b) F x) = 0 pro x F x) = pro x ] F x) = 0 pro x ] F x) = pro x 5] F x) = pro x 5 ] F x) = 5 pro x 7] F x) = pro x 7 8] F x) = pro x 8 9] F x) = 0 pro x 9 0] F x) = pro x ] F x) = pro x > c) 7 7 5 8 d) 5... 00 ± 07. pro x 0 ] F x) = 5.
... a) ano b) ne c) ano d) ano e) ne f) ano g) ano.. a) např. P = {σ 0 = ) σ = )} není normální podgrupou b) např. podmnožina P všech sudých čísel je normální podgrupou Z/P je grupa zbytkových tříd modulo c) např. podmnožina všech diagonálních regulárních matic není normální podgrupou d) např. P = {Z 0 Z } je normální podgrupou příslušná faktorgrupa je grupa všech zbytkových tříd modulo. 5. σ ν = 5 ) ν σ = 5 ) σ = 5 ) σ 5 = 5 ).. Označímeli σ 0 = ) σ = ) σ = ) σ = ) σ = ) a σ 5 = ) σ 0 σ σ σ σ σ 5 σ 0 σ 0 σ σ σ σ σ 5 σ σ σ 0 σ σ 5 σ σ σ σ σ 5 σ 0 σ σ σ σ σ σ σ 5 σ 0 σ σ σ σ σ σ σ σ 5 σ 0 σ 5 σ 5 σ σ σ σ 0 σ 7. a) okruh ano těleso ne b) ani okruh ani těleso c) okruh ano těleso ne d) N ani okruh ani těleso Z okruh ano těleso ne Q R C jsou okruhem i tělesem. 8. Např. podokruh sudých čísel v Z. 9. a) ne b) ne c) ano báze např. B = { x... x n } dimv = n + d) ne e) { ne f) ano ) báze např. )} 0 0 0 B = { )} dimv = g) ano báze např. B = 0 0 0 dimv =. 0. a) α = α = 0 α = b) α = α = α = c) { α = ) α = ) α = α )} =.. a) ano báze např. 0 0 0 0 B = dimp= doplňující vektor např ) 0 0 0 0 0 b) ano báze např. B = { )} dimp = doplňující vektor např. 0) c) ne d) ne e) ano báze např. B = { x x } dimp = 0 0 doplňující vektory např. {x x } f) ano báze např. B = {x + )x ) x + )x )x x + )x )x } dimp = doplňující vektory např. { x}.. a) dimv = bází jsou jakékoli tři lineárně nezávislé vektory doplněk V = { o} dimv = báze např. B = {0 ) 0)} doplněk např. V = [ 0 0) ] V + V = R = V V V = V b) dimv = bází mohou být např. kterékoli dva z vektorů v zadání doplněk např. V = [ 0 0 0) 0 0 0) ] dimv = bází mohou být např. kterékoli dva z vektorů v zadání doplněk např. V = [ 0 0 0) 0 0 0) ] V +V = R V V = o c) dimv = bází mohou být např. kterékoli dva z vektorů v zadání doplněk např. V = [ x x x 5 x ] dimv = zadané vektory jsou bází V doplněk např. V = [ x x x 5 x 5 ] dimv + V ) = V + V = [ x + x + x ] dimv V ) = V V = [ x + x + ] d) { dimv = ) báze a doplněk )} viz 0 0 0 dopl- 0 0 0 předchozí příklad dimv = báze např. B = [ ) 0 0 0 něk např. V = 0 0 0 báze např. { 0 0 ) ] V + V = Mat dimv V ) = )}.. dimr + = báze např. B = {} izomorfismus
např. R + u ln u R.... a) ne b) ano c) ano d) ne e) ano.. b) Im = [ 0 ) 0) ] c) 0 e) 0 0 0 Ker = [ ) ] ) Ker = { o} Im = [ ) 0) ] Ker = [ 0) 0 ) ] Im = R.. a) např. fx y z) = x y + z x y + z x y + z) b) např. fx y z) = x + ) y x + y 0) 9 5 d) např. fx y) = x y x y). 5. A = 7 Ker = { o} 0 ) 0 0 Im = [ 0) 0 5) ] A =.. a) ano 0 0 0 b) ne. 0 0 7. b) Ker = {c c R} Im = P n x) d = h = n c) ne matice A = a i j ) a i j = j pro j =... n + i = j jinak ai j = 0 A = b i j ) bi j = pro j =... n + i = j jinak b i j = 0 matice má pod hlavní diagonálou jedničky jinak samé nuly).... a) nemá reálné vlastní hodnoty b) λ = 0 k = L = [ ) ] λ = k = L = [ ) ] c) λ = 0 k = L = [ ) ] d) λ = k = L = [ 0) 0 ) ] e) λ = k = L = [ 0 0) 0 0) 0 0 ) ] λ = k = L = [ ) ].. ab) např. otočení o úhel ϕ kπ v R nebo zobrazení z cvičení a. c) např. zobrazení z cvičení b c d d) např. zobrazení z cvičení 5 ef) skalární násobek identického zobrazení. 5. λ = 0 k = n + L = [ ].
Literatura použitá při cvičení: Nicholson Keith: Elementary Linear Algebra with Applications Wadsworth Publishers of Canada Toronto. Musilová Jana; Krupka Demeter: Lineární a multilineární algebra UJEP Brno 998 Budíková Marie; Mikoláš Štěpán; Osecký Pavel: Teorie pravděpodobnosti a matematická statistika sbírka příkladů MU Brno 99. Gillman Leonard; McDowell Robert: Matematická analýza SNTL Praha 980. Herman Jiří; Kučera Radan; Šimša Jaromír: Seminář ze středoškolské matematiky MU Brno 99. Poděkování: Michal Lenc přečtení) Jiří Bartoš obrázky) Jakub Zlámal Josef Klusoň Tomáš Nečas Martin Mráz Lenka Czudková Tomáš Tyc Ondřej Přibyla Marie Budíková...