4..5 Teorie hromadé obluhy Radim Faraa Podlady pro výuu pro aademicý ro 3/4 Obah Teorie hromadé obluhy Klaiiace ytémů hromadé obluhy Sytém hromadé obluhy M/M// / /FIFO Sytém hromadé obluhy M/M/// Sytém hromadé obluhy M/M/// Literatura: JABLONSKÝ, Joe. Operačí výzum: vatitativí metody pro eoomicé rozhodováí. 3. vyd. Praha: Proeioal Publihig, 7, 33. ISBN 978-8-86946-44-3. Šeda, Mirolav. Modely hromadé obluhy. Acta logitica Moravica,, č., ISSN: 84 835.Dotupý z webu: <URL: http://web.vlg.cz/otogalerie/acta_logitica//_cil o/acta_logitica.pd> Teorie hromadé obluhy Zálady teorie hromadé obluhy položil dáý David George Kedall matemati Ager Krarup Erlag, terý pracoval pro * 5.. 98, Ripo, UK polečot provozující teleoicou íť v Kodai + 3.. 7, Cambridge, UK http://www-hitory.mc.t-adrew.ac.u/ Mathematicia/Kedall.html a v r. 99 popal apliaci teorie pravděpodoboti a problémy teleoího provozu. O další rozvoj teorie e zaloužil zejméa ruý matemati Adrej Niolajevič Kolmogorov. Klaiiaci ytémů hromadé obluhy ta, ja ji používáme de, zavedl v 5. letech miulého toletí aglicý matemati David George Kedall. De jde již o laicou čát logitiy, popaou v řadě moograií (Boe, ; Cooper, 98; Gro et al., 8) i vyoošolých textů (Hrubia, Jadlová, Hrehová, 5; Jabloý, ; Klvaňa, 5; Pelta, Máje, 8; Virtamo, 5).
4..5 Sytém hromadé obluhy (SHO) je ytém, terý poytuje lužby přicházejícím záazíům. Poud emohou poytout lužbu ihed, hromažďují e eupoojeí záazíci do roty (proto taé Teorie ro. Např. auta přijíždějící a řižovatu, teleoující účatíci pojovaí cetrálou, záazíci přicházející do obchodu, Sytém hromadé obluhy oblužý ytém vtupí proud požadavů rota požadavů výtupí proud obloužeých požadavů proud eobloužeých (odmítutých) požadavů Orgaizace roty Poud e týče roty, ituitivě ji chápeme ta, ja ji ami záme, tj. do dříve přijde do ytému, dříve bude oblouže (FIFO irt i, irt ou. Možá je vša i obluha LIFO (lat i, irt ou, de aopa je prví obluhová požadave, terý do ytému vtoupil poledí. Nědy bývá trategie LIFO ozačováa i zratou LCFS (lat come, irt erved). Příladem obluhy LIFO je odběr zboží ze ladu, dy zboží (apř. tabule la, rabice televizory), teré bylo a lad dodáo jao prví, je v zadí čáti ladu, rep. apodu hromady, a tedy jao poledí je přítupé. Vedle obluhy FIFO a LIFO e etáme i áhodým výběrem požadavu z roty do oblužého ytému (SIRO electio i radom order) a obluhou řízeou prioritou požadavů (PRI priority).
4..5 Déla roty Déla roty může být omezeá, při doažeí určitého (předem deiovaého) počtu požadavů do roty e již další požadavy odmítou, apř. počet rezervací a ihu v ihově, terá je atuálě vypůjčea; rep. eomezeá, ve utečoti tím chápeme případ, dy maximálí možý počet požadavů ve rotě je velmi vyoý. Požadavy ve rotě mohou mít omezeou ebo eomezeou trpělivot. V případě eomezeé trpělivoti požadavy čeají a obluhu ta dlouho, doud a ě epřijde řada, v ytému omezeou trpělivotí je zařazeí do roty do začé míry závilé a délce roty. Míto dély roty e taé můžeme etat pojmem apacita ytému, terým e míí maximálí počet požadavů, terý může být v ytému přítome. Klaiiace SHO r. 95 Kedall avrhl laiiaci SHO podle tří hlavích hledie ve tvaru A/B/C, de: A charaterizuje typ pravděpodobotího rozděleí áhodé veličiy doba (iterval) mezi příchody požadavů do ytému, B charaterizuje typ pravděpodobotího rozděleí áhodé veličiy doba obluhy požadavu, C je počet paralelě upořádaých oblužých lie (ebo taé počet aálů), tj. jde o přirozeé čílo, v případě eomezeého (tj. velmi velého počtu lie) je obvylé parametr C vyjadřovat čílem. Klaiiace SHO Kedallova laiiace dále rozšířea a tvar A/B/C/D/E/F, další parametry jou: D přirozeé čílo udávající max. počet požadavů v ytému (tj. apacitu ytému), eí-li explicitě omeze, je vyjádře, E přirozeé čílo vyjadřující maximálí počet požadavů ve vtupím proudu (ebo taé ve zdroji požadavů), poud je eomeze, opět e použije, F typ roty (FIFO/LIFO/SIRO/PRI).. 3
4..5 Parametr A M itervaly mezi příchody požadavů jou avzájem tochaticy ezávilé a mají expoeciálí rozděleí, to zameá, že vtupí proud reprezetuje Poioův (Marovovův) proce, E Erlagovo rozděleí parametry λ a, K rozděleí χ tupi voloti, N ormálí (Gauovo) rozděleí, U rovoměré rozděleí, G obecý případ, doba mezi příchody požadavů je dáa vou ditribučí ucí, D itervaly mezi příchody požadavů jou otatí (mají determiiticý charater). Pro parametr B e používá tejé ozačeí pro dobu obluhy požadavu Poioův (Marovovův) proce Poioův proce je proud jevů, terý plňuje áledující vlatoti:. Stacioárot (homogeita v čae) počet jevů ve tejě dlouhých čaových itervalech je otatí.. Regulárot (ordiáro pravděpodobot výytu více ež jedoho jevu v dotatečě malém itervalu dély Δt je zaedbatelě malá. To zameá, že v itervalu (t, t + Δ e buď vyyte právě jede jev pravděpodobotí λ Δt aebo pravděpodobotí λ Δt e v tomto itervalu žádý jev evyyte. Jia řečeo v Poioově proceu je možý je přechod ytému do ejbližšího vyššího tavu aebo etrváí v témže tavu. 3. Nezávilot přírůtů počet jevů, teré e vyytou v jedom čaovém itervalu, ezávií a počtu jevů v jiých itervalech, Sytém hromadé obluhy M/M// / /FIFO Uvažujeme ejdříve ituaci a vtupu ytému izolovaě od proceu obluhy a zavedeme áhodou veličiu počet požadavů, teré přišly do ytému během itervalu t, t + Δt, de t, Vzhledem e tacioároti Poioova proceu počet požadavů ezávií a volbě počátečího oamžiu t a výzam má pouze déla uvažovaého itervalu Δt. Nechť p ( ozačuje pravděpodobot toho, že v čae t je v ytému právě požadavů. Z regulároti Poioova proceu vyplývá, že pravděpodobot, že v čae t+δt bude v ytému požadavů je rova pravděpodoboti toho, že v čae t bylo v ytému požadavů a během doby Δt vtoupil do ytému jede požadave pravděpodobotí λ Δt aebo v čae t bylo v ytému požadavů a během doby Δt pravděpodobotí λ Δt do ytému žádý ový požadave evtoupil. Z pravidel pro výpočet. pravděpodoboti ojuce a dijuce ezávilých jevů odtud plye vztah: t,,,... p ( t p (. t p (. 4
4..5 Sytém hromadé obluhy M/M// / /FIFO Pravděpodobot, že v čae t + Δt v ytému eí žádý požadave je dáa pravděpodobotí toho, že tam žádý požadave ebyl a ai během doby Δt žádý evtoupil, tj. p t p (. t ( Po adé úpravě ze předchozích vztahů dotaeme vztahy: ( t (. (. (,,,... t p( t p(. p( t Nyí v těchto vztazích provedeme limití přechod pro t.. Dotáváme: ( t ( lim lim. (. (,,,... t t t p( t p( lim lim. p( t t t Sytém hromadé obluhy M/M// / /FIFO Výrazy a levé traě předchozích dvou vztahů jou derivacemi ucí p ( a p ( v bodě t, tj. p ( a p (, zatímco a jejich pravé tray emá limití přechod vliv. Odtud tedy dotáváme reuretí vztahy:, p t. p (. p (,,, p... t. p( ), t Tyto reuretí vztahy předtavují outavu eoečě moha obyčejých diereciálích rovic. řádu. Pro jejich řešeí potřebujeme zát počátečí podmíy. Je vša zřejmé, že v čae e žádé požadavy v ytému ještě eachází, a tedy p ( ),,,... p () Sytém hromadé obluhy M/M// / /FIFO Z teorie obyčejých diereciálích rovic je zámo, že řešeím předchozí outavy rovic uvedeými počátečími podmíami je outava ucí: p t e t t,! čili pro = : p t e t,,,... 5
4..5 Sytém hromadé obluhy M/M// / /FIFO Graicé zobrazeí ucí p (t ) pro =,,, 5 a λ =.,,8 (t ),6,4 = = = = 3 = 4 = 5, 3 4 5 6 7 -, t Sytém hromadé obluhy M/M// / /FIFO Je vidět, že v ytému M/M/ áhodá veličia počet požadavů, teré přišly do ytému za čaový iterval dély t, má Poioovo rozděleí parametrem λ t. Středí hodota této áhodé veličiy je λ t a peciálě pro t = je tředí hodota áhodé veličiy počet požadavů, teré přišly do ytému za čaovou jedotu rova λ. t t t e,,,,...! Říáme, že λ je tředí itezita vtupu ebo rátce itezita vtupu a vyjadřuje průměrý počet požadavů, teré do ytému vtoupily za čaovou jedotu. t p t e Sytém hromadé obluhy M/M// / /FIFO Náhodá veličia iterval mezi příchody požadavů má expoeciálí rozděleí. Ozačíme tuto veličiu T. Pa pravděpodobot toho, že po vtupu jedoho požadavu žádý další požadave po celou dobu itervalu t do ytému evtoupil, je rova p (, a tedy: t PT t p t e Odtud dotáváme ditribučí uci F( expoeciálího rozděleí parametrem λ. t t PT t e F( P T 6
4..5 Sytém hromadé obluhy M/M// / /FIFO Středí hodota áhodé veličiy T vyjadřující průměrý ča mezi dvěma po obě jdoucími požadavy je E T Sytém hromadé obluhy M/M// / /FIFO Aalogicy můžeme yí zoumat proce obluhy. Předpoládáme, že áhodá veličia doba obluhy jedoho požadavu (rátce doba obluhy) má expoeciálí rozděleí. Parametr tohoto rozděleí ozačme μ, přičemž obecě platí, že. Středí hodota áhodé veličiy doba obluhy T O je ET O a parametr μ udává tředí hodotu počtu požadavů obloužeých za čaovou jedotu doby práce aálu, tručěji tředí itezitu obluhy, rátce itezitu obluhy. Sytém hromadé obluhy M/M// / /FIFO Pro popi chováí ytému je důležitá itezita zatížeí ytému (aebo taé itezita provozu aálu): pro overgeci ytému je uté, aby platilo: průměrý počet příchodů záazíů za jedotu čau průměrý počet obloužeých záazíů za jedotu čau 7
4..5 Sytém hromadé obluhy M/M// / /FIFO Poud ytém e tejými parametry pracuje dotatečě dlouho, dojde utáleí ytému ve tacioárím tavu. Pa můžeme určit áledující charateritiy ytému. Stacioárí pravděpodobot počtu požadavů v ytému: P,,,,... Sytém hromadé obluhy M/M// / /FIFO Průměrý počet požadavů v ytému: EN rozptyl: DN Průměrý počet požadavů ve rotě: N E. rozptyl: D N Vidíme, že průměrá déla roty e od průměrého počtu požadavů v ytému liší o ψ a e o, ja bychom čeali. Sytém hromadé obluhy M/M// / /FIFO Středí doba etrváí požadavu v ytému: ET t Středí doba čeáí požadavu ve rotě: E T t Středí doba obluhy: E T O D T rozptyl: rozptyl: D T 8
4..5 Sytém hromadé obluhy M/M// / /FIFO Koeiciet protoje oblužého aálu: K p Koeiciet využití (zatížeí) oblužého aálu: K p Přílad: SHO M/M// / /FIFO Použijeme zjedodušeý model M/M/ a vyšetřeí chováí mezy. Bylo zjištěo, že do mezy přijde během 7 miut 65 trávíů. Průměrá doba výdeje oběda je 5 miut. E 65 7 T,8 mi 7 65 5[mi], mi E T O,8,9, Přílad: SHO M/M// / /FIFO Průměrý počet požadavů v ytému: E,9,9 N 9 Průměrý počet požadavů ve rotě: E N. 8, rozptyl: D N rozptyl: D 88,9 N,9, 9 9
4..5 Přílad: SHO M/M// / /FIFO Středí doba etrváí požadavu v ytému: 9 t 5[mi],8 E T Středí doba čeáí požadavu ve rotě: 8, t 45[mi] E T,8 Středí doba obluhy: D T rozptyl: rozptyl: D T 5 475 E T O 5 [mi] Kotrolí otáza: Platí vždy E(T ) = E(T ) + E(T O )? Sytém hromadé obluhy M/M/ Jié ytémy právy roty. Průměrá doba tráveá v ytému e eměí, ale zvětší e rozptyl. Pro rotu LIFO: Středí doba etrváí požadavu v ytému: ET t Středí doba čeáí požadavu ve rotě: E T t D T D T rozptyl: rozptyl: D T 3 SHO M/M/// Jde o ytém bez čeáí a rota e evytváří. V ytému jou možé je dva tavy: p p p p
4..5 SHO M/M/// Charateritiy ytému. Pravděpodobot ztráty (odmítutí) požadavu (pravděpodobot, že v ytému je jede požadave a jediá oblužá lia je obazea) p zt p Relativí apacita ytému (pravděpodobot obluhy požadavu) (pravděpodobot obluhy požadavu) K r pobl p SHO M/M/// Abolutí apacita ytému (počet obloužeých požadavů za čaovou jedotu) Ka K r. Nomiálí apacita ytému (maximálí počet požadavů, teré je ytém chope obloužit za čaovou jedotu) K om SHO M/M/// Koeiciet protoje oblužého aálu K p Koeiciet využití (zatížeí) oblužého aálu K z p p
4..5 SHO M/M/// Poud ytém M/M/ evyhovuje požadavům, je ěoli cet e zdooaleí (zráceí ro. Byroraticý omezeí příchodu záazíů (zmešeí parametru příchodů λ).. Itezíví zrychleí obluhy (zvýšeí hodoty parametru obluhy μ). 3. Extezíví zvýšeí počtu oblužých mít. SHO M/M/// Předpoládáme, že všechy oblužé liy pracují e tejým parametrem obluhy μ. Pro tabilizaci ytému muí platit λ <.μ. Ozačíme parametr SHO M/M/// Pravděpodobot jedotlivých tavů p! p.p. p! p. p,!,,...
4..5 SHO M/M/// Charateritiy ytému. Pravděpodobot ztráty (odmítutí) požadavu (pravděpodobot, že všechy oblužé jou obazey) p p! p zt Relativí apacita ytému (pravděpodobot obluhy požadavu) (pravděpodobot toho, že alepoň jeda z oblužých lie je volá) K r p zt SHO M/M/// Abolutí apacita ytému (počet obloužeých požadavů za čaovou jedotu) Ka K r. Středí hodota počtu obazeých oblužých lie: E Nob ob. p SHO M/M/// Středí hodota počtu volých oblužých lie EN.... ob Nomiálí apacita ytému (maximálí počet požadavů, teré je ytém chope obloužit za čaovou jedotu) K om. 3
4..5 SHO M/M/// Koeiciet protoje oblužého aálu Koeiciet využití (zatížeí) oblužého aálu K z K z K 4