VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSIY OF ECHNOLOGY FAKULA SROJNÍHO INŽENÝRSVÍ ÚSAV MECHANIKY ĚLES, MECHARONIKY A BIOMECHANIKY FACULY OF MECHANICAL ENGINEERING INSIUE OF SOLID MECHANICS, MECHARONICS AND BIOMECHANICS MODELOVÁNÍ KMIÁNÍ DYNAMICKÉ SOUSAVY S N-SUPNI VOLNOSI MODELLING OF VIBRAION OF DYNAMIC SYSEMS WIH N-DEGREES OF FREEDOM BAKALÁŘSKÁ PRÁCE BACHELOR'S HESIS AUOR PRÁCE AUHOR VEDOUCÍ PRÁCE SUPERVISOR PER HORÁK Ig. DANIEL DUŠEK, Ph.D. BRNO 00
Vysoké učeí techické v Bě, Fakulta stojího ižeýství Ústav mechaiky těles, mechatoiky a biomechaiky Akademický ok: 009/00 ZADÁNÍ BAKALÁŘSKÉ PRÁCE studet(ka): Pet Hoák kteý/kteá studuje v bakalářském studijím pogamu obo: Stojí ižeýství (30R06) Ředitel ústavu Vám v souladu se zákoem č./998 o vysokých školách a se Studijím a zkušebím řádem VU v Bě učuje ásledující téma bakalářské páce: v aglickém jazyce: Modelováí kmitáí dyamické soustavy s -stupi volosti Modellig of vibatio of dyamic systems with -degees of feedom Stučá chaakteistika poblematiky úkolu: Soustava s -stupi volosti může kmitat až -vlastími fekvecemi. Zalost těchto vlastích fekvecí a vlastích tvaů je důležitá z hlediska zabáěí vziku ezoací, kteé jsou po chod většiy dyamických soustav ežádoucí. Cíle bakalářské páce: Po daou soustavu hmotých bodů sestavit pohybové ovice a spočítat vlastí fekvece a jím příslušející vlastí tvay kmitáí.
Sezam odboé liteatuy: Slavík, J., Stejskal, V., Zema, V., Základy dyamiky stojů, ČVU Paha, Paha, 997. Katochvíl, C., Slavík, J., Dyamika, VU Bo, Bo, 997. Bepta, R., Půst, L., uek, F., Mechaické kmitáí, Sobotáles, Paha, 994. Vedoucí bakalářské páce: Ig. Daiel Dušek, Ph.D. emí odevzdáí bakalářské páce je staove časovým pláem akademického oku 009/00. V Bě, de 3..009 L.S. pof. Ig. Jidřich Petuška, CSc. Ředitel ústavu pof. RND. Mioslav Doupovec, CSc. Děka fakulty
ABSRAK Cílem této páce je po zadaou soustavu hmotých bodů sestavit matematický model. Spočítat vlastí fekvece a jím příslušející vlastí tvay kmitáí. V páci je uvedeo ozděleí kmitáí, podle ůzých hledisek. Zadaá soustava je aalyzováa a jsou sestavey pohybové ovice dvěma ejběžějšími metodami. Je zde uvede postup výpočtu zmíěých veliči postupě po zjedodušeou až po úplou soustavu -hmotých bodů. eto postup je použit v soubou příkazů po umeické vyjádřeí. Jsou vykesley gafy amplitudové a fekvečí chaakteistiky a gaf výchylky v čase. Je zde popsá vliv změ kostat vstupujících do výpočtu. ABSRAC he aim of this wok is to assemble mathematical model fo give system of poit masses. Compute the atual fequecies ad thei coespodig modes of vibatio. Diffeetiatios of vibatio by vaious poits of view ae witte i this wok. he give system is aalyzed ad the equatios of motio usig two most commo methods ae witte. Calculatio pocedue of metioed physical quatities is witte i ode fom simplified to complete system of poit masses. his pocedue is used i commad file to expess values umeical. he fequecy espose of the system ad the displacemet-time plots ae show. he impact of costat vaiability eteig the calculatio is descibed. KLÍČOVÁ SLOVA Mechaické kmitáí, -stupňů volosti, matematický model, Maple KEY WORDS Mechaical oscillatio, -degees of feedom, mathematical model, Maple - 4 -
BIBLIOGRAFICKÁ CIACE HORÁK, P. Modelováí kmitáí dyamické soustavy s -stupi volosti. Bo: Vysoké učeí techické v Bě, Fakulta stojího ižeýství, 00. 34 s., příloh, Vedoucí bakalářské páce Ig. Daiel Dušek, Ph.D. - 5 -
PROHLÁŠENÍ Pohlašuji, že bakalářskou páci a téma Modelováí kmitáí dyamické soustavy s -stupi volosti jsem vypacoval samostatě a veškeou použitou liteatuu a další pamey jsem řádě ozačil a uvedl v přiložeém sezamu.. Pet Hoák - 6 -
PODĚKOVÁNÍ Rád bych a tomto místě poděkoval Ig. Daielu Duškovi, Ph.D. za vedeí a připomíky při zpacováí mé bakalářské páce. - 7 -
OBSAH ABSRAK... 4 ÚVOD... 9 MECHANICKÉ KMIÁNÍ... 0. ROZLOŽENÍ PARAMERŮ MECHANICKÝCH MODELŮ... 0.. Modely se soustředěými (diskétími) paamety... 0.. Modely se spojitě ozložeými paamety.... BUZENÍ MECHANICKÉHO KMIÁNÍ..... Kmitáí volé..... Kmitáí buzeé.....3 Kmitáí samobuzeé... 3.3 LUMENÍ... 3.4 DĚLENÍ PODLE POVAHY KMIÁNÍ... 4.4. Lieáí kmitáí... 4.4. Nelieáí kmitáí... 4 3 ŘEŠENÁ SOUSAVA... 5 3. SCHÉMA ZADÁNÍ... 5 3. KLASIFIKACE ZADANÉ SOUSAVY... 5 3.3 SESAVENÍ POHYBOVÝCH ROVNIC... 5 3.3. Metoda uvolňováí... 5 3.3. Metoda použití Lagageových ovic. duhu... 6 3.3.3 Pohybové ovice v maticovém tvau... 6 4 POSUP ŘEŠENÍ... 8 4. VOLNÉ NELUMENÉ KMIÁNÍ... 8 4. OROGONALIA VLASNÍCH VEKORŮ... 0 4.3 VOLNÉ PROPORCIONÁLNĚ LUMENÉ KMIÁNÍ... 4.4 VYNUCENÉ LUMENÉ KMIÁNÍ BUZENÉ HARMONICKOU SILOU... 3 5 VÝPOČE POMOCÍ PROGRAMU MAPLE... 5 5. ZÁPIS V SOUBORU PŘÍKAZŮ... 5 5. VYKRESLENÍ HODNO MODELOVÝCH SIUACÍ... 5 5.. Vykesleí hodot po ůzé kostaty tlumeí... 8 5.. Vykesleí hodot po ůzé kostaty tuhosti... 9 ZÁVĚR... 3 SEZNAM POUŽIÝCH ZDROJŮ... 3 SEZNAM POUŽIÝCH ZKRAEK A SYMBOLŮ... 33 SEZNAM PŘÍLOH... 34-8 -
ÚVOD Po obo dešího ižeýství, zabývající se popisem a aalýzou dyamických vlastostí, je klíčový fakt, že po většiu mechaických soustav je typický kmitavý pohyb, souhě azývaý kmitáí. Feomé kmitáí se vyskytuje ve všech oboech fyziky a techiky. Ve stojíeství haje úlohu kmitáí mechaické, kteé ve větší či meší míře vziká při chodu každého stoje. Se vzůstem poduktivity páce, výkou stojů a áůstem jejich povozích ychlostí se zvětšují ežádoucí kmity a s imi úzce souvisí hlučost stoje a zvýšeé amáháí jeho částí []. Abychom mohli tyto ežádoucí účiky elimiovat, je třeba toto mechaické kmitáí zkoumat a přijmout opatřeí ke sížeí ežádoucích vibací. outo aalýzou získáme komplexí ifomace, kteé použijeme po posouzeí životosti, opotřebeí a amáháí součástí stojích zařízeí, popřípadě hlučosti a tím i vliv a životí postředí. Následé učováí vlastích fekvecí a vlastích tvaů kmitáí je zpavidla uté u součástí amáhaých cyklickým zatížeím z důvodu staoveí bezpečosti. K hodoceí ebezpečé fekvece se ejčastěji používá amplitudo-fekvečí chaakteistika. Mechaické kmitáí však emusí být vždy tlumeo či jiak elimiováo z důvodu jeho ežádoucích účiků. Kmitáí může plit i užitečé fukce. Uměle buzeé mechaické kmity tvoří základ páce vibačích dopavíků, zhutňovačů, třídičů, vibačích pil apod. Poto teoie kmitáí patří k důležitým částem mechaiky []. - 9 -
MECHANICKÉ KMIÁNÍ Mechaické kmitáí lze ozdělit do skupi z moha ůzých hledisek, podle jeho chaakteu, vziku, půběhu a typu fyzikálích chaakteistik mechaické soustavy. Podle povahy řešeí soustavy a požadovaých výsledků vytváříme modely se soustředěými (diskétími) paamety a modely se spojitě ozložeými paamety. Podle příčiy vziku ozezáváme kmitáí volé, buzeé a samobuzeé. Podle vlastí disipovaé eegie dělíme kmitáí a etlumeé a tlumeé. Podle duhu matematického modelu a lieáí a elieáí. Buzeé eboli vyuceé kmitáí lze dělit a buzeí působící silou a kiematické buzeí apod. [].. Rozložeí paametů mechaických modelů.. Modely se soustředěými (diskétími) paamety Lieáí soustavy se soustředěými paamety (diskétí) se vyzačují těmito jedoduchými (diskétími) pvky: - hmotými body ebo tuhými hmotými tělesy, jež jsou ositelkami kietické eegie - ehmotými pužiami, jež jsou ositelkami poteciálí eegie - ehmotými tlumiči, jež disipují eegii, tj. měí mechaickou eegii v teplo. Kombiací uvedeých diskétích pvků jsou tvářey výpočtové modely, přičemž se požaduje, aby jejich dyamické vlastosti co ejvěěji vystihovaly dyamické vlastosti eálého díla. Výpočtové modely se získávají vesměs z kotiua jeho disketizací ůzými metodami. Např. soustředěím hmotosti kotiua do vhodě zvoleých hmotých bodů svázaých ehmotými pužiami a tlumiči (ob..). Ob.. Fyzikálí disketizace vačkového mechaismu [3] Jiou možostí disketizace je použití metody koečých pvků či metody haičích pvků (tyto metody zpavidla eumožňují schematické zobazeí výpočtových modelů jako - 0 -
v předchozím případě). Pohybové ovice lieáích soustav tvoří soustavy obyčejých lieáích difeeciálích ovic (ejčastěji s kostatími koeficiety) homogeích ebo ehomogeích s fukcí buzeí a pavé staě [3]. Modely se soustředěými paamety eboli diskétí mechaické modely mají koečý počet stupňů volosti. Počet stupňů volosti je ove počtu ezávislých souřadic, potřebých k učeí polohy soustavy []. Nejjedodušším diskétím modelem je model s jedím stupěm volosti. eto model se často používá jako velmi povchí přiblížeí složitějších mechaických soustav a to v případech kdy se zajímáme o ejižší vlastí fekvece soustavy. Celou řadu techických zařízeí lze zázoit modelem s jedím stupěm volosti. Navíc zalost řešeí kmitáí soustavy s jedím stupěm volosti je základem řešeí kmitáí s moha stupi volosti a pochopeí vlastí soustavy s jedím stupěm volosti je ezbytým předpokladem po studium složitějších mechaických soustav, ať se soustředými ebo spojitě ozložeými paamety []... Modely se spojitě ozložeými paamety Každý stoj a stojí kostukce je objektem se spojitě ebo alespoň po částech spojitě ozložeou hmotou. U modelu se soustředěými paamety se takovýto objekt disketizoval a popisoval diskétím modelem. akový model vyhovuje především tam, kde se eálý objekt diskétímu modelu přibližuje. Je však řada kostukčích pvků, kteé této apoximaci evyhovují, poěvadž jejich kostukce eobsahuje soustředěé hmoty. Jsou to především stuy, laa, puty, osíky (ob..), membáy, desky, skořepiy a další pvky. Ob.. Kmitající pismatický osík [3] Stoj ebo kostukce je zpavidla složea z ůzých kostukčích pvků, z ichž každý má své vlastí fekvece. Poušeí kteéhokoliv z těchto čleů může zameat poušeí fukce celého stoje. Poto je zalost kmitáí základích jedoduchých pvků velmi důležitá. Jsou to často pvky, se kteými pacujeme v metodě koečých pvků. V ěkteé liteatuře se kotiua dělí a jedoozměá, dvojozměá a tříozměá podle vzájemé velikosti jedotlivých ozměů. Všecha eálá tělesa jsou však tříozměá a poto je vhodé děleí povádět podle kokétího eálého objektu a duhu kmitáí [4]. - -
Uvedeá tělesa můžeme ozdělit a libovolý počet úseků (ob..3), kteých může být až ekoečě moho. Ob..3 Elemet pizmatické tyče [5] Z toho plye, že soustavy se spojitě ozložeými paamety mají ekoečý počet stupňů volosti a platí, že k učeí polohy soustavy je uté zát stejý počet a sobě ezávislých souřadic. Matematické modely popisující kmitáí kotiua jsou tvořey ovicemi paciálími.. Buzeí mechaického kmitáí.. Kmitáí volé Volé kmitáí soustavy vziká, je-li soustava po vychýleí z ovováhy uvolěa a poecháa v pohybu bez účiku vějších sil (buzeí). Poušeí ovováhy astae, udělíme-li jedomu, ebo více hmotým tělesům soustavy výchylku ebo ychlost, popřípadě obojí. Výpočet volého kmitáí (též zvaý poblém vlastích hodot) se povádí z homogeích pohybových ovic a eulové počátečí podmíky se uplatí při učováí itegačích kostat. Volé kmitáí je u lieáích soustav lieáí kombiací vlastích kmitů [3]... Kmitáí buzeé Vyuceé kmitáí vziká, je-li pohyb soustavy vyvolá a udžová účikem budících sil vějších ebo vitřích ebo je-li soustava buzea kiematicky. Buzeí soustavy lze také ealizovat tzv. paametickým buzeím což je buzeí vyvolaé změou ěkteého z paametů soustavy apř. tuhostí pužiy či součiitelem tlumeí (modeluje se ekostatími součiiteli v difeeciálích ovicích). Pod pojmem vyuceé kmitáí se často uvažuje pouze ustáleé vyuceé kmitáí, vyvolaé účikem peiodických sil ebo peiodickým kiematickým buzeím po utlumeí přechodových dějů vziklých při poušeí ovovážého stavu soustavy [3]. Podle půběhu budící síly (esp. pohybu ámu u kiematického buzeí) v čase můžeme vyuceé kmitáí dělit a buzeí: - peiodické, v tomto případě je budící sila peiodickou fukcí času. o zameá, že její hodota se po učité peiodě F opakuje: Q(t) = Q(t+ F ) = Q(t+i F ), po i =,,. V takovém případě lze tuto sílu ozviout do Fouieovy řady [4]. - -
- Hamoické, kteé lze vyjádřit součtem hamoických fukcí typu Q(t) = Q 0 cosωt, ebo Q(t) = Q 0 siωt, kde Q 0 je amplituda, ω úhlová fekvece buzeí a φ fázové posuutí vziklé součtem dvou hamoických fukcí (ob.4). Ob..4 Gafické zázoěí hamoického buzeí [3] - Stochastické, eboli áhodé (ob.5). eto půběh buzeí vziká apř. u leteckých kostukcí, dopavích postředků, dílů vystaveých poudu tekutiy apod. Při vyšetřováí áhodě kmitajících soustav se využívá pozatků ze statistiky. Ob..5 Zázam áhodé poměé [5]..3 Kmitáí samobuzeé Samobuzeé kmitáí vziká za přítomosti aktivích pvků, při jejichž pohybu lze přivádět do systému vhodá foma eegie. Samobuzeé kmitáí se udží libovolě dlouho a evyžaduje žádou vější peiodickou sílu, pouze zdoj eegie (kteý sám osobě emá žádé oscilačí vlastosti), z kteého si kmitající soustava sama eegii odebíá. Aktiví pvky mají obvykle vždy při větších amplitudách kmitáí elieáí chaakteistiky, a potože i samotá mechaická soustava je často elieáí, je třeba dyamické vlastosti soustav s aktivími pvky studovat metodami elieáí mechaiky..3 lumeí lumeí je souh složitých evatých pocesů, kteé při pohybu mechaické soustavy způsobují, že se část kietické eegie ztácí. U kmitavých pohybů se tlumeí pojevuje fázovým posuvem mezi půběhem budící síly a vyuceé výchylky, ejedozačou závislostí mezi silou a výchylkou (hysteezí smyčka), omezeím amplitudy výchylky zejméa v ezoaci, postupým zaikáím volého kmitáí apod. lumeí je pasivím odpoem a působí vždy poti směu pohybu (poti směu ychlosti) v daém místě []. Z hlediska soustavy se obvykle dělí a []: - vější tlumeí, mezi ěž je možo zařadit aeodyamický a hydodyamický odpo a odpo tlumičů, úmyslě vkládaých do mechaických soustav. - 3 -
- lumeí ve vazbách a to jedak v pohyblivých, jedak v epohyblivých (lisovaých, šoubovaých, svařovaých ). - Vitří tlumeí způsobeé vitřími odpoy mateiálu jiak azývaé mateiálové tlumeí..4 Děleí podle povahy kmitáí.4. Lieáí kmitáí Lieáí kmitáí je popisováo obyčejými difeeciálími ovicemi ejčastěji duhého řádu kde se vyskytují závislé poměé a jejich deivace v pví mociě a mají kostatí součiitele. Podobě jako je tomu v teoii lieáích difeeciálích ovic a jejich soustav, je i lieáí teoie šioce ozpacováa. Jsou zámy kokétí postupy řešeí i po velmi složité soustavy, zejméa je-li jejich kmitáí buzeo peiodickými silami. Velkou výhodou je picip supepozice platý u lieáích soustav [5]. Velikost odezvy je lieáě úměá velikosti buzeí [6]..4. Nelieáí kmitáí Mohé poblémy elze zjedodušit popsáím lieáími ovicemi, potože e vždy mohou popsat kvalitativí chaakte dyamických pocesů, kteé v aalyzovaých soustavách ve skutečosti pobíhají. V takových případech je často uté doplit lieáí pohybové ovice elieáími čley, kteé ejčastěji popisují pužé ebo tlumící chaakteistiky. ypickými pojevy elieait jsou zejméa závislosti vlastí fekvece a koeficietu tlumeí a amplitudě ustáleých pohybů, vícezačost řešeí a přechody kmitající soustavy z jedoho pohybového stavu do duhého, existece ustáleého samobuzeého kmitáí, možosti vziku subhamoických a vícesložkových kmitů a řada dalších. Výpočtové modely elieáích mechaických soustav jsou představováy soustavami elieáích difeeciálích ovic, často doplěy soustavami matematických elací, při jejichž řešeí eplatí picip supepozice. Z toho apříklad vyplývá, že vlastí a vyuceé kmitáí se avzájem ovlivňují, že u vyuceého kmitáí elze budící účiky ozložit do hamoických složek a jejich dílčí odezvy postě sečíst, eplatí, že dvojásobá velikost vější síly vyvolá dvojásobou výchylku (v mimoezoačích oblastech) apod. []. - 4 -
3 ŘEŠENÁ SOUSAVA 3. Schéma zadáí Mechaická soustava je zadáa schematicky dle (ob. 3.). Ob. 3. Schéma zadaé soustavy 3. Klasifikace zadaé soustavy Jedá se o soustavu se soustředěými (diskétími) paamety, kteá je tvořea přímočaře se posouvajícími bodovými tělesy s hmotostmi m, m,, m. y jsou připevěy k ámu i avzájem pomocí lieáích puži s kostatami k 0, k 0,,k 0 (esp. k, k 3,, k - ) a lieáích tlumičů s kostatami b, b,, b přičemž uvažujeme popocioálí tlumeí. Buzeí je ealizováo za pomocí sil, jež jsou defiováy v čase hamoickou fukcí Q (t), Q (t),, Q (t). V soustavě se vyskytují pouze pvky lieáí (jedá se o lieáí kmitáí). Polohy bodových těles jsou učey zobecěými souřadicemi q, q,, q, kteé jsou voley tak, že v ovovážé poloze jsou všechy ovy ule [5]. 3.3 Sestaveí pohybových ovic K matematickému popsáí soustavy slouží pohybové ovice, ty lze získat více způsoby. Mezi ejčastěji používaé metody patří metoda uvolňováí a metoda za použití Lagageových ovic. duhu. 3.3. Metoda uvolňováí Při sestavováí pohybových ovic bodových těles využijeme. Newtoova pohybového zákoa. Při řešeí pohybu vázaého bodového tělesa jej tedy ejpve uvolíme (ahadíme vazby s okolím ekvivaletím silovým působeím) a po jedoozměý poblém můžeme psát ovice [6]: b q k0q k( q q) + Q ( t) = mq b q k 0q + k( q q) k3 ( q q3) + Q ( t) = mq b q k q + k q q ) + Q ( t = m q 0 ( ) - 5 -
y lze upavit do tvau: m q + b q + k + k ) q k q = Q ( ) ( 0 t q + bq kq + ( k 0 + k + k3 ) q k3 q3 Q ( t m = ) (3.3.) m q b q k q + ( k + k ) q Q ( ) + 0 = t 3.3. Metoda použití Lagageových ovic. duhu va Lagageovy ovice. duhu: d E K EK ED EP + + = Q j (t) dt q j q j q j q j po (j=,,..., ) Kietická eegie soustavy []: Disipačí fukce soustavy []: E K E K E D E D = q Mq = m q + mq +... + mq [ ] = q Bq = b q + bq +... + bq [ ] Poteciálí eegie soustavy []: E q P = Kq E P = + [ k0 q + k( q q ) + k0q + k3( q3 q ) +... k 0q ] Kde M = [m ij ] je eálá kostatí a symetická matice hmotosti, K = [k ij ] matice tuhosti a B = [b ij ] matice tlumeí, všechy řádu []. Dosazeím těchto vztahů do Lagageových ovic bychom obdželi stejé pohybové ovice mechaické soustavy jako (3.3.). 3.3.3 Pohybové ovice v maticovém tvau S aůstajícím počtem stupňů volosti mechaické soustavy se stává řešeí velmi pacé. Poto s výhodou používáme maticový zápis pohybových ovic a maticový počet při jejich řešeí. Rov.(3.3.) lze maticově zapsat ásledově [4]: M q + Bq + Kq = Q(t) (3.3.) kde začí q, q, q vektoy výchylky, ychlosti a zychleí, vyjádřeý ozměou sloupcovou maticí q = [ q, q,..., q ], Q(t) je časově závislý vekto budících sil Q t) = Q ( t), Q ( t),..., Q ( ). [ ] ( t - 6 -
M je matice hmotosti, B je matice tlumeí a K je matice tuhosti. Všechy tyto matice jsou po kokétí soustavu čtvecové a symetické řádu. Po model a ob. 3. mají tva [4]: Matice hmotosti M: m 0...0 0 m...0 M =...... 0 0... m Matice tlumeí B: b 0 B =...... 0 0...0 b...0 0... b Matice tuhosti K: K = k 0 + k k 0... 0 k 0 k + k k... 0 3 + k 3 k 3 0 k + k 0 3... 3 + k 4 3...... k k 4 3 - k 0 0 0 + k - - 7 -
4 POSUP ŘEŠENÍ 4. Volé etlumeé kmitáí Při uvažováí pouze volého etlumeého kmitáí se ám schéma soustavy změí takto: (ob. 4.) Ob. 4. Schéma soustavy po volé etlumeé kmitáí Pohybové ovice po volé kmitáí etlumeé soustavy se soustředěými paamety o stupích volosti mají v maticovém zápisu tva [3]: M q + Kq = 0 (4..) Za předpokladu, že soustava bude kmitat hamoicky, je řešeí ov. (4..) i t q = ue Ω (4..) kde u je vekto amplitud hamoických kmitů: u = [ u u,..., ],. Ω je úhlová fekvece. Dosazeím ovice (4..) do ov. (4..), když postupou deivací podle času získáme i t q = Ω ue Ω dostaeme po úpavě []: ( K Ω M) u = 0 (4..3) Rovice (4..3) představuje poblém vlastích hodot. Netiviálí řešeí ovice (4..3), kdy alespoň jeda souřadice vektou u je eulová, existuje je když detemiat matice K Ω M je ove ule, tj. po []: det K Ω 0 M = 0 (4..4) eto detemiat azýváme fekvečí detemiat. Jeho ozviutím obdžíme fekvečí ovici -tého stupě po Ω 0: ( ) a Ω0 + a Ω0 +... + aω 0 + a0 = 0 Po pozitivě defiití matice M a K jsou kořey této ovice eálé, ezápoé hodoty, kteé uspořádáme vzestupě 0 Ω 0 Ω 0... Ω 0-8 - u
o jsou vlastí úhlové fekvece soustavy. Pouze těmito fekvecemi může mechaická soustava kmitat hamoicky. Jestliže dosadíme ěkteou vlastí úhlovou fekveci, apř. Ω 0 do ov. (4..3), mohli bychom z í obdžet vekto amplitud odpovídající zvoleé úhlové fekveci: K Ω M u = ( ) 0 0 Poěvadž soustava ovic (4..3) je homogeí, dostali bychom po dosazeí učité vlastí úhlové fekvece ekoečé možství řešeí po u. Z toho důvodu lze učit pouze vzájemé poměy čleů vlastího vektou u, apř. []: u u u v =,,...,, u u u v u = u,,..., u u akovým způsobem lze vytvořit ůzých posloupostí, kteé ke každé vlastí úhlové fekveci defiují vlastí tva kmitáí. Poto se těmto vektoům říká vlastí vektoy ebo též modálí vektoy. Z možých posloupostí volíme obyčejě takovou, aby maximálí hodota pvku vlastího vektou byla ova jedé. Říkáme, že příslušý vlastí vekto omujeme. Při omováí požadujeme, aby platilo []: v = (Euklidova oma), v V mechaice bývá ěkdy výhodé požadovat, aby v Mv = (Nomujeme podle matice hmotosti) ebo v Kv = (Nomujeme podle matice tuhosti) u u, Kmitá-li soustava -tým tvaem, jsou jedotlivé výchylky dáy ovicemi iω t q = v e 0 (4..5) ebo v eálém tvau [] q v si( Ω t + ϕ ) (4..6) = 0 Neměý tvau kmitu v čase dokazují ovice (4..5) a (4..6), poěvadž amplitudy pohybu všech těles jsou v čase kostatí, pochopitelě ikoliv však po všecha tělesa stejé. Obecé řešeí ovice (4..) je dáo lieáí kombiací jedotlivých vlastích tvaů kmitů ~ iω0t q ~ = C v e (4..7) = kde C ~ jsou komplexí itegačí kostaty. V eálém obou má ovice (4..7) tva = ( Ω + ϕ ) q = C v si t (4..8) 0 ebo q = v ( A cosω 0 t + B si Ω 0t) (4..9) = - 9 -
Itegačí kostaty C, ϕ esp. A, B po =,,, se učí z počátečích podmíek (t = 0, q = q 0, q = q 0 ) []. Vlastí vektoy tvaů kmitů je vhodé sestavit do takzvaé modálí matice ozměu x []: v v.. v = [ ] = v v.. v V v, v,..., v. v v.. v Vlastí úhlové fekvece se sestavují do spektálí matice []: Ω 0 0.. 0 0 Ω 0.. 0 Ω = 0. 0 0.. Ω 0 4. Otogoalita vlastích vektoů Předpokládáme, že mechaická soustava má dvě ůzé vlastí fekvece Ω 0 a Ω 0s. Rovici (4..3) můžeme psát ve tvau []: ( K Ω0 M) v = 0 (4..) K Ω M v = ( ) 0 0 s Vyásobíme pví ovici v pořadí zleva vektoem v s a duhou v []: v s ( K Ω0 vm) vv = 0 (4..) v v ( K Ω0 sm) v s = 0 Duhou z těchto ovic taspoujeme, přičemž víme, že po symetické matice platí ovosti []: K = K a M = M Získáme ovici: v K Ω M v = s ( ) 0 Získaou ovici odečteme od ovice (4..) a po úpavě obdžíme []: Ω Ω v Mv = 0 s ( ) 0 0 s 0 Potože jsme předpokládali Ω 0 Ω 0s, musí platit podmíky otogoality []: v s Mv = 0 po s (4..3a) a dosazeím do ov. (4..) bude také v s Kv = 0 po s (4..3b) s s - 0 -
Z ovic (4..3a) a (4..3b) plye věta: Vlastí vektoy, příslušé ůzým vlastím úhlovým fekvecím jsou otogoálí vzhledem k matici hmotosti i k matici tuhosti []. 4.3 Volé popocioálě tlumeé kmitáí Po přidáí tlumičů bude soustava vypadat ásledově: (ob. 4.) Ob. 4. Schéma soustavy po volé tlumeé kmitáí Pohybovou ovici volého tlumeého kmitáí získáme z ovice (3.3.), ve kteé položíme čle buzeí Q ( t) = 0 [4]: M q + Bq + Kq = 0 (4.3.) Matice tlumeí B je čtvecová matice řádu. Při sestavováí této matice z kostat tlumeí jedotlivých tlumičů vzikají obtíže, poěvadž kostaty ejsou zpavidla zámé a elze je jedoduše učit. Poto se sažíme tuto ejistotu obejít ějakým hypotetickým tlumeím, jehož vyjádřeí je dostatečě jedoduché a avíc dává i jedoduché vyjádřeí podmíek otogoality. ěmto předpokladům odpovídá tak zvaé popocioálí tlumeí. Popocioálí tlumeí je vztažeo k maticím hmotosti a tuhosti a je vyjádřeo vztahem [4]: B = α M + βk (4.3.) V této ovici představuje čle α M kostukčí tlumeí, kteé je fukcí hmotostí kmitající soustavy, čle β K ahazuje mateiálové tlumeí, kteé je, podobě jako tuhost pužých pvků soustavy, fukcí vitřích mateiálových vlastostí. Podmíky otogoality jsou dáy vztahy (4..3a) a (4..3b) a přistoupí k im ještě podmíka [4, ]: v s Bv = 0 po s (4.3.3) Po řešeí pohybové ov.(4.3.) využijeme předchozího řešeí vlastích vektoů etlumeé soustavy (α = β = 0) a budeme předpokládat řešeí ve tvau []: λt q = Ce v = (4.3.4) kde v je vlastí vekto etlumeého pohybu. Dosazeím ovice (4.3.4) do ovice (4.3.) dostaeme []: - -
M = λ C e λ t v λt + B λce v + K Ce = = λ t v = 0 Sumací se v této ovici zbavíme vyásobeím celé ovice zleva taspoovaým vektoem tvau v s a využitím podmíek otogoality. Po úpavě přejde tato ovice a tva []: λt C v Mv λ + v Bv λ + v K v e = po =,,..., ( ) 0 Po etiviálí řešeí musí být výaz v závoce ove ule. Když ozačíme - zobecěou (modálí) hmotosti módu : my = v Mv - zobecěou (modálí) tuhost módu : k = v Kv y a matici tlumeí vyjádříme z ovice (4.3.), bude platit []: m λ αm + βk λ + k = po =,,..., (4.3.5) y ( ) 0 + y y y Z ovice (4.3.5) učíme kořey λ []: ( ) = δ v ± iω λ, (4.3.6) kde je []: αm y + βk δ = m Ω Ω 0 = = Ω y δ y 0 k m y y Obecé řešeí tedy bude z ov. (4.3.4) []: = λt λ t ( e + Cve ) q = C v (4.3.7) Pokud bude Ω 0 > δ budou kořey λ ), komplexě sdužeé a výsledý pohyb bude peiodický, vyjádřeý ovicemi [4]: ebo [4]: ( δ t q = e v = ( A cosωt + B si Ωt) δ t q = Ce si v = ( Ωt + ϕ ) (4.3.8) (4.3.9) - -
Hodoty C, C ebo A, =, q B či C, t 0 = q q = q ) [4]. z počátečích podmíek ( 0 4.4 Vyuceé tlumeé kmitáí buzeé hamoickou silou 0, ϕ jsou itegačí kostaty, kteé se učí Koečě se dostáváme k duhu kmitáí, kteým můžeme popsat v plé šíři zadaou soustavu dle schématu a (ob. 3.). V tomto případě využijeme úplou ovici (3.3.). M q + Bq + Kq = Q(t) (4.4.) Jedá se o soustavu difeeciálích ovic duhého řádu s pavou staou. Její řešeí se skládá z řešeí homogeího a patikuláího [4]: q = q h + q p Homogeí řešeí je dáo ov.(4.3.8) esp. (4.3.9). Patikuláí řešeí závisí a vektou budících sil. Potože se jedá o hamoické buzeí, kteé lze popsat ovicí [4]: iωt Q ( t) = Q e, 0 patikuláí řešeí budeme předpokládat ve tvau [4]: i t q = ~ se ω, (4.4.) p kde ~ s je komplexí vekto amplitud. Dosazeím ovice (4.4.) do ovice (4.4.) získáme po úpavě [4]: K ω M + i ωb ~ s = Q ( ) 0 Z této ovice vyjádříme explicitě komplexí vekto amplitud odezvy [4]: ~ s = K ω M + i ωb Q (4.4.3) ( ) 0 tak, že povedeme ivezi komplexí matice ( ) K ω M + i ωb. Po tuto ivezi bez páce s komplexími čísly použijeme ásledující postupu [4]: Ozačme eálou část: A = K ω M a imagiáí část: D = ωb Ivezí dyamické matice tuhosti obdžíme opět eálou a imagiáí část: A + i D = L + in ( ) ( ) vyásobeím levé stay této ovice maticí dyamické tuhosti ( A id) jedotkovou matici: E = ( A + i D)( L + in) Rozásobeím a vytkutím do tvau: eálá + imagiáí část získáme: E = AL DN + i AN + DL - 3 - ( ) Reálé a imagiáí části obou sta ovice musí být ovy: AL DN = E AN + DL = 0 + obdžíme
uto soustavu lze zapsat maticově jako: A D D L E = A N 0 odkud lze již učit čley ivezí matice dyamické tuhosti, ovšem za ceu toho, že musíme ivetovat matici řádu. L A = N D D A E 0 Rovici (4.4.3) lze psát ve tvau [4]: s = L + in Q = s e ~ ϕ 0 0 i p, ( ) kde eálé hodoty amplitud odezvy jsou dáy vztahem [4]: s = Re ~ s + Im ~ s po =,,..., (4.4.4) 0 ( { }) ( { }) a jim odpovídající fáze [4]. { s} { s } Im ~ ϕ p, = actg Re ~ po =,,..., (4.4.5) Odezvu soustavy buzeé hamoickou silou lze vyjádřit ovicí: δ t q = Ce si( Ωt + ϕ ) v + s0 si( ωt + ϕ p ) (4.4.6) = Itegačí kostaty C a ϕ je uté učit z počátečích podmíek [4]. Potože jsme vycházeli z řešeí homogeí ovice, kteá popisovala popocioálí tlumeí, musíme i zde uvažovat tlumeí jako popocioálí. - 4 -
5 VÝPOČE POMOCÍ PROGRAMU MAPLE Maple je systém počítačové algeby po výuku a využití matematiky v příodovědých, techických a ekoomických oboech, kteý byl vyvíje od devadesátých let miulého století. Umožňuje symbolické a umeické matematické výpočty, jejich počítačovou vizualizaci, dokumetaci a publikaci. Učitelům, studetům i vědcům a výzkumým pacovíkům poskytuje uživatelsky přívětivé postředí, ve kteém lze sado používat matematiku. [7] Úloha byla vytvořea v pogamu ve vezi.0 a Widows XP za použití kihovy po řešeí poblémů lieáí algeby LieaAlgeba. 5. Zápis v soubou příkazů Zápis je vytvoře tak aby umožil obecý výpočet hodot po soustavy s -stupi volosti. Na počátku je poměé přiřazea hodota ova počtu stupňů volosti. Matice hmotosti, tuhosti a tlumeí je plěa áhodě geeovaými hodotami v zadaém ozsahu. Matice jsou uspořádáy tak aby odpovídaly zadaé soustavě, přičemž tlumeí je popsáo popocioálě pomocí kostat α a β. Řádky zápisu zpavidla odpovídají ovicím uváděým v teoetickém ozbou úlohy v kapitolách 3 a 4, přičemž jejich výsledky jsou ukládáy do poměých se stejým symbolickým ozačeím. Po povedeí výpočtu je vypsá výsledek opeace záoveň s jeho umeickým vyjádřeím. Vykesley jsou gafy závislostí amplitud vyuceých kmitů a budící fekveci (tzv.: amplitudová chaakteistika) a fází odezvy v závislosti a budící fekveci (fázová chaakteistika). Nad ámec zadáí je avíc vykesle půběh výchylek hmotých bodů ozviutý v čase po daé počátečí podmíky. 5. Vykesleí hodot modelových situací Po vykesleí gafů jsem zvolil počet stupňů volosti = 4. V gafu (ob 5.) je vidět půběh amplitud vyuceých kmitů s 0 v závislosti a budící fekveci ω. Po učeí matice tlumeí je použita popocioálí defiice, kteá využívá kostat α a β. y v závislosti a maticích M a K učí výsledou matici B. Matice odpovídá zadaé soustavě, je-li kostata β ova ule. Pokud by byla eulová, zamealo by to, že viskosí tlumeí je ealizováo i v místech mezi hmotými body. Kostata α je zvolea tak, aby platilo δ < Ω 0, čili se jedá o podkitické tlumeí. - 5 -
Ob. 5. Amplitudová chaakteistika (podkitické tlumeí) V gafu (ob 5.) jsou zobazey půběhy amplitud ůzých hmotých bodů. y jsou odlišey ůzou bavou. Stav kdy je fekvece buzeí ova vlastí (tlumeého i etlumeého kmitáí) se azývá ezoace (opak atitezoace) [8]. Poto při každé z vlastích fekvecí oste amplituda daého hmotého bodu, kteému tato fekvece odpovídá. ím, že jsou hmoté body vzájemě svázáy pužiami, se avzájem ovlivňují. o má za ásledek to, že ostou i amplitudy ostatích hmotých bodů. Půběh fáze odezvy a budící fekveci (fázová chaakteistika) je zobaze v ásledujícím gafu (ob. 5.): Ob. 5. Fázová chaakteistika (podkitické tlumeí) Po půběh polohy hmotých bodů v čase jsem zvolil budící fekveci ovu vlastí fekveci tlumeého kmitáí, tím astává ezoace. Výsledkem jsou 4 gafy po 4 vlastí - 6 -
fekvece tlumeého kmitáí (ob 5.3), při jejichž řešeí byly zvoley počátečí podmíky ulové. a) Budící fekvece ova. vlastí fekveci b) Budící fekvece ova. vlastí fekveci c) Budící fekvece ova 3. vlastí fekveci - 7 -
d) Budící fekvece ova 4. vlastí fekveci Ob. 5.3 Půběh výchylky v čase po ůzé hodoty budící fekvece (podkitické tlumeí) Z gafů (ob. 5.3) je vidět, že vždy po ějaké době potřebé po ustáleí, oste výchylka kmitů příslušá tomu hmotému bodu, po kteý je budící fekvece ova vlastí fekveci tlumeého kmitáí. Je také paté, že díky tlumeí emůže výchylka ůst do ekoeča. 5.. Vykesleí hodot po ůzé kostaty tlumeí Podkitické tlumeí bylo zázoěo v předchozím případě. Poto v ásledujícím případě jsou kostaty α a β zvoley tak, že δ > Ω 0, jedá se tedy o adkitické tlumeí. Při adkitickém tlumeí je odpoová síla tak velká, že eumoží tělesu zakmitat. Gafy amplitud odezvy v závislosti a budící fekveci takto tlumeé soustavy (ob. 5.4 a) a soustavy etlumeé (ob. 5.4 b), po iž platí δ = 0 vypadají ásledově: a) Nadkitické tlumeí - 8 -
b) Bez tlumeí Ob. 5.4 Amplitudová chaakteistika po ůzé kostaty tlumeí Z gafu (ob. 5.4 b) je vidět, že po soustavu s ulovým tlumeím oste amplituda ad všechy meze. 5.. Vykesleí hodot po ůzé kostaty tuhosti V soustavě se achází dvě řady puži, jedak mezi hmotými body a ámem, a také mezi sousedícími hmotými body avzájem. ím, že řádově zvýšíme tuhost puži z jedé řady, změíme podstatě vlastí tva kmitáí i ostatí veličiy. Následující gaf (ob. 5.5 a) zobazuje jaký vliv má zvýšeí tuhosti puži vázajících hmoté body k ámu a amplitudy vyuceých kmitů. Naopak vliv zvýšeí tuhosti puži mezi hmotými body je zázoě a dalším obázku (ob. 5.5 b). a) řádově vyšší tuhost puži mezi ámem a hm. body - 9 -
b) řádově vyšší tuhost puži mezi hm. body avzájem Ob. 5.5 Amplitudová chaakteistika po ůzé kostaty tuhosti V pvím případě (ob. 5.5 a) lze říci, že soustava se chová blíže představě soustavy hmotých bodů, kteé ejsou avzájem vázáy. Duhý případ (ob. 5.5 b) se chová spíše jako jede hmotý bod mající jedu vlastí fekveci. Vliv dalších vlastích fekvecí je pakticky zaedbatelý. Zvyšováím poměu mezi tuhostí jedé a duhé řady puži se tyto změy pojevují ještě více. Limití případy jsou zřejmé. U obou jde o kmitáí s jedím stupěm volosti. Pví je ezávislé kmitáí hmotých bodů a duhý je jede kmitající bod tvořeý součtem hmotostí. - 30 -
ZÁVĚR Předložeá páce pezetuje výsledky aalýzy kmitáí zadaé mechaické soustavy s -stupi volosti. Vykesley jsou amplitudové a fázové chaakteistiky soustavy. Nad ámec zadáí je vykesle půběh výchylky ozviutý v čase. Názoě je pezetová vliv změ hodot, kteé vstupují do výpočtu, a výsledek. Přiozeě zde ejsou demostováy veškeé kombiace možostí ovlivňující tva a chaakte kmitáí. Ze zde uvedeých si však lze utvořit představu, jaké bude mít kmitáí vlastosti. Po modelováí soustavy byl použit softwae Maple, te patří do skupiy pogamů umožňujících za použití matematických metod řešeí poblémů eje dyamiky. am lze zařadit také MALAB/Simulik, Mathematica a jié. yto pogamy mají bezespou své místo, ale des se v paxi používají po řešeí eálých poblémů spíše pogamové souboy založeé a metodě koečých pvků (apř. ANSYS, Po/ENGINEER Mechaica, MD Adams a další). - 3 -
SEZNAM POUŽIÝCH ZDROJŮ [] SLAVÍK, Jaomí, SEJSKAL, Vladimí, ZEMAN, Vladimí: Základy dyamiky stojů, pví vydái, ČVU Paha, Paha, 997. [] KRAOCHVÍL, Ctiad, SLAVÍK, Jaomí: Mechaika těles - Dyamika, čtvté vydáí, CERM, s..o., Bo, 007. [3] BREPA, Rudolf., PUS, Ladislav., UREK, Fatišek: Mechaické kmitáí, Sobotáles, pví vydáí, Paha, 994. [4] SLAVÍK, Jaomí: Počítačové metody mechaiky, pví vydáí, CERM, s..o., Bo, 00. [5] KOŽEŠNÍK, Jaoslav: Kmitáí mechaických soustav, pví vydáí, Academia, Paha, 979. [6] ŠVANCARA, Pavel, HOUFEK, Lubomí, MALENOVSKÝ, Eduad: Studijí opoy z dyamiky [olie], 8.. 006, [cit. 7. 5. 00], dostupý z: <http://www.umt.fme.vutb.cz/~pkejci/opoy/dyamika/idex.html> [7] Olie pezetace distibutoa Czech Softwae Fist s..o., Maple, [olie], [cit. 7. 5. 00], dostupý z: <http://www.maplesoft.cz/maple> [8] MALENOVSKÝ, Eduad: Studijí opoa z předmětu Počítačové metody mechaiky v dyamice [olie],.. 007, [cit. 7. 5. 00], dostupý z: <http://www.umt.fme.vutb.cz/~pkejci/opoy/pmm_dy/idex.html> - 3 -
SEZNAM POUŽIÝCH ZKRAEK A SYMBOLŮ Symbol veličiy Výzam veličiy Jedotka F Peioda [s] Q Fukce buzeí [N] Q 0 Amplituda fukce buzeí [N] t Čas [s] ω Úhlová fekvece buzeí [ad s - ] φ Fázové posuutí [ad] m Hmotost hmotého bodu [kg] k Kostata pužiy [N m - ] b Kostata tlumiče [N s m - ] q Zobecěé souřadice [m] q Zobecěá ychlost [m s - ] q Zobecěé zychleí [m s - ] Počet stupňů volosti [-] E K Kietická eegie soustavy [J] E D Disipačí fukce soustavy [J] E P Poteciálí eegie soustavy [J] u Amplitud hamoických kmitů [m] Ω Vlastí úhlová fekvece tlumeého kmitáí [ad s - ] Ω 0 Vlastí úhlová fekvece etlumeého kmitáí [ad s - ] v Modálí vekto [-] C Itegačí kostata [-] A Itegačí kostata [-] B Itegačí kostata [-] α Kostata popocioálího tlumeí [-] β Kostata popocioálího tlumeí [-] m y Zobecěá hmotost [kg] k y Zobecěá tuhost [N m - ] δ Kostata dozíváí [s - ] q h Homogeí řešeí [m] q p Patikuláí řešeí [m] s 0 Amplituda odezvy [m] φ p Fáze odezvy [ad] - 33 -
SEZNAM PŘÍLOH Příloha výpis soubou příkazů pogamu Maple Příloha soubo model_kmitai.mw a přiložeém CD - 34 -