Difrnciální počt funkcí jdné rálné proměnné - 7 - L HOSPITALOVO PRAVIDLO LIMITY TYPU 0/0 PŘÍKLAD Pomocí L Hospitalova pravidla určt sin 0 Ověřní přdpokladů L Hospitalovy věty Přímočarým použitím věty o itě podílu získávám sin sin 0 0 0 0 = = 0 Jdná s tdy o nurčitou itu typu 0/0 a můžm použít L Hospitalova pravidla sin ( sin ) cos = = = cos = cos 0 = 0 0 0 0 PŘÍKLAD cos Pomocí L Hospitalova pravidla určt 0 Ověřní přdpokladů L Hospitalovy věty ( cos ) cos 0 = = 0 0 0 0 cos ( cos) 0 ( sin) sin = = = 0 0 0 0 ( ) Použitím L Hospitalova pravidla jsm tdy dospěli k itě z příkladu O té al vím, ž j rovna jdné Můžm proto psát, ať již v základní vrzi podl L Hospitalovy věty nbo v něktré z vrzí rozšířných, zahrnuj vždy dva kroky: ověřní přdpokladů, za nichž lz výpočt provést, b) samotný výpočt Na místě j upozornění, ž první krok j rovnocnný kroku druhému a nní jj možno vynchat Uvdný příklad j pouz jdnoduchou ilustrací použití L Hospitalovy věty V skutčnosti bychom takto uvdnou itu počítat nmohli, nboť k výpočtu potřbujm znát drivaci funkc sinus a k urční této drivac zas počítanou itu Pohybujm s tdy v kruhu Stjná výhrada platí i pro příklad násldující
L Hospitalovo pravidlo - 7 - cos = = 0 Pokud bychom al výsldk příkladu nměli k dispozici, musli bychom použít L Hospitalova pravidla jště jdnou CVIČENÍ K PŘÍKLADŮM A Pomocí L Hospitalova pravidla určt násldující ity 0 sin cos c) 0 ) 0 ( ) cos g) arctg 0 arcsin b) tg 0 d) 0 f) 0 h) 00 ( ) ( 00 ) 0 ( ) 99 ( 99 ) LIMITY TYPU / PŘÍKLAD 3 Pomocí L Hospitalova pravidla určt ln Ověřní přdpokladů L Hospitalovy věty Přímočarým použitím věty o itě podílu získávám 3 ln ln = = Jdná s tdy o nurčitou itu typu / a můžm použít L Hospitalova pravidla ln ( ln ) / = = = = = 0 CVIČENÍ K PŘÍKLADU 3 Pomocí L Hospitalova pravidla určt násldující ity ln c) ln ) g) ( ) 5 00 b) 5 ln d) log f) n, n h) ( ) ( ) 3 3 3 Stačilo by ovšm ověřit jn, ž = ( viz Brviář, L Hospitalova vět
Difrnciální počt funkcí jdné rálné proměnné - 73 - LIMITY TYPU 0 PŘÍKLAD 4 Určt ( ln ) 0 Přvdní na L Hospitalovu itu Limita, ktrou s mám zabývat nyní, nní ani nurčitou itou typu 0/0, ani itou typu / L Hospitalova pravidla nmůžm tdy použít, aniž provdm jisté úpravy itovaného výrazu V tomto případě vd k cíli úprava ln ln =, / ktrá uvdnou itu přvádí na itu typu / Platí totiž ln = a 0 ( ln ) ( / ) 0 = ln / ( ) 0 0 0 0 0 0 ln = = = = = = 0 / / PŘÍKLAD 5 Určt ( ) Přvdní na L Hospitalovu itu Úprava =, přvádí uvdnou itu na typ / Platí totiž = a = Při výpočtu této ity již můžm použít L Hospitalovo pravidlo ( ) ( ) = = = = = = 0 ( )
L Hospitalovo pravidlo - 74 - CVIČENÍ K PŘÍKLADŮM 4 A 5 Určt násldující ity ( log ) 0 b) ( ln arctg ) 0 c) ( ) n, n d) arctg LIMITY TYPU, 0 0 a 0 PŘÍKLAD 6 Určt ( ) / a, a 0 Přvdní na L Hospitalovu itu Ani při výpočtu této ity nlz použít L Hospitalovo pravidlo přímo (jdná s o itu typu ) a j nutno njdřív provést úpravu 4 Pak můžm psát ( ) ( ln / / ln( a = = ( ) / 0 0 ( ln( ln 0 a = = Přdvším platí ln ( a ) ln ( a a a = = = = 0 0 0 0 a a proto i a a = 0 ( ) / a, PŘÍKLAD 7 Určt 0 Dřív, nž použijm L Hospitalovo pravidlo, musím provést úpravu pomocí ktré již můžm psát =, ln ln ln 0 0 0 = = 4 viz Brviář, kap 6
Difrnciální počt funkcí jdné rálné proměnné - 75 - Tím j původní ita přvdna na výpočt ity ( ln ) = 0, a proto platí i 0 ln 0 0 = = 0 z příkladu 4, kd j ukázáno, ž PŘÍKLAD 8 Určt ( ) / a, a > 0 Přvdní na L Hospitalovu itu Úprava, ktrou použijm přd aplikací L Hospitalova pravidla, j stjná jako v příkladch 6 a 7 Můžm tdy psát ( ) ( ln / / ln( a = = ( ) / ( ( ln ln a = = Samotné L Hospitalovo pravidlo použijm na výpočt ity v ponntu ln ( a ) ln ( a a a a = = = = = = a a( ) a 0 Pro původní itu takto získávám ( ) / 0 a = = CVIČENÍ K PŘÍKLADŮM 6 8 Určt násldující ity 0 / b) ( sin ) tg π / c) (sin ) 0 d) n /, n
L Hospitalovo pravidlo - 76 - LIMITY TYPU Určt PŘÍKLAD 9 π / tg cos Přvdní na L Hospitalovu itu Pomocí úpravy sin sin tg = = cos cos cos cos přvdm původní itu (typu ) na novou itu sin, π / cos ktrá j typu 0/0 Při výpočtu této nové ity můžm tdy použít L Hospitalovo pravidlo sin ( sin) 0 cos cos 0 = = = = = 0 π / cos π / cos π / sin π / sin CVIČENÍ K PŘÍKLADU 9 Určt násldující ity cotg sin 0 b) 0 tg (5) c) ( 3 ) (6) d) (7) 5 sin Po použití L Hospitalova pravidla využijt v závěrčných úpravách vhodně znalosti ity = 6 A nakonc něco z jiného soudku Limita, ktrou mát počítat, j sic itou typu, tntokrát j al vhodnější úprava poněkud odlišná od té, ktrou jsm provdli v přdcházjících dvou cvičních itovaný výraz vynásobt jdnotkovým zlomkm 3 3 7 I zd itovaný výraz vhodně upravt a při výpočtu použijt = 0