Matematia IV Křivový integrál 5. KŘIVKOVÝ INTEGRÁL Proč řivový integrál? Integračním oborem je řiva. Křiva neorientovaná integrál I. druhu (neorientovaný) Křiva orientovaná integrál II. druhu (orientovaný) 5.. Křiva a její orientace Z apitoly 4. víme, že vetorovou funcí jedné nezávisle proměnné t f () t = () t i + y() t j + z() t, t < a, b> je určena řiva, poud jsou funce t (), yt (), zt () spojité v < ab, >. Připomeňme evivalentní zápis řivy ve tvaru parametricých rovnic s parametrem t: = t ( ), y= yt ( ), z= zt ( ), t < ab, >.. Křiva o rovnici f () t = () t i + y() t j + z() t, t < a, b> se nazývá ladně (souhlasně) orientovaná v < ab, > vzhledem rostoucímu parametru t právě tehdy, dyž jsou její body uspořádány ta, že pro libovolné hodnoty t, t < ab, >, t < t, leží bod M = ( t ( ), yt ( ), zt ( )) před bodem M = ( t ( ), yt ( ), zt ( )) : + : t, t < ab, > : t< t Mb M. Platí-li naopa : t, t < ab, > : t< t M b M, nazývá se řiva záporně (nesouhlasně) orientovaná v < ab, > vzhledem rostoucímu parametru t.. Je-li řiva ladně orientována v < ab, > vzhledem parametru t, pa body A= ( a ( ), ya ( ), za ( )) a B= ( b ( ), yb ( ), zb ( )) jsou její rajní body, přičemž bod A se nazývá počáteční bod a bod B oncový bod řivy.. Platí-li A B, nazývá se řiva uzavřená. 4. Křiva se nazývá hladá v < ab, >, eistuje-li spojitá derivace f () t v < a, b >, terá je různá od o pro t < ab, >. 5. Křiva se nazývá jednoduchá v < ab, >, jestliže sama sebe neprotíná, tj. t, t < ab, > : t t M M. Poznámy. Symbol znamená předchází, leží před.. Hladou řivu si intuitivně představíme jao řivu oblého tvaru, tedy řivu bez bodů zlomu či zvratu, v jejímž aždém nerajním bodě lze sestrojit tečnu.. Křiva je hladá v < a, b >, jestliže v < a, b > eistují spojité derivace t ( ), yt ( ), zt ( ), teré nejsou současně nulové Jarmila Doležalová
Matematia IV Křivový integrál Přílad 5... Napište parametricé rovnice a) úsečy s rajními body A= ( a, a, a) a B= ( b, b, b), b) ružnice + y = r, r >, c) ružnice ( m) + ( y n) = r, r >, y d) elipsy + =, a >, b>, e) elipsy a b ( m) ( y n) + =, a>, b>. a b Řešení: a) Z analyticé geometrie víme, že parametricé rovnice úsečy, určené dvěma body A a B, mají symbolicý tvar X= A+ tb ( A), t <, >. () Po rozepsání do souřadnic platí = a+ tb ( a), y= a + tb ( a), z= a+ tb ( a), t <, >, b) parametricé rovnice ružnice se středem v počátu soustavy souřadnic a poloměrem r mají tvar = rcos t, y = rsin t, t <, π ). () Snadno se o tom přesvědčíme umocněním rovnic na druhou = r cos t, y = r sin t a jejich sečtením + y = r cos t+ r sin t = r (cos t+ sin t) = r. = r. c) Analogicy pro ružnici se středem v bodě S= ( mn, ) a poloměrem r platí = m+ rcos t, y = n+ rsin t, t <, π ). d) Parametricé rovnice elipsy se středem v počátu a poloosami a, b mají tvar = acos t, y = bsin t, t <, π ). Snadno se o tom přesvědčíme, dyž po úpravě y y = cos t, = sin t, opět umocníme rovnice na druhou = cos t, = sin t a b a b y a sečteme + = cos t+ sin t =. a b e) Parametricé rovnice elipsy se středem v bodě S= ( mn, ) a poloosami a, b mají tvar = m+ acos t, y = n+ bsin t, t <, π ). Přílady procvičení:. Napište parametricé rovnice a) úsečy s rajními body A = (,, ) a B = (,,), b) ružnice c) půlružnice e) ružnice g) elipsy Výsledy: + y =, y > d) ružnice + y + 6 y = 5, f) ružnice 4 9y 6, + y = 9, + y 4=, + y 6+ y =, + =, h) elipsy 9 + 4y 6 6y+ 6 =.. a) = + t, y =, z = t, t <, > ; b) = cos t, y = sin t, t <, π ) ; c) = cos t, y = sin t, t <, π > ; d) = + cos t, y = sin t, t <, π ) ; e) = 69 cos t, y = 8 + 69 sin t, t <, π ) ; f) = + 6cos t, y = 5 + 6sin t, t <, π ) ; π π g) = cos t, y = sin t, t <, > ; h) = + cos t, y = + sin t, t <, π ). Jarmila Doležalová
Matematia IV Křivový integrál Přílad 5... Napište vetorovou funci, terá je rovnicí a) úsečy s rajními body A= ( a, a, a) a B= ( b, b, b), b) ružnice + y = r, r > c) ružnice ( m) + ( y n) = r, r >, d) elipsy y + =, a >, b>, e) elipsy a b ( m) ( y n) + =, a>, b>. a b Řešení: Stačí zapsat výsledy příladu 5.. ve tvaru vetorové funce: f( t) = ( a+ tb ( a)) i+ ( a + tb ( a)) j+ ( a + tb ( a)), t <, >, a) b) f( t) = rcos ti + rsin t j, t <, π ), c) f ( t) = ( m+ rcos t ) i + ( n+ rsin t) j, t <, π ), d) f( t) = acos ti + bsin t j, t <, π ), e) f ( t) = ( m+ acos t) i + ( n+ bsin t ) j, t <, π ). Přílady procvičení: Napište vetorovou funci, terá je rovnicí a) úsečy s rajními body A = (,, ) a B = (,,), b) ružnice c) ružnice e) ružnice g) elipsy Výsledy: + y =, y d) ružnice + y + 6y =, f) ružnice + y = 9, + y 4=, + y 6+ y =, 4 + 9y = 6,, h) elipsy 9 + 4y 6 6y+ 6 =. a) f() t = (+ ) ti+ j+ ( ) t, t <,> ; b) f( t) = cos ti+ sin t j, t <, π ) ; c) f( t) = cos ti + sin t j, t <, π > ; d) f( t) = ( + cos ti ) + sin tj, t <, π ) ; e) f( t) = 69 cos ti+ ( 8 + 69 sin t) j, t <, π ) ; f) f( t) = ( + 6cos ti ) + ( 5 + 6sin t) j, t <, π ) ; π π g) f( t) = costi+ sin t j, t <, > ; h) f( t) = ( + cos ti ) + ( + sin t) j, t <, π ). 5.. Křivový integrál I. druhu (neorientovaný) Křivový integrál I. druhu definujeme na jednoduché hladé řivce o rovnici f() t = ti () + yt () j+ zt (), t < ab, > pro funci u= uyz (,, ) = ux ( ), terá je v oblasti Ω, v níž leží řiva, definována, ohraničená a spojitá. Zapisujeme ho tato: Poznáma u(, y, z) ds.. ds je malý, dílčí element dély řivy v jejím libovolně zvoleném bodě.. Křivový integrál I. druhu nezávisí na orientaci řivy, protože element dély řivy ds je vždy ladný. Proto se taé nazývá integrál neorientovaný. Jarmila Doležalová
Matematia IV Křivový integrál Výpočet řivového integrálu I. druhu Křivový integrál I. druhu vypočítáme převedením na jednoduchý určitý integrál. Je dána jednoduchá hladá řiva vetorovou funcí f() t = ti () + yt () j+ zt (), t < ab, >. Je-li funce uyz (,, ) spojitá a ohraničená v oblasti Ω, v níž leží řiva, pa pro řivový integrál I. druhu platí: b u(, y, z) ds = u( (), t y(), t z()) t () t + y () t + z () t dt () a Výraz () pochopíme, uvědomíme-li si, že element dély řivy ds v prostoru tvoří vlastně tělesovou uhlopříču vádru o délách stran d, dy, dz. Pro jeho délu proto podle Pythagorovy věty platí: ds = ( d) + ( dy) + ( dz) = ( () t dt) + ( y () t dt) + ( z () t dt) = () t + y () t + z () t dt, (4) protože d = () t dt, dy = y () t dt, dz = z () t dt. Přílad 5... Vypočítejte integrál O= (,,), A= ( a,,), a>. ( ), de řiva je úseča OA, G = + y + z ds Řešení:. Křivu vyjádříme podle vztahu () parametricy. Symbolicou rovnici X = O+ t(a O), t <, > rozepíšeme po souřadnicích: = at, y =, z =, t <, >.. Vypočítáme derivace = a, y = z =.. Podle vztahu (4) určíme ds = a + + dt = adt. t 4. Dosadíme podle vztahu () do zadání: G = ( a t + +.) adt = a = a. Poznáma Poud je řiva zadána pouze v rovině, tj. : = t ( ), y= yt ( ), t < ab, > (nebo f() t = ti () + yt () j, t < ab, > ) výrazy () a (4) se zjednoduší: b u(, y) ds = u( (), t y()) t () t + y () t dt, (a) ds = () t + y () t dt. a ds Přílad 5... Vypočítejte integrál H =, de je úseča KL, K = (, ), L= (,). y Řešení:. Úseču KL vyjádříme podle vztahu () parametricy: X = K + t(l K), t <, >, tedy po rozepsání po složách: = t, y = + t, t <, >,. vypočítáme derivace =, y =. Podle vztahu (4a) určíme ds = + dt = 5 dt. Jarmila Doležalová 4 (4a)
Matematia IV Křivový integrál 4. Dosadíme podle vztahu (a) do zadání: 5dt dt H = = 5 = 5 [ ln t+ ] = 5 ln. t ( + t) t+ Přílad 5... Vypočítejte integrál I = ds, jestliže řiva je první oblou cyloidy = at ( sin t), y= a( cos t), t <, π >, a>. Řešení:. Křiva je zadána parametricými rovnicemi.. Vypočítáme derivace = a( cos t), y = asin t.. Po dosazení do vztahu (4a) a úpravě dostaneme: ds = a ( cos t) + a sin tdt = a cost + cos t + sin tdt = a costdt = cost t = a costdt = a. dt = a sin dt t cost (při úpravě jsme použili vztah sin = ). 4. Po dosazení do vztahu (a) platí π π t t I = asin dt = a cos 4a[ cosπ cos] 4 a( ) 8 a. = = = Přílad 5..4. Vypočítejte integrál L = yds, de je část ubicé paraboly y =, <, >. Řešení:. Křivu vyjádříme parametricy:. Vypočítáme derivace. =, y = t. Po dosazení do vztahu (4a) dostaneme 4. Po dosazení do vztahu (a) platí: = t, y = t, t <, >. 4 ds = + ( t ) dt = + 9t dt. 4 4 + 9t = m m = + 9. = 4 4 L = t + 9t dt = 6t dt = dm m = + 9. = = mdm 6 = t dt = dm 6 m =. m = ( ). 6 6 = 54 Přílad 5..5. Vypočítejte integrál O = + y ds, de je horní polovina ružnice o poloměru r> a středu v počátu soustavy souřadnic. Řešení:. Integrační cestu vyjádříme podle vztahu () parametricy: = rcos t, y = rsin t, t <, π >. Vypočítáme derivace = rsin t, y = rcos t.. Určíme podle (4a) diferenciál ds = ( r sin t) + ( r cos t) dt = rdt. Jarmila Doležalová 5
Matematia IV Křivový integrál 4. Podle vztahu (a) platí Přílady procvičení: π π O = ( r cos t) + ( r sin t) rdt = r dt =π r.. Vypočítejte řivové integrály po prostorových řivách: a) ( + z) ds, : úseča AB, A = (,,), B = (,,), b) zds, : = t, y = t, z = t, t <, >, c) ( + y + z ) ds, : první závit šroubovice = a cos t, y = asin t, z = at, a >, d) z ds, : + y první závit šroubovice = cos t, y = sin t, z = t, e) zds, : = t cos t, y = t sin t, z = t, t <, >.. Vypočítejte řivové integrály po rovinných řivách : a) ds, : úseča, spojující body O=(, ), B = (, ), b) c) ( + y ) ds, : ružnice = a cos t, y = a sin t, a >, t <, π >, ds, : půlružnice = cos ty, = sin tt, <, p >, + y d) ds, : úseča AB, de A = (, 4), B = (6,), e) yds, : strany obdélnía, teré leží na přímách =, y =, = 4, y =, f) ( + y) ds, : strany trojúhelnía ABC, A = (,- ), B = (,- ),C = (, ), Výsledy:. a) 8 ; b) 9 4 ; c) 4 πa π + ; d) 8 ; π e) ( ).. a) 5; b) a ; π c) π ; d) 8 5; e) 4; f) + ; 5.. Křivový integrál II. druhu (orientovaný) Křivový integrál II. druhu definujeme na jednoduché hladé orientované řivce + ( - ) o rovnici f() t = ti () + yt () j+ zt (), t < ab, > a pro vetorovou funci F= Fyz (,, ) = F( X) = PX ( ) i+ QX ( ) j+ RX ( ). terá je v oblasti Ω, v níž leží řiva, definována, ohraničená a spojitá. Zapisujeme ho tato: F(, y, z). ds = ( P( X ), Q( X ), R( X )).( d, dy, dz) = P( X ) d + Q( X ) dy + R( X ) dz + + + Jarmila Doležalová 6
Matematia IV Křivový integrál Poznámy. Pro vetor ds v předchozím vztahu platí: ds = τi ds, de τ i je jednotový tečný vetor e řivce v jejím libovolně zvoleném bodě, orientovaný shodně s orientací řivy.. Křivový integrál II. druhu závisí na orientaci řivy, protože souřadnice jednotového tečného vetoru τ i jsou závislé na orientaci řivy. Nazývá se proto taé integrál orientovaný. Výpočet řivového integrálu II. druhu Křivový integrál II. druhu vypočítáme rovněž převedením na jednoduchý určitý integrál. Je dána jednoduchá hladá řiva vetorovou funcí f() t = ti () + yt () j+ zt (), t < ab, >, orientovaná vzhledem parametru t. Je-li vetorová funce Fyz (,, ) = Pyzi (,, ) + Qyz (,, ) j+ Ryz (,, ) spojitá a ohraničená v oblasti Ω, v níž leží orientovaná řiva, pa pro řivový integrál II. druhu platí: b F( yz,, ). ds= ε Pt ( (), yt (), zt ()) tdt () + ε Qt ( (), yt (), zt ()) ytdt () + a a b + ε Rt ( (), yt (), zt ()) ztdt (), (5) a de ε = + v případě ladné orientace řivy + vzhledem parametru t, resp. ε = v případě záporné orientace řivy - vzhledem parametru t. K odvození výrazu (5) je nutno nejprve provést salární součin F(, y, z). ds = ( P( X ), Q( X ), R( X )).( d, dy, dz) = P(, y, z) d + Q(, y, z) dy + R(, y, z) dz a pa vypočítat diferenciály d = () t dt, dy = y () t dt, dz = z () t dt. Úmluva Poud v následujících příladech nebude uvedena orientace integrační cesty, předpoládáme, že řiva je orientována ladně vzhledem rostoucímu parametru t. Přílad 5... Vypočítejte integrál J = d + ydy + zdz, de je první závit šroubovice = cos t, y = sin t, z = t. Řešení:. Křiva je vyjádřena parametricy.. Pro derivace platí = sin t, y = cos t, z =.. Určíme diferenciály: d = sin t dt, dy = cos t dt, dz = dt. 4. Pro první závit je t <, π > a po dosazení do vztahu (5) platí π π π J =. cos t( sin t) dt +. sin t. cost dt +. t.dt = π π t = ( 4sin tcost+ 4sin tcost+ 9 t) dt = 9 = 8 π. Poznáma Poud řiva leží pouze v rovině, vztah (5) se zjednoduší a platí b Jarmila Doležalová 7
Matematia IV Křivový integrál b b F( y, ). ds= ε Pt ( (), yt ()) tdt () + ε Qt ( (), yt ()) ytdt (). (5a) a a d ydy Přílad 5... Vypočítejte integrál K = ( ), de je ladně orientovaná čtvrtružnice + y + y = 4 v prvním vadrantu. Řešení:. Parametricé rovnice čtvrtružnice o poloměru r = mají podle vztahu () tvar π = cos ty, = sin tt, <, >.. Pro derivace platí = sin t, y = cost.. Určíme diferenciály: d = sin t dt, dy = cost dt 4. Podle vztahu (5a) je π π π cos t( sin t) dt sin t.cost dt 4. K =.. sin cos = 64 t t dt = (4 cos t+ 4sin t) (4 cos t+ 4sin t) π sin t = =. 8 6 Při řešení posledního integrálu jsme použili substituci sin t = m, cost dt = dm. Přílad 5... Vypočítejte integrál M = ( + y) d + ( y) dy, de je část rovnoosé hyperboly y =, <, >. Řešení:. Parametricé rovnice dané hyperboly:. Pro derivace platí =, y = t. Určíme diferenciály: d = dt, dy = dt t 4. Podle vztahu (5a) vypočítáme: = t, y =, t <, >. t t M =. (t + ) dt +. (t ) dt = (t + + ) dt = = t t t t t t t 9 85 = ( ) =. 8 8 7 Přílady procvičení:. Vypočítejte řivové integrály po prostorových řivách : a) yzd zdy, : první závit šroubovice = a cos t, y = a sin t, z = t, a >, >, b) d ydy + zdz, : orientovaná úseča AB, A = (,,), B = (4,, ), Jarmila Doležalová 8
Matematia IV Křivový integrál c) ( + y + z) d, : strany trojúhelnía ABC, A = (,, ), B = (,, ), C = (,,), d + ydy + zdz d d), : orientovaná úseča AB, A = (,, a ), B = (, b,), < a < b, + y + z e) yzd + zdy + ydz, : první závit šroubovice = cos t, y = sin t, z = t.. Vypočítejte řivové integrály po rovinných řivách : π a) yd + dy, : čtvrtružnice = a cos t, y = a sin t, a >, t <, >, b) ( y) d + ( + y) dy, : orientovaná úseča AB, A= (,), B= (,5), c) ( y) dy, : horní polovina ružnice + y = a, a>, d) dy yd, a) : první oblou cyloidy = a( t sin t), y = a( cos t), a >, e) f) b ) : oblou asteroidy = acos t, y = asin t, a>, at at γ ) : smyča Descartova listu =, y =, a >, + t + t ( y ) d + ydy, : oblou elipsy = cos t, y = sin t od bodu A = (, ) do bodu B = (,), Výsledy:. a) yd + ( y ) dy, :část paraboly y = od bodu O = (,) do bodu B = (,), π a ; b) 5; c) ; d) b - a; e).. a) ; b) ; c) 4 ; a d) a) 6 πa, β) πa, γ) a ; e) 4 ; 4 f). Vlastnosti řivových integrálů. Křivový integrál I. a II. druhu je lineární operátor.. Křivový integrál I. a II. druhu je aditivní funcí integračního oboru.. Poslední vlastnost se týá výhradně řivového integrálu II. druhu: Změníme-li orientaci řivy na opačnou, změní se znaméno řivového integrálu II. druhu. Tato vlastnost plyne přímo ze vztahu (5). Shrnutí Výpočet řivových integrálů I. a II. druhu provádíme podle následujícího algoritmu:. Křivu vyjádříme parametricy.. Vypočítáme potřebné derivace parametricých rovnic řivy.. Určíme diferenciál ds = () t + y () t + z () t dt při výpočtu integrálu I. druhu nebo diferenciály d = () t dt, dy = y () t dt, dz = z () t dt při výpočtu integrálu II. druhu. 4. Dosadíme do zadání a ta převedeme integrál řivový na jednoduchý určitý integrál, terý vyřešíme známými metodami. Jarmila Doležalová 9
Matematia IV Křivový integrál Poznáma Eistují další postupy výpočtu řivových integrálů, viz literatura. 5.4. Greenova věta Greenova věta vyjadřuje vztah mezi řivovým integrálem II. druhu po uzavřené rovinné řivce a dvojrozměrným integrálem. Poznáma Orientace uzavřené řivy: Kladná orientace znamená pohyb proti směru hodinových ručiče, záporná orientace pohyb po směru hodinových ručiče. Úmluva Křivový integrál II. druhu po uzavřené řivce označíme symbolem. Věta (Greenova) Předpolady:. Vetorová funce dvou proměnných Fy (, ) = Pyi (, ) + Qyj (, ) je spojitě diferenciabilní v oblasti Ω.. Oblast Ω je ohraničená, rovinná a normální vzhledem ose i vzhledem ose y.. Hranicí oblasti Ω je jednoduchá hladá uzavřená řiva +, ladně orientovaná. Tvrzení: Qy (, ) Py (, ) P(, y) d + Q(, y) dy = ddy. y (6) Ω Poznáma Je zřejmé, že Greenova věta převádí řivový integrál II. druhu v rovině po jednoduché uzavřené řivce na dvojrozměrný integrál po rovinné oblasti Ω, terou řiva ohraničuje (při splnění uvedených předpoladů). Přílad 5.4.. Vypočítejte integrál středem S (, ) a poloměrem r>. Řešení: Kruh y r ( 5 ) ( ), de řiva je ružnice se S = y y d + + y dy + je rovinná oblast, terá je normální vzhledem oběma souřadnicovým osám. Kružnice je jednoduchá a uzavřená, orientujeme ji ladně. Funce P(, y) = y 5y a Qy (, ) = + ysplňují podmíny Greenovy věty. Určíme Py = 5, Q = a podle vztahu (6) vypočítáme S = ( ( 5)) ddy = 5ddy = 5 Ω = 5π r. Ω Ω Přílad 5.4.. Vypočítejte integrál T = ( + y ) d + ( + y) dy, jestliže řivu tvoří strany trojúhelnía ABC, A= (,), B= (,), C = (,), viz obr.. Jarmila Doležalová
Matematia IV Křivový integrál Řešení: y Všechny předpolady Greenovy věty jsou splněny. B C Ω A Obr. Py (, ) = + y, Qy (, ) = ( + y), Py = y, Q = ( + y). Vymezíme oblast Ω jao normální vzhledem ose. Podle vztahu (6) dostaneme: Ω :, y. [ ] T = ( + y y) ddy = ddy = d dy = d y = ( ) d = Ω Ω 7 = ( ) d = = 9 + =. Poznáma Uvědomte si, že při výpočtu podle záladního postupu bychom museli vypočítat celem řivové integrály (po jednotlivých stranách trojúhelnía). Přílady procvičení: Vypočítejte řivové integrály užitím Greenovy věty: a) ( + y ) dy, : strany obdélnía ležící na přímách =, y =, =, y = 4, b) dy, : strany trojúhelnía OAB, O = (, ),A = (, ),B = (, ), c) yd ( + y) dy, : strany trojúhelnía, ležící na přímách =, y =, + y = 4, d) e) ( + y) d dy, : hranice oblasti ohraničené řivami =, y =, + y = 4 v prvním vadrantu, ( + y) d ( y) dy, : elipsa 4 + 9y = 6. Výsledy: a) 6; b) ; c) -; d) π; e) π. Jarmila Doležalová
Matematia IV Křivový integrál 5.5. Nezávislost řivového integrálu na integrační cestě se týá výhradně řivového integrálu II. druhu. Je dána oblast Ω, ohraničená jednoduchou uzavřenou řivou, v níž leží dva různé body A, B,. Vetorová funce FX ( ) = PXi ( ) + QX ( ) j+ RX ( ) je spojitá v oblasti Ω. Pa platí:. Jestliže hodnota řivového integrálu II. druhu F( X ). ds = P( X ) d + Q( X ) dy + R( X ) dz nezávisí na tvaru řivy, ležící v oblasti Ω a spojující body A, B, říáme, že tento integrál nezávisí na integrační cestě mezi body A, B.. Platí-li to pro libovolné dva body A, B z oblasti Ω, říáme, že tento integrál nezávisí na integrační cestě v oblasti Ω. Vetorová funce FX ( ) = PXi ( ) + QX ( ) j+ RX ( ) je spojitě diferenciabilní v oblasti Ω, v níž leží hladá řiva s počátečním bodem A a oncovým bodem B. Pa platí:. Křivový integrál F( X ). ds = P( X ) d + Q( X ) dy + R( X ) dz nezávisí na integrační cestě v oblasti Ω právě tehdy, dyž Pfaffova forma P( X ) d + Q( X ) dy + R( X ) dz je totálním diferenciálem menové funce φ ( X ), to je právě tehdy, dyž vetorové pole F( X ) je potenciálové, to je právě tehdy, dyž vetorové pole F( X ) je nevírové, tedy rot F( X ) = o.. Křivový integrál je v taovém případě roven rozdílu funčních hodnot menové funce (potenciálu) φ ( yz,, ) v oncovém a počátečním bodě: F( X ). ds = P( X ) d + Q( X ) dy + R( X ) dz = φ( B) φ( A). (7). Je-li řiva uzavřená ( A B), pa F( X ). ds = φ( B) φ( B) =. (8) Poznámy. Druhé tvrzení předchozí věty (vztah 7) můžeme vyjádřit taé tato: Křivový integrál z totálního diferenciálu je roven rozdílu menové funce (potenciálu) v oncovém a počátečním bodě řivy.. Pro uzavřenou řivu platí: Křivový integrál z totálního diferenciálu po uzavřené řivce je vždy roven nule. Toto tvrzení vyplývá ze sutečnosti, že v případě uzavřené řivy počáteční a oncový bod splývají.. Připomeňme si, že při studiu funce dvou proměnných jsme doázali, že nutnou a postačující podmínou pro to, aby výraz dφ ( y, ) = Pyd (, ) + Qydy (, ) byl totálním diferenciálem menové Jarmila Doležalová
Matematia IV Křivový integrál funce φ ( y, ) v oblasti Ω, je platnost vztahu: není tedy nutno počítat rot F( X ). Py (, ) Qy (, ) = y v Ω, (9) Přílad 5.5.. Vypočítejte integrál U = y d + y dy od bodu A(,) do bodu B (, ). Řešení: Určíme funce Py (, ), Qy (, ) a vypočítáme příslušné derivace: Py (, ) = y, Qy (, ) = y, Py = y, Q = y. Výraz y d + y dy je podle vztahu (9) totálním diferenciálem menové funce. Vypočítáme integrály P (, y ) d y d y C = = + Q(, y) dy = y dy = y + C, a určíme menovou funci (potenciál) φ (, y) = y + C. Křivový integrál nezávisí na integrační cestě a podle vztahu (7) platí U = φ(, ) φ(,) =.. =. Přílad 5.5.. Vypočítejte integrál V = d + y dy po uzavřené řivce, terou je ružnice + y = r, r >. Řešení: Určíme funce Py (, ), Qy (, ) a vypočítáme příslušné derivace: Py (, ) =, Qy (, ) = y, Py =, Q =. Podle vztahu (9) je Pfaffova forma d + y dy totálním diferenciálem jisté menové funce φ ( y, ) a řivový integrál nezávisí na integrační cestě. Křiva je uzavřená a tedy podle vztahu (8) platí V =. Přílad 5.5.. Určete menovou funci totálnímu diferenciálu (y + z + y + z) dy + (z + y + y + z) dz. dφ (, y, z) = ( + yz) d + Řešení: Vypočítáme integrály P (, y, z ) d = ( + yz ) d = + yz + C, Q(, y, z ) dy = ( y + z + y + z ) dy = y + yz + y + yz + C, R(, y, z) dy = (z + y + y + z) dz = z + yz + yz + z + C a určíme menovou funci (potenciál) φ (, y, z) = + yz + y + y + yz + z + z + C. Přílad 5.5.4. Vypočítejte integrál W = ( + yz) d + ( z + z ) dy + ( y + yz) dz od bodu A = (,,) do bodu B = (,,). Řešení: Určíme funce P = + yz, Q = z + z, R = y + yz. Jarmila Doležalová
Matematia IV Křivový integrál Vypočítáme i j rot f = = i( + z ) z + j( y y) + ( z z) = o. y z + yz z + z y + yz Vetorové pole je nevírové a potenciálové. Integrál je proto nezávislý na integrační cestě. Určíme menovou funci (potenciál): P (, y, z ) d = ( + yz ) d = + yz + C, Q(, y, z ) dy = ( z + z ) dy = yz + yz + C, R(, y, z) dz = ( y + yz) dz = yz + yz + C φ (, y, z) = + yz + yz + C. Podle vztahu (7) platí B W = φ( B) φ( A) = + yz + yz == ( +..+. ) ( +..+. ) =. Přílady procvičení:. K totálnímu diferenciálu určete menovou funci: a) b) dφ (, y) = ( y + y ) d ( y + y ) dy, dφ (, y, z) = ( yz) d + ( y z) dy + ( z y) dz, c) dφ (, y, z) = d + ydy + zdz, d) e) dφ (, y) = ( cos y + ) d sin y dy, y dφ (, y) = e d + ( e ) dy. y A. Vypočítejte řivové integrály po řivce s počátečním bodem A a oncovým bodem B: a) b) yd + dy, A = (,), B = (, 4), arcsin y d + dy, A = (,), B = (,), y c) yd + dy, A = (, ), B = (,), d) e) f) d + ydy, A = (, ), B = (, 4), + y y d dy, A = (, ), B = (,), π π ysin d cos dy, A = (,), B = (, ). 6 4. Ověřte, zda se řivové integrály po uzavřené řivce rovnají : Jarmila Doležalová 4
Matematia IV Křivový integrál a) ( y) d + ( y ) dy, b) c) d) 4 4 ( + 4 y ) d + (6 y 5 y ) dy, y y ( + ) d dy,, 4 (y + + + ) d + ( y + y + ) dy,, y, y y y e) ye d + ( ) e dy. 4. Vypočítejte řivové integrály po řivce z bodu A do bodu B: a) yzd + zdy + ydz, A = (,, ), B = (,, 4), b) c) d) e) d + y dy z dz, A = (,,), B = (,, ), + y + z e ( d + ydy + zdz ), y y ( + ) d + ( + ) dy dz, y, z, A = (,,), B = (,,), y z z y z zdy + ydz yzd, yz, A = (,, ), B = (,,), ( yz) f) yzd + ( + z) dy + ( y ) dz, A = (,,), B = (,, ). Výsledy:. a) φ (, y) = y+ y y + C; b) φ (, y, z) = ( + y + z ) yz + C; y c) φ ( yz,, ) = ( + y + z ) + C; d) φ ( y, ) = cos y+ + C; e) φ ( y, ) = e y+ C.. a) 4; b) ; c) 4; d) 5 ln ; 8 5.6. Apliace řivového integrálu 5.6.. Obsah válcové plochy e) ; f) ; 4. a) 6; b) 77 ; c) ; d) ; e) ; f) 8. Funce f( y, ) je spojitá v oblasti Ω, v níž leží jednoduchá hladá řiva. V aždém bodě řivy veďme rovnoběžu s osou z až po její průsečí s plochou o rovnici z= f( y, ), viz obr.. Pro obsah části tato sestrojené válcové plochy mezi rovinou z = a plochou z= f( y, ) platí S = f (, y) ds. () Jarmila Doležalová 5
Matematia IV Křivový integrál z z=f(,y) y Obr. Vztah () určuje geometricý význam řivového integrálu I. druhu. Přílad 5.6.. Určete obsah části válcové plochy + y = r, terá je ohraničena rovinami z = a z = v prvním a čtvrtém otantu, viz obr.. Řešení: Řídicí řivu ( je jí ružnice + y = r ) válcové plochy vyjádříme podle vztahu () parametricými rovnicemi = rcos t, y = rsin t, určíme derivace = rsin t, y = rcost a podle vztahu (4a) vypočítáme diferenciál ds = r sin t + r cos tdt = rdt. z (,-r,) (,r,) y Obr. π π V prvním a čtvrtém otantu má parametr t hodnoty t. Dosazením do vztahu () dostaneme: π π S = cos [ sin ] ds = r t rdt = r t = r. π π Přílady procvičení: Vypočítejte obsah částí válcových ploch, ohraničených rovinou z = a danými plochami: a) b) + y = r, rz = y, r >, + y = r, z = r +, r >, r Jarmila Doležalová 6
Matematia IV Křivový integrál c) 9 y = 4( ), z =, d) e) f) Výsledy:. a) y =, z = 4, 8 y =, =, z = y, 9 y =, z =, =, y = 6. 8 r ; b) 5.6.. Déla řivy π r ; c) ; d) 4 π ; e) 98 ; 8 f) 6 ( ). 7 Nechť je definována jednoduchá, po částech hladá řiva. Déla řivy je dána vztahem L = ds. () Vztah () pochopíme, jestliže si uvědomíme, že hodnota L je číselně rovna obsahu válcové plochy nad řivou, terá je ohraničena rovinami z =, z =, tj. má výšu rovnu (ve vztahu () dosadíme uy (, ) = : L = S = ds = ds ). Přílad 5.6.. Odvoďte vztah pro výpočet dély ružnice + y = r. Kružnici vyjádříme podle vztahu () parametricými rovnicemi = rcos t, y = rsin t, t <, π ). Vypočítáme derivace = rsin t, y = rcost a podle vztahu (4a) určíme diferenciál ds = ( r sin t) + ( r cos t) dt = r (cos t + sin t) dt = rdt. Dosadíme do vztahu () a dostaneme: π π L = rdt = r [ t] = π r. Přílady procvičení: Vypočítejte délu řive: a) Prvního oblouu cyloidy = at ( sin t), y= a( cos t), a>, b) ardioidy = acost acos t, y = asin t asin t, a>, c) d) f) 4 6 t, y t 4 6 y ln, z,,, y =, z=, <, >. 6 = = mezi průsečíy se souřadnicovými osami, = = < > e) t t = e, y = e, z = t, t <, >, Výsledy: a) 8a ; b) 6a ; c) ; d) ( + ln ) ; e) e ; f) 7 e 6. Jarmila Doležalová 7
Matematia IV Křivový integrál 5.6.. Obsah rovinné oblasti je jednoduchá, uzavřená, po částech hladá řiva. Křiva ohraničuje rovinnou oblast Ω, normální vzhledem oběma osám, a je vzhledem ní ladně orientována. Obsah oblasti Ω je dán vztahem P = dy yd. () Přílad 5.6.. Odvoďte vztah pro výpočet obsahu elipsy. Řešení: Parametricé rovnice elipsy se středem v počátu soustavy souřadnic a délou poloos a>, b> mají tvar = acos t, y = bsin t, t <, π ). Pro derivace platí = asin t, y = bcos t. Použitím vztahů (4a) a () dostáváme π π π P =. a cost bcostdt. bsin t( a sin t) dt ab (cos t sin t) dt = + = π π = ab dt ab[ t] ab. = = π Přílady procvičení: Určete obsahy rovinných oblastí, teré jsou ohraničeny ladně orientovanými řivami: a) Asteroidou = acos t, y = asin t, a>, b) ardioidou = acost acos t, y = asin t asin t, a>, c) cyloidou = at ( sin t), y= a( cos t), t <, π >, a> a osou, d) smyčou Descartova listu e) Výsledy:a) y = 4. 8 π a ; b) 6π a ; c) at at =, y =, a >, + t + t π a ; d) a ; e) 4. 5.6.4. Práce síly po řivce Působí-li v aždém bodě jednoduché, po částech hladé řivy síla F= ( Pyz (,, ), Qyz (,, ), Ryz (,, )), pa práce, vyonaná touto silou při působení na hmotný bod s jednotovou hmotností po řivce, je dána vztahem A = P(, y, z) d + Q(, y, z) dy + R(, y, z) dz, () nebo stručnějším zápisem vztahem A = F( X ). ds. Přílad 5.6.4. Síla F, jejíž veliost v aždém bodě je rovna vzdálenosti tohoto bodu od roviny z =, směřuje do počátu soustavy souřadnic, viz obr. 4. Vypočítejte práci této síly při pohybu hmotného bodu s jednotovou hmotností po úsečce = t, y =, t z = t z bodu K = (, 4, 6) do bodu L = (, 6,9). Jarmila Doležalová 8
Matematia IV Křivový integrál Řešení: Síla F je rovnoběžná s polohovým vetorem OX = X O = (, y, z) bodu X( yz,, ), ale má opačnou orientaci a zatím neznámou veliost: F = ( c, cy, cz), de c je onstanta úměrnosti. Veliost síly F je dána vztahem z F y F Obr. 4 F = c + c y + c z = c + y + z. Podle zadání platí F = z, ( z > v prvním otantu, v němž leží úseča KL). tedy po dosazení c + y + z = z z a odtud c = (v prvním otantu, v němž leží úseča KL). + y + z Po dosazení za onstantu úměrnosti c dostáváme: z yz z F = (,, ), + y + z + y + z + y + z po zjednodušení platí F = ( z, yz, z ). + y + z Bodu K odpovídá parametr t = (zjistíme to dosazením souřadnic bodu K do parametricých rovnic úsečy KL: = t,4=,6 t = t), bodu L parametr t = (zjistíme to dosazením souřadnic bodu L do parametricých rovnic úsečy KL: = t,6=,9 t = t). Podle vztahu () pro práci A platí: A = ( zd + yzdy + z dz) = (t dt 6 t.dt 9 t. dt) + + = t 4 9 + y + z + + 4 4 t 5 4 = tdt 4. 4 = = 4 Přílady procvičení:. Najděte práci silového pole F = yi + ( + y) j, jestliže se hmotný bod přemístí z počátu O = (,) do bodu A = (,) a) po přímce y =, b) po parabole y =, c) po lomené čáře OBA, de B = (, ), d) po lomené čáře OCA, de C = (,). Jarmila Doležalová 9
Matematia IV Křivový integrál. Určete práci silového pole F = ( y) i + j při pohybu hmotného bodu po stranách čtverce, teré leží na přímách =± a, y =± a, v ladném smyslu.. Vypočítejte práci silového pole F = ( + y) i + j při jednom oběhu hmotného bodu po ružnici + y = r v ladném smyslu. 4. Silové pole v prostoru je určeno silou F = i + yj + z. Vypočítejte práci, terou vyoná při pohybu hmotného bodu po lomené čáře OABCO, O = (,,), A = (,,), B= (,, ), C = (,,). 5. Najděte silové pole, jehož potenciál je φ ( y, ) = ln + y arctg a vypočítejte práci tohoto y pole při pohybu hmotného bodu z bodu A = (,) do bodu B = (, ). 6. Určete práci silového pole bodu B = (,). F = yi + j při pohybu hmotného bodu z bodu A = (, ) do Výsledy:. a) 4 7 ; b) ; c) ; d) ;. 8a ;. π r ; 4. ; 5. ln ; 6.. 5.6.5. Cirulace vetorového pole Cirulací vetorového pole FX ( ) = PXi ( ) + QX ( ) j+ RX ( ) po uzavřené, po částech hladé, orientované řivce nazýváme řivový integrál II. druhu C = F( X ). ds = P( X ) d + Q( X ) dy + R( X ) dz. (a) Je zřejmé, že v potenciálovém vetorovém poli ( rot F( X ) = o) nezávisí řivový integrál ve vztahu (a) na integrační cestě a proto je cirulace vždy nulová. Poznáma Porovnáním vztahu (a) se vztahem () vidíme, že cirulace určuje práci vetorového pole F při přemístění hmotného bodu s jednotovou hmotností po uzavřené řivce. Přílad 5.6.5. Určete cirulaci vetorového pole F(, y, z) = yi j + z po uzavřené ladně orientované řivce, terá je průniem ploch + y + z = 4 a + y = z, z >. Řešení: Rovnice + y + z = 4 určuje ulovou plochu se středem v počátu soustavy souřadnic a poloměrem r =, rovnice + y = z je rovnicí rotační uželové plochy s vrcholem v počátu soustavy souřadnic a osou rotace v ose z, viz obr. 5. Obě plochy se protínají pro z > v ružnici, terá má střed v bodě (,, ) a poloměr r =. Zjistíme to vyřešením soustavy + y + z = 4, + y = z : z = 4, z =, z =, odtud y z ( ) + = =, a proto r =. Parametricé rovnice této ružnice = cos t, y = sin t, z =, t <, π ) derivujeme: = sin t, y = cos t, z =. Jarmila Doležalová
Matematia IV Křivový integrál z + y Obr. 5 Po dosazení do vztahu (a) vypočítáme: π C = yd dy + zdz = ( sin t( sin t) cost cost +.) dt = π π = (sin t + cos t) dt = dt =.π = 4 π. Přílad 5.6.6. Vypočítejte cirulaci vetorového pole F(, y, z) = ( + y + z )( i + yj + z ) po ladně orientovaných stranách trojúhelnía ABC, A= (,,), B= (,,), C = (,,). Řešení: Cirulaci vypočítáme podle vztahu (a): C = ( + y + z ) d + y( + y + z ) dy + z( + y + z ) dz. Nejprve zjistíme, zda vetorové pole F( X ) není potenciálové. Stačí vypočítat i j rotf( X ) = = y z ( + y + z ) y( + y + z ) z( + y + z ) = i (yz yz) + j (z z) + (y y) = o. Vetorové pole F( X ) je proto nevírové a rovněž potenciálové a tedy integrál C nezávisí na integrační cestě. Protože cirulace C je definována na uzavřené řivce, platí: C =. Přílady procvičení: Vypočítejte cirulaci vetorového pole F ( X ) po řivce : a) Fy (, ) = ( yi ) + ( y + ) j, je ladně orientovaná ružnice se středem v počátu soustavy souřadnic a poloměrem r, b) Fy (, ) = ( + yi ) + ( y) j, je ladně orientovaná elipsa se středem v počátu soustavy souřadnic a délou poloos a, b, c) d) Fy (, ) ( y) i ( y) j, O= (,), A= (,), B= (,), = + + jsou ladně orientované strany trojúhelnía OAB, F(, y) = yi + y j, je ladně orientovaná ružnice + y = r, Jarmila Doležalová
Matematia IV Křivový integrál e) Výsledy: a) F(, y) = ( + y) i ( + y) j, jsou ladně orientované strany trojúhelnía OAB, O= (,), A= (,), B= (,). π r ; b) ; c) ; d) 5.6.6. Hmotnost oblouu řivy π r 4 ; e) 4. Je-li jednoduchá, po částech hladá řiva a σ = σ( yz,, ) hustota v jejím libovolném bodě X= ( yz,, ), pa řivový integrál I. druhu m = s (, y, z) ds (4) vyjadřuje hmotnost řivy. t t t Přílad 4.6.7. Určete hmotnost řivy f( t) = e costi + e sin t j+ e, t <, >, jestliže hustota řivy v jejím libovolném bodě je nepřímo úměrná čtverci veliosti průvodiče tohoto bodu a v bodě A = (,,) je rovna. Řešení: Křivu vyjádříme parametricými rovnicemi t t t = e cos t, y = e sin t, z = e, t <, >, t t t vypočítáme derivace = e (cost sin t), y = e (sin t+ cos t), z = e a určíme diferenciál t t t ds = e (cos t sin t) + e (sin t + cos t) + e dt = t t = e (cos t sin t cost + sin t) + (sin t + sin t cost + cos t) + dt = e dt. Průvodič OX = X O = (, y, z) bodu X( yz,, ) má veliost OX = + y + z, OX = + y + z. Pro hustotu podle zadání platí nepřímá úměrnost: (,, ) c c c s yz = = = t t t t + y + z e cos t+ e sin t+ e e, de c je onstanta úměrnosti. Bodu A odpovídá hodnota parametru t = (po dosazení souřadnic bodu A do t t t parametricých rovnic řivy dostaneme = e cos t, = e sin t, = e a vyřešením zísáme jediné řešení t = ). V bodě A = (,,) je σ ( A) =. c Tedy pro t = v bodě A je = a odtud c =.. e t Hustota je pa určena vztahem σ () t = = = e. t t e e Po dosazení do vztahu (4) pro hmotnost m platí: t t t m = e dt e dt e = ( e ). t = = e Přílady procvičení: Určete hmotnosti řive: Jarmila Doležalová
Matematia IV Křivový integrál a) Části paraboly y = mezi body O (,) a B(,), jestliže lineární hustota, ρ = b) prvního závitu šroubovice = cos t, y = sin t, z = t o hustotě c) řivy y = mezi body O (,) a rovna délce oblouu OX, ρ = + y + z, A (, ), jestliže hustota v aždém bodě Xy (, ) je d) řivy y = ln mezi body A (, ) a B (,ln ), jestliže hustota v aždém bodě je rovna čtverci -ové souřadnice bodu, a e) části řetězovy y = ( e a + e a ) pro <, a>, a>, jestliže hustota v aždém bodě Xy (, ) je nepřímo úměrná vzdálenosti od osy a v bodě A(, a ) má hodnotu. Výsledy: a) (5 5 ) ; b) 6 ( 4 ) π + π ; c) (9 4 ) ; d) 9 (5 5 ) ; e) a. 5.6.7. Staticé momenty a souřadnice těžiště řivy Je dána jednoduchá, po částech hladá prostorová řiva, jejíž hustota je určena funcí σ = σ( yz,, ). Pro její staticé momenty vzhledem souřadnicovým rovinám os, y, resp., z, resp. y, z platí: Sy = Sz= = zs (, y, z) ds, (5a) Sz = S y= = ys (, y, z) ds, (5b) S yz = S= = s (, y, z) ds. (5c) Označíme-li T = ( ξηζ,, ) těžiště řivy, pa pro jeho souřadnice platí vztahy: S S y= S = =, η =, z = z=, (6) m m m de m značí hmotnost řivy. Analogicy, je-li dána jednoduchá, po částech hladá rovinná řiva, jejíž hustota je σ = σ( y, ), pa pro její staticé momenty vzhledem souřadnicové ose, resp. y platí: S = S y= = ys (, y) ds, (7a) S y = S= = s (, y) ds. (7b) Označíme-li T = ( ξη, ) těžiště řivy rovinné řivy, pa pro jeho souřadnice platí: S S y= = =, η = (8) m m de m značí hmotnost řivy. Jarmila Doležalová
Matematia IV Křivový integrál Přílad 5.6.8. Určete souřadnice těžiště prvního závitu homogenní šroubovice = cos t, y = sin t, z = t. Řešení: Osa z je osou symetrie šroubovice, proto těžiště leží na ose z, to je ξ = η = a tedy taé Syz = Sz =. K určení ζ potřebujeme znát podle vztahu (6) hmotnost m a staticý moment S y. Určíme nejprve derivace = sin t, y = cos t, z = a podle vztahu (4) vypočítáme diferenciál ds = sin t + cos t + dt = dt. Hustotu položíme bez újmy na obecnosti rovnu. π Podle vztahu (6) vypočítáme m =. dt = π a podle vztahu (5a) určíme π π t Sy = t.. dt = = π. Platí tedy: π ζ = = π. π První závit homogenní šroubovice má těžiště o souřadnicích T = (,, π ). Přílady procvičení: Určete souřadnice těžiště hmotných řive: a) Prvního oblouu cyloidy = at ( sin t), y= a( cos t), a>, je-li její hustota jednotová, b) dolní poloviny ružnice + y = r, r >, je-li její hustota jednotová, c) části asteroidy = acos t, y = asin t, a > mezi body A= (, a) a B= ( a,), je-li její hustota v aždém bodě Xy (, ) rovna -ové souřadnici tohoto bodu, t t t d) části řivy = e cos t, y = e sin t, z = e pro t (, >, je-li její hustota onstantní. Výsledy: a) 4 ( π a, a) ; b) r (, ) ; c) π 5 5 ( a, π a) ; d) 8 56 (,, ). 5 5 5.6.8. Momenty setrvačnosti řivy Je-li jednoduchá, po částech hladá prostorová řiva o rovnici f() t = ti () + yt () j+ zt (), t < ab, > a σ = σ( yz,, ) je hustota v jejím libovolném bodě X( yz,,, ) pa moment setrvačnosti řivy vzhledem ose, resp. ose y, resp. ose z je určen postupně vztahy: I = ( y + z ) s (, y, z) ds, (9a) I y = ( + z ) s (, y, z) ds, (9b) Jarmila Doležalová 4
Matematia IV Křivový integrál Iz = ( + y ) s (, y, z) ds. (9c) Analogicy pro jednoduchou, po částech hladou rovinnou řivu o rovnici f() t = ti () + yt () j, t < ab, > s hustotou σ = σ( y, ) v jejím libovolném bodě Xy (, ) platí: Moment setrvačnosti řivy vzhledem ose, resp. ose y, resp. ose z je postupně určen vztahy: I = y s (, y ) ds, (a) I = s (, y ) ds, (b) y z y ( ) s (, ). (c) I = I + I = + y y ds Přílad 4.6.9. Určete moment setrvačnosti prvního závitu homogenní cyloidy = at ( sin t), y= a( cos t), a> při rotaci olem osy. Řešení: Pro derivace platí = a( cos t), y = asin t a podle vztahu (4a) určíme diferenciál t ds = a ( cos t) + a sin tdt = a costdt = asin dt. Bez újmy na obecnosti položíme σ ( y, ) =. Podle vztahu (a) platí: π π cos π t t t t t I = a ( cos t) a sin dt = a 4( ) sin dt 8 a (sin ) sin dt = = t π cos = m + t t = 8 a ( cos ) sin dt = = 8 a ( m ) dm t = sin dt = dm 5 m m 56 = 6a m + = a. 5 5 Přílady procvičení: Určete momenty setrvačnosti vzhledem souřadnicovým osám prvního závitu homogenní at šroubovice = acos t, y = asin t, z =, a>. π Výsledy: 5 I = a 4π + = Iy, Iz = a 4π +. 6 Jarmila Doležalová 5