Mticový počet zákldní pojmy Mtice je obdélníkové schém tvru 2...... n 2 22. 2n A =, kde ij R ( i =,,m, j =,,n ) m m2. mn ij R se nzývjí prvky mtice o mtici o m řádcích n sloupcích říkáme, že je typu m/n znčíme A(m/n) jeli ij = 0 pro i = m, j = n nzýváme mtici nulovou jeli počet řádků roven počtu sloupců (tj. m=n) nzýváme příslušnou mtici A(n/n) čtvercovou mticí řádu n. prvky mtice ij, pro které pltí i=j, tvoří hlvní digonálu mtice (pltí pro čtvercovou mtici) prvky mtice ij, pro které pltí j=ni, tvoří vedlejší digonálu mtice (pltí pro čtvercovou mtici řádu n) čtvercová mtice řádu n, která má n hlvní digonále smé osttní prvky jsou nulové se nzývá jednotková mtice čtvercová mtice řádu n, která má mimo hlvní digonálu všechny prvky nulové se nzývá digonální mtice mtice A (n / m), která vznikne z mtice A (m / n) záměnou řádků z sloupce se nzývá trnsponovná mtice Numerické řešení soustvy lineárních rovnic Řešení soustv lineárních rovnic ptří mezi nejdůležitější části numerické mtemtiky. Mnoho prktických úloh nkonec vede k řešení tkovýchto soustv, čsto velmi rozsáhlých. Budeme se zbývt řešením soustvy n lineárních rovnic 2 2 n n =,n 2 22 2 2n n = 2,n () n n2 2 nn n = n,n s n neznámými, 2,..., n. Soustvu můžeme psát ve tvru i,n nebo v mticovém tvru A. = b (2) kde,n 2,n : n,n Mtice A=( ij ), i,j=,..., n, se nzývá mtice soustvy sloupcový vektor b=(,n,..., n,n ) vektor prvých strn =(,..., n ) je vektor neznámých. 2 n 2 n,n 2 22 2n 2 22 2n 2,n.... n n2 nn n n2 nn n,n mtice soustvy rozšířená mtice soustvy
Řešením soustvy rozumíme uspořádnou ntici (r, r 2,, r n ), kde po doszení r j z j do všech rovnic přejdou tyto rovnice v identitu. Soustv lineárních rovnic se nzývá řešitelná (resp. neřešitelná), jestliže eistuje (neeistuje) lespoň jedno její řešení. Dvě soustvy nzýváme ekvivlentní, jestliže množiny jejich řešení jsou si rovny. Jkoukoliv úprvu soustvy lineárních rovnic, po níž vznikne soustv ekvivlentní, nzýváme ekvivlentní úprvou. Ekvivlentní úprvy: libovolná záměn pořdí rovnic vynásobení libovolné rovnice nenulovým číslem ze stejné množiny jko jsou koeficienty přičtení libovolné lineární kombince osttních rovnic k rovnici přidání rovnice, která je lineární kombincí rovnic soustvy vypuštění rovnice, která je lineární kombincí zbývjících rovnic Jeli mtice soustvy regulární má soustv právě jedno řešení v R, jeli mtice soustvy singulární, má soustv v R nekonečně mnoho řešení nebo nemá žádné. Všude v dlším tetu budeme předpokládt, že mtice soustvy je regulární, tj. že řešená soustv má právě jedno řešení. Metody pro řešení soustv lineárních rovnic dělíme n přímé iterční. Přímé metody Přímé metody vedou k řešení soustvy po konečném počtu kroků. Tkto nlezené řešení by bylo přesné, kdybychom se v průběhu výpočtu nedopouštěli zokrouhlovcích chyb.. Gussov eliminční metod (GEM) Zákldem této metody je úprv soustvy n trojúhelníkový tvr pomocí ekvivletních úprv. Tuto část GEM nzýváme přímý chod GEM. Přidámeli v soustvě (2) vektor prvých strn b jko (n)ní sloupec k mtici A, můžeme soustvu přepst ve tvru 2 2... n n =,n 2 22 2... 2n n = 2,n n n2 2... nn n = n,n Nyní se pomocí přičítání vhodných násobků první rovnice budeme snžit z osttních rovnic eliminovt. Jeli =0, vyměníme první rovnici s první tkovou rovnicí, která n prvním místě nulu nemá. Odečtemeli postupně první rovnici, vynásobenou číslem [( i )/( )], od ité rovnice, pro i=2,3,..., n, dostneme 2 2... n n =,n 22 2... 2n n = 2,n n2 2... nn n = n,n Nové koeficienty jsou vypočteny jko ij = ij [( i )/( )]. j, i = 2,3,..., n, j=2,3,..., n. Nyní budeme pomocí vhodných násobků druhé rovnice eliminovt 2 v třetí, čtvrté,... nté rovnici. Opět, jeli 22 =0, vyměníme druhou rovnici s první z dlších rovnic, ve které u 2 nul není. Tím dostneme 2 2 3 3... n n =,n 22 2 23 3... 2n n = 2,n 33 3... 3n n = 3,n n3 3... nn n = n,n
kde ij = ij [( i2 )/( 22 )]. 2j, i = 3,4,..., n, j=3,4,..., n. Pokrčujemeli dále stejným způsobem, dostneme po n krocích soustvu v trojúhelníkovém tvru 2 2 3 3... n n =,n 22 2 23 3... 2n n = 2,n (3) 33 3... 3n n = 3,n nn n = n,n Z této soustvy sndno určíme hledné řešení: n = n, n n, n ( ). n n, n n, n n, n = (4) ( )... =., n 2 2 3 3 n n n Postup vedoucí k soustvě (3) se nzývá přímý chod GEM, výpočet neznámých dle (4) zpětná substituce nebo též zpětný chod GEM. Číslo kk nzýváme hlvní prvek. Příkld: Pomocí Gussovy elimince vyřešte soustvu rovnic,67 0,5 2 2,5 3 = 0,84 2,5 3,02 2 0,7 3 = 2,32,7 2,83 2,45 3 =,26 Řešení: Koeficienty soustvy opíšeme do mtice:,6 7 0, 5 2,5 0, 84 2, 5 3,0 2 0, 7 2,3 2,7 2, 83,4 5,2 6 Od druhého řádku odečteme první řádek vynásobený [2,5/,67] od třetího vynásobený [,7/,67] (všechny mezivýsledky jsou zokrouhlovány n pět desetinných míst):,67 0,5 2,5 0, 84 0 3,23 3,40 44 3,40 44 0 2,6764,2 02 2,2 02 Nyní od třetího řádku odečteme druhý vynásobený [2,6764)/3,23]. Tím dostneme,6 7 0, 5 2,5 0, 84 0 3,2 3 3,40 44 3,40 44 0 0 3,95 339 4,95 339 což už odpovídá soustvě v trojúhelníkovém tvru,67 0, 5 2 2,5 3 = 0,84 3,23 2 3,404 4 3 = 3,4044 3,9533 9 3 = 4,95339 Řešení této soustvy je 4,95339 =,25295 3,95339 = 3,4044 3,4044.,25295 3,23 3 ( ( )) 0, 26777 2
,67 ( 0,84 0,5. ( 0,26777) 2,5. (,25295) ), 3563 = Řešení získné Gussovou eliminční metodou by bylo přesné, kdybychom se v průběhu výpočtu nedopouštěli zokrouhlovcích chyb. U některých soustv může být bohužel vliv zokrouhlování n výsledek znčný. Algoritmus Gussovy elimince se proto někdy modifikuje způsobem popsným v následující kpitole.. Elimince s výběrem hlvního prvku Elimince s výběrem hlvního prvku je modifikce Gussovy eliminční metody, která slouží ke zmenšení zokrouhlovcích chyb. Abychom se vyhnuli dělení čísly, která jsou mlá vzhledem k osttním veličinám, použijeme postup zvný výběr hlvního prvku: V prvním kroku elimince njdeme rovnici, která má u v bsolutní hodnotě největší koeficient. Vyměníme ji s první rovnicí pk pomocí jejích násobků eliminujeme z osttních rovnic. Ve druhém kroku njdeme mezi všemi rovnicemi kromě první tu rovnici, která má v bsolutní hodnotě největší koeficient u 2. Vyměníme ji s druhou rovnicí pomocí jejích násobků eliminujeme 2 z dlších rovnic. Obecně v ktém kroku elimince njdeme mezi posledními nk rovnicemi tu, která má největší koeficient u k, vyměníme ji s ktou rovnicí pk pomocí ní eliminujeme. Právě popsnou metodu bychom mohli nzvt výstižněji eliminční metodou s částečným výběrem hlvního prvku. Úplný výběr hlvního prvku spočívá v tom, že v ktém kroku volíme z hlvní prvek ten, který je největší v bsolutní hodnotě v submtici vytvořené vynecháním prvních k řádků sloupců v uprvovné mtici. Nutnost hledt největší prvek v celé submtici vyměňovt řádky i sloupce způsobuje větší čsovou ( progrmátorskou) náročnost této metody. Gussov eliminční metod s částečným výběrem je proto obvykle efektivnější než metod s úplným výběrem hlvního prvku.
Algoritmus pro přímý chod GEM (pouze část, která nuluje prvky pod hlvní digonálou v itém sloupci z předpokldu, že prvek n hlvní digonále v dném sloupci je nenulový) j := i nulování prvků v itém sloupci probíhá od (i). rovnice p := ji / ii k := jk := jk p * ik k := k k > n j := j j > n
Algoritmus pro zpětný chod GEM (z předpokldu, že mtice soustvy je regulární) n := n,n / n,n i := n s := 0 j := i s := s j * ij j := j j > n i := i,n s / i,i i := i i <
2. Jordnov metod Jordnov metod je modifikcí GEM. Přímý chod zůstává stejný, tj. ekvivlentními úprvmi převedeme mtici soustvy n trojúhelníkový tvr. Dlšími ekvivlentními úprvmi převedeme mtici soustvy n mtici digonální, tj. prvky pod i nd hlvní digonálou jsou nulové. 22 2 33 3 =,n = 2,n = 3,n nn n = n,n Nejprve eliminujeme 2 u. rovnice ij = ij [( i2 )/( 22 )]. 2j, i =, j=2,3,..., n. získáme soustvu ve tvru 3 3... n n =,n 22 2 23 3... 2n n = 2,n 33 3... 3n n = 3,n nn n = n,n Dále pk eliminujeme 3 u. 2. rovnice ij = ij [( i3 )/( 33 )]. 3j, i =,2 j=3,..., n. získáme soustvu ve tvru 22 2... n n =,n... 2n n = 2,n 33 3... 3n n = 3,n nn n = n,n Soustv je nkonec ve tvru: 22 2 33 3 =,n = 2,n = 3,n nn n = n,n Řešení soustvy pk dostneme: =,n / 2 = 2,n / 22 : n = n,n / nn Tedy i = i,n / ii, pro i =, 2,, n Shrnutí GEM Jordnov metod vedou přímo k řešení soustvy. Kdybychom se nedopouštěli zokrouhlovcích chyb, nšli bychom pomocí těchto metod přesné řešení. Zákldem Gussovy eliminční metody je úprv mtice soustvy n trojúhelníkový tvr. Ten dostneme pomocí ekvivlentních úprv (přičítání vhodných násobků vybrných řádků mtice k osttním řádkům) Vliv zokrouhlovcích chyb u přímých metod může být znčný, zvlášť u některých typů mtic. Proto se používá tzv. elimince s výběrem hlvního prvku. Eliminční metod je velmi náročná z čsového i pměťového hledisk. Nejlépe se hodí pro nepříliš rozsáhlé soustvy s plnou mticí.
Iterční metody Mnoho prktických problémů vyžduje řešení rozsáhlých soustv lineárních rovnic A=b, v nichž mtice A je řídká, tj. má reltivně málo nenulových prvků. Stndrdní eliminční metody nejsou pro řešení tkových soustv vhodné, neboť v průběhu elimince dochází postupně k zplňování původně nenulových pozic v mtici soustvy, což vede k velkým nárokům n počet ritmetických opercí klde tké vysoké nároky n pměť počítče. To je důvod, proč se pro řešení tkových soustv používjí iterční metody. Zvolí se počáteční vektor 0 generuje se posloupnost vektorů 0 > > 2 >, která konverguje k hlednému řešení. Iterční metody, n rozdíl od přímých metod, nevedou k přesnému řešení po konečném, předem dném počtu kroků. U iterčních metod zvolíme počáteční proimci řešení určitým postupem ji v kždém kroku metody zlepšíme. K řešení se přibližujeme postupně obecně ho dosáhneme ž v limitě. Protože výpočet nelze provádět do nekonečn, po jisté době jej ukončíme. Výsledkem bude přibližné řešení soustvy.. Jcobiho metod Popíšeme, jk se Jcobiho metodou soustvy rovnic řeší kdy se touto metodou řešit mohou. Budeme opět prcovt se soustvou lineárních rovnic 2 2... n n =,n 2 22 2... 2n n = 2,n n n2 2... nn n = n,n Z první rovnice vyjádříme, ze druhé rovnice 2 td. Dostneme = / (,n 2 2 3 3... n n ) 2 = / 22 ( 2,n 2 23 3... 2n n ) (6) n = / nn ( n,n n n2 2... n,n n ) Řešení soustvy budeme hledt následujícím způsobem: Libovolně zvolíme počáteční proimci řešení (0) =( (0), 2 (0),..., n (0) ). Tto čísl dosdíme do prvé strny (6). Tím dostneme novou proimci řešení () =( (), 2 (),..., n () ). Tu opět dosdíme do prvé strny (6) td. Obecně kždou dlší proimci řešení získáme podle předpisu (r) = / (,n 2 2 (r) 3 3 (r)... n n (r) ) 2 (r) = / 22 ( 2,n 2 (r) 23 3 (r)... 2n n (r) ) (6) n (r) = / nn ( n,n n (r) n2 2 (r)... n,n n (r) ) Mticově můžeme tento výpočet zpst tkto: r 0 2 / 3 / n / r,n / 2 2 / 22 0 23 / 22 2n / 22 2 2,n / 22 : =. : * : : n n / nn n2 / nn n3 / nn 0 n n,n / nn iterční mtice nebo tké i ( r ) = n j= ij ii * ( r ) j i, n ii
Z jistých (dále popsných podmínek) se tímto postupem budeme přibližovt k přesnému řešení soustvy. Ve výpočtu pokrčujeme, dokud se nedosáhne určité předem dné přesnosti (ε), npř. dokud se proimce řešení neustálí n poždovném počtu desetinných míst i (r) i (r) < ε, pro kždé i=..n nebo dokud není překročen předem dný mimální počet kroků. Jcobiho metodou nemusíme řešení soustvy njít vždy. V některých přípdech posloupnost postupných proimcí k řešení soustvy nekonverguje. Uvedeme nyní podmínky, které zručí, že metod konverguje (tj. njdeme pomocí ní přibližné řešení). Definice: Mtice A se nzývá řádkově ostře digonálně dominntní právě tehdy, když (neboli když je v kždém řádku mtice bsolutní hodnot prvku n digonále větší než součet bsolutních hodnot všech osttních prvků v onom řádku) sloupcově ostře digonálně dominntní právě tehdy, když (neboli když je v kždém sloupci mtice bsolutní hodnot prvku n digonále větší než součet bsolutních hodnot všech osttních prvků v onom sloupci). Jeli mtice soustvy (2) ostře řádkově nebo sloupcově digonálně dominntní, Jcobiho metod konverguje. Jestliže mtice soustvy (2) není digonálně dominntní, Jcobiho metod konvergovt může nemusí. Eistuje podmínk pro konvergenci Jcobiho metody nutná dosttečná (tj. pokud je splněn, metod konverguje pokud není splněn, metod diverguje), jenže je pro velké mtice prkticky neověřitelná. Proto, nejsmeli si jisti konvergencí metody, je vhodné stnovit mimální počet kroků jeli překročen, výpočet ukončit s tím, že metod diverguje. Pk je potřeb zvolit jinou metodu nebo soustvu nějk uprvit. Příkld: Jcobiho metodou řešte soustvu Řešení: Mtice soustvy je digonálně dominntní, protože pltí Proto je konvergence metody zručen. Vypíšeme iterční vzthy: Jko počáteční proimci zvolíme =(0,0,0) Postupně získávné proimce řešení budeme zpisovt do tbulky:
Je vidět, že posloupnost postupných proimcí konverguje k řešení soustvy (2,2,). Kdybychom chtěli získt řešení s přesností ε = 0,0, mohli bychom nyní výpočet zstvit, protože ztímco kdybychom poždovli přesnost ε = 0,00, museli bychom ve výpočtu pokrčovt, protože npř. 2. GussSeidelov metod GussSeidelov metod je velmi podobná metodě Jcobiho. Liší se od ní pouze v tom, že při výpočtu dlší proimce řešení použijeme vždy nejnovější přibližné hodnoty, 2,..., n, které máme k dispozici. Podrobněji: (r) vypočteme stejně jko u Jcobiho metody při výpočtu 2 (r) je ihned použijeme (ztímco u Jcobiho metody jsme použili stré (r) ). Při výpočtu 3 (r) použijeme nové (r) 2 (r) td. Obecně iterční vzthy vypdjí tkto: nebo tké i ( r ) = i j= (r) = / (,n 2 2 (r) 3 3 (r)... n n (r) ) 2 (r) = / 22 ( 2,n 2 (r) 23 3 (r)... 2n n (r) ) n (r) = / nn ( n,n n (r) n2 2 (r)... n,n n (r) ) ij ii * ( r ) j n j= i ij ii * ( r ) j i, n ii Dá se dokázt, že jeli mtice soustvy (3) ostře řádkově digonálně dominntní, GussSeidelov metod konverguje. Příkld: GussSeidelovou metodou řešte tutéž soustvu, t.j. Řešení: Již jsme ověřili, že podmínk konvergence je splněn. Vypíšeme iterční vzthy:
Jko počáteční proimci zvolíme opět =(0,0,0). Vidíme, že se k řešení soustvy přibližujeme rychleji než pomocí Jcobiho metody. I obecně se dá říci, že Guss Seidelov metod obvykle konverguje rychleji než metod Jcobiho. Proto se používá čstěji. Dlší její výhodou oproti Jcobiho metodě je, že pro uložení přibližného řešení v pměti počítče nám stčí jediné pole, jehož složky postupně přepisujeme, ztímco u Jcobiho metody si musíme pmtovt pole dvě: strou novou proimci řešení. Shrnutí Pomocí iterčních metod obvykle njdeme pouze přibližné řešení soustvy (pokud nenstne dosti neprvděpodobný přípd, kdy se v některém kroku trefíme přímo do řešení). N zčátku zvolíme počáteční proimci řešení tu pk opkovným doszováním do iterčních vzthů zpřesňujeme. S výpočtem skončíme obvykle tehdy, jeli norm rozdílu po sobě jdoucích proimcí dosttečně mlá. Iterční metody mohou divergovt (řešení pomocí nich nemusíme njít). Zd bude metod konvergovt, či nikoli, závisí n vlstnostech mtice soustvy. Iterční metody jsou vhodné pro řešení velkých soustv s řídkou mticí koeficientů. Pro řešení mlého počtu rovnic vhodné nejsou, tm lépe poslouží elimince. Řídká mtice soustvy Řekneme, že mtice je řídká, když počet jejích nenulových prvků je výrzně menší než počet jejích prvků. Řídké mtice jsou v pměti počítče účelně reprezentovány jen pomocí svých nenulových koeficientů. Jedním z hlvních cílů efektivních lgoritmů pro řešení soustv s řídkými mticemi je provádět tkové kroky, by vzniklo co nejméně nových nenulových koeficientů.
Algoritmus vyjádření iterční mtice i := j := ij := ij / ii j := j j > n i,n := i,n / ii ii := 0 i := i i > n
Algoritmus výpočtu itého přiblížení u Jcobiho metody (XP předchozí přiblížení, XN nově vypočítávné přiblížení) nstvení počátečního přiblížení > p i = 0 (pro i=..n) i := n i := i,n j := n i := n i p j * ij j := j j > n i := i i > n
Algoritmus výpočtu itého přiblížení u GussSeidelovy metody (X přiblížení) nstvení počátečního přiblížení > i = 0 (pro i=..n) i := i := i,n j := i := i j * ij j := j j > n i := i i > n