Mtemtická lýz Tylorův polyom, primitiví fukce, určitý itegrál, fukce více proměých, metrické prostory Mtemtická lýz II látk z II semestru iformtiky MFF UK podle předášek Roert Šáml Zprcovli: J Ztr Štěti, Odřej Keddie Proft dlší Osh Tylorův polyom Primitiví fukce3 Itegrce rcioálích fukcí5 Určitý itegrál7 Aplikce určitého itegrálu0 Fukce více proměých Metrické prostory5 Leged: klíčové pojmy, defiice, těžké věty, lehké věty, věty ez důkzu
Mtemtická lýz Tylorův polyom, primitiví fukce, určitý itegrál, fukce více proměých, metrické prostory Jeseov erovost Mějme f : J R, J itervl, f koveí,,, J,,, 0, i = Pk f i= i i i f i i = i = AG-erovost Mějme,, 0, pk Def: Nechť f : D f R,, D f, N Tylorův polyom Pk Tylorův polyom je f T, = f f ' f ' ' f! -tá derivce! Tvrz: f, Pltí, že T '= f ' f ' ' f! f ', =T Důsl: f T f, mjí stejou,, -tou derivci v odě = Tylorův polyom je ejlepší Mějme f spojitou fukci, P polyom Pk pltí ekvivlece lim Poz, lim f P f =0 P =T, = 0 f P f P = f ' P ' Zytek Tylorov polyomu Nechť f má vlstí -í derivci [, ] Pk eistuje, tkové, že f T f, =! f 3 Poz, () si, si =T 0 4 chyový čle= 3 3! si 0, 5 si 0,=0, 5, tedy 6 s chyou 4 0,0000 5! 0,0998 3 () Tylorův polyom pro =0 se zývá McLuriův polyom (3) Vrováí: Eistují fukce tkové, že f 0 : f 0=0 Pro tyto fukce Tylorův polyom efuguje (4) Čsto (pokud f! eí kosttí 0 je omezeá) pltí f =T f, O Vždy pltí f =T f, o, f T f, 0 Lgrgeov o středí hodotě (opkováí) Nechť f je fukce spojitá [,] f' eistuje, f f Pk eistuje, tkové, že f ' = Cuchyho o středí hodotě Nechť f, g jsou fukce spojité [,]
3 Mtemtická lýz Tylorův polyom, primitiví fukce, určitý itegrál, fukce více proměých, metrické prostory f', g' eistují g ' 0, Pk eistuje, tkové, že f ' f f = g ' g g
4 Mtemtická lýz Tylorův polyom, primitiví fukce, určitý itegrál, fukce více proměých, metrické prostory Úvod: () f t poloh v čse t le sdé? Primitiví fukce f ' t rychlost v čse t eo př okmžitý průtok ojem vody v zéu () výpočet plochy, př si 0, K zmyšleí: f :[0,]R tková, že při smplováí (viz orázek) vyjde 0, le mělo y vyjít? [orázek] cos h cos h h si hh si hh si 3h h si h = hsi hsi h=h si h Tedy ploch pod křivkou je Vážě? - Defiice, typ smplováí, ( Riemův itegrál) Jiá úvh: [orázek] Jk rychle přiývá osh při posuu vprvo? Def: Mějme f : I R, I R otevřeý itervl Řekeme, že F je primitiví fukce k f, pokud pro všech I pltí F ' = f h 0 Poz, přejít od F k F' je sdé, opk e eí to i vždy možé Npříkld primitiví fukci k e elze vyjdřit vzorcem : F je pf k f F c je pf k f pro všech c R Důkz: F c' = F ' 0= f Poz, 5, o jedozčosti primitiví fukce ž kosttu Nechť F,G jsou primitiví fukce k f otevřeém itervlu I Pk eistuje c R tková, že pro všech I pltí G =F c Njdeme jedu primitiví fukci máme všechy Důkz: Víme, že I : F ' = f, G ' = f Položíme H =G F H ' =G ' F ' = f f =0 H je kosttí, tedy H =c, c R G =F c QED Zč: Itegrál f d={f ; F je primitiví fukce k f }={F c ;c R}=F c 5, o vzthu spojitosti eistece primitiví fukce Nechť I je otevřeý itervl f spojitá fukce v I Pk f má primitiví fukci Důkz: plye zřejmě z věty 69 e spojitá R, tedy eistuje pf Ovšem elze ji vyjádřit pomocí elemetárích fukcí Místo e se zvádí Erf t Poz, () fukce sg emá primitiví fukci oecě pokud f má pf, pk f ývá mezihodot (Drou) = F ' =F () F '= f F má vlstí derivci F je spojitá (3) f emusí ýt spojitá 53, lierit primitiví fukce Nechť f má pf F g má pf G otevřeém itervlu I,, R Pk f g má I pf F G Důkz: F G'= F ' G'= f g, QED
5 Mtemtická lýz Tylorův polyom, primitiví fukce, určitý itegrál, fukce více proměých, metrické prostory () d= c, kde, tedy pro R 0,0,0,, () d=l c pro,0,0,, (3) e =e c pro R, (4) si = cos c pro R, (5) cos =si c pro R, (6) d cos =tg c pro, k, k Z, (7) d si =cotg c pro 0,k,k Z, (8) d =rctg c pro R, (9) d =rcsi c pro, e cos d= sup e cos = 3 3 e si c 54, o sustituci při výpočtu primitiví fukce Nechť F je pf k f,, :,,, ' Pk f t ' t dt = F tc, (,, f, F R ) Nechť :,, je surjektiví (),, ',' 0, f :,R f t ' t dt = G t, Pk f d = G c, Důkz: () F t'= F ' t ' t= f t ' t (derivce vořeé fukce) () je je mootoí, :' 0 (tedy eeistují,, :' 0 0 ) Tedy pltí: G ' =G ' ' = f ' ' = f, QED si d = cos c f =si F = cos t= t,,=,=, si t dt= cos t c f ' = předp f t ' t =G t ; t := f ' f t e t =* Víme f t ' t dt= F = f d= f t d t dt dt sust = t = t, d = t, d= t dt dt= dt t d *= e t dt t = e = e c= e t c = ' 55, itegrce per prtes Nechť I je otevřeý itervl, f, g spojité fukce I, F je pf k f I G je pf k g I Pk F X g d=f G f G d Důkz: Ozčme H pf k f G I, tj I pltí H ' = f G Tvrdíme, že F G H je pf k F g F G H '= F ' G F G' H ' = f G F g f G = F g, QED F g e = F G e f G e = e e c= e c F = f =
6 Mtemtická lýz Tylorův polyom, primitiví fukce, určitý itegrál, fukce více proměých, metrické prostory G =e g =e Poz, () ěkdo píše f g '= f g f ' g, () vzorec je symetrický, tedy (3) dvojí použití itegrce per prtes se stejými f, g vede původí itegrál I = d =: I = d =rctg c = = = I I I = g I = I tedy I = = F f rctg c Itegrce rcioálích fukcí Def: Poz, Rcioálí fukce je R = P, kde P, Q jsou polyomy Q Zákldí vět lgery Mějme polyom P = 0 Pk eistují,, C tková, že P = () epltí v R, př =0 emá v R řešeí, () v R pro liché eistuje vždy lespoň jedo řešeí Důsl: Mějme Q = 0 ;,, 0 R Pk lze Q zpst ve tvru: Q = p k p k q e e q e, kde,, k,,, e,,, e R, p,, p k,q,, q e N,, k jsou po dvou růzé, žádé dv z polyomů,, k,,, e e emjí společý koře pro všech i {,, e}: i i eí reálý koře Poz, Q z=0 Q z=0 ( z z=, kde, R ) 56, rozkld prciálí zlomky Nechť P, Q jsou polyomy s reálými koeficiety tkové, že deg PdegQ Q je ve tvru z důsl výše i i i Pk eistují jedozčě určeá čísl A j, B j,c j tková, že P Q = A A P p totéž pro,, k Důkz pro Q s reálými kořey, tj Q = p k p k, MI podle deg Q : () deg q= deg P =0 Q = P P =c Q = () zkusíme šikově zvolit, y P Q p šel užít idukčí předpokld Položíme H = p k p Q k = H X p 0 použijeme ji k vyjádřeí: B C totéž pro,, e e B C q q q Q Q P Q p = P p P p Q = P H = Q Q Q Z toho plye, že eistuje :P H =0, to = P H je koře, tkže ho můžeme vytkout: P H = P P P = Tedy Q p k p k, idukčí předpokld toto lze rozložit prciálí zlomky P Q p je lieárí komice výrzů { i ; s p i} s kromě p Po přidáí q máme rozkld P Q, QED
7 Mtemtická lýz Tylorův polyom, primitiví fukce, určitý itegrál, fukce více proměých, metrické prostory Postup: Jk itegrovt rcioálí fukce Část vydělíme: P Q =R P Q Q rozložíme p q 3 Rozložíme prciálí zlomky 4 Máme P Q = R prc zlomku jedoduchý 5 Prciálí zlomky zprcujeme: d=l c, =, A B q d= A q q () A B () Pltí : 0, použijeme sustituci y= dy= d Pk l y =l y = q q y = q q q () q pro =0, = to vede I =, což umíme Jik = =k k 0 () k =k y (předášk 8308) Postup: Jedoduché sustituce Nechť R je rcioálí fukce R e d= R y y dy y=e, dy= e d, d= y dy Postup: Itegrce trigoometrických fukcí i, j i y j i, j ko R, y= P, y Q, y R si,cos růzé možosti sustituce: t=si t=cos 3 t=tg 4 t=tg (fuguje vždy) 5 více viz Přehled Postup: Itegrály oshující odmociy R, c d q d, kde q N, d c 0 Npř d= t t t dt t Postup: Eulerovy stupice R, c d ; 0 Možosti: Zde =,=, c=0, d=, q= t= t = = t, d=t dt
8 Mtemtická lýz Tylorův polyom, primitiví fukce, určitý itegrál, fukce více proměých, metrické prostory Kvdrtický polyom má (právě) jede reálý koře c= c= R, rcioálí fce,,, Kvdrtický polyom má (právě) dv reálé kořey c= = = 3 Kvdrtický polyom emá žádé reálé kořey c= t c= t t = t c t d= t c t ' dt R, t c d= c R t, t c t t t c ' dt rc fukce t t Úvod: Chceme plochu pod křivkou, smplováí Def: Děleí itervlu [,] je posloupost D= j j=0 Určitý itegrál, kde = 0 = Def: Mějme D, D' děleí [, ] Říkáme, že D ' zjemňuje D, pokud D D ', tedy pokud všechy ody děleí D jsou i ody děleí D ' Def: Mějme f omezeou fukci [,] D = j j=0 horí součet je děleí [,] Pk: S f, D = j j sup{ f ; [ j, j ]}, j= dolí součet je s f, D = j j if { f ; [ j, j ]} j= Def: Horí Riemův itegrál je R Dolí Riemův itegrál je Pokud R f d= R R f d = if {S f, D ; D děleí[, ]} f d = sup{s f, D; D děleí[, ]} f d= A, pk Riemův itegrál je R f d:= A říkáme, že f je Riem itegrovtelá R[,]={Riem itegr fcí [, ]} Poz, () f spojitá [,] f R[,], () f R[,] f je omezeá (3) K zmyšleí: co je ejjedodušší f R[, ], f =, f = 0? 6, o zjeměí děleí Nechť f je omezeá fukce [,], D, D' děleí [,], D ' zjemňuje D Pk s f, D s f, D' S f, D' S f,d Důkz: Pro prostředí erovost triviálí: M R:if M sup M s f, D s f,d ' lze dokázt mt idukcí dle počtu přidých odů Máme děleí D D' (děleí s jedím odem víc oproti D) dého itervlu Dle orázku máme tedy od z, který se chází mezi jistými j j z původího děleí D
9 Mtemtická lýz Tylorův polyom, primitiví fukce, určitý itegrál, fukce více proměých, metrické prostory Dolí součet děleí jsme defiovli tkto: s f, D= j= j j if { f ; [ j, j ]} Z orázku jsou ptré erovosti sčítců sumy s těmito ody z původího děleí z ového: j j if { f : [ j, j ]} z j if { f : [ j, z]} j z if { f : [ z, j ]} Ale tím jsme právě ukázli erovost mezi s f, D s f,d ', děleí se lišily právě v těchto čleech poslouposti (sčítcích sumy) Idukcí pk můžeme rozšířit liovolé zjemňující děleí Pro erovost horích součtů děleí odoě QED 6, o dvou děleích Nechť je f omezeá fukce [,], D, D děleí [,] Pk s f, D S f, D Důkz: Položme D společé zjeměí D, D, tedy D := D D Dle věty 6 pltí s f, D s f, D S f, D S f, D, QED Def: Mějme D= j j=0 děleí [,] Pk orm děleí D je D := m { j j ; j=,, } 0 d D= j j=0 ; j = j s f, D= j= j S f, D = j= j = 3 3 = 3 j= j = 3 3 3 Důsl: Pro všechy f omezeé [,] R pltí f f f = f f R[, ] Poz: R =? 0 3 položíme D rovoměré děleí s krokem s, D = ěco málo 3 3 s, D = 3 63, proimce Riemov itegrálu pomocí součtů Mějme f omezeou fukci [,]R D = Potom Důkz eude R f d=if {S f, D ; N} R () Rovoměré děleí D : D = větu lze použít () Pokud lim S f, D =lim s f, D =A, pk R (3) Pokud víme, že R ěco málo 3 posloupost děleí tkovou, že D f d=a f d eistuje, stčí vypočítt lim orm děleí 0 f d=sup{s f,d ; N} S f, D 64, kritérium eistece Riemov itegrálu Nechť f je omezeá [,] Pk f R[, ] 0 D děleí[, ]: S f, D s f, D Důkz: dle defiice Riemov itegrálu: sup s f, D A eí hz D :s f, D A D R f =: A= if S f,d A eí dz D : S f, D A D Položíme D společé zjeměí D D Pk pltí dle věty 6: A z def f s f, D o zjemděleí s f,d S f, D s f, D if sup S f, D S f, D A Pro kždé 0 D : S f, D s f, D pltí D s f, D sup f, D = f f = if S f, D S f,d D
0 Mtemtická lýz Tylorův polyom, primitiví fukce, určitý itegrál, fukce více proměých, metrické prostory 0 f f 0 f f = 0 f = f f R [, ], QED 65, mootoie Riemov itegrovtelost Nechť f je omezeá mootóí fukce [,] Pk f R[,] Důkz: Mějme M : [, ]: f M, BÚNO f rostoucí Vezměme D = j 0 ; j = j rovoměré děleí s krokem S f, D s f, D = j= f j f j = f f Užijeme větu 64: 0 volíme : f f Pro toto položíme D := D S f,d s f, D f R [,], QED Def: Řekeme, že fukce f je stejoměrě spojitá I, pokud 0 0, y I : y f f y Poz, Př y je silější ež (ztím vyecháo) y lim y f y= f 66, spojitost versus stejoměrá spojitost Nechť f je spojitá [,] Pk f je [,] stejoměrě spojitá Důkz odlože 67, spojitost Riemov itegrovtelost Nechť f je spojitá [,] Pk f R[,] Důkz: Užijeme věty 64 (f omez [, ], pk f R[, ] 0 Dděleí[,]:S f,d s f, D ) věty 66 (f spoj [, ] f stejoměrě spojitá [, ] ) f je stejoměrě spojitá, pokud 0 0, y [, ]: y f f y, tedy stčí již je dokázt 0 D: S f, D s f, D Vezměme liovolé 0, protože f je stejoměrě spojitá 0 splňující defiici Vezměme děleí D= j 0 : D (tře rovoměré) S f, D s f, D = j j sup f t if f t j= t { j, j } t? j= j j = kost Poz, pokud ychom volili ' = předpokld věty 64 ověře f spojitá [ j, j ] ývá mim v odě M miim v odě m Pk m M j j f m f M, QED D 68, vlstosti Riemov itegrálu Lierit: pro f, g R[, ], R pltí f g, f R[,]; R f g, f, g R[,] R 3 Additivit vzhledem k itervlům c : f g= R f R f R[, c] f R[, ] f R[,c ] c R f =R c f R f g f R g ; R f = R f 69, o derivci itegrálu podle horí meze Nechť J je eprázdý itervl, f fukce tková, že, J : f R[, ], c J liovolý od, Pk pltí, že F := R f t dt pro c c c R f t dt pro c () F je spojitá J () f spojitá v 0 J
Mtemtická lýz Tylorův polyom, primitiví fukce, určitý itegrál, fukce více proměých, metrické prostory Důkz: () 0 J F spojitá v 0? Pro ázorost c 0 y J F ' 0 = f 0 f R [c, y] f omezeá [c, y], tedy t [c, y]: f t M Chceme F F 0 mlé pro 0, BÚNO 0 F F 0 = f t dt tedy 0 M dt= M 0 Chceme lim F F 0 =0 0 + 0 0 f t dt M dt= M 0 0 M 0 0 0 0 : F F 0 Položíme := M F F 0 M = () 0 J f je spojitá v 0? F ' + 0 = lim 0 + f dt 0 0 = f 0 f dt 0 0 = f 0 F F 0 = lim 0 0 + 0 0 f t dt : P + 0, f t dt U f 0,, QED 0 0 Důsl: Def: f spojitá, f má, primitiví fukci F (slíeá vět ze zčátku semestru) f t dt= [ F t] t = = F F, oecěji =F - F + = lim F lim F - + přírůstek od do () si d=[ cos ] 0 = cos cos 0= 0 () 0 =[ ] 0= 0=, le! Zvolíme spočítáme limit eí spojitá i omezeá [0,] emá Riemův itegrál Newtoův itegrál fukce f itervlu, je lim F lim F, - + kde F je primitiví fukce k f, limity jsou vlstí Píšeme N f t dt=[ F t] t = 60, per prtes pro určitý itegrál Mějme f, f ', g, g ' spojité fukce [, ] Potom f g '=[ f g] f ' g Důkz: H udiž primitiví fukce k f ' g,, K primitiví fukce k f g ', f g ' =[ K ] Per prtes: K = f g H, =[ f g ] [H ], QED = f ' g 6, sustituce pro určitý itegrál Pokud f je spojitá [,], :[, ][,], ' spojitá [, ], pk f t ' t dt= f d Pokud f je spojitá [,], :[, ][,], je, ' spojitá [,], 0, pk f d= Důkz eude f t ' t dt Apl: Aplikce určitého itegrálu S {, y R ;, 0 y f } = N Osh kruhu Počítáme pro půlkuruh: f d
Mtemtická lýz Tylorův polyom, primitiví fukce, určitý itegrál, fukce více proměých, metrické prostory R R R d= R R kruh : R R d= R R t dt t= R d ;dt= ; t R = ; t R= R =R si u cosu du =R cos u du=r =cos u t=si u ; dt=cos u du ; t=± u=± Ojem povrch rotčích těles Mějme f :[,]R + spojitou, T ={[, y, z] R 3 ; [,], y z f } Potom ojem T je f d osh povrchu T je f f ' Ojem (jedotkové) koule: f = d= [ 3 3 ] = 3 = 4 3 3 Apl3: Délk křivky f :[, ]R, délk grfu f pro [,] : Použijeme děleí D= j j=0 ;it[,], délk lomeé čáry udiž L f, D= k k f k f k k= Pk délk křivky je L f =sup {L f, D ; Dděleí it[,]}= f ' d, pokud je f ' spojitá [, ] (D)ůkz: L f, D = k= f k k k f k k k * *= f ' k ; k k, k S f ', D sup{ f ' ; k, k } s f ', D if { f ' ; k, k } (předášk 8409) L f, D sup f ' L f Ovod (jedotkové) kružice: L,,= osh jedotkového kruhu = d= Délk křivky v R Mějme :[,]R,' spojité, pk L [,]= ' ' d =[rcsi ] = = Apl35: Délk křivky dé prmtericky: t, yt,t [, ], oecěji t,, t ' t ' t dt Apl4: t, f t f ' t Povrch pláště rotčího těles: f f ' d, pro f, f ' spojité [,] Povrch (jedotkové) koule: = =4 Apl5: Odhdy koečých součtů Nechť f je fukce, c k = f k,,, Z Pk S= c k k= f d, pokud f je erostoucí [,], f d, pokud f je erostoucí [, ] pltí opčá erovost) Důkz pro : (pro f eklesjící () šrfová ploch má osh S ploch primitiví fukce f [, ] () šrfová ploch je jede z dolích součtů pro f:
3 Mtemtická lýz Tylorův polyom, primitiví fukce, určitý itegrál, fukce více proměých, metrické prostory f =sup{s f, D ; D}, QED H = 3 f = f k k = erostoucí d=[log ] =log 0 d= = k= k =;= = d=log log H log (poz, H =log 0,577O ) Itegrálí kritérium kovergece řd Mějme f 0 erostoucí it[ 0, ] pro 0 N = f Pk kg N 0 kg 0 kg 0 f d d, d=[log ] =lim log log 0 0 = div 0 Důkz: f d=c ; f d=i I i=0 0 i I C 0 d, 0 0 I = řd diverguje, d=[ ] 0 = lim I C I řd koverguje QED = 0 pro 0 pro Apl7: z = z!= t z e t dt (tkže př = ) Erf = e t dt 0 0 Fukce více proměých Def: Fukce proměých je zorzeí f : M R ; M R Def: Mějme R ;=,, Potom je okolí odu U, =,, prstecové okolí odu P,=U, {} Def: G R je otevřeá moži, pokud G 0:U, G F R je uzvřeá moži, pokud R F je otevřeá moži (předášk 5409) Def: Mějme R ; A R *, f : M R Pk lim Poz, k určeí A stčí ěkterá, př X ležící přímce odem f = A 0 0 R P, : f U A, lim s, t0,0 lim s, t0,0 st s =A s=t A=lim t s0 s s s s =lim s0 s 3 t 3 s s =A s=t 3 A=lim t s0 s =lim s=0 s 0 s s =lim eeistuje? s 0 s
4 Mtemtická lýz Tylorův polyom, primitiví fukce, určitý itegrál, fukce více proměých, metrické prostory Poz k zmyšleí: jít f :R R tkovou, že lim, y0,0 f, y eeistuje, le eistuje limit stejá po všech přímkách? Def: Def: Poz, f : M R, M R je spojitá v M, pokud lim f = f (Pro hrici M ereme limitu vzhledem k M, tj P, M ) Prciálí derivce fukce f :G R, kde G R otevřeé, v odě G, ve směru i {,, } je f lim,, i, i h, i,, f, pokud eistuje h 0 h Zčeí: f = f = f = = i f i g i h= f,, i, i h, i,, g ' i 0= f f, y=e, pk f, y =e ; f, y =0 y 7, utá podmík etrém Nechť f :G R,G R otevřeá, G, f ' ývá v lokálí etrém Pk i {,,}: f =0 eo eeistuje Důkz: g i h= f,, i, i h, i,,, f má v lokálí etrém g ' i 0=0 eo eeistuje g ' i 0= f, QED f, y= 4 y 4 y y f = 4 3 y = 0 f y = 4 y3 y=0 f f y 3 = y 3 =0; 4 3 4 =0 =±, 0 Podezřelé (stcioárí) ody: 0,0 0;, ;, Def: Mějme f :G R prví prciálí derivci f :G ' R,G ' G Pk druhá prciálí derivce je j Alogicky třetí,, -tá derivce f = j f eo tké 7, postčující podmík pro etrém Mějme f :G R,G R otevřeá, G, i : f =0 Nechť druhé prciálí derivce v eistují jsou spojité Nechť mtice f je ji, j = pozitivě defiití v je lokálí miimum egtivě defiití v je lokálí mimum 3 idefiití v eí etrém 4 poz/eg semidefiití evíme f = i f f = 4 3 y= f, y = y 4 3 y= = f y, f y = y 0 V odě, : 0 mtice je pozitivě defiití lokálí miimum V odě, stejé V odě 0,0 : mtice je egtivě semidefiití eumíme rozhodout
5 Mtemtická lýz Tylorův polyom, primitiví fukce, určitý itegrál, fukce více proměých, metrické prostory Def: Derivce ve směru v R { 0} fukce f :G R,G R v G je lim t R,t 0 f t v f =: t v f Def: Mějme f : G R, G,G R otevřeá, L : R R lieárí fukci ( Lh=c h c h =c h ) L je totálí difereciál fukce f v, pokud Zčíme L = Df, L h = Df h lim h 0,,0 z = f,, hyperploch v R ( = ) z = f Df Pk tečá rovi v odě má rovici f h f L h =0 h R Def: Poz, Def: 73, tvr totálího difereciálu Df eistuje eistují všechy prciálí derivce f Df h= h= f i = h Vektor f = f grdiet f,, f sklárí souči Důkz: Df h=lh=c h c h =c h Df eistuje eistují c,,c tková, f h f Df h =0 h že lim h 0,,0 To pltí i pokud h=t e i h =t, tedy: f t e i f t lim t 0 Podoě f v,, f se zývá grdiet fukce f v odě c t i =0 f = f c t e i = f i f = Df v, QED? f je spojitá pro všech i Df eistují všechy prciálí derivce f je spojitá K zmyšleí: implikce ejde orátit f :G R je C G, pokud i : f je spojitá fukce G (předášk 409) o ritmetice totálího difereciálu Mějme G R ; f, g :G R ;G otevřeá echť eistují Df, Dg Pk pltí ásledující: D f g= Df Dg Dc f =c Df 3 D f g= f Dg g Df 4 D f Df g Dg f =, g 0 g g difereciál složeého zorzeí Mějme f fukci proměých f y,, y, g,,g fukce s proměých, H = f g,, g, H :R s R, R s, R tkové, že g j = j eoli H = f Nechť eistují Df,Dg j, j=,, Pk eistuje DH s f DH h= g j i= j = y h i = Df g Dg j i DH h H = f g h H,, g h h, vektor g,, g mtice f, y, z= yz si e y e y z=gu, y, z, v, y, z, kde g u, v=u v, u, y, z = yz, v, y, z= si e y e yz
6 Mtemtická lýz Tylorův polyom, primitiví fukce, určitý itegrál, fukce více proměých, metrické prostory f = g u u g v v =v u v u v l u cos e y =u v vu l u cos e y = řetízkové prvidlo = yz cos e y cos e y yz l yz cos e y Poz k zmyšleí: f = =g,? Eistece etrémů fukce více proměých Nechť F R je uzvřeá, omezeá moži (tj c R F : d 0, c ) f : F R je spojitá fukce Pk f ývá F mim miim Lgrgeov o vázých etrémech Nechť G R je otevřeá, s ; f, g,,g s C G ;M ={ R ; g == g s =0} Pokud () M je odem lokálího etrému f M () vektory g,, g s jsou lieárě ezávislé, pk eistují,, s R tkové, že f = g s g s g, y, z= y z ; g =, y, z f =, y, z (předášk 9409) zde část chyí, emám zpsáo korektě ěkdo, pomoc?? Metrické prostory Def: Metrický prostor je P,,kde P je moži odů fukce : P P R + 0 = [0, ) splňující: ), = 0 ;, y 0 y P ), y = y,, y P 3), y, z z, y, y, z P () Normálí (eukleidovská) vzdáleost v R, y = y y Ověřeí podmíek (důkz): ), = 0 0 = 0 => OK ) solutí hodot => ezáleží pořdí => OK 3) klsická -erovost => OK () Součtová metrik v R (tikář Mhttu), y = y y Ověřeí podmíek (důkz): ), = 00 = 0 => OK ) solutí hodot => ezáleží pořdí => OK 3), y = i y i = i z i z i y i i z i z i y i =, z z, y => OK i= (3) Mimová metrik, y = m i= y i i Ověřeí podmíek (důkz): N cvičeích (4) Mimová metrik C [0,] : f, g =m t [0, ] f t g t f,g :[0, ]R spojité i= i= Def: Mějme P, metrický prostor, P,r R,r0 Pk: Otevřeá koule se středem poloměrem r je B,r={y P ;, y r} Uzvřeá koule se středem poloměrem r je B, r={y P :, y r} Def: Mějme P, metrický prostor G P je otevřeá moži, pokud G r0: B,r G F P je uzvřeá moži, pokud P F je otevřeá moži 8, vlstosti otevřeé možiy Mějme P, metrický prostor, pk pltí:, P jsou otevřeé Pokud G,,G P jsou otevřeé, pk
7 Mtemtická lýz Tylorův polyom, primitiví fukce, určitý itegrál, fukce více proměých, metrické prostory G G G je tké otevřeá 3 Pokud možiy G, A, jsou otevřeé, pk G je otevřeá A Důkz: () pltí cokoliv, P P r0: B,r P () G=G G ; G i, G i r i 0: B, r i G i r=mi {r,, r }0 pro všech i: B,r G i G (3) G= A G Pro 8, vlstosti uzvřeé možiy Mějme P, metrický prostor, pk pltí:, P jsou uzvřeé Pokud F,, F P jsou uzvřeé, pk F F,, F je tké uzvřeá 3 Pokud možiy G, A, jsou uzvřeé, pk G je uzvřeá Důkz: = P P P = P, P otevřeé,p uzvřeé A G A: G r0: B, r G G, QED F,, F P uzvřeé možiy G i P F i otevřeé možiy V8 G G G je otevřeá P G G G je uzvřeá 3 P G G G = F F i: F i i: G i G G G P G G G = F F Př: Def:, je otevřeá, R, 0,,3 je otevřeá,,, je otevřeá [,] uzvřeá {} uzvřeá Metriky, P jsou ekvivletí, právě když c,c 0, y P : c, y, y c, y K zmyšleí:, jsou ekvivletí G P : G je otevřeá vzhledem k G je otevřeá vzhledem k Fkt: Metriky,, R jsou ekvivletí Def: Mějme P, metrický prostor, = = koverguje k lim je posloupost prvků P, P, = 0 =, pokud lim Poz, Def: lim = 0 0 0 :, 0, B, 83, vlstosti kovergece () Pokud = splňuje P 0 0 =, pk lim = () Pokud lim =, lim = y, pk =y (3) Pokud lim =, k je vyrá posloupost z k je rostoucí posloupost z N, pk lim k Důkz: () Pro 0 :, = 0 lim, = 0 () Pokud lim = ; lim = y; y SPOR Položme :=, y Pk 0 0,, y = m 0, pltí: k =,,, y, y,, y =, y, SPOR (3) Víme lim, = 0 o vyr posl pro R lim k, = 0 lim k =, QED k k 84, chrkterizce uzvřeé možiy Mějme P, metrický prostor, F P F je uzvřeá, právě když = ; F : lim = F Důkz: předpokldy: F uzvřeá, = ; F, (*) pro spor echť toto pro ějké P F epltí pro spor F P F otevřeá def r0 : B,r P F (*) r 0 0 :, r B,r tedy 0 F B, r =, SPOR chceme dokázt F uzvřeá P F otevřeá P F 0: B, P F, Mějme P, metrický prostor = B, P F B, F = B, P F B, F F :, ; 0 lim, lim = 0 předpokldy věty F, SPOR QED Řekěme, že K P je kompktí, pokud =, K eistuje vyrá podposloupost k tková,
8 Mtemtická lýz Tylorův polyom, primitiví fukce, určitý itegrál, fukce více proměých, metrické prostory že eistuje K : k [,] R je kompktí moži 85, vlstosti kompktí možiy Nechť P, je metrický prostor, K P kompktí Pk pltí: K je uzvřeá, K je omezeá, 3 F K uzvřeá F kompktí V84 Důkz: () K uzvřeá, K : K chceme K kompktí K k : k tedy pro k = K () sporem: K eí omezeá, liovolý P, že r : K B, r K B, r K, r K kompktí k K : k, (předášk 0509) 86, chrkterizce kompktích moži v R K R d je kompktí, právě když je omezeá uzvřeá Důkz: (Pouze pro metriky ) Vět 85 pro, y=, y=m j j y j (stčí) K omezeá c R: K [ c,c] d Ukážeme, že [ c,c] d je kompktí pro c0 Kompktí, [ c,c] d kovergetí podposloupost, tedy pro =,, d : i : i [ c, c] Pro prví souřdici = je v [ c,c] (z věty ze ZS ) y k vyrá podposl, že lim y k = y ; k Pro druhou souřdici k k = kg vyrá podposl y l, že lim y l = y ; y l = k l l Podoě pro zývjící souřdice y k = k tedy pro =: k 0 k k 0 : k,, k k 0 : k k, k R, trojúher,, k, k, SPOR (3) F, chceme F, k : k Víme K, k : k F k F uz Moži V84 F QED (V prvím kroku vyereme prvky tk, y prví souřdice kovergovl k y, z těchto v druhém kroku tkové, y druhá souřdice kovergovl k y, ) Pro d-tou souřdici: y i i= vyrá z, že y i y,, y d i y d Víme, že j=,,d : lim y j i = y j (ve smyslu poslouposti z R ), i chceme lim y i = y,, y d (ve smyslu metrických prostorů) i Tedy dle defiice lim y i, y=m j y j i y j =0? i 0 i : y i y,, d i d : y i d y d 0 :=m {,, d }; i 0 y i, y, QED Def: Mějme P,,Q, metrické prostory, M P, f : M Q, 0 M Řekeme, že f je spojitá v 0 vzhledem k M, právě když 0 0 B 0, M : f 0 B f 0, f je spojitá M, právě když M : f je spojitá v vzhledem k M Nechť 0: B, M { 0 } y Q lim f = y 0 0 B 0, M { 0 }: f B y, Pk 0 vzhledem k M 87, chrkteristik spojitých zorzeí Mějme P,,Q, metrické prostory f : P Q, pk ásledující tvrzeí jsou ekvivletí f je spojitá v P G otevřeé v Q, : f G je otevřeá v P, 3 F uzvřeé v Q, : f F je uzvřeá v P, Poz, Pro moho úvh epotřeujeme metriky, stčí vědět, které možiy jsou otevřeé 88, ývái etrémů kompktu Mějme P, metrický prostor, K P kompktí, f : K R spojitou, pk f ývá K mim miim, f je K omezeá Důkz: OK () je pro mimum s:=sup{ f ; K}; sup: :lim f =s () s R : : s eí hz K : f s () s=: : eí hz K : K je kompktí, y k vyrá z tk, že y K : lim y k = y ; lim f y k = s k k Chceme dokázt f y=s mimum (stčí) f
9 Mtemtická lýz Tylorův polyom, primitiví fukce, určitý itegrál, fukce více proměých, metrické prostory f spojitá v y: 0 0 B y,: Pro spor ť f y s f B v R f y, f f y := s f y k 0 kk 0 : y k B y, f y k f y, SPOR QED lim f y k f y s k Tímto defiuji tyto výpisky jko uzvřeé ;-) Připomíky, žádosti, chválu či dávky jko ovykle zsílejte ztr@gmilcom