MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021) za přispění finančních prostředků EU a státního rozpočtu České republiky. Mgr. Radka SMÝKALOVÁ, Ph.D. smyky@seznam.cz
MT MATEMATIKA Vektory, matice 2 V rovině: Vektory a operace s nimi y b 2 u B a 2 A 0 a 1 b 1 x Bod A má souřadnice [a 1,a 2 ], bod B má souřadnice [b 1,b 2 ]. Vektor u = AB (šipka od A do B) vypočítáme u = AB = B A = [b1,b 2 ] [a 1,a 2 ] = (b 1 a 1,b 2 a 2 ). Souřadnice vektoru značíme v kulatých závorkách. Vektor je veličina, která má svoji velikost a směr. V prostoru: Bod A má souřadnice [a 1,a 2,a 3 ], bod B má souřadnice [b 1,b 2,b 3 ]. Vektor u = AB (šipka od A do B) vypočítáme u = AB = B A = [b1,b 2,b 3 ] [a 1,a 2,a 3 ] = (b 1 a 1,b 2 a 2,b 3 a 3 ). Souřadnice vektoru značíme v kulatých závorkách. Vektor je veličina, která má svoji velikost a směr. Vektory, které mají stejnou velikost a směr, jen se liší posunutím, jsou shodné!!!
MT MATEMATIKA Vektory, matice 3 V n-rozměrném prostoru: DEFINICE (Vektor). Uspořádanou n-tici čísel u = (u1,u 2,...,u n ) nazýváme číselným vektorem. Čísla u 1,...,u n jsou souřadnice vektoru u. Číslo n nazýváme rozměrem vektoru u. DEFINICE (Operace s vektory). u = (u 1,u 2,...,u n ), v = (v 1,v 2,...,v n ) jsou vektory, n N, c R je konstanta. Pak platí u ± v = (u 1 ±v 1,u 2 ±v 2,...,u n ±v n ) c u = (c u 1,c u 2,...,c u n ) u v = u 1 v 1 +u 2 v 2 + +u n v n skalární součin u = u 2 1 +u2 2 + +u2 n velikost vektoru cosϕ = u v u v odchylka vektorů, úhel sevřený dvěma vektory DEFINICE (Nulový vektor). Vektor, jehož souřadnice jsou samé nuly se nazývá nulový vektor. Věta (Kolmost vektorů). Dva vektory jsou na sebe kolmé, když je jejich skalární součin roven nule. Cvičení 1. Jsou dány vektory u = (1,3, 2,5), v = ( 2,0,1,2). Vypočítejte 1. w = 2 u 3 v 2. velikost vektoru w 3. skalární součin u v 4. úhel vektorů u, v 5. jsou vektory u a w na sebe kolmé? u = (0,0,...,0), u v = 0
MT MATEMATIKA Vektory, matice 4 Lineární kombinace vektorů V rovině: y w = c1 u +c 2 v u v w 0 x Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v, c 1,c 2 R jsou konstanty. V n-rozměrném prostoru: DEFINICE (Lineární kombinace vektorů). Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,..., u n stejného rozměru je vektor kde c 1,...,c n R jsou konstanty. w = c1 u 1 +c 2 u 2 + +c n u n,
MT MATEMATIKA Vektory, matice 5 DEFINICE (Lineární závislost a nezávislost vektorů). Vektory u 1, u 2,..., u n stejného rozměru jsou Lineární závislost a nezávislost vektorů lineárně závislé, jestliže alespoň jeden z nich je lineární kombinací ostatních lineárně nezávislé, jestliže žádný z nich není lineární kombinací ostatních Matice a operace s nimi DEFINICE (Matice typu (m,n)). Matice typu (m,n), kde m,n N, je množina prvků (reálných čísel) uspořádaných do m řádků a n sloupců. Píšeme a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n A =...... nebo A = (a ij), kde i = 1...m, j = 1...n a m1 a m2... a mn Když m n, matice se nazývá obdélníková. Když m = n, matice se nazývá čtvercová. Prvky matice a 11,a 22,... se nazývají hlavní diagonála.
MT MATEMATIKA Vektory, matice 6 DEFINICE (Druhy matic). Nulová matice - všechny prvky jsou rovny nule Transponovaná matice A T - vznikne z matice A tak, že zaměníme řádky za sloupce. První řadek za první sloupec, druhý řádek za druhý sloupec... Diagonální matice - čtvercová matice, která má na hlavní diagonále libovolná nenulová čísla a mimo hlavní diagoválu má nuly Jednotková matice I - čtvercová matice, která má na hlavní diagonále jedničky a mimo hlavní diagoválu má nuly Schodovitá matice - každý další řádek začíná větším počtem nul než ten předchozí 2 1 1 0 Cvičení 2. K matici A napište matici transponovanou. Určete typ matice A. Určete typ matice A T. A = 3 1 5 8 1 0 2 2 Cvičení 3. Napište jakoukoli nulovou matici, diagonální matici, jednotkovou matici, schodovitou matici. DEFINICE (Operace s maticemi - sčítání a odčítání, násobení konstantou). A = (a ij ) a B = (a ij ) jsou matice stejného typu (m,n), c R je konstanta. Pak platí A±B = (a ij ±b ij ) sečteme, resp. odečteme čísla na stejných místech c A = (c a ij ) konstantou c vynásobíme všechna čísla matice DEFINICE (Operace s maticemi - násobení matic). A = (a ij ) je matice typu (m,p) a B = (a ij ) je matice typu (p,n). Pak platí A B = (a i1 b 1j +a i2 b 2j + +a ip b pj ) všechny řádky první matice vynásobíme se všemi sloupci druhé matice - viz příklad Součin matic A B existuje pouze tehdy, když počet sloupců první matice A se rovná počtu řádků druhé matice B!!! Součin matic A B není komutativní, což znamená A B B A!!! A B = B A jen v některých případech.
MT MATEMATIKA Vektory, matice 7 3 2 1 2 1 Příklad. A = 0 1 2, B = 3 0. Vypočítejte A B, B A, A 2. 2 0 1 1 3 Řešení. A B existuje, protože A je typu (3,3) a B je typu (3,2). 3 2 1 2 1 3 2+2 3+( 1) 1 3 1+2 0+( 1) 3 11 0 A B = 0 1 2 3 0 = 0 2+1 3+2 1 0 1+1 0+2 3 = 5 6 2 0 1 1 3 2 2+0 3+1 1 2 1+0 0+1 3 3 1 B A neexistuje, protože B je typu (3, 2) a A je typu (3, 3). A 2 = A A existuje, protože A je typu (3,3) a A je typu (3,3). 3 2 1 3 2 1 11 8 0 A 2 = A A = 0 1 2 0 1 2 = 4 1 4 2 0 1 2 0 1 8 4 3 1 1 5 2 1 2 Cvičení 4. Jsou dány matice A = 2 4 1,B = 0 3 0. 2 3 2 2 4 2 Vypočítejte C = 2A+B T +3I, D = 2(A B)+A T I. ( ) 1 3 0 2 1 1 2 1 Cvičení 5. Jsou dány matice A =,B = 1 0,C = 1 1 3. 1 0 2 2 1 2 2 0 Vypočítejte A B,B A,B C,C B,A C,C A,A 2,B 2,C 2.