K přenášce NUFY080 Fzik I (mechnik) proztímní učební tet, erze 0. Kinemtik hmotného bou Leoš Dořák, MFF UK Prh, 06. Hmotný bo Kinemtik hmotného bou V prní ruhé kpitole se bueme zbýt pohbem si nejjenouššího objektu, který si mechnice umíme přestit: hmotného bou. Proč se zbýt tk nezjímým objektem, o němž toho níc spoustu znáte z nižších stupňů škol? Stručně řečeno, protože se n něm můžeme přiučit honě ěcí, které bueme potřebot při popisu složitějších sstémů které užijete i lších prtiích fzik. Proto je tto prní kpitol ocel louhá. Ale nezoufejte ž ji projeme, lší části mechnik už nám půjou ýrzně rchleji.. Proč hmotný bo neb o potřebě ielizce znebáání Co si přestit po pojmem hmotný bo? Nině řečeno, si něco honě mlého, le co má přitom nějkou hmotnost. V ieálním přípě b to něco mělo být opru booé, te mít nuloé rozměr. Eistuje tkoá ěc příroě, e sětě kolem nás? Zřejmě si ne, lespoň žánou tkoou neznáme 3. Hmotný bo je ielizce. Reálná těles mjí spoustu lstností bru, tr, chemické složení, rozložení hustot, moment setrčnosti, jejich mteriál se může eformot, má nějkou elektrickou oiost Všechn tto lší lstnosti si u hmotného bou omslíme, nebereme je úhu chcete-li, znebáme je. Jeiné, co nás bue zjímt, co pro nás bue chrkterizot hmotný bo, buou jeho: poloh hmotnost. Tím je hmotný bo plně popsán 4 5. Jk si le můžeme oolit še osttní znebt? A proč to ěláme? Zkuste si n obě otázk nejří opoěět smi! 6 Zkuste si n tuto otázku nejří opoěět smi. Přestte si třeb, že bste někomu tento pojem chtěli sětlit. (Můžete si přestit, že se ás n to zeptá žák záklní škol, střeoškolák, nebo še bbičk. Objsnění si buou různá. Co bste řekli? Jké příkl bste použili?) V ngličtině se pro hmotný bo použíá termín point mss, te booá hmotnost. 3 Poznámk pro šťour : Nebueme se ze pouštět o iskusí týkjících se toho, že kntoé elektronmice jsou třeb elektron formálně popisoán jko booé objekt. Osttně není jsné, z sám prostor lze ělit n menší části o nekonečn, npříkl po tz. Plnckou élku, která je řáu 0-35 m. 4 No lstně občs se nám bue hoit popisot či počítt pohb nbité částice elektrickém nebo mgnetickém poli. Pk bueme užot, že hmotný bo může mít tké elektrický náboj. 5 Poloh hmotného bou se přirozeně může měnit s čsem, tkže lšími eličinmi, které buou pohb hmotného bou chrkterizot, buou rchlost zrchlení; t jsou le oozen o poloh, tkže je tu neuáíme zlášť. 6 Dlší tet schálně násleuje ž n lší stránce, bste se mohli zmslet. (Ab to neblo jen enní snění, není šptné, kž si še opoěi npíšete, třeb n prázné místo n stránce.)
K přenášce NUFY080 Fzik I (mechnik) proztímní učební tet, erze 0. Kinemtik hmotného bou Leoš Dořák, MFF UK Prh, 06. Hmotný bo Chál znebáání Tkže ještě jenou: Jk si můžeme oolit znebt še kromě poloh hmotnosti? A proč to ěláme? N otázku proč je jenouchá opoěď: Výrzně nám to zjenouší úh ýpočt fktick nám to umožní řě situcí ůbec problém řešit, te počítt, jk se těles pohbují. Osttně, ezměte si úplně jenouchý problém: posluchárně hoíme kouskem kří. Jk se pohbuje? Kž si ze stření škol pmtujeme, jk je to se šikmým rhem, opoíme, že po prbole. Jenže k oození tkto jenouchého ýsleku znebááme spoustu liů fktorů. Zkuste se zmslet, jké to jsou. 7 Viíme te, že e fzice je znebáání nezbtné. A jk to, že si můžeme oolit znebát? Inu proto, že při rozumném znebání popisuje fzik třeb pohb těles osttečně přesně. 8 Zjenoušení pojm, které buou ielizcí bstrkcí skutečnosti, proto bueme použít e ýklu mechnik i nále, i kž už to nebueme eplicite zůrzňot. Zpět k hmotnému bou Co te reálně brát z hmotný bo? Mohli bchom říci, že je to těleso znebtelných rozměrů 9. Přirozeně ošem stáá otázk znebtelných ůči čemu? Jink řečeno: K můžeme požot kříu z hmotný bo? A co třeb zeměkoule k ji můžeme brát jko hmotný bo? Pro mrence, který po ní leze, určitě kří není hmotným boem; poobně pro nás není hmotným boem zeměkoule, kž po ní choíme, jezíme či poku bchom ji oblétli kosmické loi. N ruhou strnu, centimetroý kousek kří hozený n zálenost několik metrů si z hmotný bo požot můžeme 0. Poobně poku bueme počítt, jk Země obíhá kolem Slunce, je rozumné brát ji jko hmotný bo. Znebtelné rozměr te znmenjí znebtelné ůči élkám rozměrům celé situci, celého problému, který popisujeme nebo řešíme. 7 Zčněme o těch jsných: Opor zuchu. (Dík němu není trjektorií přesně prbol, le blistická křik. Opor zuchu přitom záisí n elikosti tru kří.) Rotci kří. (Kří nstuje zuchu různé strn, tím se zřejmě trochu mění opor zuchu.) Skutečnost, že místnosti může být průn, ten kříu trochu snáší. (Konec konců, prouění zuchu místnosti oliňujeme i m, ko ní jsme, tím, že ýcháme. Tenhle li bch už opru nechtěl počítt ) A kž jeme o ještě neptrnějších liů: Trjektorie b bl prbolou (e kuu) přípě homogenního gritčního pole. Ošem e skutečnosti je gritční pole u polh trochu silnější, než u stropu. (Sice zhrub jen o milióntinu, le rozíl to je. Osttně, i přemět místnosti m smi kříu přithujeme, tkže oliňujeme její pohb. ) A uážíme-li ještě nicotnější li: N kříu opá sětlo, třeb o okn nebo ze zářiek, tkže n ni působí tlk záření. (Bť ji určitě neoliňuje tolik, jko třeb sluneční záření chost komet.) Přes různé lší li bchom se nkonec obrli i k tomu, že kří lstně není klsický objekt, je složen z tomů, které se chojí kntoě, tkže bchom lstně měli jejich pohb ( tím i pohb celé kří) počítt pole zákonů kntoé mechnik. A poku nám to ještě nestčí, můžeme si uěomit, že Newtono teorie gritce není tou nejpřesnější teorií popisující gritční působení, tou je obecná teorie reltiit. Tkže bchom lstně měli pohb kří počítt pole obecné teorie reltiit, le součsně, jk jsme k tomu ospěli ýše, pole kntoé fzik. A jsme koncích protože kntoou fziku obecnou reltiitu ještě niko ohrom nespojil. To znmená, že pohb hozené kří te lstně e fzice přesně, bez znebáání, spočítt neumíme 8 Npříkl kří hozená e tříě se opru s obrou přesností pohbuje po prbole. 9 U něhož, jk už jsme ueli, bereme úhu pouze jeho polohu hmotnost ( přípně elektrický náboj). 0 Bť ze si záleží n přesnosti měření i lších fktorech; třeb pro zmuchlný ppírek poobných rozměrů, který b se e zuchu šelijk přelol, b hmotný bo už nemusel být obrou proimcí.
K přenášce NUFY080 Fzik I (mechnik) proztímní učební tet, erze 0. Kinemtik hmotného bou Leoš Dořák, MFF UK Prh, 06. Poloh. Poloh hmotného bou neb známé ěci s trochou mtemtik Získli jsme přestu, co je to hmotný bo. V kinemtice se nebueme strt o jeho hmotnost, pouze o jeho polohu. Mluíme-li o poloze, okmžitě se ošem nsktne otázk: Polohu musíme ztáhnout ůči něčemu. Vztžné soust soust souřnic Poloh ůči čemu? Pro ono něco, ůči čemu polohu zthujeme, se užíá náze ztžná soust. Hezkou efinicí, která tento pojem stihuje je: Vztžná soust je sstém skutečných nebo mšlených těles 3, která jsou nzájem kliu. Máme-li ztžnou soustu, můžeme ní zést soustu souřnic 4. Nejjenoušší soustou je krtézská soust souřnic 5. T má tři nzájem kolmé os, n něž nneseme jenotk élk, jk ukzuje obrázek. Prktick ž přitom užíáme soustu protočiou: Poku k trojhrnu os přiložíme prou ruku tk, b prst směřol o os k ose 6, míří plec o klného směru os z 7. Čsto bueme řešit jen příp ourozměrného pohbu, te pohbu roině. V těchto přípech buou nše náčrtk soust souřnic jenoušší, omezí se jen n os, iz obrázek leo. V něm jsme znčili i části os, ke jsou souřnice záporné, počátek soust souřnic 8. Všimněte si, že jsme le nezformuloli žánou sloníkoou efinici hmotného bou. Přesných efinic si nšem seznmoání s mechnikou ůbec moc neužijeme. Spíš než o efinice, které bchom se mohli učit zpměti, nám půje o to, bchom poznli, jk fzik popisuje sět, jké pojm přitom použíá, jký je jejich ýznm co jim opoíá reálném sětě, jké jsou jejich zth A tké jk nám při tom popisu pomáhá mtemtik jk to še rží pohromě. Občs se ýstižná efinice hoí, le fzik n nich nestojí. Vi, přece n efinice ošlo! 3 Skutečnými těles mohou být npříkl polh stěn nší lbortoře či posluchárn, prconí esk stolu po. Proč uáět i mšlená těles? Něk nás může zjímt, jk b určitá situce pl třeb z hleisk rket, která b kolem nšeho pokusu prolétl elkou rchlostí určitě přitom není potřeb, b nám lbortoří nebo posluchárnou prolétl skutečná rket. 4 Užíá se tké náze sstém souřnic. 5 Ve fzice smozřejmě užíáme i lší tp soust souřnic, elmi užitečné jsou třeb sférické álcoé souřnice, roině pk polární souřnice. Pro zčátek šk stčíme s krtézskými. 6 Přesněji: o šipk znčující klný směr os k šipce znčující klný směr os. 7 Vznčuje te orientci os z. Kbchom použili leou ruku, bl b směr os z opčný, šlo b o leotočiou soustu. Něk b její použití neilo, le třeb e zthu pro ektoroý součin ektorů b blo opčné znménko. 8 Znčíá se smbolem O, z nglického origin. 3
K přenášce NUFY080 Fzik I (mechnik) proztímní učební tet, erze 0. Kinemtik hmotného bou Leoš Dořák, MFF UK Prh, 06. Poloh Poloh hmotného bou, polohoý ektor Polohu bou e zolené krtézské soustě chrkterizujeme pomocí jeho souřnic, z. Souřnice jsou án průmět n os, jk to ukzuje obrázek. 9 Polohu bou tké můžeme popst ektorem, jehož počátek je počátku soust souřnic konec ném boě. (N obrázku je tento ektor oznčen jko r A.) Tomuto ektoru říkáme polohoý ektor 0. Souřnice bou jsou přímo složkmi polohoého ektoru : r,, z ( ) V ourozměrném přípě je obrázek jenoušší jsou n něm možná snáze iět složk polohoého ektoru. Do obrázku jsme znčili tké jenotkoé ektor e směru os souřnic, e e. (Ve třírozměrné situci b smozřejmě přibl jenotkoý ektor e z e směru os z.) To, že je o jenotkoé ektor 3, můžeme zpst stnrním způsobem: e e e. Kž o obrázku znčíme násobk jenotkoých ektorů jejich součtem: r e + e. z e Jk z polohoého ektoru získt zpátk souřnice příslušného bou? Stčí polohoý ektor sklárně násobit 4 npříkl ektorem e : r e e + e e e e + e e + 5 ( ) 0 (.) e, iíme, že polohoý ektor je Poobně pltí r e. Z obrázku iíme, že souřnice jsou průmětem polohoého ektoru o směrů os souřnic. (A sklární součin s jenotkoým ektorem ělá práě průmět o jeho směru.) 9 Přestte si to konkrétně třeb přípě, že počátek soust souřnic je rohu stolu, osmi jsou hrn stolu, os z míří nhoru, kolmo k esce stolu. Souřnicí z je pk ýšk bou n eskou stolu; rozmslete si smi, jk je tomu se souřnicemi. 0 Ve strších učebnicích se lze setkt s názem ráiusektor, ou jeho smbol r. V tomto zthu už nepíšeme ine znčující, o který bo je. Poku bueme potřebot rozlišot různé hmotné bo, můžeme smozřejmě psát třeb ra ( A, A, za), rb ( B, B, zb) po. Už k nim obrázku nepíšeme ine znčující hmotný bo. (Písmen sice teď znčí jk souřnice bou, tk os, le z kontetu resp. z jejich umístění je jsné, k je o osu k o souřnici bou.) 3 Te úsečk se šipkou, jejichž élk je. 4 O sklárním součinu njete několik stručných informcí Dotku.A n konci kpitol. 5 Pltí totiž e e e, protože je o jenotkoý ektor e e 0, protože je o ektor, které jsou nzájem kolmé. (Oboje je iět z obecného zthu pro sklární součin ektorů b b cosα, ke, b jsou elikosti ektorů α úhel jimi seřený. Připomeňte si zth pro sklární součin nebo se s nimi seznmte, poku ás osním stuiu minul, buete je čsto potřebot, to nejen mechnice.) 4
K přenášce NUFY080 Fzik I (mechnik) proztímní učební tet, erze 0. Kinemtik hmotného bou Leoš Dořák, MFF UK Prh, 06. Poloh Vše ueené smozřejmě pltí nlogick e třírozměrném přípě: r e + e + ze, (.) z r e r e z r e z (.3) 6 Rozepisot stále složk,, z je sice názorné, le zplní spoustu ppíru. Proto se čsto souřnice ozn. ozn. ozn. oznčují čísl:,, z, poobně i jenotkoé ektor: ozn. ozn. ozn. 3 e e, e e, e z e, 3 tkže polohoý ektor lze npst pomocí znku pro součet jko r e + e + e (,, ) 3 3 3 (.4) 7 r e. (.5) 8 3 i Vjáření souřnic z polohoého ektoru, te zth (.3) pk můžeme npst n jeen řáek: r e, i,..., 3. (.6) i i Skutečnost, že se pro stejnou ěc použíá několik způsobů zápisu, nás může z zčátku trochu mást, le tk tomu prostě je. 9 30 A á se n to bez problémů zknout. Pojďme le už k něčemu fzikálnějšímu. Jk popst pohb? i i 6 Tto zth smozřejmě můžeme z (.) ooit i jink: Složk ektoru e jsou e ( 00,, ), tkže r e (, z, ) ( 00,, ), ke jsme užili zorec b (,, z) ( b, b, bz) b + b + z bz pro ýpočet sklárního součinu ze složek ektorů. Poobně pro -oou z-oou složku. 7 Smozřejmě lze psát tké r (,, ) 3, zth (.4) ou tké ostneme, kž si uěomíme, že e ( 00,, ), e ( 00,, ), e 3 ( 00,, ). 8 Poznámk pro fjnšmekr : V pokročilejších učebnicích se níc čsto necháá i znk sumce, tj. píše se jen r e i i. Až n to nrzíte, neěste se. To, že se má sčítt, poznáme z fktu, že se ine i ném ýrzu objeuje krát; to, že se sčítá o jené o tří, íme z kontetu. Tomuto prilu se říká Einsteino sumční konence nebo Einsteinoo sumční prilo. M tomto tetu ztím bueme znk sum psát. 9 Abchom prfrázoli klsik: Můžeme s tím nesouhlsit, můžeme proti tomu protestot, le to je tk še, co s tím můžeme ělt. 30 Poku ám přije, že různých oznčení neblo ost, pk ězte, že inženýrských učebnicích se čsto pro jenotkoé ektor e, e, ez použíá znčení i, j, k. 5
K přenášce NUFY080 Fzik I (mechnik) proztímní učební tet, erze 0. Kinemtik hmotného bou Leoš Dořák, MFF UK Prh, 06. Poloh Jk popst pohb hmotného bou Smozřejmě tk, že souřnice hmotného bou se buou s čsem měnit, te že buou funkcemi čsu. Npříkl 3 : t nebo: t nebo: Asin( ωt ) Záislost souřnice n čse lze stihnout i grfick. Pro ýše ueené příkl je o grf, s nimiž jsme se jistě už mnohokrát setkli 3 : Ve ourozměrném přípě (te pro pohb roině) se s čsem mění souřnice i. Npříkl 33 : Obecně záislost souřnic zpíšeme jko t, gt 0 nebo: R cos ( ωt), R sin( ωt ) ( ), ( ), ( ) nebo krátce jko záislost polohoého ektoru n čse: r r t t t z z t (.7) 34 ( ) (.8) 35 Dobrá, pohb umíme popst, konkrétně i obecně. Ale ztím to celé, sn ž n grfické jáření pá honě formálně o pohbu jsme se zs tk mnoho neozěěli. 36 Nešlo b ze záislostí (.7) resp. (.8) třeb tké určit jk rchle se hmotný bo pohbuje? 3 Rozmslete si smi, jký pohb ále ueené zth popisuji. (Pro kontrolu: ronoměrný, ronoměrně zrchlený, hrmonické kmitání.) 3 Zkuste si je nčrtnout i pro jiné honot prmetrů rozshu čsu. Třeb, kž rchlost bue záporná. Nebo pro obecnější příp ronoměrně zrchleného pohbu, t + bt + c, třeb tk, b grf reprezentol pohb ut, které brzí 33 Opět si rozmslete, jký pohb je nými zth popsán. (Pro kontrolu: ooroný rh, ronoměrný pohb po kružnici.) 34 Totéž můžeme zpst jko ( t ), ( t ), ( t ) 3 3, nebo nráz jko i i( ) 35 Tké bchom mohli psát r ( ( t), ( t), z( t) ) t, i,, 3. - le už si přestneme pisot šechn možné rint zápisu, už to zčíná být únné. 36 Neusnuli jste ještě n tímto tetem? Poku no, tk se probuďte, konečně se zčne něco ít. 6
K přenášce NUFY080 Fzik I (mechnik) proztímní učební tet, erze 0. Kinemtik hmotného bou Leoš Dořák, MFF UK Prh, 06.3 Rchlost.3 Rchlost nepre jenorozměrném přípě Průměrná rchlost Nejjenoušší zth pro ýpočet rchlosti, který známe z nižších stupňů škol, říká Rchlost je ráh ělená čsem. Přesněji řečeno, ráhu s, kterou hmotný bo urzí z obu t, ělíme tou obou. Dostneme tk průměrnou rchlost 37 : s. t Příklů je nespočet. Třeb jeeme-li z Prh o Brn, je ráh s 06 km, ob jíz t h. 38 Průměrná rchlost je te 03 km/h. 39 Průměrná rchlost ošem nemusí mnoho říkt o tom, jký bl průběh jíz. V úsecích s různými omezeními se n D kolonách můžeme ploužit třicítkou, n olných úsecích jet přepisoých sto třicet. A poku nás policie zstí, že nám rrem nměřil rchlost 60 km/h, nemůžeme se mlout rgumentot průměrnou rchlostí. Potřebujeme te popst, jk rchle jeeme práě určitém okmžiku, potřebujeme znát okmžitou rchlost. Jk ji ostt z průměrné rchlosti? Dobrým přiblížením je určit průměrnou rchlost určitém krátkém čsoém interlu Δt. Jestliže z tento interl ujeeme ráhu Δs, je s průměrná rchlost přirozeně. Situci ukzuje obrázek pro. t Příklů lze opět mslet řu. Jestliže třeb z 3 sekun ujeeme 30 metrů, je nše průměrná rchlost n tomto úseku 0 m/s. 40 Pro lší úh bue užitečné zést složk rchlosti. Zčněme nejpre nejjenoušším přípem, te jenorozměrným pohbem (můžeme jej třeb oznčot smbolem D). Obrázek ukzuje polohu hmotného bou čse t, jeho souřnice je. Příklem může být uto jeoucí po roné silnici. V čse t t + bue souřnice bou +. Grf pohbu záislosti n čse ukzuje obrázek pro. -oá složk rchlosti je. (.9) t t 37 To, že je o průměrnou rchlost, znčíme pruhem n smbolem eličin. Průměroání (něk se též říká střeoání) se tké znčí ostrými záorkmi, nšem přípě b te smbolem blo. 38 Te, pole sereru mp.cz je to hoin 59 minut, le řekněme, že jsme bli o minutu pomlejší. 39 V tomto tetu ětšinou nebueme ěnot zláštní pozornost jenotkám, zejmén tm, ke přepoklááme, že jsou notorick známé. Proto teď nebueme tento új přepočítát n m/s ni n míle z hoinu, mikroprsek z století ni jiné běžné, méně běžné či zcel obskurní jenotk. (Přiznáám, že mikroprsek z století jsem si práě mslel.) Smozřejmě bchom přípě potřeb úje různých jenotkách uměli nzájem přeést. 40 Te 36 km/h, bchom přece jen jeen přeo jenotek uělli. 7
K přenášce NUFY080 Fzik I (mechnik) proztímní učební tet, erze 0. Kinemtik hmotného bou Leoš Dořák, MFF UK Prh, 06.3 Rchlost Stále je o průměrnou rchlost čsoém interlu <t,t >. Je le obré uěomit si, že n rozíl o průměrné rchlosti počítné z ráh může jít záporné. 4 Průměrnou rchlost můžeme tké číst z grfu čsoé záislosti (t). Z obrázku leo je iět, že přepon proúhlého trojúhelník s oěsnmi élek Δt Δ je sečnou grfu. Poměr áá tngentu úhlu α.4 Je te tgα. Tngent úhlu, který přímk sírá s ooronou osou grfu, se nzýá směrnice né přímk. Viíme, že průměrná rchlost je směrnicí sečn grfu (t). Fzikální interpretce průměrné rchlosti je tké jsná: je to rchlost, jkou bchom museli jet ronoměrně, bchom se z obu Δt ostli z míst, ke bl hmotný bo čse t, o míst, ke je čse t. 43 O průměrné rchlosti k okmžité Ve ýše užoném čsoém interlu Δt se ošem rchlost hmotného bou stále může měnit. Máte-li třeb žihlo Bugtti Veron, můžete si oěřit, že z ýše zmíněné 3 s okáže rchlost změnit osti posttně. 44 Jk se te přiblížit okmžité rchlosti? Zřejmě tk, že zmenšíme interl Δt! Jk ukzuje obrázek, zmenší se součsně Δ sečn se přiblíží tečně ke grfu (t). Smozřejmě, stále ještě nemáme okmžitou rchlost. Můžeme le olit stále menší menší interl Δt okmžité rchlosti se zřejmě bueme přibližot stále lépe. 45 Interl Δt tk postupně zmenšujeme ž k nule, i kž nul smotné nik neosáhneme. 46 V mtemtice se tomuto postupu říká limitní přecho. Říkáme, že Δt je k nule, smbolick to jáříme zápisem 0. Limit funkcí ze nebueme blíže rozebírt po mtemtické stránce. 47 Rěji si n jenouchém příklě ukážeme, jk to funguje, te jk můžeme konkrétním přípě ospět o průměrné rchlosti k okmžité. 4 Rozmslete si, jk tomto přípě bue pohbot hmotný bo jk bue pt grf funkce (t). 4 Smozřejmě z přepoklu, že jenotk n ooroné i sislé ose mjí stejnou élku, jink bchom museli zůstt u jáření t. 43 Poku ám tto ět přije příliš zšmorchná, rozmslete si to třeb n příklu zrchlujícího ut. 44 M osttní, ko toto utíčko nemáme, se musíme omezit n informce n webu. Pole nich okáže z nul n rchlost 00 km/h zrchlit z,5 s. 45 Fktick tímto způsobem konstruujeme okmžitou rchlost. 46 Do zthu (.9) nemůžeme osit Δt 0, nulou se ělit neá. Ale Δt může být liboolně mlé. 47 To se porobně ozíte mtemtické nlýze. Jk e fzice počítt s limitmi, ericemi užitečnými ěcmi z mtemtické nlýz, se ozíte (nebo si to připomenete, kžém přípě procičíte) přemětu Úo o mtemtických meto fzik. 8
K přenášce NUFY080 Fzik I (mechnik) proztímní učební tet, erze 0. Kinemtik hmotného bou Leoš Dořák, MFF UK Prh, 06.3 Rchlost Nejpre le přepíšeme zth (.9) o tru, který se nám bue hoit lších úprách: Příkl: ronoměrně zrchlený pohb ( ) ( ) ( + ) ( ) t t t t t (.0) t t Při ronoměrně zrchleném pohbu záisí souřnice n čse pole zthu ke A je nějká konstnt. At, (.) Po oszení (.) o (.0) ostneme pro průměrnou rchlost n interlu <t, t +Δt> : ( ) ( ) A t + At At + At t+ A At At + A Teď už je jsné, k čemu se bue přibližot kž 0. Zjeně to bue At. Místo t už bueme psát prostě t nebueme už psát pruh n rchlostí už neje o průměrnou, le o okmžitou rchlost: ( ) t At. (.) Smozřejmě jsme ostli známý ýsleek: přípě ronoměrně zrchleného pohbu se rchlost mění lineárně s čsem. Obkle se píše t, pro rchlost pk je známý zth t. Okmžitá rchlost Okmžitou rchlost te z průměrné rchlosti (.0) ostneme limitou V grfu ( t) ( t ) lim ( + ) ( ) t t t 0 : (.3) t 0 má okmžitá rchlost jenouchou geometrickou interpretci. Již jsme si rozmsleli, že jk se přibližuje k nule, sečn grfu se stále íc přibližuje tečně. V limitě s tečnou splne iz obrázek níže. Je te iět, že pro okmžitou rchlost pltí tgα 0, ke α je úhel, který sírá tečn s osou. 48 Můžeme te říci, že okmžitá rchlost je ron směrnici tečn ke grfu ( t). Názorně iíme bez šech zorečků můžeme říci, že okmžitou t. rchlost poznáme z toho, jk strmě stoupá grf funkce ( ) Strmé stoupání znmená elkou rchlost, pozolné stoupání mlou. A co kž grf klesá? Zkuste si ýznm rozmslet smi! 49 A nkreslete rozeberte opoíjící grf. 48 Pro upřesnění: Toto pltí smozřejmě opět z přepoklu, že n obou osách jsou jenotk stejně elké. Jink bchom museli zůstt u poměru t pro přírůstk souřnic chrkterizující tečnu, jk to ukzuje obrázek. 9
K přenášce NUFY080 Fzik I (mechnik) proztímní učební tet, erze 0. Kinemtik hmotného bou Leoš Dořák, MFF UK Prh, 06.3 Rchlost Okmžitá rchlost jko erice souřnice Počítt rchlost ž pole zorce (.3) b blo zlouhé únné. 50 Ošem poobný ýrz, jkým je (.3) známe z mtemtik. Je jím efiniční zth pro erici funkce: 5 f f( + ) f( ) lim 0. (.4) Poronáním zthů (.3) (.4) iíme, že. (.5) Tento zth můžeme zít z efinici okmžité rchlosti. Sloně to můžeme jářit tk, že -oá složk rchlosti je ericí -oé souřnice pole čsu t. 5 Volněji ( méně přesně) čsto říkáme, že rchlost je ericí poloh pole čsu. Poznmenejme, že tto efinice rchlosti je lstně přirozená. I e zthu (.5) lstně n pré strně iíme přírůstek souřnice ělený přírůstkem čsu. 53 Poznámk ke znčení: Z mtemtik íme, že erice pole se čsto znčí tké čárkou: f f. V mechnice něk použíáme poobný zápis; erici pole čsu znčíme tečkou n příslušným smbolem. Vzth pro ýpočet rchlosti te můžeme tké psát jko. (.6) (Vzth (.5) (.6) znmenjí přesně totéž, je jen o jiné znčení.) Pojďme teď ilustrot ýše ueenou obecnou efinici rchlosti n několik jenouchých příklech. 49 Pro kontrolu: znmená to, že -oá složk rchlosti je záporná, te že < 0. Znmená to, že hmotný bo couá, te pohbuje se proti směru os. 50 Zkuste si tímto způsobem spočíst třeb rchlost kmitého pohbu, Acos ( ω t ) 0. To je úloh pro nšence nebo msochist! 5 Ko jste se s ericemi potkli jen elmi záleně nebo ještě ůbec ne, seznmte se s nimi prosím říe, než buete stuot lší části mechnik. Derice totiž bueme užít prktick pořá. (S ericemi se seznámíte nebo si je zopkujete npř. přemětu Úo o mtemtických meto fzik. V mechnice nebueme o ericích potřebot znát žáné elké jemnosti, ůležité le je chápt jejich ýznm umět s nimi počítt.) 5 Poznmenejme, že přepoklááme, že záislost souřnice n čse je tkoá, že erice eistuje. Toto bueme přepoklát i e šech lších přípech, k bueme erice efinicích eličin při ýpočtech použít. 53 Pro mtemtik je oznčení erice, f pochopení týče, je le ocel honé iět smbolu přírůstk Δ Δt nějkém smslu nekonečně mlé., te i, neělitelným smbolem. Poku se fzikálního i půoní poměr - jen teď lstně jsou t
K přenášce NUFY080 Fzik I (mechnik) proztímní učební tet, erze 0. Kinemtik hmotného bou Leoš Dořák, MFF UK Prh, 06.3 Rchlost Při ýpočtech rchlosti konkrétních přípech potřebujeme umět použít tbulku ericí elementárních funkcí několik záklních priel pro práci s ericemi. 54 Příkl : ronoměrný pohb Při ronoměrném pohbu záisí souřnice n čse pole zthu V t+ 0. -oou složku rchlosti počteme s pomocí erice jenouše oszením o (.5): 0 ( Vt + 0 ) ( Vt ) + V + 0 V 55 (.7) Derice přirozeně l ýsleek, který očekááme. Skutečnost, že rchlost je konstntní, iíme i z grfu. Strmost záislosti ( ) t je e šech místech (resp. e šech čsech) stejná. Konstntní je te i erice. Příkl : ronoměrně zrchlený pohb Souřnice tomto přípě záisí n čse pole zthu ostááme: At. 56 Pro -oou složku rchlosti ( At ) A ( t) A t (.8) I teď šel očekáný ýsleek totéž, co jsme ýše ostli limitou, iz (.). Skutečnost, že se rchlost s čsem zětšuje, je opět iět i z grfu. Pro šší čs je grf ( t ) strmější strmější, poměr je ětší ětší. 54 Viz Dotek.B n konci kpitol. 55 Protože je o prní příkl, rozepisujeme ze ýpočet elmi porobně; s trochou pre buete z chíli tkto jenouché ýpočt proáět z hl. 56 Nebo obecněji At + Bt + C. Vpočtete si rchlost i tomto přípě. (Pro kontrolu: At + B.)
K přenášce NUFY080 Fzik I (mechnik) proztímní učební tet, erze 0. Kinemtik hmotného bou Leoš Dořák, MFF UK Prh, 06.3 Rchlost Příkl 3: kmitý pohb Při hrmonických kmitech je čsoá záislost souřnice án funkcí sinus nebo kosinus, je te A sin ω t. -oou složku rchlosti opět počteme ericí pole čsu: npř. ( ) ( A sin ( ωt) ) A ( sin ( ωt) ) A ( cos( ωt) ω) Aω cos( ωt). (.9) Příkl, k je složk rchlosti klná, k záporná k ron nule, ukzuje grf.
K přenášce NUFY080 Fzik I (mechnik) proztímní učební tet, erze 0. Kinemtik hmotného bou Leoš Dořák, MFF UK Prh, 06.4 Rchlost 3D příp.4 Rchlost tentokrát e třírozměrném přípě Složk rchlosti Pohb hmotného bou prostoru je án tím, jk souřnice, z záisejí n čse: ( ), ( ), ( ) t t z z t. (.0) Rchlost o směru os už umíme určit, je to erice pole čsu. Nprosto stejně tomu bue pro složk rchlosti o směrů z. Je te: z z (.) Prostě jenouše: rchlost počítáme po složkách. Totéž můžeme zpst pomocí ektorů.,,,. Vzth (.) lze te ektoroě zpst jko z, jsou složk ektoru rchlosti: ( z) z,,,,, (.) ( z) nebo prostě jko r. (.3) Tento zth můžeme chápt jko efinici rchlosti hmotného bou. Obecné zth (.) resp. (.3) je opět obře ilustrot n příklech. Příkl 4: ooroný rh Jestliže os míří ooroně os sisle (zhůru), je ooroný rh popsán zth V t, gt. Složk rchlosti ostneme erioáním: ( ) t ( V t) V, ( gt ) g g t gt (.4) Výsleek opl pole očekáání: e ooroném směru je rchlost konstntní, e sislém směru roste přímo úměrně čsu. 57 57 Rozmslete si, proč je u sislé složk znménko mínus. (Km směřuje os km rchlost?) 3
K přenášce NUFY080 Fzik I (mechnik) proztímní učební tet, erze 0. Kinemtik hmotného bou Leoš Dořák, MFF UK Prh, 06.4 Rchlost 3D příp Příkl 5: ronoměrný pohb po kružnici Při ronoměrném pohbu po kružnici o poloměru R jsou souřnice : ( ω ) ( ω ) Rcos t Rsin t. (.5) Skutečnost, že je opru o pohb po kružnici se střeem počátku souřnic, je iět z obrázku, úhel ϕ je přitom ϕ ωt. (Úhloá rchlost ω konst., proto je pohb ronoměrný.) Z (.5) se tké můžeme přesěčit, že r + R. Složk rchlosti ostneme erioáním: R t R t ( cos( ω )) ωsin ( ω ) R t R t ( sin ( ω )) ω cos( ω ). (.6) Ze složek rchlosti okmžitě ostneme + Rω, te rchlost při kruhoém pohbu. Níc, sklární součin polohoého ektoru ektoru rchlosti je: r + Rcos ωt Rωsin ωt + Rsin ωt Rωcos ωt 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Sklární součin je roen nule, to znmená, že ob ektor jsou n sebe kolmé tk, jk to ukzuje obrázek pro. Kolmost obou ektorů i elikost rchlosti bchom smozřejmě mohli ooit i elementárně z obrázku, tím, že bchom kreslili, km se hmotný bo posune z mlý přírůstek čsu Δt. N střeoškolské úroni (oku stuenti neznjí erice) je to celkem přirozený postup smozřejmě bchom ho tké měli olát, resp. n požáání mslet. 58 58 N ýpočtu pomocí ericí šk můžeme ocenit, že lstně nežol žánou zláštní chtrost, stčí při něm umět eriot. A stejným postupem počteme rchlost i přípě komplikonějších pohbů. 4
K přenášce NUFY080 Fzik I (mechnik) proztímní učební tet, erze 0. Kinemtik hmotného bou Leoš Dořák, MFF UK Prh, 06.5 Zrchlení.5 Zrchlení K pojmu zrchlení nás přiee jenouchá otázk: Jk rchle se s čsem mění rchlost? Nemusí to být otázk jen kemická. Mjitelé rchlých silných ozů se rái pochlubí, z kolik sekun to táhnou z nul n stoku. Tím jinými slo chrkterizují zrchlení sých bouráků. Jestliže z obu Δt zýší ůz rchlost o Δ, je jeho průměrné zrchlení. 59 t Poobně jko přípě rchlosti můžeme přejít o průměrného zrchlení k okmžitému. Nemusíme už procházet celý postup, protože máme nástroj, kterým určujeme, jk rchle se nějká eličin s čsem mění: erici, přesněji řečeno erici pole čsu. 60 Nepřekpí nás te, že jenorozměrném přípě je složk zrchlení án jko. (.7) Pro pohb e ýše ueených příklech ž 3, ke jsme počítli rchlost, můžeme nní lehce spočíst zrchlení. Příkl z: ooroný rh Rchlost je án zthem s tím, co o ronoměrném pohbu íme. V, tkže zrchlení je ( V) 0, soulu Příkl z: ronoměrně zrchlený pohb Souřnice je At, rchlost (iz ýše (.8)) At, tkže zrchlení je ( At) A, opět soulu s tím, co známe. (Obkle píšeme t, tkže A.) Příkl 3z: hrmonický kmitý pohb Souřnice je A sin( ω t ), rchlost ω cos( ω ) erioáním: A t ( ωcos( ω )) ω sin ( ω ) A t A t Z tohoto ýsleku můžeme ostt zjímý zth mezi zrchlením souřnicí:. Zrchlení ostneme opět. (.8). ω 59 Jestliže ýše zmíněný Bugtti Veron zrchlí z nul n 00 km/h (tj. n 7,8 m/s) z,5 s, je te jeho průměrné zrchlení si m/s. (Z toho b se l počítt lší zjímé ěci ) 60 Ve fzice ji buete užít elice čsto. Npříkl elektromgnetismu bue čsoá změn mgnetického inukčního toku Φ án ericí Φ. 5
K přenášce NUFY080 Fzik I (mechnik) proztímní učební tet, erze 0. Kinemtik hmotného bou Leoš Dořák, MFF UK Prh, 06.5 Zrchlení Při hrmonickém kmitém pohbu je zrchlení přímo úměrné ýchlce, le má opčný směr. 6 Vektor zrchlení Ve třírozměrném přípě jsou -oá i z-oá složk zrchlení án nlogickými zorci jko. Je te (.9) z z Všechn tto tři zth můžeme opět zpst nráz pomocí ektorů jko, (.30) ke ektor zrchlení je přirozeně (,, z) konkrétně n pokrčoání ýše ueených příklů 4 5.. Obecné zth si zse ilustrujeme n příklech, Příkl 4z: ooroný rh Souřnice jsou án zth V t, V g t. Jejich zerioáním ostneme 0 Je te, pole očekáání, gt, složk rchlosti z nich šl V ( 0, g). 6 ( ) gt g. Příkl 5z: ronoměrný pohb po kružnici Souřnice jsou án zth Rcos ( ωt), Rsin ( ωt) ( ) ( ), složk rchlosti (iz (.6)) Rωsin ωt, Rω cos ωt. Složk zrchlení né jejich erioáním jsou 6 Kž již přeem nhléneme o nmik užijeme ruhý Newtonů zákon, m F, iíme, že přípě hrmonických kmitů je síl přímo úměrná ýchlce má opčný směr. Tohle pltí npř. pro sílu pružin: F k. Je te iět (nebo lespoň můžeme pojmout poezření, že ) npř. záží zěšené n pružině bue kmitt hrmonickými kmit chceme-li, můžeme z tuhosti pružin k hmotnosti záží m spočíst úhloou frekenci kmitů ω z ní pk frekenci f ω ( π) ou periou kmitů. 6 Poznmenejme, že ze problém bereme jko ourozměrný, tkže neužujeme souřnici z. 6
K přenášce NUFY080 Fzik I (mechnik) proztímní učební tet, erze 0. Kinemtik hmotného bou Leoš Dořák, MFF UK Prh, 06.5 Zrchlení ( ωsin ( ω )) ω cos( ω ) R t R t ( ω cos( ω )) ω sin ( ω ) R t R t R t R t R t R t Vektor zrchlení je ( ) ( ) (.3) ( ω cos ω, ω sin ω ) ω ( cos ( ω ), sin ( ω )) r ( Rcos ωt, Rsin ωt ) iíme, že pltí Poronáním s polohoým ektorem ( ) ( ) rω. (.3) To znmená, že zrchlení má opčný směr než polohoý ektor jinými slo, jk ukzuje obrázek, míří o střeu kružnice, je o ostřeié zrchlení. Níc ze zthu (.3) plne i známý zth pro elikost ostřeiého zrchlení: 63. Rω. (.33) Normáloé tečné zrchlení Přechozí příkl ukzuje situci, k je zrchlení kolmé n rchlost. Protože rchlost má směr tečn k trjektorii pohbu 64, můžeme říci, že zrchlení blo tomto přípě kolmé k tečně. Nebo ještě jink, že mělo směr normál k trjektorii. Tk je tomu třeb přípě, že projížíte utem kruhoou ztáčku konstntní rchlostí zrchlení ut míří o střeu ztáčk. Nopk přípě, k uto jee po přímé silnici zrchluje, míří jeho zrchlení e směru tečn k trjektorii. 65 Co kž le uto jee ztáčce níc zrchluje, tj. zšuje sou rchlost 66? Eientně jen část jeho zrchlení opoíá tomuto zšoání rchlosti. Tuto část nzýáme tečné zrchlení. Druhá část je án tím, že uto projíží ztáčkou, tu nzýáme normáloé zrchlení. Tk, teď už to jen formlizot. 63 Rozmslete si, jk (.33) plne z (.3)! 64 Rozmslete si, že tohle pltí proč. (Nebo ještě lépe: rozmslete si, jk bste to někomu sětlili.) 65 Prostě e směru té přímk, tj. přímé silnice, po které jee. Příslušný obrázek si jistě umíte nčrtnout smi. 66 Přesněji bchom si měli říci, že zšuje elikost sé rchlosti. To je totiž číslo, čili sklární eličin. Termín rchlost bchom si rezeroli pro ektoroou eličinu, která kromě rchlosti určuje i směr. (Velikost rchlosti je.) Toto se může zát jko poznámk pro puntičkáře, le npříkl ngličtině se rozlišuje spee (což je elikost rchlosti) elocit (která má i směr). V češtině ošem běžně říkáme, že uto jelo rchlostí 50 km/h. I tomto tetu te možná něk použijeme termín rchlost z kontetu bue zřejmé, že máme n msli elikost rchlosti. 7
K přenášce NUFY080 Fzik I (mechnik) proztímní učební tet, erze 0. Kinemtik hmotného bou Leoš Dořák, MFF UK Prh, 06.5 Zrchlení Nejpre ještě zeeme tečný ektor τ mířící e směru pohbu. Je jenotkoý, je te τ. Ve směru pohbu míří tké rchlost, to znmená, že τ. (.34) Normáloý ektor n je kolmý n tečný ektor, n τ, tj. pltí n τ 0. Je to tké jenotkoý ektor, n. Normáloý ektor míří z ného bou křik o střeu křiosti. V přípě, k křikou je kružnice, je jsné, ke stře křiosti leží práě tk je jsné, jký je poloměr křiosti R. 67 Kžá křik smozřejmě není kružnice; hmotný bo se může pohbot po různě kliktých trjektoriích. Pro šechn osttečně hlké trjektorie 68 le můžeme njít kružnici, která křiku ném boě nejlépe proimuje. 69, iz obrázek pro. Stře této kružnice je střeem křiosti křik poloměr této kružnice je poloměrem křiosti křik. (Poznámk: Obecně stře křiosti není jeen pro celou křiku, poobně je tomu pro poloměr křiosti. Přestte si třeb ztáčku, která se postupně oteírá, te npřimuje. Tm, ke je ztáčk nejostřejší, má mlý poloměr křiosti, oteřenějších prtiích ětší.) Teď už máme še potřebné, bchom mohli zrchlení rozložit n normáloé tečné. Vjeme ze zthu (.34) bueme jej eriot pole čsu: ( t ) t +. (.35) A jsme lstně hotoi! Prní člen má směr tečného ektoru τ, je to te tečné zrchlení t t, t t :. (.36) Druhý člen přestuje normáloé zrchlení n : n. (.37) Ošem pozor: 67 Jen pro kontrolu, bste tom nehleli nějkou zálunost: Stře křiosti je e střeu kružnice, poloměr křiosti je poloměr né kružnice. 68 Mtemtik nás ( jejím oílu zném iferenciální geometrie) poučí, jké pomínk musí splňot křik, bchom pro ně mohli efinot normáloý ektor poloměr křiosti. V tomto nšem úoním ýklu občs použijeme elmi ágní jáření tpu, že něco pltí pro šechn rozumné křik, šechn rozumné funkce po., čímž bueme rozumět křik či funkce, pro něž pltí přepokl příslušných mtemtických ět, které jsou poklem pro oozoání, která ze ěláme. (Omlouáme se mtemtikům mtemtičtěji změřeným čtenářům z tento přístup, němž nám je hlně o fzikální ýznm pojmů, eličin zthů. Věříme, že příslušné mtemtik znlí čtenáři si přesnější formulce potřebných přepoklů smi bí či ohlejí. A ti, ko buou potřebné prtie mtemtik stuot tepre buoucnu, si potřebná mtemtická zpřesnění uěomí, ž se k prtiím klsické mechnik buou něk rcet.) 69 Tkoé kružnici říkáme oskulční kružnice. 8
K přenášce NUFY080 Fzik I (mechnik) proztímní učební tet, erze 0. Kinemtik hmotného bou Leoš Dořák, MFF UK Prh, 06.5 Zrchlení Směr ýrzu n pré strně (.37) je án ektorem t. A jk íme, že tento směr má směr normáloého ektoru, te že je kolmý n τ? 70 Že tomu tk je, lze ilustrot pomocí obrázku pro. Poloh hmotného bou je n něm znčen e ou čsech: t t t + t. τ je změn ektoru τ z obu t : τ τ τ. Z obrázku je iět, že τ je skoro kolmé n ektor τ i τ. 7 Kž zmenšujeme τ τ se k sobě přibližují úhel mezi kžým z nich τ se blíží t, ektor prému úhlu. V limitě 0 je n ně τ kolmé proto je tké t kolmé n τ. 7 Ueený obrázek nám níc pomůže určit i elikost ektoru t. Zčneme tím, že spočteme elikost τ. Z poobnosti trojúhelníků n obrázku plne τ s ou (protože τ ) τ R τ Délk úsečk mezi bo je prktick ron élce oblouku mezi těmito bo. (Pro mlé t se oblouk honě přimká k úsečce.) Tto élk je ráh uržená z čs t, te s. Je te s t t. Po ělení t ostááme. V limitě 0 přeje zlomek R R R erici, tkže ostneme ýsleek. 73 Ze zthu (.37) pk konečně ostneme R n n, tkže: R n n, R n s R. 74 (.38) R Zrchlení hmotného bou je součtem tečného normáloého zrchlení: +. (.39) t n. 70 Poku b nebl kolmý, pk b ni neblo pr, že ýrz n pré strně (.36) je opru tečným zrchlením. (Uěomte si proč.) A přitom konsttoání n řáku n (.36) znělo tk smozřejmě sugestině, že? (Poučení: Neěřte šemu, co se něke sugestině říká píše. V mtemtice fzice si nštěstí můžeme ěci smi propočítt oěřit při jejich stuiu je elmi honé to ělt!) 7 Uěomte si, že ektor τ τ jsou stejně louhé, tkže spolu s ektorem τ toří ronormenný trojúhelník. Tuto lstnost užijeme i při lším oození. 7 Derice t totiž znikl z limit ýrzu práě pro 0. 73 Než jsme uělli limitu 0, bl některé z ýše ueených zthů jen přibližné, npř. s blo jen přibližnou élkou úsečk spojující bo. Po proeení limit je ýsleek už přesně. 74 Poku smbol normáloého zrchlení píšeme bez šipk, znmená smozřejmě elikost normáloého zrchlení. Poobně je tomu pro tečné zrchlení, iz ýše zth (.36); ošem t může být i záporné (třeb kž uto brzí). 9
K přenášce NUFY080 Fzik I (mechnik) proztímní učební tet, erze 0. Kinemtik hmotného bou Leoš Dořák, MFF UK Prh, 06.5 Zrchlení Výše ueené oození kolmosti ektorů t τ z obrázku blo sice sn názorné, le přece jen možná přemýšlíte, z b t kolmost nešl okázt nějk pořáněji, formálněji. Šl. Z toho, že τ je jenotkoý ektor, plne, že τ τ (.40) Deriujeme-li leou strnu pole t, ostneme ( ) t t t t t + t t t. Prá strn je konstnt, tkže její erice je ron nule. Dericí (.40) pole čsu te ostneme t t 0, (.4) To znmená, že né ektor jsou n sebe kolmé. Z kinemtik hmotného bou jsme se toho už přiučili ost; oplňme už jen několik robností. Zrchlení je ruhá erice polohoého ektoru Zrchlení je erice rchlosti pole čsu; rchlost je ericí polohoého ektoru pole čsu. To znmená, že zrchlení je erice erice te ruhá erice polohoého ektoru: r r ( ). (.4) Vzth (.4) opět můžeme ( pro konkrétní ýpočt musíme) jářit e složkách: (.43) z z Poobně, jko se prní erice pole čsu lterntině jřuje tečkou n eličinou, znčuje se ruhá erice ěm tečkmi:, po. Vzth (.43) te můžeme tké zpst e tru zth (.4) jko,, z (.44) z r. (.45) 0
K přenášce NUFY080 Fzik I (mechnik) proztímní učební tet, erze 0. Kinemtik hmotného bou Leoš Dořák, MFF UK Prh, 06.6 Poloh z rchlosti.6 Jk z rchlosti určit polohu ( ze zrchlení rchlost) Ztím umíme z poloh, te z čsoé záislosti souřnic, určit rchlost. Je to i nopk te ze složek rchlosti určit souřnice poloh? Je! f Z mtemtik íme, že je-li g ( ), pk půoní funkce f je integrálem z g: f ( ) g( ). 75 Jestliže te, je souřnice integrálem z příslušné složk rchlosti: () t. (.46) Totéž pltí pro lší souřnice: () t, z () t. Ve ektoroém zápisu pk přičemž z ýše ueeného je jsné, že integrci ěláme po složkách. Rchlost ze zrchlení Poobně můžeme ze známého zrchlení určit rchlost: z r () t, (.47) () t e složkách te () t, () t, () t. z z, (.48) Obecné zth bueme opět ilustrot n příklech. 76 Příkl 6: ronoměrně zrchlený pohb Je o jenorozměrný pohb, jehož zrchlení je konstntní: rchlost: konst. Integrcí ostneme () t () t t + B, (.49) ke B je liboolná konstnt (integrční konstnt) 77. Její ýznm je jsný, kž o (.49) osíme t 0 : (0) B. Konstnt B je počáteční rchlost. Integrcí (.49) ostneme souřnici: ( ) () t () t t + B t + B t + C. (.50) 75 Je o neurčitý integrál, mtemtické nlýze tké nzýný primitiní funkce. Neurčitý integrál několik elementárních funkcí několik záklních priel pro práci s integrál stručně připomíná Dotek.C n konci kpitol. 76 Potřebné zth pro ýpočet integrálů jsou připomenut Dotku.C, násleujících příklech bueme potřebot jen t nejjenoušší. 77 V Dotku.C znčíme integrční konstntu obecně C, můžeme ji šk znčit liboolným písmenem.
K přenášce NUFY080 Fzik I (mechnik) proztímní učební tet, erze 0. Kinemtik hmotného bou Leoš Dořák, MFF UK Prh, 06.6 Poloh z rchlosti C je opět integrční konstnt, která má ýznm počáteční honot souřnice ( C ( 0) 78 ). Z příklu je iět, že při ýpočtu souřnic ze známého zrchlení se e ýsleku objeí ě liboolné integrční konstnt. T určíme z počátečních pomínek (0) 0, (0) 0, te z poloh rchlosti hmotného bou čse t 0 79. To, že při ýpočtu pohbu bueme některé konstnt určot z počátečních pomínek, bue tpické i lších úlohách příklech. 80 Příkl 7: šikmý rh Jký pohb koná hmotný bo homogenním gritčním poli s gritčním zrchlením g? Orientujeme-li soustu souřnic tk, b os mířil ooroně os z sisle zhůru, je g 0,0, g. To znmená, že složk zrchlení hmotného bou jsou ( ) Integrcí získáme složk rchlosti: 0, 0, g. (.5) z,, g t+. (.5) 0 0 z z0 Integrční konstnt jsme oznčili 0, 0 z0 ; je o složk rchlosti o směrů, z čse t 0. Pro jenouchost můžeme níc přepoklát, že os ntočíme tk, b blo 0 0, te b pohb probíhl jen roině z. Pk se zth (.5) neptrně zjenouší n Jejich lší integrcí pole čsu ostneme, 0, g t+. (.53) 0 z z0 0 t+ 0, 0, z g t + z0 t+ z0. (.54) Ze už jsme pro zjenoušení ronou užoli počáteční pomínku (0) 0, 0 z 0 jsou smozřejmě počáteční honot souřnic z. Poku bchom užoli šikmý rh z počátku (tj. 0 0, z0 0 ) rchlostí 0 po úhlem α ůči ooroné roině (te 0 0 cos α, 0 0 sinα ) jou z (.54) známé zth pro šikmý rh, t z t g t 0 cos α, 0 sinα. A to už je z nší kpitol o kinemtice hmotného bou opru šechno 8 78 Oěřte si z (.50), že je tomu opru tk. 79 Smozřejmě bchom mohli jko počáteční honotu zt liboolný jiný čs t 0. 80 Netýká se to jen mechnik. Npříkl i elektrických oboech bueme zát třeb to, n jké npětí je počátečním čse nbit elektrický konenzátor po. 8 Až n shrnutí tři robné otk shrnující některou potřebnou mtemtiku.
K přenášce NUFY080 Fzik I (mechnik) proztímní učební tet, erze 0. Kinemtik hmotného bou Leoš Dořák, MFF UK Prh, 06 Shrnutí Shrnutí Hmotný bo chrkterizujeme hmotností polohou. Je to (užitečná) bstrkce. Prktick z hmotný bo můžeme požot těleso, jehož rozměr jsou elmi mlé (znebtelně mlé) ůči chrkteristickým rozměrům né situci či úloze. Polohu hmotného bou určujeme ůči ztžné soustě. (Tu můžeme efinot jko sstém skutečných nebo mšlených těles, která jsou nzájem kliu.) Ve ztžné soustě záíme soustu souřnic. (Většinou bueme užít krtézskou soustu souřnic.) r z,,,,,,, z jsou jeho složk. Polohu hmotného bou určuje polohoý ektor ( ) ( ) 3 Pohb je popsán tím, jk se polohoý ektor mění s čsem: r rt () ( t (), t (), zt ()) Rchlost (přesněji řečeno okmžitá rchlost) je ericí polohoého ektoru pole čsu: r r Ve složkách (ektor rchlosti je (,, ) (,, ) z 3 ) je, t., te: 3 i,, 3 3, což lze npst jko i i, pro i,,3. Zrchlení je ericí rchlosti pole čsu: r r, e složkách, t. Zrchlení se á rozložit n tečné zrchlení t normáloé zrchlení +, ke n : t n t t n n R. τ je tečný ektor (tečný k trjektorii, po níž se bo pohbuje, je τ ), n je normáloý ektor k této trjektorii. τ n jsou jenotkoé ektor. Polohu bou ( r resp. jeho souřnice) lze ze známé rchlosti učit její integrcí pole čsu: r () t () t, tj. () t () t, t. Poobně ze známého zrchlení integrcí počteme rchlost: () t () t, tj. () t () t, t. Při ýpočtu souřnic ze zrchlení obshuje ýsleek ě liboolné konstnt (ě pro kžou souřnici, celkem te pro třírozměrný problém 6 konstnt). T určíme z počátečních pomínek, t z poloh rchlosti počátečním čse (ten se obkle olí t 0 ).. 3
K přenášce NUFY080 Fzik I (mechnik) proztímní učební tet, erze 0. Kinemtik hmotného bou Leoš Dořák, MFF UK Prh, 06 Dotek.A: Vektor Dotek.A: Vektor O ektorech ze připomeneme jen to nejzáklnější nejpotřebnější: Vektor e třírozměrném prostoru má tři složk: (,, z) Lze te psát tké (,, ) 3., složk tké oznčujeme,, 3. Velikost ektoru je ( ) + ( ) + ( ) 3. Sklární součin ektorů (,, ) b ( b, b, b ) 3 3 S pomocí smbolu sumce je zth pro sklární součin krtší: b b + b + b. je 3 3 3 b b i i i. 8 Pomocí sklárního součinu lze zpst elikost ektoru jko, je te. Jiné jáření sklárního součinu: b bcos, ke α je úhel, který sírjí ektor b. Grfick ektor reprezentujeme úsečkou se šipkou le to sn nemusíme připomínt. 8 Čsto se (zejmén tetech učebnicích ěnujících se pokročilejším prtiím) okonce ni nepíše smbol sumce, tkže se sklární součin zpisuje jen jko b i b. Vužíá se přitom tz. Einsteino sumční i konence: poku se součinu ine opkuje krát, znmená to, že se přes něj sčítá. (Rozsh, oku km se sčítá, je ný kontetem, nšem přípě je jsné, že to je o o 3.) V tomto učebním tetu le pro ětší srozumitelnost nou sumční konenci užít nebueme smbol sumce bueme psát. 4
K přenášce NUFY080 Fzik I (mechnik) proztímní učební tet, erze 0. Kinemtik hmotného bou Leoš Dořák, MFF UK Prh, 06 Dotek.B: Derice Dotek.B: Pril pro práci s ericemi V tomto otku stručně shrneme erice některých elementárních funkcí pril pro práci s ericemi. Nebueme ze le zlášť upozorňot n pomínk pltnosti ueených zthů 83. Derice elementárních funkcí: n ( ) n n... pltí pro šechn n, ke ýrz mjí smsl, npř. je ( ) ( ) ( ) Speciálně tké pltí, že erice konstnt je nul. (sin ) cos, (cos ) sin 84 e, (ln ) e Pril pro práci s ericemi: ( f + g) f g +, ( f g) f g f g g f ( f g) f g f g+ f, g g Derice složené funkce: ( ( )) f g f g (Je f f( ), ke z oszujeme g ( ).) Krtší možná přehlenější je zápis, k se erice oznčuje čárkou: n n ( ) n ( sin ) cos ( cos ) sin ( e ) e ( ln ) ( f ± g) f ± g ( ) f g f g+ fg f f g fg g g 83 Npříkl n to, že e jmenoteli nesmí být nul nebo že nesmíme omocňot záporná čísl. V prilech pro práci s ericemi přepoklááme, že pro šechn ueené funkce jejich erice eistují. 84 Pomocí pril pro erici poílu lze ooit, že (tg ) sin (cotg ). cos cos sin 5
K přenášce NUFY080 Fzik I (mechnik) proztímní učební tet, erze 0. Kinemtik hmotného bou Leoš Dořák, MFF UK Prh, 05-06 Dotek.C: Integrál Dotek.C: Integrál záklních funkcí V tomto otku elmi stručně připomeneme neurčité integrál (primitiní funkce) několik záklních funkcí. Poobně jko přechozím otku nebueme upozorňot n pomínk pltnosti ueených zthů. Smbolem C oznčujeme liboolnou konstntu. n n+ + C n + ln + C e e + C sin cos + C cos sin + C cos tg + C cotg + C sin Pril pro práci s integrál ( f f( ) g g ( ) jsou liboolné funkce 85 ): ( ) f ( ) ± g( ) f ( ) ± g( ) f g f g f g (integrce per prtes) ( ) f g( ) g ( ) f ( ) (integrce substitucí, je g ( ) ) 85 Liboolné, le tkoé, že mjí integrál (tj. jsou integrotelné) přípě potřeb mjí erici. 6