I Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné 3

Obsh I Diferenciální integrální počet funkcí jedné proměnné 3 Preklkulus 5. Reálná čísl................................................ 5. Funkce jejich zákldní vlstnosti....................................3 Posloupnosti............................................... 5.4 Diferenční sumční počet....................................... 3.5 Elementární funkce............................................ 8.6 Limit funkce............................................... 38.7 Spojité funkce............................................... 45.8 Cvičení.................................................. 50 Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 53. Derivce.................................................. 53. Derivce vyšších řádů, diferenciál.................................... 58.3 Obecné věty o derivci.......................................... 60.4 Tylorův vzorec.............................................. 63.5 Průběh funkce.............................................. 66.6 Rovinné křivky.............................................. 7.7 Cvičení.................................................. 75 3 Integrální počet funkcí jedné proměnné 79 3. Primitivní funkce............................................. 79 3. Určitý integrál.............................................. 84 3.3 Vlstnosti Riemnnov integrálu.................................... 9 3.4 Integrál jko funkce horní meze..................................... 00 3.5 Nevlstní integrály............................................ 0 3.6 plikce určitého integrálu....................................... 07 3.7 Numerická integrce........................................... 08 3.8 Cvičení.................................................. 0 II Diferenciální integrální počet funkcí více proměnných 3 4 Metrické prostory 5 4. Pojem metriky.............................................. 5 4. Podmnožiny metrického prostoru.................................... 8 4.3 Konvergence................................................ 4.4 Úplné kompktní prostory....................................... 3 4.5 Zobrzení metrických prostorů..................................... 6 4.6 Cvičení.................................................. 30

5 Diferenciální počet funkcí více proměnných 3 5. Spojitost limit............................................. 3 5. Derivce.................................................. 33 5.3 Diferenciál................................................. 36 5.4 Derivce složené funkce, Tylorův vzorec................................ 39 5.5 Průběh funkce více proměnných..................................... 4 5.6 Implicitní funkce............................................. 45 5.7 Diferencovtelná zobrzení........................................ 47 5.8 Diferencovtelné vriety......................................... 5 5.9 Vázné extrémy.............................................. 55 5.0 Vektorové funkce, sklární vektorová pole.............................. 59 5. Cvičení.................................................. 65 6 Integrální počet funkcí více proměnných 67 6. Jordnov mír v R........................................... 67 6. Závislost míry n trnsformci souřdnic................................ 7 6.3 Jordnov mír v R k........................................... 74 6.4 Riemnnův integrál............................................ 74 6.5 Vlstnosti Riemnnov integrálu.................................... 77 6.6 Integrovtelné funkce........................................... 8 6.7 Fubiniov vět.............................................. 83 6.8 Trnsformce integrálu.......................................... 86 6.9 Integrály závislé n prmetru..................................... 89 6.0 plikce Riemnnov integrálu..................................... 9 6. Cvičení.................................................. 98

Část I Diferenciální integrální počet funkcí jedné proměnné 3

Kpitol Preklkulus. Reálná čísl Přirozená čísl: N = {,, 3,...} Dospějeme k nim při počítání prvků nějké množiny. Lze n nich definovt zákldní početní operce, uspořádání. Celá čísl: Z = {..., 3,,, 0,,, 3,...} výsledek. Doplnění množiny N tk, by operce odčítání měl vždy Rcionální čísl: Q = { m n výsledek. : m Z, n N} Doplnění množiny Z tk, by operce dělení měl vždy Ircionální čísl: I Čísl, která není možno vyjádřit ve tvru m n, kde m Z, n N Ircionální čísl potřebujeme. Npř. log 0 3 I. Sporem. Připusťme, že log 0 3 = m n. Pk 0 m n = 3 0 m = 3 n m 5 m = 3 n Dostli jsme dv různé rozkldy jednoho čísl n prvočinitele. To je spor. Nebo I. Sporem. Připusťme, že = m n. Pk = m n n = m V rozkldu n prvočinitele čísl stojícího n levé strně rovnosti je v liché mocnině, v rozkldu n prvočinitele čísl stojícího n prvé strně rovnosti (tedy téhož čísl) je v sudé mocnině. To je spor... Definice Buď M množin, n níž je definováno uspořádání. (Uspořádání je binární relce, která je (i) reflexivní: ( M) ( ) (ii) ntisymetrická: (, b M) ( b, b = b) (iii) trnsitivní: (, b, c M) ( b, b c c) ) Buď M, M. Řekneme, že je horní (resp. dolní) závor množiny v množině M, jestliže x (resp. x) pro kždé x. Řekneme, že množin je ohrničená shor (resp. zdol), jestliže existuje její horní (resp. dolní) závor. Řekneme, že množin je ohrničená, je-li ohrničená shor i zdol. 5

.. Příkldy. Množin = {, +, + + 3,...} je ohrničená zdol (dolní závor je npř. ) není ohrničená shor: Při oznčení n = + + 3 +... + n je = 4 = + + 3 + 4 > + + 4 + 4 = + 8 = 4 + 5 + 6 + 7 + 8 > + + 4 8 = + 3. Indukcí lze dokázt, že n > + n číslo + n může být libovolně velké.. Množin B = {, + 4, + 4 + π 9,...} je ohrničená shor, b 6 později.) pro kždé b B. (Bude dokázáno..3 Definice Buď M, kde M je množin, n níž je definováno uspořádání. Řekneme, že je mximum nebo největší prvek (minimum nebo nejmenší prvek) píšeme = mx ( = min ), jestliže pro kždé x pltí x ( x)...4 Definice Buď M množin, n níž je definováno uspořádání buď M. Řekneme, že M je supremum množiny, jestliže je nejmenší horní závorou množiny, t.j. jestliže pltí (s) ( x ) (x ), (s) (( x ) (x b)) b. Píšeme = sup...5 Definice Buď M množin, n níž je definováno uspořádání buď M. Řekneme, že M je infimum množiny, jestliže je největší dolní závorou množiny, t.j. jestliže pltí (i) ( x ) ( x), (i) (( x ) (b x)) b. Píšeme = inf...6 Poznámky. Podmínku (s) v..4 lze nhrdit podmínkou (s ) (p M, p < ) ( x ) (p < x). (p < je definováno jko p součsně p ; v dlším budeme používt i symboly, >.) Nechť M splňuje (s) nechť p M, p <. Pk p není horní závor množiny (jink by podle (s) bylo p). Odtud plyne, že existuje x tkové, že x > p, tedy pltí (s ). Nechť M splňuje (s ) buď b M horní závor množiny. Kdyby b <, pk by existovlo x tkové, že b < x tedy b by nebyl horní závor množiny. Je tedy b.. nlogicky lze dokázt, že podmínku (i) v..5 lze nhrdit podmínkou (i ) (p M, p > ) ( x ) (p > x). 3. Libovolná M má nejvýše jedno supremum nejvýše jedno infimum. 6

Nechť = sup, b = sup. b je podle (s) horní závor množiny, tedy b podle (s). nlogicky je horní závor, tedy b. Z ntisymetrie relce plyne = b. nlogicky se ukáže pltnost tvrzení pro infimum. 4. Jestliže existuje mx (min ), pk existuje tké sup (inf ) pltí sup = mx (inf = min ). Nechť = mx. splňuje (s) přímo podle definice mxim..3 Nechť b je horní závor množiny. Pk b x pro kždé x, zejmén tedy b. Což znmená, že pltí (s). Tvrzení pro infimum minimum se dokáže nlogicky...7 Definice Množin reálných čísel je množin R, n níž jsou definovány dvě binárním operce + (sčítání), (násobení) jedn binární relce < (menší než), které splňují podmínky (R) pro všechn, b R pltí + b = b + (komuttivní zákon pro sčítání) (R) pro všechn, b, c R pltí ( + b) + c = + (b + c) (socitivní zákon pro sčítání) (R3) existuje prvek 0 R tkový, že pro všechn R pltí + 0 = (existence neutrálního prvku vzhledem ke sčítání) (R4) ke kždému R existuje prvek R tkový, že + ( ) = 0 (existence opčného prvku) (R5) pro všechn, b R pltí b = b (komuttivní zákon pro násobení) (R6) pro všechn, b, c R pltí ( b) c = (b c) (socitivní zákon pro násobení) (R7) existuje prvek R, 0 tkový, že pro všechn R pltí = (existence neutrálního prvku vzhledem k násobení) (R8) ke kždému R, 0 existuje prvek R tkový, že = (existence inversního prvku) (R9) pro všechn, b, c R pltí (b + c) = ( b) + ( c) (distributivní zákon) (R0) kždé dv prvky z množiny R jsou srovntelné, podrobněji: kždá dvojice prvků, b R splňuje právě jeden ze vzthů < b, = b, b < (zákon trichotomie) (R) jestliže pro, b, c R pltí < b b < c, pk tké < c (trnsitivit relce <) (R) jestliže pro, b R pltí < b, pk pro kždé c R je + c < b + c (monotonie vzhledem ke sčítání) (R3) jestliže pro, b, c R pltí < b 0 < c, pk c < b c (monotonie vzhledem k násobení) (R4) je-li M neprázdná shor (zdol) ohrničená podmnožin množiny R, pk existuje sup M R (inf M R)..8 Poznámky. (R) (R4) (R5) (R8) jsou xiomy komuttivní grupy (R) (R9) jsou xiomy pole (R) (R3) jsou xiomy uspořádného pole (R) (R4) jsou xiomy spojitě uspořádného pole Existuje jediné (ž n isomorfismus) uspořádné pole. xiom (R4) se nzývá xiom spojitosti.. Přímk, n níž je zvolen počátek (obrz reálného čísl 0), jednotková délk orientce (obrz čísl ) se nzývá číselná os. Existuje prosté vzájemně jednoznčné zobrzení množiny reálných čísel n číselnou osu. 7

3. Druhá část xiomu (R4) (existence infim) je důsledkem první části osttních xiomů. Nejdříve ukážeme, že pro kždé R je ( ) =. Vyjdeme z (R4): ( ) + ( ( )) = 0 / přičteme zlev + (( ) + ( ( ))) = + 0 / (R), (R3) ( + ( )) + ( ( )) = / (R4) 0 + ( ( )) = / (R), (R3) ( ) = Dále ukážeme, že jestliže < b pk b < : < b / +( ) zprv + ( ) < b + ( ) / (R4) 0 < b + ( ) / +( b) zlev ( b) + 0 < ( b) + (b + ( )) / (R3), (R) b < (( b) + b) + ( ) / (R), (R4) b < 0 + ( ) / (R), (R3) b < Nechť nyní je = M R zdol ohrničená, b její dolní závor. Položme M = { x : x M}. Pk pro kždé x M pltí b x tedy podle druhého kroku důkzu je x b pro kždé x M. To znmená, že M je shor ohrničená podle první části (R4) existuje sup M = s R. Podle (R4) je s R. Ukážeme, že s = inf M: Buď x M libovolné. Pk podle (s) je x s podle pomocných tvrzení n zčátku důkzu je s x. Poněvdž x bylo libovolné, je podmínk (i) splněn. Buď c R tkové, že c x pro kždé x M. Pk x c pro kždé x M podle (s) je s c, tedy ( c) s. Podle prvního kroku důkzu je c s, což znmená, že i podmínk (i) je splněn...9 Příkld Nechť M = { m n : m, n N, m < n}. Ukžte, že sup M =, inf M = 0. Ř.: Pltnost podmínky (s): m n pro m n. Pltnost podmínky (s ): Buď p M, p <. Je-li p 0, pk npř. pro M pltí p <. Nechť tedy p > 0. Položme n = + [ p ]. (Přitom [x] oznčuje celou část z čísl x, t.j. celé číslo z tkové, že x z < x +. Npř. [π] = 3, [ 3 ] =, [ 3.5] = 4 p.) Pk n > p n np > n > np n n > p zřejmě n n M. Pltnost podmínky (i): m n > 0 pro všechn m, n N. Pltnost podmínky (i ): Buď p M, p > 0. Je-li p, pk npř. pro M pltí p <. Položme n = + [ p ]. Pk n > p tedy p > n M. < p. Nechť tedy..0 Definice Množinu R = R {, } nzýváme rozšířená množin reálných čísel, symboly, nzýváme nevlstní reálná čísl (nevlstní body číselné osy). Kldeme < < pro kždé R. Symboly, nejsou čísl, nedefinujeme pro ně početní operce. 8

.. Definice Buďte, b R, < b. Uzvřeným intervlem o krjních (koncových, hrničních) bodech, b rozumíme množinu otevřeným intervlem množinu polouzvřenými intervly zprv (resp. zlev) množiny Nekonečné intervly definujeme jko množiny [, b] = {x R : x b}, (, b) = {x R : < x < b}, (, b] = {x R : < x b}, [, b) = {x R : x < b}. [, ) = {x R : x }, (, ) = {x R : x > }, (, b] = {x R : x b}, (, b) = {x R : x < b}, (, ) = R. Je-li J intervl jkéhokoliv typu x 0 J, x 0 není krjní, řekneme, že x 0 je vnitřní bod intervlu J... Definice Okolím (podrobněji (symetrickým) δ-okolím, δ > 0) bodu x 0 R rozumíme intervl (x 0 δ, x 0 + δ). Okolím bodu rozumíme intervl (, ), kde R. Okolím bodu rozumíme intervl (, ), kde R. δ-okolí bodu x 0 R budeme oznčovt symbolem O δ (x 0 ), stručně O(x 0 )...3 Vět Okolí bodů z množiny R mjí tyto vlstnosti: (o) Jsou-li O (x 0 ) O (x 0 ) dvě okolí téhož bodu x 0 R, pk O (x 0 ) O (x 0 ) je okolím bodu x 0. (o) Jsou-li x, x R, x x, pk existují O(x ) O(x ) tková, že O(x ) O(x ) =.. x 0 R, O (x 0 ) = (x 0 δ, x 0 + δ ), O (x 0 ) = (x 0 δ, x 0 + δ ). Položme δ = min{δ, δ }. Pk O(x 0 ) = (x 0 δ, x 0 + δ) = O (x 0 ) O (x 0 ) je okolím bodu x 0. x 0 =, O (x 0 ) = (, ), O (x 0 ) = (, ). Položme = mx{, }. Pk O(x 0 ) = (, ) = O (x 0 ) O (x 0 ) je okolím bodu. x 0 =. Pltnost tvrzení ukážeme nlogicky jko v předchozím přípdě.. Bez újmy n obecnosti lze předpokládt, že x < x. < x < x <. Položme δ = 4 (x x ). Pk O(x ) = (x δ, x +δ), O(x ) = (x δ, x +δ) jsou okolí bodů x, x s poždovnou vlstností. (Volb δ = 4 (x x ) smozřejmě není jediná možná. Stčí volit δ = r(x x ), kde r.) < x < x =. Nechť δ > 0 je libovolné položme = x + δ. Pk O(x ) = (x δ, x + δ), O(x ) = (, ) mjí poždovnou vlstnost. nlogicky ukážeme pltnost tvrzení v osttních přípdech. 9

..4 Definice Buď x 0 R. Ryzím okolím bodu x 0 rozumíme množinu O(x 0 ) \ {x 0 }. Okolí nevlstního bodu je vždy ryzí. Ryzí okolí bodu x 0 budeme oznčovt O (x 0 )...5 Definice Buď x 0 R, δ > 0. Prvým (resp. levým) δ-okolím bodu x 0 rozumíme intervl [x 0, x 0 + δ) ((x 0 δ, x 0 ]). Ryzím prvým (resp. levým) δ-okolím bodu x 0 rozumíme otevřený intervl (x 0, x 0 + δ) ((x 0 δ, x 0 )). Prvé (resp. levé) δ-okolí bodu x 0 budeme oznčovt P δ (x 0 ), stručně P(x 0 ) (resp. L δ (x 0 ), stručně L(x 0 )). Ryzí prvé (resp. levé) δ-okolí bodu x 0 budeme oznčovt P δ (x 0), stručně P (x 0 ) (resp. L δ (x 0), stručně L (x 0 ))...6 Poznámky. Tké prvá levá okolí, ryzí okolí mjí vlstnosti (o), (o) z věty..3. Sndnou modifikcí důkzu..3.. Buď J R intervl buď x 0 vnitřní bod intervlu J. Pk existuje O(x 0 ) tkové, že O(x 0 ) J. Nechť, b R jsou krjní body intervlu J...7 Vět Jsou-li, b R, položíme δ = min{x 0, b x 0 )}. Pk δ > 0 (x 0 δ, x 0 + δ) je poždovné okolí. Jsou-li R b =, položíme δ = (x 0 ). Pk δ > 0 (x 0 δ, x 0 + δ) je opět poždovné okolí. nlogicky ukážeme pltnost tvrzení v osttních přípdech.. Mezi dvěm libovolnými reálnými čísly x, x, x < x leží rcionální i ircionální číslo.. V libovolném okolí libovolného čísl x 0 R leží rcionální i ircionální číslo. (Stručně: Množin Q i množin I je hustá v množině R.). Položme n = [ x x ] +, m = [nx ] +. Pk m Z, n N tedy q = m n Q. Dále pltí m > nx m nx + n > x x x < m n nx nx > nx > nx + Odtud x < m n nx+ n < nx n = x, což znmená, že q je rcionální číslo mezi čísly x x. Položme s = [ x x ] +, r = [ s x ] +. Pk r Z, s N w = r s I, neboť v opčném přípdě by Q, což by byl spor s tvrzením dokázným v úvodu tohoto odstvce. Dále pltí Odtud x < r s čísly x x. r > s x r s x + s > x < r s ( s x + ) s < s x s s x > s x x x + = x, což znmená, že w je ircionální číslo mezi. je důsledkem., neboť mezi čísly x 0 δ x 0 + δ leží rcionální i ircionální číslo. 0

. Funkce jejich zákldní vlstnosti.. Definice Funkce f (podrobněji reálná funkce jedné reálné proměnné) je zobrzení z množiny R do množiny R. Množin Dom f = {x R : ( y R)((x, y) f)} se nzývá definiční obor funkce f. (Domin) Množin Im f = {y R : ( x R)((x, y) f)} se nzývá obor hodnot funkce f. (Imge) Je-li f funkce, pk zobrzení f : Dom f Im f je surjekce (zobrzení n). Je-li (x, y) f, píšeme y = f(x), x y, x f y. Prvky z Dom f se nzývjí hodnoty nezávisle proměnné, rgument. Prvky z Im f se nzývjí hodnoty závisle proměnné, funkční hodnot. Pokud není explicitně uvedeno jink, definičním oborem rozumíme největší (vzhledem k množinové inklusi) množinu, pro jejíž prvky lze funkční hodnotu vypočítt... Definice Grfem funkce f rozumíme množinu G = {(x, f(x)) : x Dom f}, kde (x, y) znčí orthogonální krtézské souřdnice bodu v rovině...3 Příkld. f(x) = x = mx{x, x}, Dom f = R, Im f = [0, ). x. f(x) =, x Dom f = (, ), neboť musí pltit x > 0 > x > x Im f = R, neboť pro libovolné r R je r = x x ( x )r = x r = ( + r )x x, = ± r +r Znménko u x musí být stejné jko znménko r u r, tedy x = + r 3. f(x) = [x], kde [x] je celá část z čísl x, to jest celé číslo tkové, že [x] x < [x] +. Dom f = R, Im f = Z. 4. Dirichletov funkce χ(x) = {, x Q 0, x I. Dom χ = R, Im χ = {0, }...4 Definice Buďte f, g funkce, Dom f Dom g. Pk definujeme součet funkcí f, g předpisem: (f + g)(x) = f(x) + g(x) pro x Dom f Dom g, rozdíl funkcí f, g předpisem: (f g)(x) = f(x) g(x) pro x Dom f Dom g, součin funkcí f, g předpisem: ((fg)(x) ) = f(x)g(x) pro x Dom f Dom g, f podíl funkcí f, g předpisem: (x) = f(x) pro x Dom f (Dom g \ {x Dom g : g(x) = 0}), g g(x) bsolutní hodnotu funkce f předpisem f (x) = f(x) = mx{f(x), f(x)} pro x Dom f.

..5 Definice Funkce f se nzývá ohrničená (shor ohrničená, zdol ohrničená), je-li množin Im f ohrničená (shor ohrničená, zdol ohrničená) podmnožin množiny R. Funkce f je ohrničená právě tehdy, když existují, b R tková, že f(x) b pro kždé x Dom f, což nstne právě tehdy, když existuje h R tkové, že f(x) h pro kždé x Dom f. nlogická tvrzení pltí pro funkci ohrničenou shor nebo zdol...6 Definice Funkce f se nzývá sudá, jestliže Funkce f se nzývá lichá, jestliže x Dom f x Dom f, f( x) = f(x). x Dom f x Dom f, f( x) = f(x). Příkldy sudé funkce: x n, kde n N, x, cos x. Příkldy liché funkce: x n+, kde n N, sin x, tg x. Buď f sudá funkce, G její grf, (x, y) G. Pk ( x, y) G. Body (x, y) ( x, y) jsou symetrické podle osy y, grf sudé funkce je symetrický podle osy y. Buď f lichá funkce, G její grf, (x, y) G. Pk ( x, y) G. Body (x, y) ( x, y) jsou symetrické podle počátku souřdného systému, grf liché funkce je symetrický podle počátku souřdného systému...7 Vět Má-li funkce f vlstnost: x Dom f x Dom f, pk ji lze vyjádřit jko součet funkce sudé liché. f(x) = (f(x) + f( x)) + (f(x) f( x)) g(x) = (f(x) + f( x)); g( x) = (f( x) + f(x)) = g(x); g(x) je sudá, h(x) = (f(x) f( x)); h( x) = (f( x) f(x)) = (f(x) f( x)) = h(x); h(x) je lichá...8 Definice Buď p R, p > 0. Řekneme, že funkce f je periodická s periodou p, jestliže x Dom f x + p Dom f, f(x + p) = f(x). Příkldy: sin x, cos x period π, tg x period π, sin x π period, konsttntní funkce f(x) = c R periodou je jkékoliv p (0, ). Buď f funkce periodická s periodou p > 0, n N. Pk f je periodická s periodou np. x Dom f x + p Dom f x + p + p = x + p Dom f x + np Dom f. f(x + np) = f(x + (n )p + p) = f(x + (n )p) = f(x + (n )p + p) = f(x + (n )p) = = f(x). Množin period periodické funkce f je nekonečná, tedy neprázdná zdol ohrničená nulou. Podle..7 (R4) existuje p 0 = inf{p : p je period funkce f}. Pokud p 0 je periodou funkce f, nzýváme ji nejmenší nebo zákldní periodou funkce f. Periodická funkce nemusí mít nejmenší periodu. Npř. periodou Dirichletovy funkce je kždé kldné rcionální číslo...9 Definice Funkce f se nzývá rostoucí v bodě x 0 Dom f, jestliže existuje O(x 0 ) tkové, že O(x 0 ) Dom f pltí x O(x 0 ), x < x 0 f(x) < f(x 0 ) x O(x 0 ), x > x 0 f(x) > f(x 0 ),

stručně: jestliže pro x O(x 0 ) \ {x 0 } pltí (x x 0 )(f(x) f(x 0 )) > 0. Funkce f se nzývá neklesjící v bodě x 0 Dom f, jestliže existuje O(x 0 ) tkové, že O(x 0 ) Dom f pltí x O(x 0 ), x < x 0 f(x) f(x 0 ) x O(x 0 ), x > x 0 f(x) f(x 0 ), stručně: jestliže pro x O(x 0 ) pltí (x x 0 )(f(x) f(x 0 )) 0. nlogicky definujeme funkci klesjící nerostoucí v bodě x 0 Dom f. Funkce, která je v bodě x 0 Dom f nerostoucí nebo neklesjící, se nzývá monotonní v bodě x 0 Dom f. Funkce, která je v bodě x 0 Dom f rostoucí nebo klesjící, se nzývá ryze monotonní v bodě x 0 Dom f. Funkce rostoucí v bodě x 0 Dom f nemusí být rostoucí v žádném jiném bodě z Dom f...0 Definice Řekneme, že funkce je rostoucí n intervlu J, jestliže J Dom f pro libovolná x, x J pltí x < x f(x ) < f(x ). Řekneme, že funkce je neklesjící n intervlu J, jestliže J Dom f pro libovolná x, x J pltí x < x f(x ) f(x ). nlogicky definujeme funkci klesjící nerostoucí n intervlu J. Funkce rostoucí nebo klesjící n intervlu se nzývá ryze monotonní n intervlu, funkce nerostoucí nebo neklesjící n intervlu se nzývá monotonní n intervlu. Monotonie v bodě lokální vlstnost Monotonie n intervlu globální vlstnost Slov intervl J v předchozí definici lze nhrdit slovy množin M Dom f... Vět Funkce f je rostoucí n otevřeném intervlu J Dom f právě tehdy, když je rostoucí v kždém bodě tohoto intervlu. Nechť f je rostoucí n J nechť x 0 J. J je otevřený x 0 je vnitřní bod (podle..6.) existuje O(x 0 ) J. Tedy O(x 0 ) Dom f. Je-li x O(x 0 ), x < x 0, je f(x) < f(x 0 ); je-li x O(x 0 ), x > x 0, je f(x) > f(x 0 ). Tedy f je rostoucí v bodě x 0. Nechť f je rostoucí v kždém bodě intervlu J. Připusťme, že f není rostoucí n J. Existují tedy x, x J, že x < x f(x ) f(x ). Oznčme M = {x [x, x ] : f(x) > f(x )}. Pltí ) M, neboť f rostoucí v x ex. O(x ), že pro kždé x > x je f(x) > f(x ). b) M je shor ohrničená, neboť x je horní závor M. Podle..7 (R4) existuje x 0 = sup M x. Předpokládejme x 0 = x. f je rostoucí v bodě x existuje O(x ) = (x δ, x + δ) Dom f, že pro x O(x ), x < x pltí f(x) < f(x ). Podle..6(s ) existuje x M, x > x δ. Poněvdž x M, je x x. Jest x O(x ). Pokud x < x, pk f(x) < f(x ), pokud x = x, pk f(x) = f(x ). Tedy f(x) f(x ). Součsně x M tedy f(x) > f(x ) f(x ). Odtud f(x) > f(x ) spor. Musí tedy být x 0 < x. Poněvdž f je rostoucí v x 0, existuje O(x 0 ), že pro kždé x O(x 0 )\{x 0 } pltí (x x 0 )(f(x) f(x 0 )) > 0. Bez újmy n obecnosti lze předpokládt O(x 0 ) = (x 0 δ, x 0 +δ) [x, x ]. Podle..6(s ) existuje x M, x > x 0 δ tkové, že x x 0. x O(x 0 ) tedy f(x) f(x 0 ). Součsně f(x) > f(x ), neboť x M. Odtud plyne f(x ) < f(x 0 ). Zvolme x O(x 0 ), x > x 0. Pk f(x) > f(x 0 ). Přitom x M, neboť x > x 0 = sup M. Tedy f(x) f(x ). Odtud plyne f(x ) > f(x 0 ). To je spor. 3

.. Poznámky. nlogická vět pltí pro neklesjící, klesjící nerostoucí funkci.. Pro uzvřený intervl vět nepltí: Npř. f(x) = sin(x), J = [ π, π ]. f je rostoucí n celém J, le není rostoucí v krjních bodech. 3. Ve druhé části důkzu jsme nevyužili předpokld, že intervl J je otevřený. Pltí tedy: Je-li funkce f rostoucí v kždém bodě libovolného intervlu J, pk je rostoucí n celém intervlu J...3 Definice Buďte f, ϕ funkce nechť pltí Im ϕ Dom f. Pk F = {(x, y) R : ( u R)((x, u) ϕ, (u, y) f)} se nzývá složená funkce. Funkce ϕ se nzývá vnitřní složk funkce F, funkce f se nzývá vnější složk funkce F. x ϕ(x) = u f(u) = f(ϕ(x)) Podmínk Im ϕ Dom f je nutná dosttečná pro existenci složené funkce. Není-li tto podmínk splněn, lze jí někdy dosáhnout vhodným zúžením Dom ϕ...4 Příkldy. ϕ(x) = x, Im ϕ = [0, ) f(u) = sin(u), Dom f = (, ). Tedy Im ϕ Dom f, F (x) = f(ϕ(x)) = sin x. ϕ(x) = x, definujeme Dom f = [, ]. Pk Im ϕ = [0, ]. f(u) = u, Dom f = [0, ). [0, ] [0, ), F (x) = f(ϕ(x)) = x. 3. ϕ(x) = x, Im ϕ = (, 0] f(x) = log u, Dom f = (0, ). Složená funkce neexistuje. Proces skládání funkcí lze opkovt vytvářet funkce vícenásobně složené. Npř.: y = log sin x: y = u u = log v v = w w = sin x..5 Definice Nechť f je funkce, která je bijekcí. Pk se nzývá inversní funkce k funkci f. f = {(y, x) R : (x, y) f} Z definice plyne: Dom f = Im f, Im f = Dom f, x = f (y) y = f(x). Zobrzení f : Dom f Im f je surjekce. by toto zobrzení bylo bijekcí, musí být injekcí (prostým zobrzením), t.j. x, x Dom f, x x f(x ) f(x )...6 Poznámky. Grf inversní funkce f je symetrický s grfem funkce f podle osy prvního třetího kvdrntu.. Je-li funkce f ryze monotonní, pk je prostá. Nechť pro určitost je f rostoucí buďte x, x Dom f, x x. Pokud x < x pk f(x ) < f(x ), pokud x > x pk f(x ) > f(x ) tedy f(x ) f(x ). 4

..7 Vět Nechť funkce f je rostoucí (resp. klesjící) n množině Dom f. Pk funkce f je rostoucí (resp. klesjící) n množině Im f. Nechť f je rostoucí n Dom f buďte y, y Im f, y < y. Oznčme x = f (y ), x = f (y ), t.j. y = f(x ), y = f(x ). Jest x x podle..6.. Kdyby x > x, pk by y = f(x ) > f(x ) = y, což by byl spor. Pltí tedy x = f (y ) < f y = x..3 Posloupnosti.3. Definice Posloupnost je funkce f, pro niž Dom f = N. (t.j. f : N R) Oznčení: f n = f(n), čstěji n, b n,... { n } n=, stručně { n } posloupnost n člen posloupnosti Posloupnosti mohou mít vlstnosti: ohrničenost, monotonie, periodicit (s periodou p N) zvedené v.. Nopk pojmy inversní nebo složená posloupnost nemjí smysl. Pltí: { n } n= je rostoucí ( n N)( n < n+ ) { n } n= je neklesjící ( n N)( n n+ ) podobně..3. Definice Řekneme, že posloupnost { n } má limitu píšeme lim n n =, nebo stručněji lim n =, n, jestliže ke kždému ε R, ε > 0 existuje n 0 N tkové, že pro kždé n n 0 pltí n < ε. Posloupnost, která má limitu, se nzývá konvergentní..3.3 Vět (o jednoznčnosti limity) Libovolná posloupnost má nejvýše jednu limitu. Připusťme, že pro { n } pltí lim n =, lim n = b, b. Nechť pro určitost < b. Položme ε = b. Pk ε > 0. Tedy existuje n N, že n n n < ε existuje n N, že n n n b < ε Položme n 0 = mx{n, n }. Pk pro n n 0 pltí ε < n < + ε, b ε < n 0. Existuje n 0 N tkové, že pro n n 0 pltí ε < n < + ε. Buď h = mx{,,..., n0, + ε}, d = min{,,..., n0, ε}. Pk pro kždé n N pltí d n h. 5

.3.5 Poznámky. Buďte { n }, {b n } konvergentní posloupnosti, lim n =, lim b n = b. Jestliže existuje n 0 N tkové, že pro kždé n n 0 pltí n b položme ε = b. Pk ε > 0 existují n N, že pro n n je ε < n < + ε, n N, že pro n n je b ε n 3 = mx{n, n, n 0 } nyní je ε = + b < n < b n < b + ε = + b spor. Tvrzení zůstne v pltnosti i z předpokldu n b n pro n n 0.. Řekneme, že posloupnost { n } je skorostcionární, jestliže existuje n 0 N tkové, že pro n n 0 je n =. Řekneme, že posloupnost { n } je stcionární, jestliže pro kždé n N je n =. (Skoro)stcionární posloupnost je konvergentní pltí lim n =. 3. Buď { n } konvergentní posloupnost, lim n = 0 {b n } buď ohrničená posloupnost. Pk lim n b n = 0. {b n } je ohrničená existuje h R, že b n < h pro kždé n N. Buď ε > 0 libovolné. K ε h > 0 existuje n 0 tkové, že pro n n 0 je n = n 0 < ε h. Pro n n 0 pltí n b n = n b n < ε h h = ε, tedy lim nb n = 0. 4. Jestliže posloupnost { n } je monotonní neohrničená, pk lim n = 0. Buď { n } neklesjící ε > 0 libovolné. Poněvdž je { n } neohrničená, existuje n 0 N tkové, že n0 > ε..3.6 Vět Poněvdž { n } je neklesjící, pro kždé n n 0 pltí n n0 > ε > 0. Odtud plyne, že pro n n 0 pltí 0 n = n = < ε, tedy lim = 0. n n Pro nerostoucí posloupnost se důkz provede nlogicky. Buďte { n }, {b n } konvergentní posloupnosti, lim n =, lim b n = b. Pk. existuje lim n pltí lim n =,. existuje lim( n + b n ) pltí lim( n + b n ) = + b, 3. existuje lim n b n pltí lim n b n = b, 4. existuje lim( n b n ) pltí lim( n b n ) = b, 5. pokud b 0, pk existuje lim n b n pltí lim n b n = b.. Buď ε > 0 libovolné. Pk existuje n 0 N, že pro n n 0 je n < ε. Pro n n 0 tedy pltí n n < ε, což znmená lim n =.. Buď ε > 0 libovolné. K ε > 0 existuje n N tkové, že pro n n je n < ε, existuje n N tkové, že pro n n je b n b < ε. Pro n n 0 = mx{n, n } pltí ( n +b n ) (+b) = ( n )+(b n b) n + b n b < ε + ε = ε tedy lim( n + b n ) = + b. 6

3. Je-li = 0, plyne tvrzení z.3.4 z.3.5.3. Nechť 0 buď ε > 0 libovolné. Podle.3.4 existuje h R tkové, že b n < h pro kždé n N. K ε h > 0 existuje n N tkové, že pro n n je n < ε h. K ε > 0 existuje n N tkové, že pro n n je b n b < ε. Pro n n 0 mx{n, n } pltí obě nerovnosti součsně, tedy n b n b = n b n b n + b n b n b n b n + b n b = n b n + b n b < < ε h h + ε = ε + ε = ε. 4. Plyne z., 3..3.5.. 5. Podle. je lim b n = b podle předpokldu b > 0. Tedy k b > 0 existuje n N tkové, že pro n n je b n b < b, neboli b n > b b = b. Odtud plyne, že pro n n je Buď ε > 0 libovolné. K b ε > 0 existuje n N tkové, že pro n n je b n b < b ε Pro n n 0 = mx{n, n } je b n b = b b n b b n Podle 3. je lim n = lim n lim = b n b n b = b. < b ε b b = ε tedy lim b n = b.. b n < b. Poznmenejme, že z.3.6.3 z.3.5. plyne: Jsou-li c R, { n } konvergentní posloupnost s lim n =, pk existuje lim(c n ) = c lim n = c..3.7 Vět (o třech posloupnostech, o sevření) Buďte { n }, {b n }, {c n } posloupnosti tkové, že existuje n N, že pro n n je n b n c n. Jestliže lim n = lim c n =, pk tké lim b n =. Buď ε > 0 libovolné. K němu existuje n N tkové, že pro n n je n < ε, neboli n > ε. Dále existuje n 3 N tkové, že pro n n 3 je c n < ε, neboli c n < + ε. Pro n n 0 = mx{n, n, n 3 } pltí ε < n b n c n < + ε, neboli ε 0 je lim n =. n Pro = plyne tvrzení z.3.5.. Buď >. Pk n n pro kždé n N, neboli ( ) ( = + α) n, kde α n 0. n n Dále = ( + α n ) n = + nα n + α n + + α n n n + αn n + nα n. Odtud α n n. Celkem 0 α n. Podle.3.5.4 je lim = lim n n n lim n = 0 tedy podle.3.7.3.5. je lim α n = 0. Podle.3.5..3.6. je lim n = + lim α n =. Buď 0 < <. Pk b = > tedy lim n b =. všk podle.3.6.5 je = lim n b = lim lim n = lim n, z čehož plyne lim n =. 7

.3.9 Vět (o monotonních posloupnostech) Je-li posloupnost { n } n= neklesjící shor ohrničená, pk je konvergentní pltí lim n = sup{ n : n N}. Je-li posloupnost { n } n= nerostoucí zdol ohrničená, pk je konvergentní pltí lim n = inf{ n : n N}. Je-li monotonní posloupnost { n } n= ohrničená, pk je konvergentní. Buď { n } neklesjící shor ohrničená posloupnost. Podle..7(R4) existuje = sup{ n : n N} R. Buď ε > 0 libovolné. Pk ε < podle..6(s ) existuje n0 { n } tkové, že n0 > ε. Poněvdž { n } je neklesjící, je n > ε pro kždé n n 0. Tedy pro n n 0 je ε < n < + ε, neboli lim n =. Druhé tvrzení se dokáže nlogicky, třetí je důsledkem prvního druhého..3.0 Příkld {( Posloupnost + ) n } je rostoucí konvergentní. n ( n= (Znčíme lim + n) n = e, jest e =.7888846.) l S využitím binomické věty vzthu n + < l n, neboli l n + > l pro všechn n, l N dostneme: n ( + ) n+ n+ ( ) n n + = n + k (n + ) k > ( ) n + k (n + ) k = = = = = > = = = k=0 n k=0 n k=0 k=0 k=0 (n + )n(n ) (n k + ) k! n(n ) (n k + ) k! (n + ) k = (n + ) k = n n n k! n + n + n k + = n + k=0 n ( ) ( ) ( k ) k! n + n + n + n k=0 n k=0 n k=0 n k=0 k! k! ( n ) ( n ) n n n n n k + n (n )(n ) (n k + ) k! n(n )(n ) (n k + ) k! ( k n = ) n k = = n n k = k=0 ( n k > ) n k = ( + ) n n {( To znmená, že posloupnost + ) n } je rostoucí. n ( n= Položme n = + n) n+. Pk n 0 s využitím nerovnosti ( + x) m + mx pro x 0, m N (viz..3.8) dostneme: ( ) n + n+ n = ( n+ + = n n + n+ ( + ) n+ = n n + ( ) n+ n+ n n+ = n n + n+ ) n+ n n(n + ) n + ( n ) n+ + n + n = + n ( + n + ) = n n + =. n(n + ) n + n 8

Tedy n n+, posloupnost { n } je( nerostoucí, zdol ohrničená nulou. Podle.3.9 je konvergentní. Dále podle.3.6..3.5.4 pltí lim + ) = tedy podle.3.6.5 existuje n ( ( lim + n) n + ) n+ ( lim + ) n+ ( n n = lim ( + ) = ( lim + ) = lim + n+. n) n n.3. Definice Řekneme, že posloupnost { n } má nevlstní limitu píšeme lim n = (stručněji lim n =, n ) n jestliže ke kždému h R existuje n 0 N tkové, že pro kždé n n 0 pltí n > h. Řekneme, že posloupnost { n } má nevlstní limitu píšeme lim n = (stručněji lim n =, n n ) jestliže ke kždému h R existuje n 0 N tkové, že pro kždé n n 0 pltí n < h. Má-li posloupnost { n } nevlstní limitu, řekneme, že je určitě divergentní. Nemá-li posloupnost { n } limitu ni nevlstní limitu, řekneme, že je oscilující. Nhrdíme-li v tvrzeních.3.3,.3.5.,.3.7 slovo limit slovem nevlstní limit, zůstnou tto tvrzení v pltnosti..3. Poznámky. Buď { n } konvergentní posloupnost, lim n = 0. Jestliže existuje n N tkové, že pro kždé n n je n > 0 (resp. n < 0, resp. n 0), pk lim = (resp. lim =, resp. lim n n n = ). Buď h > 0 libovolné. Poněvdž lim n = 0, existuje n N tkové, že pro kždé n n je n < h. Pro n n 0 = mx{n, n } pltí = > h, tedy lim =. n n n Druhé tvrzení se dokáže nlogicky, třetí je jejich důsledkem.. Nechť lim n =, (resp. lim n = ) nechť posloupnost {b n } je zdol (resp. shor) ohrničená. Pk lim( n + b n ) = (resp. lim( n + b n ) = ). Existuje k R, že b n > k pro kždé n N. Buď h R libovolné. Poněvdž lim n =, existuje n 0 N tkové, že pro kždé n n 0 je n > h k. Tedy pro n n 0 je n + b n > h k + k = h, což znmená lim( n + b n ) =. Druhé tvrzení se dokáže nlogicky. 3. Nechť lim n = nechť {b n } je posloupnost tková, že existují n N, δ > 0 tková, že pro n n je b n > δ (resp. b n < δ). Pk lim n b n = (resp. lim n b n = ). Nechť lim n = nechť {b n } je posloupnost tková, že existují n N, δ > 0 tková, že pro n n je b n > δ (resp. b n < δ). Pk lim n b n = (resp. lim n b n = ). Buď h R libovolné. Existuje n N tkové, že pro n n je n > h δ. Pro n n 0 = mx{n, n } pltí n b n > h δ δ = h, což znmená lim nb n =. Zbývjící tvrzení se dokáží nlogicky. Předpokld { } b n > δ pro n n nelze zeslbit n b n > 0 pro n n. Npříkld pro { n } = {n}, {b n } = n je podle.3.5.4 lim n b n = lim n = 0. 4. Nechť lim n = {b n } je ohrničená posloupnost. Pk lim n = 0 lim b n n = 0. 9

Buď ε > 0 libovolné. Existuje n 0 N, že pro n n 0 je n > ε, tedy 0 n = n = n < ε. Druhé tvrzení nyní plyne z.3.5.3. 5. Je-li posloupnost { n } neklesjící (resp. nerostoucí) není ohrničená shor (resp. zdol), pk je určitě divergentní lim n = (resp. lim n = ). Buď h R libovolné. Poněvdž { n } není ohrničená shor, existuje n 0 N tkové, že n0 > h. Poněvdž { n } je neklesjící, pro n n 0 je n n0 > h, tedy lim n =. Druhé tvrzení se dokáže nlogicky..3.3 Definice Nechť { n } n= je posloupnost {n k } k= je rostoucí posloupnost přirozených čísel. Posloupnost { n k } k= se nzývá vybrná z posloupnosti { n } n=. Npříkld { n } = {, 4, 6,... }, { n } = {, 4, 9,... }, { n } n=m = { m, m+, m+,... } jsou posloupnosti vybrné z { n }. Poznámk: Sndno ověříme, že posloupnost { n } je rostoucí, klesjící, nerostoucí, neklesjící, ohrničená shor, ohrničená zdol, ohrničená, stcionární právě tehdy, když kždá posloupnost { nk } vybrná z posloupnosti { n } má stejnou vlstnost..3.4 Vět lim n n = R právě tehdy, když pro kždou posloupnost { nk } k= vybrnou z posloupnosti { n} n= pltí lim k n k =. Nechť R buď ε > 0 libovolné. K ε > 0 existuje n 0 N tkové, že n < ε pro kždé n n 0. Poněvdž {n k } k= je rostoucí posloupnost přirozených čísel, existuje k 0 N tkové, že n k0 n 0 n k n k0 pro kždé k k 0. Tedy pro kždé k k 0 je nk < ε, což znmená lim =. Pro = nebo = dokážeme tvrzení nlogicky. je triviální. Je-li lim k n k = pro kždou {n k } k=, pltí to zejmén pro n k = k. k n k.3.5 Definice Číslo R nzveme hromdným bodem posloupnosti { n }, jestliže ke kždému n 0 N kždému ε > 0 existuje n n 0 tkové, že n < ε. je hromdným bodem posloupnosti { n } právě tehdy, když existuje nekonečně mnoho indexů m N tkových, že m < ε pro kždé ε > 0. Npříkld posloupnost {( ) n } = {,,,,,... } má dv hromdné body..3.6 Vět Číslo R je hromdným bodem posloupnosti { n } právě tehdy, když existuje posloupnost { nk } vybrná z posloupnosti { n }, která konverguje k číslu. 0

Nechť je hromdným bodem posloupnosti { n }. K ε =, n 0 = existuje n N, n tkové, že n <. K ε = k n + N existuje n N, n > n tkové, že n <. K ε 3 = 3 k n + N existuje n 3 N, n 3 > n tkové, že n3 < 3. Tímto způsobem postupujeme dále. Výsledkem konstrukce je rostoucí posloupnost přirozených čísel {n k } tkových, že nk < k. k = 0, ke kždému ε > 0 existuje k 0 N tkové, že k 0 = k < ε pro kždé k k 0. Poněvdž lim k Tedy pro k k 0 pltí nk < k < ε, což znmená lim k n k =. Jestliže existuje { nk } tková, že lim n k =, pk ke kždému ε > 0 existuje k 0 N tkové, že pro kždé k k k 0 tedy pro nekonečně mnoho indexů k pltí nk < ε, což znmená, že je hromdným bodem posloupnosti { n }. Z.3.4 plyne: Je-li lim n = R, pk je jediným hromdným bodem posloupnosti { n }..3.7 Lemm Buď { n } posloupnost M množin hromdných bodů této posloupnosti. Nechť M. Je-li M shor (resp. zdol) ohrničená, pk existuje mx M (resp. min M). Podle..7(R4) existuje = sup M. Buď ε > 0 libovolné. Pk ε < podle..6(s ) existuje hromdný bod m M tkový, že m > ε. Tedy ε = m + ε > 0. Dále m ε = m (m + ε) = ε, m + ε = m + (m + ε) + + ε = + ε, neboť = sup M m. Odtud plyne, že (m ε, m + ε ) ( ε, + ε). Podle definice hromdného bodu leží v (m ε, m + ε ) nekonečně mnoho členů posloupnosti { n }, tedy i v ( ε, + ε) leží nekonečně mnoho členů posloupnosti { n }, což znmená, že je hromdný bod posloupnosti { n }, M tedy podle..6.4 = mx M. Druhá část tvrzení se dokáže nlogicky..3.8 Vět (Bolzno [78 848], Weierstrss [85 897]) Kždá ohrničená posloupnost má lespoň jeden hromdný bod. Buď { n } ohrničená posloupnost, h n H pro kždé n N. Položme M k = { n : n > k}. M k, M k je shor ohrničená (H je její horní závor). Existuje tedy b k = sup M k. Zřejmě b k h pro kždé k N poněvdž M k M k+, pltí b k b k+. Tedy posloupnost {b k } k= je nerostoucí zdol ohrničená. Podle.3.9 je {b k} k= konvergentní, lim b k = b. k Ukážeme, že b je hromdný bod posloupnosti { n }. Buď ε > 0 libovolné. Existuje k 0 N, že pro kždé k k 0 jest b k b < ε, neboli b k < b + ε. Pro k k 0 je tké b k = sup{ n : n k} k. Celkem k b k < b + ε. Připusťme, že b není hromdný bod posloupnosti { n }. Pk v intervlu (b ε, b + ε) leží pouze konečný počet členů této posloupnosti. To vzhledem k poslední nerovnosti znmená, že existuje n 0 k 0 tkové, že pro k n 0 je k b ε. Tedy i b k = sup{ n : n k} b ε. Podle.3.5. je b = lim b k b ε, což je spor. k.3.9 Důsledky. Z kždé ohrničené posloupnosti lze vybrt posloupnost konvergentní. plyne z.3.6.. Je-li množin hromdných bodů posloupnosti prázdná, je posloupnost neohrničená.

.3.0 Definice Buď { n } n= posloupnost M množin jejích hromdných bodů. Nechť M. Je-li posloupnost { n } ohrničená shor, kldeme lim sup n = lim sup n = mx M, je-li n { n } ohrničená zdol, kldeme lim inf n = lim inf n = min M. Není-li { n } ohrničená shor, kldeme n lim sup n =, není-li { n } ohrničená zdol, kldeme lim inf n =. Nechť M =. Je-li posloupnost { n } ohrničená shor, kldeme lim sup n = lim inf n =, je-li { n } ohrničená zdol, kldeme lim sup n = lim inf n =. Není-li { n } ohrničená shor ni zdol, kldeme lim sup n =, lim inf n =. Číslo lim sup n se nzývá limes superior posloupnosti { n } n=, číslo lim inf n se nzývá limes inferior posloupnosti { n } n=. Stručně: lim sup n je největší hromdný bod posloupnosti { n }, pokud je tto posloupnost ohrničená shor, lim inf n je nejmenší hromdný bod posloupnosti { n }, pokud je tto posloupnost ohrničená zdol..3.7 ukzuje, že definice je korektní. nlogickou úvhou jko v důkzu věty.3.8 lze ukázt, že lim sup n = lim k (sup{ n : n > k}), lim inf n = lim k (inf{ n : n > k}). Zřejmě pltí: lim inf n lim sup n. lim inf n = lim sup n právě tehdy, když existuje vlstní nebo nevlstní limit lim n..3. Definice Posloupnost { n } se nzývá cuchyovská, jestliže ke kždému ε R, ε > 0 existuje n 0 N tkové, že pro kždé n n 0 kždé m n 0 pltí m n < ε..3. Vět (Cuchyovo Bolznovo kriterium konvergence) Posloupnost { n } n= je konvergentní právě tehdy, když je cuchyovská. Nechť { n } je konvergentní, lim n =. Buď ε > 0 libovolné. K ε > 0 existuje n 0 N tkové, že pro n n 0 je n < ε pro m n 0 je m < ε. Tedy pro n n 0 m n 0 pltí m n = m + n m + n < ε + ε = ε. Nechť { n } je cuchyovská. K číslu existuje ñ tkové, že pro n ñ pltí n ñ <, tedy ñ < n < ñ +. Položme h = min{,,..., ñ, ñ }, H = mx{,,..., ñ, ñ + }. Pk pro kždé n N je h n H, tedy { n } je ohrničená podle.3.9. existuje vybrná posloupnost { nk } k= tková, že lim k n k = R. Buď ε > 0 libovolné. K ε existuje k 0 N tkové, že pro kždé k k 0 je nk < ε. Součsně existuje n 0 N tkové, že pro m, n n 0 je m n < ε. Buď n n 0 libovolné. Zvolme k k 0 tkové, že n k n 0. Pk n = n nk + nk n nk + nk < ε + ε = ε, tedy lim n =.

.4 Diferenční sumční počet.4. Definice Buď { n } n= posloupnost. Posloupnost { n } n= jejíž členy jsou dány vzthem n = n+ n nzýváme (první) diference (vpřed) posloupnosti { n } n=. Zřejmě pltí: Posloupnost { n } je rostoucí (klesjící) právě tehdy, když všechny členy posloupnosti { n } jsou kldné (záporné)..4. Definice Řekneme, že k N je uzel posloupnosti { n }, jestliže k = 0 nebo k k < 0..4.3 Vět Buď { n } posloupnost, k N. Jestliže k > k k k+, pk k je uzel posloupnosti { n }; jestliže k < k k k+, pk k je uzel posloupnosti { n }. Nechť k > k, k > k+. Pk k = k+ k < 0, k = k k > 0, tedy ( k )( k ) < 0. Nechť k > k, k = k+. Pk k = k+ k = 0. nlogicky lze ukázt pltnost druhého tvrzení..4.4 Vět Buďte { n }, {b n } posloupnosti, c R. Pk pltí. (c n ) = c n,. ( n + b n ) = n + b n, 3. ( n b n ) = n b n, 4. ( n b n ) = ( n )b n+ + n ( b n ) = ( n )b n + n+ ( b n ), ( ) n 5. Pokud b n b n+ 0, pk = ( n)b n n ( b n ). b n b n+. (c n ) = c n+ c n = c( n+ n ) = c n. b n. ( n + b n ) = ( n+ + b n+ ) ( n + b n ) = ( n+ n ) + (b n+ b n ) = n + b n. 3. Plyne z.. 4. Pltí ( n b n ) = n+ b n+ n b n = n+ b n+ n b n+ + n b n+ n b n = = ( n+ n )b n+ + n (b n+ b n ) = ( n )b n + n+ ( b n ), tkže první vzth pltí. Druhý plyne z prvního z komuttivity násobení. ( ) 5. = = b n b n+ = b n. b n b n+ ( b n ) b n b n+ b n b n+ n Podle 4. nyní je = ( ) n + n = n b n n = ( n)b n n ( b n ). b n+ b n+ b n b n+ b n b n+ b n b n 3

.4.5 Definice Buďte { n } posloupnost, m, k N, m k. Sumu členů posloupnosti { n } v mezích od m do k definujeme vzthem k i = m + m+ + + k..4.6 Vět i=m Buďte { n }, {b n } posloupnosti, c R, m, k N, m k. Pk k c i = c i=m k ( i ± b i ) = i=m k i, i=m k i ± i=m Plyne přímo z distributivního socitivního zákon..4.7 Vět k b i. Buďte { n } posloupnost, m, k N, m k. Oznčme [ n ] k n=m = k m. Pk pltí k i=m i = [ i ] k+ i=m. k n = ( m+ m ) + ( m+ m+ ) + + ( k k ) + ( k+ k ) = k+ m. i=m Vět ukzuje, že diference sumce jsou v jistém smyslu inversní operátory..4.8 Vět (Sumce per prtes ) Buďte { n }, {b n } posloupnosti, m, k N, m k. Pk pltí Ř.: Podle.4.7.4.4.4 pltí k i=m k [ n b n ] k+ n=m = ( i b i ) = i=m i b i = [ n b n ] k+ n=m i=m k ( i )b i+. i=m k (( i )b i+ + i b i ) = i=m Příkld: Njděte součet + 4 + 9 + + n. n i = i= n i ((i + ) i) = i= = (n + ) 3 = n 3 + 3n + 3n k ( i )b i+ + i=m n i i = [ i 3] n+ n ( i= i ) (i + ) = i= i= n ( (i + ) i ) (i + ) = n 3 + 3n + 3n i= n (i + 3i + ) = n 3 + 3n + 3n i= = n 3 + 3n n(n + ) + 3n n 3 4 n i= i i= k i b i. i=m n (i + )(i + ) = i= n n n 3 i i = i= = n3 + 6n + 4n 3n 3n i= n i. i=

Odtud n i= i = n3 + 3n + n 6 = n(n + )(n + ) 6..4.9 Vět (Sztolz [84 903]). Nechť { n } n= je posloupnost tková, že lim n = 0 {b n } n= je ryze monotonní posloupnost tková, n že lim b n n = 0. Jestliže lim = c R n, pk tké lim = c. n n b n n b n. Nechť { n } je posloupnost {b n } je neohrničená rostoucí posloupnost. Jestliže lim n tké lim = c. n b n. Nechť pro určitost je {b n } n= klesjící. n c R. Buď ε > 0 libovolné. Existuje n 0 N tkové, že pro kždé k N, k n 0 pltí poněvdž b k+ n > n 0 pltí: (c ε)(b n b n+ ) < n n+ < (c + ε)(b n b n+ ) (c ε)(b n+ b n+ ) < n+ n+ < (c + ε)(b n+ b n+ ).. (c ε)(b m b m ) < m m < (c + ε)(b m b m ). Seštením těchto nerovností dostneme (c ε)(b n b m ) < n m < (c + ε)(b n b m ). Podle.3.5..3.6 je lim (c ε)(b n b m ) = (c ε)(b n lim b m) = (c ε)b n. m m Podobně lim (c + ε)(b n b m ) = (c + ε)b n, lim ( n m ) = n. Tedy podle.3.5. je m m (c ε)b n n (c + ε)b n. Poněvdž {b n } n= je klesjící lim n b n = 0, je b n > 0 pro kždé n N tedy c ε n b n c + ε. n Tto nerovnost pltí pro kždé n > n 0, což znmená, že lim = c. n b n c =. Buď K R libovolné. Existuje n 0 N tkové, že pro kždé k N, k n 0 pltí k+ k b k+ b k = k k+ b k b k+ > K. Odtud pro kždé m, n N, m > n > n 0 dostneme: k k+ > K(b k b k+ ) / m k=n n m > K(b n b m ) / lim n Kb n / b n n K, b n 5 m n b n = c R, pk

n což znmená, že lim =. n b n c =. nlogicky jko předchozí přípd. Je-li {b n } n= rostoucí, provedeme důkz nlogicky.. Nejdříve dokážeme pomocné tvrzení: Jsou-li α, α,..., α k reálná čísl β, β,..., β k kldná reálná čísl, m, M R tková, že pro kždé i {,,..., k} pltí m < α i β i < M, pk Důkz provedem úplnou indukcí vzhledem ke k. m < α β < M je splněno triviálně. m < α + α + + α k β + β + + β k < M. Z indukčního předpokldu m < α + α + + α k β + β + + β k z předpokldu tvrzení < M, neboli m(β + β + + β k ) < α + α + + α k < M(β + β + + β k ) dostneme sečtením dokzovnou nerovnost. mβ k < α k < Mβ k c R. Buď ε > 0 libovolné. Existuje n N tkové, že pro n n pltí c ε < n+ n b n+ b n < c + ε. Poněvdž {b n } je podle předpokldu neohrničená rostoucí, lze bez újmy n obecnosti předpokládt b n 0. Položme α = n+ n, α = n+ n+,..., α k = n n, β = b n+ b n, β = b n+ b n+,..., β k = b n b n. Podle pomocného tvrzení je c ε < n n < c + ε b n b n, neboli n n c b n b n < ε. Dále pltí n c b n = = = = n n + n c b n b n = n n b n b n + n c b n b n b n b n = ( ) n n bn b n c + b n b n c + n c b n b n b n b n b n = ( ) n n bn b n c + (b n b n )c + n cb n b n b n b n b n = ( ) ( n n c b ) n + n cb n b n b n b n b n n n c b n b n b n + n cb n. b n Poněvdž podle.3..5.3..4 je lim = 0 pro n > n je b n n b n b n n N, n > n tkové, že pro n n pltí 0 b n b n b n b n. 6 b n b n, neboli 0, tk existuje

n cb n Poněvdž lim n b n = 0, existuje n 3 N tkové, že pro n n 3 pltí n cb n b n < ε. Tedy pro n n 0 = mx{n, n, n 3 } pltí n c b n < ε + ε = ε, n což znmená, že lim = c. n b n c =. Buďte h R, ε > 0 libovolná čísl. Poněvdž lim n n+ n b n+ b n neboli vzhledem k tomu, že b k+ b k > 0 =, existuje n N tkové, že pro k n je k+ k b k+ b k > (h + ε), k+ k > (h + ε)(b k+ b k ). Sečtením těchto nerovnic pro k od n do n dostneme ( n > (h + ε) b n b n b n b n Poněvdž podle.3..5.3..4 je lim n b n pltí b n b n existuje n 3 N, že pro n n 3 pltí Tedy pro n n 0 = mx{n, n, n 3 } pltí n což znmená, že lim =. n b n c =. nlogicky jko předchozí přípd. n n > (h + ε)(b n b n ) ) + n. b n n = 0 lim = 0, existuje n N, že pro n n n b n <, neboli b n > b n n b n > ε. n b n > (h + ε) ε = h, Poznámky: Předpokld o ryzí monotonii posloupnosti {b n } n= v první části věty obecně nelze vynecht. Je-li npříkld n = n b n = ( )n, pk lim n+ n lim n b n+ b n n b n = n ( ) n n = lim n n n = lim b n = 0, n n n+ n ( ) n+ ( n+ + n ) = lim n n n ( )n+ n + n + = lim n = ( ) n posloupnost {( ) n } n= = {,,,,,,... } je oscilující. 7 ( ) n = 0 podle.3..4, všk n +

Jestliže neexistuje vlstní ni nevlstní lim n nelze nic tvrdit o existenci lim. n b n n n+ n b n+ b n osttní předpokldy Sztolzovy věty jsou splněny, Je-li npříkld n = ( )n n, b n =, pk lim n n = 0, {b n } je klesjící lim b n = 0. Přitom n n posloupnost n b n = ( ) n+ (n + ) ( )n n n + n = ( ) n+ n + (n + ) n (n + ) n (n + ) n(n + ) = ( ) n n + n + n + n { } ( ) n n + n + n = { 5 + n, 3 6, 5, 4 0, 6 30, 85 4,... } nemá limitu. le n lim = lim n b n n ( ) n n n ( ) n = lim n n = 0. { } (n!) Příkld: Rozhodněte, zd posloupnost je konvergentní pokud no, určete její limitu. (n)! Ř.: Oznčme n = (n!) (n)!. Pk pro kždé n N pltí n 0 n+ n = ((n + )!) (n)! ((n + ))! (n!) = 4 + 8( + ) 4 + = 5 <, (n + ) (n + )(n + ) = n + (n + ) = n + + 4(n + ) = 4 + 8(n + ) neboli n+ < n. To znmená, že { n } je klesjící, zdol ohrničená posloupnost tedy podle.3.9 existuje = lim n n R. Posloupnost {(n)!} je rostoucí neohrničená, tedy (n!) = lim n (n)! (n!) = lim n (n)! ((n + )!) (n!) = lim n (n + )! (n)! lim n neboli = 4. Odtud = 0..5 Elementární funkce. Polynomy.5. Definice n + n 4n + 6n + = lim n (n!) ((n + ) ) = lim n ((n)!) ((n + )(n + ) ) = + n 4 + 6 n + n = 4, Buďte n N {0}, 0,,..., n R, n 0. Polynom (rcionální funkce celistvá) je funkce tvru P (x) = n x n + n x n + + x + 0. Číslo n se nzývá stupeň polynomu, znčíme n = st P. Čísl 0,,..., n se nzývjí koeficienty polynomu. Je-li st P =, polynom se nzývá lineární. Je-li st P =, polynom se nzývá kvdrtický. Je-li st P = 3, polynom se nzývá kubický. 8

Je-li st P = 4, polynom se nzývá bikvdrtický. Číslo 0 nzveme nulovým polynomem. Nepřiřzujeme mu stupeň. (, ), st P je lichý Dom P = R, Im P = [, ), st P je sudý, n > 0. (, ], st P je sudý, n < 0 Komplexní čísl: C = { + ib :, b R}, kde i = ( + ib ) + ( + ib ) = ( + ) + i(b + b ) ( + ib ) ( + ib ) = ( b b ) + i( b + b ) Je-li α = + ib C, β C pk ᾱ = ib číslo komplexně sdružené (konjugovné) α = αᾱ = + b bsolutní hodnot (modul) komplexního čísl α + β = ᾱ + β αβ = ᾱ β α n = ᾱ n pro n N α R b = 0 α = ᾱ Množin komplexních čísel s opercemi +, splňuje (R) (R9) z..7. Tvoří tedy pole. Toto pole nelze uspořádt..5. Definice Číslo α C se nzývá kořen (nulový bod) polynomu P, jestliže pltí P (α) = 0. Je-li α kořenem polynomu P, pk lineární polynom x α nzveme kořenovým fktorem polynomu P..5.3 Zákldní vět lgebry Kždý polynom stupně n s komplexními koeficienty má komplexní kořen. Tto vět je známá od 7. století. První (chybný) pokus o důkz publikovl d lembert roku 746, větu dokázl Guss roku 799..5.4 Vět Buď P (x) polynom, st P = n. Číslo α C je kořenem polynomu P právě tehdy, když existuje polynom Q, st Q = n tkový, že P (x) = (x α)q(x). Nechť P (x) = n x n + n x n + + x + 0, α je kořenem P. Pk P (x) = P (x) 0 = P (x) P (α) = = n x n + n x n + + x + 0 ( n α n + n α n + + α + 0 ) = = n (x n α n ) + n (x n α n ) + + (x α) + 0 ( ). Pro kždé k N pltí (x k α k ) : (x α) = x k + x k α + x k 3 α + + xα k + α k. Tedy P (x) = n (x α)(x n +x n α+ +α n )+ n (x α)(x n +x n 3 α+ +α n )+ + (x α). Oznčíme Q(x) = n (x n + x n α + + α n ) + n (x n + x n 3 α + + α n ) + + dostneme tvrzení. je zřejmé. P (x), st P = n. Podle.5.3 má P kořen α, tedy P (x) = (x α )Q (x). Je-li st Q, pk Q (x) = (x α )Q (x), tedy P (x) = (x α )(x α )Q (x). nlogicky pokrčujeme po n krocích dostneme P (x) = n (x α )(x α ) (x α n ). Může se stát, že α = α = = α k, k n. Pk (x α )(x α ) (x α k ) = (x α ) k. Celkem P (x) = n (x α ) k (x α ) k (x α m ) km, přičemž k, k,..., k m N, k + k + + k m = n. 9

.5.5 Definice Číslo α C se nzývá k-násobný kořen polynomu P (x), jestliže P (x) = (x α) k Q(x), kde Q(x) je polynom nemjící kořen α. (-násobný kořen se nzývá jednoduchý.).5.6 Vět (o rozkldu polynomu n kořenové fktory) Nechť P (x) = n x n + n x n + + x + 0 je polynom, st P = n. Nechť α, α,..., α m jsou všechny jeho nvzájem různé kořeny, přičemž α je k -násobný, α je k -násobný,..., α m je k m -násobný. Pk P (x) = n (x α ) k (x α ) k (x α m ) km, k, k,..., k m N, k + k + + k m = n. Důsledek: Polynom stupně n má právě n kořenů, jestliže k-násobný kořen počítáme k krát..5.7 Příkld P (x) = x 5 + x 4 + x 3 x x = x 3 (x + x + ) (x + x + ) = (x 3 )(x + x + ) = ( ( )) ( ( )) = (x )(x + x + )(x + x + ) = (x ) x + i 3 x i 3.5.8 Vět Nechť polynom P (x) = n x n + n x n + + x + 0 má reálné koeficienty komplexní kořen α. Pk má tké komplexně sdružený kořen ᾱ násobnosti kořenů α ᾱ jsou stejné. Pro x R je x = x tedy P (x) = ā n x n + ā n x n + + ā 0 = n x n + n x n + + 0 = P (x). Podle.5.6 je P (x) = n (x α ) k (x α ) k (x α m ) km tedy P (x) = n (x ᾱ ) k (x ᾱ ) k (x ᾱ m ) km. Z rovnosti P (x) = P (x) plyne tvrzení. Polynom s reálnými koeficienty se nzývá reálný polynom..5.9 Vět (o rozkldu reálného polynomu v reálném oboru n ireducibilní polynomy) Buď P (x) = n x n + n x n + + x + 0 reálný polynom, st P = n. Nechť α, α,..., α m jsou všechny jeho reálné kořeny, přičemž α je k -násobný,..., α m je k m -násobný. Nechť ± ib, ± ib,..., r ± ib r jsou všechny jeho imginární kořeny, přičemž ± ib je l -násobný,..., r ± ib r je l r násobný. Pk je P (x) = n (x α ) k (x α ) k (x α m ) km [(x ) + b ] l [(x ) + b ] l [(x r ) + b r ] lr, k + k + + k m + l + l + + l r = n. Podle.5.6.5.8 v rozkldu polynomy P (x) vystupuje součin fktorů (x ( j + ib j )) lj (x ( j ib j )) lj = (x ( j + ib j )x ( j ib j )x + ( j + ib j )( j ib j )) lj = = (x j x + j + b j + i( jb j j b j )) lj = (x j x + j + b j )lj = [(x j ) + b j ]lj. Fktory (x j ) +b j se někdy nhrzují kvdrtickým polynomem x +p j x+q j se záporným diskriminntem p j 4q j..5.0 Příkld Viz též.5.7. x 5 + x 4 + x 3 x x = (x ) ( ( x + i 3 nebo x 5 + x 4 + x 3 x x = (x )(x + x + ). )) ( ( x i 3 )) = (x ) ( (x + ) ) + 3 4 30