Teorie sigálů poskyuje společý eoreický základ pro řadu růzých oborů: elekomuikačí echika radioechika akusika seismologie biomedicícké ižeýrsví eergeika chemické echologie elekroické zpracováí řeči, hudby a obrazu
Sezam doporučeé lieraury. J. Uhlíř, P. Sovka, Číslicové zpracováí sigálů, ČVUT Praha, 00. J. Pospíšil, Aalýzy a přeosové aspeky sigálů, UP Olomouc (skripum), 994 3. Yeug, R. W., A Firs Course i Iformaio Theory, Spriger, New York, USA 00 4. Ago, A., Užiá maemaika pro elekroechické ižeýry, SNTL Praha 97 5. Youg, P. H., Elecroic commuicaio echiques, Ch.E.Merrill Publ. Comp. ad Bell - Howel Comp. Columbus 985 6. Eriger, Z., Skleář, J., Sigály a sousavy, VUT Bro (skripum) 980 7. Levi, B.R., Teorie áhodých procesů a její aplikace v radioechice, SNTL Praha 965 8. Hoffer, V., Úvod do eorie sigálů, SNTL Praha 987 9. Bajcsy, J., Víovec, J., Telemeria a preos údajov, Alfa Braislava a SNTL Praha 988 0. Bogr, J., Čajka, J., Šebesa, V., Teorie přeosu zpráv, SNTL Praha 975
Sigál je časový průběh určié deermiovaé ebo áhodé fyzikálí veličiy. Klasifikace: Spojiý sigál je defiová pro všechy hodoy ezávislé proměé Diskréí sigál ezávislá proměá abývá pouze celočíselých hodo 8 8 6 6 4 4 y() 0 y() 0 - - -4-4 -6 0 4 6 8 0-6 0 3 4 5 6 7 8 9 0 Aalogový sigál je přímým obrazem fyzikálích jevů (apř. sigál z mikrofou) Číslicový (digiálí) sigál sigál vyjádřeý koečou řadou číslic
Sigál deermiisický popsá fukcí ebo poslouposí, jejíž každou hodou lze pro daý časový okamžik přesě vypočía (zpravidla podle ějakého maemaického předpisu) Sigál áhodý elze urči, jakých hodo abude v jedolivých časových okamžicích - hodoy jsou ierpreováy jako sousava áhodých proměých ebo je průběh sigálu popsá saisickými charakerisikami (sř. hodoa, sř. kvadraická hodoa, rozpyl, auokorelačí fukce, spekrálí husoa, koherečí fukce) 8 6 4 y*si() 0.9 0.8 0.7 0.6 y() 0 y() 0.5 0.4-0.3-4 0. 0. -6 0 4 6 8 0 0 0 3 4 5 6 7 8 9 0
Sigály periodické: exisuje T > 0... perioda, y() y(+t) pro všecha základí perioda T 0... ejmeší z period Periodický sigál je součem harmoických sigálů, přičemž poměr libovolých dvou frekvecí je racioálí číslo. možos vyjádřeí pomocí Fourierovy řady Neí-li poměr frekvecí harmoických složek racioálí, jedá se o éměř periodický sigál. y( ) A si(πf + θ ) Sigály s koečou eergií (apř. sigály vziklé vyjmuím jedé periody z periodického sigálu, sigály s koečou dobou rváí) Sigály s ekoečou eergií (apř. áhodé sacioárí sigály, periodické a éměř periodické sigály)
Komplexí expoeciála x() Ce a, a, C... komplexí čísla a, C reálá reálá expoeciála (klesající, rosoucí) apř. při popisu přechodých dějů v elekrických obvodech a 0 kosaí sigál a... ryze imagiárí periodický sigál jω ( ) Ce x 0 základí perioda T 0 π/ ω 0, ω 0... základí úhlová frekvece sigálu reálá čás komplexí expoeciály harmoický sigál příklad sigálu s komplexími hodoami a, C: x Ce r ( ) cos( ω + ϕ) - expoeciálě lumeý siusový sigál 0 x().8.6.4. 0.8 0.6 0.4 0. x() Ce ( ) a r x Ce cos( ω + ϕ ).5 0 a -, C x() 0.5 0-0.5 - C, ω 0 π, ϕ π/6, r -0,5 0 0 3 4 5 -.5 0 4 6 8 0
Jedokový skok (Heavisideova fukce) x() 0 pro 0 x() pro > 0 - eí spojiý v bodě 0 x().5 0.5 0-0.5-4 - 0 4 6 Jedokový impulz (Diracova dela fukce) ilusračí graf: δ ( ) 0 pro 0.5 δ ( ) pro 0.5 δ ( ) d x() 0.5 0-0.5-3 - - 0 3
Jedokový skok (Heavisideova fukce) x[] 0 pro < 0 x[] pro 0 x(). 0.8 0.6 0.4 Jedokový impuls (Diracova dela fukce) x[] 0 pro 0 x[] pro 0 0. 0-0. -5 0 5 příklad užií souči sigálu s impulsí fukcí dává hodou sigálu v čase pomocí hodoy v čase ula x[]δ [] x[0]δ []. obecě: x[]δ [- 0 ] x[ 0 ]δ [] př.: vyjádřeí jedokového skoku x [ ] δ [ k] k 0 x() 0.8 0.6 0.4 0. 0-0. -5 0 5
Sigál může slouži k přeosu sděleí (zprávy, isrukce, iformace) sdělovací sigál Sdělovací kaál prosředí, ve kerém probíhá přeos sdělovacího sigálu z vysílače do přijímače Spojeí přeos sděleí od odesílaele k příjemci; spojeí může podléha rušeí a zkresleí Rušeí souhr vějších a viřích rušivých vlivů, včeě šumu, keré působí a sdělovací sousavu sále i za epříomosi sigálu Zkresleí vziká pouze při přeosu sigálu přeosovou sousavou
Odesílael působí sděleím a símací měič (apř. mikrofó), jehož výsupem je primárí (ízkofrekvečí) sigál. Vysílač převáří primárí sigál v sekudárí (vysokofrekvečí) sigál vhodý k dalšímu přeosu (modulace, užií kódového klíče). V přijímači se sdělovací sigál převádí zpě a sděleí (demodulace)
Sdružovač zařízeí pro uspořádáí jedolivých sděleí ve společý mohocesý sigál Rozdělovač vyčleňuje jedolivá sděleí do pařičých sdělovacích ces Přeslech rušeí sigály sousedích sdělovacích ces ežádoucím přechodem eergie z jedé do druhé sdělovací cesy Teorie sdělováí suduje přeos a zpracováí deermiovaých a áhodých sdělovacích sigálů a při om sleduje hledisko vlivu zkresleí a rušeí.
Reálý periodický sigál s() lze rozloži ve Fourierovu řadu: ( ) jω s ae a... komplexí Fourierova ampliuda ω e jω... základí úhlová frekvece... možia orogoálích fukcí a a e jφ a T T T / s ( ) e / jω d a... reálá Fourierova ampliuda φ... Fourierova fáze
( ) + + 0 cos si B A B s ω ω / / 0 )d ( T T s T B / / d )si ( T T s T A ω / / d )cos ( T T s T B ω Dílčí reálé Fourierovy ampliudy:
Reálá periodická fukce s() je schopa Fourierovy aalýzy, jesliže splňuje Dirichleovy podmíky:. s() má ejvýše koečý poče espojiosí. s() má ejvýše koečý poče exrémů 3. je splěa podmíka absoluí iegrovaelosi fukce s() a iervalu (-T /, T /) Sředí výko sigálu P T T T / s / ( )d a a... Fourierovy ieziy; výkoové Fourierovo spekrum
Jedorázový impulz - vykazuje koečou eergii: - koečá doba rváí impulzu se evyžaduje s( ) d < - předpokládá se splěí Dirichleových podmíek - limií případ periodického sigálu: a T T / T ( ) s ( ) e / j jω s a e T ω, ω π/ T ω d a( ω) dω, dω ω j ω s( ) e d a a π - přímá Fourierova rasformace j ω e dω π s( ) a ( ω) - Fourierův iegrál - zpěá Fourierova rasformace ( ω) dω
Jiý zápis přímé a zpěé Fourierovy rasformace: s( ) [ S ( f )] S ( f ) jπf F e df j π f S( f [ s( ) ] s( ) ) F e d Vlasosi FT:. Liearia (pricip superpozice). Změa měříka času 3. Dualia 4. Posu v čase 5. Posu ve frekvečí oblasi F + F F F F [ ag( ) + bh( ) ] ag( f ) bh ( f ) k f k [ ( )] sk S [ S ( ) ] s( f) ± jπ0f [ s( ± )] S( f e - 0 ) j f [ S π 0 ( f ± f )] s( ) e 0
6. Plocha impulzu 7. Plocha spekra 8. Spekrum -é derivace s( )d S S ( f F )df ( f 0) s ( 0) ( ) [ ( )] ( ) s jπf S ( f ) 9. Spekrum komplexě sdružeé fukce [ s ( ) ] S * ( f ) F * 0. Spekrum sudé a liché fukce S ( f ) s( ) cos( πf) d j s( ) si( πf) d
Defiičí vzahy pro kovoluci: Kovoluce má výzam při popisu časově ivariaích lieárích sysémů pomocí impulzové odezvy. Kovolučí eorém: ( ) ( ) ( ) ( ) y y x g y h x g x h d [ ] [ ] [ ] [ ] k k y k x y x ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) f H f G h g F ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) f H f G h g F
Sředí výko jedorázového impulzu je ulový: P T / lim T s T T / ( ) d 0 Celková eergie impulzu: W P df ( ) d s ( ) d S ( f ) Rayleighův eorém závislos mezi celkovou eergií W a ampliudovým Fourierovým spekrem S ( f ) jedorázových impulzů S ( f )... spekrálí husoa eergie
. Jedokový impulz. Jedokový skok (Heavisideova fukce) 3. Obdélíkový impulz 4. Kosaí sigál 5. Gaussovský impulz 6. Harmoický sigál s koečou dobou rváí
s s ( ) hcos( πf), pro / ( ) 0, pro osaíhodoy / S ( f ) h si π [ π ( f f )] ( f f ) + si π [ π ( f + f )] ( f + f ) h, f, 0 s().5.5 0.5 0-0.5 - -.5 - -.5-6 -4-0 4 6 S(f) 0 8 6 4 0 - -4-5 0 5 f
( ) ( ) π cos φ f A s ( ) ( ) ( ) * φ δ δ j e A a f f a f f a f S + + - dva jedokové impulzy ásobeé kosaami - periodický sigál rozložíme ve Fourierovu řadu ( ) ( ) f f a f S δ
Posloupos jedokových impulzů opakujících se s periodou T : Čárové spekrum: a T/ jπf ( ) e d T δ T / T ( ) δ ( T ) ( f ) δ ( f f ) S T - ve frekvečí oblasi jde opě o posloupos impulzů
s Kovoluce sigálu s() a jedokového impulzu δ( 0 ): ( ) δ ( ) s( τ ) δ ( τ ) dτ s( ) δ ( τ ) τ s( ) 0 0 0 0 d - vede k posuuí sigálu o 0 Kovoluce sigálu s() s ekoečou poslouposí jedokových impulzů v bodech T : s d ( ) ( ) s( τ ) δ ( τ T ) dτ s( τ ) δ ( τ T ) τ s( T ) -kovoluce jedorázového impulzu s poslouposí () jedokových impulzů vede k vyvořeí periodické poslouposi jedorázových impulzů Aplikace: určeí Fourierova spekra periodické poslouposi jedorázových impulzů F [ ( ) ( ) ] S ( f ) F[ ( ) ] S ( f ) δ ( f f ) s T 0
- výpoče rasformačího iegrálu - provedeí časových derivací sigálu - využií vzahu mezi Fourierovým spekrem jedorázového impulzu a jeho periodické poslouposi -umerický výpoče diskréí Fourierova rasformace S ( kf ) T s( it ) -rychlá Fourierova rasformace - mohé součiy se během výpoču opakují s s s i 0 ( kt ) f S ( if ) s s i 0 s s e πki j + e T s f s πki j + + Příklad: Fourierova rasformace rojúhelíkového impulzu
Korelace je měříkem podobosi mezi dvěma sigály, keré jsou vzájemě posuuy o čas τ Vzájemá korelace (vzájemá korelačí fukce) R gh -obecě eí komuaiví (arozdíl od kovoluce) ( τ ) g( ) h( τ ) d g( + τ ) h( ) Vzájemá korelačí fukce pro dva reálé periodické sigály: R gh d T T / ( τ ) g( ) h( τ ) d g( + τ ) h( ) T/ T T / T/ d Souvislos korelace s kovolucí -položíme-li -y, lze odvodi R gh ( τ ) g( τ) h( τ ) g( τ ) h( τ ) Fourierova rasformace vzájemé korelačí fukce: * [ R gh ( τ )] G( f ) H ( f ) F
Auokorelace měříkem rychlosi změ hodo sigálu v čase g() h() R gg ( τ ) g( ) g( τ ) d g( + τ ) g( ) d Plaí - je sudou fukcí R gg ( τ ) R ( 0) g ( ) gg Fourierovo spekrum: d - eí obsažea iformace o fázi F [ R ( )] G( f ) gg τ Auokorelačí fukce je periodická pro periodický sigál (podobě pro vzájemou korelaci)
Sdělovací sousava produkuje alespoň jede výsupí sigál jako odezvu a alespoň jede vsupí sigál Přeosové charakerisiky vzahy mezi vsupími a výsupími sigály 4 ypy aalogových přeosových sousav: - s více vsupy a více výsupy - s více vsupy a jedím výsupem - s jedím vsupem a jedím výsupem - s jedím vsupem a více výsupy Charakerisická přeosová rovice sousavy s jedím vsupem a jedím výsupem: b y + b y ( ) ( ) +... + by + by a x + a x +... + ax + ( m) ( m ) m m 0 0 sousava lieárí, elieárí, časově proměá δ ( ) x() H ( f ) h() y() X ( f ) ( f ) Y a x
Odezva v časové oblasi je vyjádřea kovolucí impulzí odezvy h() a vsupího sigálu: y ( ) h( τ ) x( τ ) dτ h( τ ) x( τ ) dτ h()... impulzí odezva odezva lieárí přeosové sousavy (LPS) a jedokový impulz δ() Normovací podmíka: ( ) d h τ τ Sabilia LPS: výsupí sigál je ohraičeý, jesliže je ohraičeý vsupí sigál ( ) < h τ dτ
Odezva ve frekvečí oblasi Y ( f ) X ( f ) H ( f ) H ( f ) F[ h( ) ]... fukce přeosu, přeosová fukce f H f H f e jθ( ) Expoeciálí var přeosové fukce: ( ) ( ) ( f ) H... modul Θ (f)... fáze Logarimické vyjádřeí fukce přeosu Z ( f ) lh ( f ) lh ( f ) + jθ( f ) a( f ) + jθ( f ) Z ( f )... logarimická míra přeosu a( f )... zisk [ a( f )] log H ( f ) db 0 0
Sériové spojeí LPS ( f ) ( f ) H H ( f ) H ( f ) H ( f ) H H ( f ) Paralelí spojeí LPS H ( f ) ( f ) H ( f ) + H ( f ) H
Zpěovazebí spojeí H ( f ) H ( f ) H ( f ) H H ( f ) ( f ) H ( f )
Lieárí zkresleí Podmíka pro ezkresleý lieárí přeos: y ( ) Kx( τ ) - ve frekvečí oblasi: H H jπτf ( f ) Ke ( f ) K, Θ( f ) f πτ Lieárí zkresleí - ampliudové - fázové H ( f ) kos Θ f ( f ) Korekce ampliudového a fázového zkresleí C H jπτf ( f ) H ( f ) Ke H ( f ) Ke H C jπτf ( f ) kos x ( ) H ( f ) H y( ) C ( f ) X ( f ) Y ( f )
- elze zavés fukci přeosu - odezva se saovuje řešeím elieárí charakerisické přeosové difereciálí rovice - umerické řešeí (apř. meoda liearizace) - popis sousavy algebraickou rovicí, převodími charakerisikami - eplaí pricip superpozice Nelieárí zkresleí harmoického sigálu - koeficie harmoického zkresleí k Y + Y Y 3 +... ebo k Y Y + Y + Y 3 +... +... Y i... max. hodoa i-é harmoické složky výsupího sigálu vzájemé působeí více harmoických sigálů iermodulačí zkresleí čásečé polačeí elieárího zkresleí pomocí zv. kompadoru
Absoluí úroveň výkou sigálu w db 0log P P 0 w Np l P P 0 P 0 mw... referečí výko Relaiví úroveň výkou sigálu w rel w M w Úlum sousavy Míra zisku b w w b w w
Charakerisické fukce a veličiy Disribučí fukce (jedorozměrá, -rozměrá) Husoa pravděpodobosi (jedorozměrá, -rozměrá) Momey áhodého procesu - obecý mome s-ého řádu - sředovaý (cerovaý) mome s-ého řádu Auokorelačí fukce Kovariačí fukce Vzájemá korelačí fukce Vzájemá kovariačí fukce Maice korelačích fukcí Časové paramery realizací áhodých procesů - sředí hodoa v čase - auokorelačí fukce v čase - vzájemá korelačí fukce v čase
Sacioaria v užším smyslu disribučí fukce se eměí při změě počáku, od ěhož počíáme čas Sacioaria v širším smyslu sř. hodoa je kosaa a auokorelačí fukce závisí je a časovém posuuí τ Regulárí áhodý proces charakerisické fukce a veličiy (časové paramery) jsou pro všechy realizace sejé Sacioaria a reguláros jsou ezávislé. Ergodicia áhodého procesu sředí hodoa přes soubor realizací je rova časové sředí hodoě -charakerisické fukce a veličiy lze vyšeři aalýzou jedié realizace
Spekrálí husoa výkou S xx (f) áhodého procesu X() Spekrálí husoa výkou s xx (f) realizace x() áhodého procesu Sacioárí áhodý proces Wieerovy-Chičiovy rovice
Rušeí - diskréí (selekiví) - impulzové - šumové (rušeí flukuačím šumem) - souvislá řada ahodilých impulzů ahodilé ampliudy - souvislé a široké spekrum - projevuje se flukuacemi char. hodo sigálu ) Šumy elekrických obvodů a) Tepelý šum - původ v epelém pohybu elekroů ve vodiči ( ) ktrb u š 4 R rezisace B šířka frekvečího pásma, v ěmž šum sledujeme modelováí áhradí zdroj šumového apěí (sériově) - áhradí zdroj šumového proudu (paralelě) ( ) ktgb i š 4 U 4R š Pš
b) Výsřelový šum - v elekrokách, epravidelá emise elekroů z kaody (při ízké eploě) i aš ( ) mei B a - pro diodu i ( ), ktgb aš 4 k i I a... sředí hodoa aodového proudu m... zahruje vliv prosorového áboje v elekroce B... šířka frekvečího pásma - podobě pro riodu, bipolárí razisor ad. ) Gaussovský šum - vykazuje gaussovskou disribuci hodo - uplaěí cerálího limiího eorému - husoa pravd. f ( x) σ x ( x ) m x σ x e π - disribučí fukce F ( x) σ x ( v m ) x x σ π e x dv - vyjádřeí pomocí chybové fukce F ( x) x + erf σx m x erf u ( u) e π 0 v dv
3) Bílý šum -sacioárí a ergodický áhodý proces vykazující kosaí spekrálí husou výkou v celém rozsahu frekvecí S xx ( f ) N 0 kos N 0... šumový výko vzažeý k frekvečímu pásmu Hz ekvivaleí eploa šumu Auokorelačí fukce Přeos lieárí přeosovou sousavou T Pš kb Auokorelačí fukce šumu a výsupu ideálí dolí propusosi H H ( f ) pro f B ( f ) 0pro f > B N k e 0 N 0 ( τ ) δ ( τ ) B xx B yy ( τ ) ( f ) H ( f ) S yy N 0 N 0 ( πbτ ) si B πbτ
Spolehlivos přeosu - pravděpodobos, že sděleí bude přeeseo bez závad q s s pr s... užiečý provozí čas jakos přeosu evybočí z předem zadaých mezí pr... celkový provozí čas p s q s... pravd. arušeí sděleí Poměr sigálu k šumu S SNR N ( ) P Pš Odsup šumu od sigálu Šumové číslo F r 0log ( SNR) x Sx/ Nx ( SNR) Sy/ Ny y P Pš Průměré zesíleí výkou A S S y x F N y AkTB e
Výsledé šumové číslo při sériovém spojeí dvou přeosových sousav F F + F A Výsledé šumové číslo při sériovém spojeí více přeosových sousav F F F + A F3 + AA F4 AAA + + 3... Ekvivaleí eploa šumu přeosové sousavy T s - eploa fikivího zdroje šumu a vsupu přeosové sousavy Plaí: F + T T s e
Číslicový (digiálí) sigál koečá řada číslic vyskyujících se v určiých časových okamžicích T časové iervaly (-)T až T... jedokové iervaly Digiálí sigál je věšiou vyjádře pomocí biárích číslic (biů)... 0 a -velký podíl ízkých frekvecí ve spekru číslicového sigálu sigál eí možé přeáše v jeho základím frekvečím pásmu - posu spekra k vyšším frekvecím pomocí modulace
NRZ evracející se k ule - uipolárí - bipolárí RZ vracející se k ule Pseudoerárí sigály mají ři úrově - sequece polariy corol - ime polariy corol Difereciálí sigál
-číslicové sigály jsou odolé vůči šumům - přeos prosředicvím číslicových kaálů Volba varu biárího číslicového sigálu - ideálí obdélíkový impulz kosaí doby rváí, vzdáleos mezi impulzy T - spekrum je ekoečě široké - průběh ypu (si x)/x, x π/t - Fourierovo spekrum obdélíkové, v rozsahu B T /(T) - NEVÝHODY: - sigál elze geerova - zv. mezisymbolová ierferece kompromis: lichá symerie spekra vzhledem k bodu f B T
Defiováí prahové hodoy pro saoveí hodo 0 a Předp. - sacioárí gaussovský šum o ulové sředí hodoě, popsá prom. v - bipolárí číslicový sigál ypu NRZ, hodoy A, A chyba deekce P 0 P(y < 0), přiom byla vysláa hodoa P 0 A erfc σv π P 0 P 0 - plaos i pro jié reprezeace biárích číslicových sigálů - předpoklad sacioárího gaussovského šumu je příliš silý
Auokorelačí fukce ( ) 0 τ > T, R τ xx τ τ, R T xx ( ) τ A T Spekrálí husoa výkou ( f ) S xx si π AT π Tf ( Tf ) - velký podíl malých frekvecí ve spekru
Skládá se: kodér, moduláor, číslicový přeosový kaál, demoduláor, obovovací zařízeí, dekodér Chybovos číslicového kaálu se elimiuje kódováím (užií kodéru a dekodéru) - přidáí adbyečých biů - po přeosu je sigál zkresle a obsahuje šum obovovací zařízeí, dekodér maemaický model: chybová posloupos A... odeslaá posloupos B... přijaá posloupos B A E... operace eekvivalece Saoveí přeosem esovací poslouposi
. Čeos chyb - může kolísa s časem - shlukováí. Disribučí fukce čeosi chyb - odhaluje příomos shluků 3. Disribučí fukce bezchybých iervalů 4. Koeficie shlukováí 5. Disribučí fukce shluků chyb 6. Sředí asymerie chyb