Pokroky matematiky, fyziky a astroomie Karel Bláha; Josef Machek Lieárí programováí Pokroky matematiky, fyziky a astroomie, Vol. 5 (1960), No. 1, 28--41 Persistet URL: http://dml.cz/dmlcz/137074 Terms of use: Jedota českých matematiků a fyziků, 1960 Istitute of Mathematics of the Academy of Scieces of the Czech Republic provides access to digitized documets strictly for persoal use. Each copy of ay part of this documet must cotai these Terms of use. This paper has bee digitized, optimized for electroic delivery ad stamped with digital sigature withi the project DML-CZ: The Czech Digital Mathematics Library http://project.dml.cz
LINEÁRNÍ PROGRAMOVÁNÍ KAREL BLÁHA, Výzk. ústav tech. ekoomický chemického průmyslu, JOSEF MACHEK, matematicko-fysikálí fakulta KU Praha Teto čláek má 2 části; v prvé z ich je stručě vyložea ejdůležitější metoda lieárího programováí a v druhé je předvedeo její užití a ěkolika příkladech, skutečě řešeých v praxi (převzatých z praxe VÚTE CHP). 1.1 Úvod Lieárím programováím se rozumí řešeí úlohy maximalisace ebo miimalisace lieárí fukce proměých za vedlejších podmíek, vyjádřeých, soustavou m(m <) lieárích rovic a požadavkem, aby řešeí bylo ezáporé. Problém lieárího programováí tedy je: z ekoečého možství možých řešeí systému m lieárích rovic o ezámých (m < ) vyhledat to řešeí (resp. ta řešeí, je-li jich více), které má všechy složky ezáporé, #i ž 0, i = 1, 2,...,, a při kterém lieárí fukce -proměých,.f(x l9... > x ) = 2 x fii> abývá podle povahy úlohy buď své maximálí ebo miimál- 1=1 í hodoty a možiě všech ezáporých řešeí. Takové úlohy se vyskytují při řešeí mohých ekoomických a techologických otázek, jestliže jde o alezeí optimálí variaty z moha možých variat. V druhé části práce se sezámíme a příklad s úlohou, spočívající v alezeí takového výrobího programu pro podélou řezačku papíreského stroje r který kromě toho, že plí pláovaé požadavky odběratelů, zaručuje též miimálí techologicky utý odpad. Budeme se také zabývat otázkou alezeí ejlevějšího schématu rozvozu ějakého produktu z m zdrojů s omezeou kapacitou do míst určeí. K osvětleí možostí použití lieárího programováí k alezeí optimálího techologického postupu použijeme příkladu z výroby umělých vláke, kde budeme maximalisovat pevost za platosti určitých omezujících techologických podmíek. V takových a podobých úlohách, zahrujících volbu optimálího výrobího pláu, optimálího sortimetu, tvořeí ejlaciějších směsí při splěí specifikovaých požadavků, optimálí rozmístěí pracovích sil apod. je metoda lieárího programováí velmi vhodým ástrojem. Všechy tyto úlohy,, pokud ejsou rozsáhlé, lze řešit pouhou logickou úvahou. Metoda lieárího programováí je však velmi prospěšá v těch případech, kdy variat, jež je třeba posoudit, je velké možství, takže optimálí variatu elze pouhou úvahou alézt. Metoda umožňuje soustavé vyšetřeí všech možostí, které mohou přiést zlepšeí a zjištěí, zda alezeé řešeí je optimálí. V posledích ěkolika málo letech věují střediska průmyslového výzkumu v ČSR metodám lieárího programováí velkou pozorost a v ěkterých se již zdařily velmi efektiví aplikace. Z vlastí zkušeosti můžeme ř.ci, že aplikace a alezeí ejlevějš ho schématu rozvozu (dopraví problém) přiesly již statisícové a mohou přiést milioové částky úspor a i ostatí aplikace, které jsme prováděli, se ukázaly efektiví. Pro teto praktický výzam lieárího programováí a také pro zajímavost jeho metody, využívající teorie vektorových prostorů, předkládáme teto čláek. V ásledujících oddílech 1.2 a 1.3 je krátce vylože teoretický základ dosud 28
ejobecější metody lieárího programováí, tzv. simplexové metody, a její úprava pro jede zvláští případ, tzv. dopraví problém. Protože tato část je je přípravou pro část II, jedající o aplikacích, eí teorie úplá. Výklad je založe hlavě a [1]. Nerozebírá se také vztah lieárího programováí k jiým oborům (apř. k teorii her). V části II jsou metody, vyložeé v oddílech 1.2 a 1.3, aplikováy a tři úlohy. Jeda z ich je pro teto čláek upravea, aby měla přijatelější rozsah, podstata je však ezměěa. Zařazeí těchto úloh má ěkolikerý výzam: 1. Je a ich předvedeo, jak se a základě praktických požadavků sestavují rovice pro simplexovou metodu, jak se převádějí erovosti a rovice apod.; 2. úlohy dávají představu o povaze problémů, jež lze simplexovou metodou řešit, -a ilustrují výzam lieárího programováí; 3. výpočetí techiku simplexové metody je třeba přizpůsobit prostředkům, jež jsou dostupé v uvedeých úlohách je předvedea i orgaisace výpočtů. 1.2 Simplexová metoda lieárího programováí Je dáa soustava m lieárích rovic o ezámých x l9 x 29..., x 9 (m < ): <1)?,*&, = *>i, * = 1,2,...,. Dále je dáa lieárí fukce f(x lm x 29... 9 x a ) <2) /(*!,«!, -,*.«) = 2 C i*i proměých Soustava (1) má samozřejmě ekoečě moho řešeí. Úloha lieárího programováí zí: ajít řešeí x x... 9 x soustavy (1), pro které fukce f(x l9... 9 x a ) abývá svého maxima (resp.miima, podle povahy problému) vzhledem k možiě všech ezáporých řešeí, a které má vlastost x l = 0, i = 1, 2,...,. Řešeí, pro které by ěkteré x L bylo záporé, emá totiž pro úlohy řešeé metodami lieárího programováí smyslu; x { mají výzam možství, rozsahu čiosti apod. Dále budeme mluvit je o úloze maximalisace; bude-li úkolem miimalisovat /(#.... 9 x ) 9 budeme uvažovat fukci f(x 19... 9 x ) a tím převedeme úlohu a úlohu maximalisace. B Jako vždy při práci s lieárími rovicemi, bude i zde výhodé užít maticového začeí. Bjdeme začit sloupcové matice (tj. skupiy reálých čísel, uspořádaých do sloupce) tučými písmey malé latiské abecedy, jejich prvky odpovídajícími ormálími písmey. Sloupce koeficietů soustavy (1) ozačíme tedy a l9..., o, r 6, sloupec proměých x l9... 9 x ozačíme písmeem x. Počet prvků ve sloupci vyzačovat ebudeme; slupce a i9 b mají vždy m prvků, sloupec x má prvků. 29
Násobeí sloupce číslem zameá jako vždy ásobeí všech prvků, součet ěkolika sloupců je sloupec, jehož prvky jsou prvky odpovídajících sloupců, tedy 2 X І a u 2 X І І = 11 2 X І «2І 11 2 i = l Rovost dvou sloupců zameá rovost všech odpovídajících prvků, tj. a = b- tehdy a je tehdy, když a i = b {, i == 1, 2,...,m. V tomto začeí zapíšeme soustavu (1) takto: (V) 5>i«. = b - Jak jsme řekli, mají pro problém lieárího programováí výzam je řešeí x s ezáporými prvky, x x ^ 0. Taková řešeí azveme přípustá. Simplexová metoda lieárího programováí využívá těchto vlastostí možiy přípustých řešeí: Vlastost 1: Jsou-li x (l), x (2),..., x (k) přípustá řešeí soustavy (V), a y 19...,yk čísla, splňující podmíky S^.= 1, 0 ^ y if i = 1, 2,..., k, pak k x = 2 Yi * (i) J e také přípusté řešeí soustavy (1'). Vlastost 1 je zřejmá, eboť X І a m i 2 (2 YÍ *») «, = 2 (2 *í j) "i) = 2 y," =" i=i \j = i / j=i \j=i / j = i (a^, i =- 1, 2,..., jsou prvky řešeí x ( J ) ). Pro jedodušší vyjadřováí v celém dalším textu defiujeme yí základí řešeí: přípusté řešeí (soustavy (1')) azveme základím, jestliže systém sloupců, jimž odpovídají kladé prvky řešeí x, {a^. x { > 0}*) je lieárě ezávislý, tj. eexistují čísla <x i9 z ichž aspoň jedo by bylo růzé od uly s vlastostí 2#i i == 0«Základí řešeí mají mezi přípustými řešeími zvlášti:x!>0 í postaveí, vyjádřeé dalšími vlastostmi možiy přípustých řešeí. Vlastost 2: Je-li x základím řešeím soustavy (1'), elze je vyjádřit jako lieárí kombiaci růzých přípustých řešeí x (l),..., X ( P* s kladými koep^ ficiety y i9 2 ^ = 1. Vlastost 2 plye z jedozačosti vyjádřeí vektoru i = l pomocí prvků base vektorového prostoru (viz a př. [2]). Předpokládejme totiž, p že existují přípustá řešeí x (l),..., X ( P ), 2 y x x(i) = x > kde y x jsou kladá čísla, *) SloŽ3é závorky {tjj...} ozačují možiu, jejímiž prvky jsou sloupce o^ splňující podmíku, ozačeou za dvojtečkou, v ašam případě tedy možiu sloupců, jimž odpovídají kladé prvky řešeí. 30
p splňující podmíku 2 7i = 1- Protože všecha y x > 0 a všecha a;^ ^ 0 (a^ je i-tý prvek x^), musí být x& = 0 pro všecha i, pro která ^ = O (ajj je i-tý prvek x). Protože x (l >,..., X ( P* jsou přípustá řešeí, musí pro všecha j = 1,2,..., p tedy platit 2 *?*«.= -»; i:xi>0 vzhledem k jedozačosti vyjádřeí b pomocí lieárě ezávislých sloupců musí být x^ = x^ =... = x^ = x x pro všecha i, čili x^ = x pro všecha / p Vlastost 3: Každé přípusté řešeí x lze vyjádřit ve tvaru x = T y. xw, kde, j=i xw,..., X ( P } jsou základí řešeí, y j>0, /= 1,2,..., j>, 2/j= 1. Vlastost 3 plye ze skutečosti, že pro každé přípusté řešeí x, které eí základí, je systém {a x : x x > 0} lieárě závislý. Ozačme možiu idexů i r kterým odpovídají kladé prvky řešeí x, symbolem 7, tedy I = {i : x x > 0}. Je-li x přípusté, ale ikoli základí řešeí, existují kostaty y x, i e I, takové,. že 2 7i a i = 0- P r o libovolé t tedy platí rovice lei to jest a právě tak rovice 2 Ж І І UI 2(*І UІ 2(4 WI + * 2 УІ І ІCІ Ozačíme-li x (l ' řešeí, které má prvky x\^ = 0 pro i i / a ÍC} 1 * = ^ -f řy^ pro i I, a x* 2 * řešeí s prvky #} 2) = 0 pro i i / a #í 3 ) = ^ tyj pro i e I, pak x = \ x (l) -f x (2). Protože x h > 0 pro i e i, lze zvolit ř tak malé, aby všecha x x i í/i byla ezáporá, čili x (l * i x' 2 * přípustá řešeí. Zvolíme-li t tak, aby mi (x x ty x ) = 0, tj. aby alespoň při jedom i e I bylo x x ty x = 0, pak je x vyjádřeo jako lieárí kombiace dvou přípustých řešeí, z ichž aspoň jedo má aspoň o jedu kladou složku méě. Obě tato řešeí můžeme stejě rozkládat dále, až postupým sižováím počtu kladých prvků v řešeích dostaeme samá řešeí, jejichž kladé prvky budou odpovídat avzájem lieárě ezávislým sloupcům a x. V ejhorším případě to bude tekrát, až. každé řešeí bude obsahovat jediý kladý prvek. Vlastost 4: fukce f(x) = ^ CÍ#Í abývá a možiě přípustých řešeí soustavy (V) svého maxima v ěkterém (ebo v ěkterých, je-li jich více) ze základích řešeí; jestliže abývá téže maximálí hodoty pro ěkolik základ- P = ь, + tyò o, = ь, - tуi) O; = b. 31
ich řešeí, pak abývá téže hodoty a možiě všech lieárích kombiací těchto základích řešeí s ezáporými koeficiety s jedotkovým součtem. Prví tvrzeí vyplye z této úvahy: předpokládejme, že / abývá v bodě x, který eí základím řešeím, hodoty A, větší ež je hodota / pro všecha základí řešeí x (l),..., xw. Protože x eí základí řešeí, lze je podle vlastosti 3 vyjádřit ve tvaru x = 2 Y\ * (j) > J-i * p kde xw jsou základí řešeí, y- ezáporá čísla, 2?j = -- /(*) = 2Ci *i = I *i (2 y, *?>) = 2 Y\ (2 q 4 ) < 4 2 yj = /(*), 1=1 j=l j=l 1=1 j=l takže předpoklad f(x) > /(x^) pro všecha základí řešeí x^ přivedl k emožému důsledku f(x) < /(x). Druhé tvrzeí se ověří jedoduše: echť / má pro základí řešeí x (l),..., x (k) stejou hodotu A, echť y 19...,y p jsou ezáporá čísla, jejichž součet je rove 1. Ozačme x = 2y; xw. J j=i /(*) = / (2 y, * (j) ) - I c (2 y^) = 2 y, 2 <r *#> = 2 yj /(xw) = 4. j = l j = l j = l j = l Vlastost 4 má pro řešeí problému lieárího programováí základí výzam. Plye z í, že k alezeí řešeí x, maximalisujícího /, stačí vyšetřit všecha základí řešeí, kterých je koečý počet (tolik, kolik lieárě ezávislých systémů lze sestavit z vektorů a l9...,oj a vyhledat ta základí řešeí, při ichž / je maximálí. Všecha řešeí, maximalisující / budeme jim říkat optimálí řešeí dostaeme pak jako lieárí kombiace základích optimálích řešeí. A pro rozhodutí, zda daé základí řešeí je optimálí, či ikoli, existuje kriterium, které alezl Lehmke (viz [1]). Toto kriterium zí: Budiž x základí řešeí soustavy (1'). Jestliže v x je právě m kladých (eulových) prvků x i9 pak systém {a { : x { > 0} je basí prostoru sloupců s m prvky. Jestliže v x je méě ež m, řekěme p kladých prvků x i9 doplíme systém {a { : x x > 0} m p dalšími sloupci a i tak, abychom dostali basi. Ozačme tuto basi 21, možiu idexů jejích prvků /, I = {i : a { e 21}. Souřadice vektoru Oj v basi 21 ozačme f-j,..., f m j, tedy Jestliže yí: (a) lei q 2 C A\ ^ 0 pro všecha j = 1,2,...,, pak řešeí x je optimálí (tj. U1, f abývá v x své maximálí hodoty); 32
(b) mezi 1,2,..., existuje k tak, že ^k Z, Cjf ik > O a při tom ik ^ O pro všecha i I, pak / je a možiě iel všech přípustých řešeí eohraičeá shora (tj. může abývat libovolě vysokých hodot k libovolému M existuje přípusté řešeí x M soustavy (V) takové, že f(x M ) > M); (c) mezi 1, 2,..., existuje k tak, že c k 2 c rfiit > 0 a přitom existuje v I ui aspoň jede idex i k, pro který ik k > 0, pak lze hodotu / zvýšit přechodem od řešeí x (ve kterém bylo x k = 0), k řešeí x* 1 * (ve kterém zvolíme za x k vhodou kladou hodotu), a tím se přiblížit k optimálímu řešeí. K ověřeí platosti tohoto kriteria vypočteme, oě se změí hodota fukce /, když ěkterý z ulových prvků x, řekěme x k, ahradíme kladým číslem t. Protože x je řešeím soustavy (1), je 2^*1 = *> iel (připomeňme, že I = {i : a. e 21}, kde 21 je base prostoru sloupců s m prvky, získaé ze systému {a i :x i > 0} připojeím potřebého počtu sloupců). Přičteím a odečteím ta k (a k i 21) a levé straě se rovost eporuší, takže ta í + J,x i a i ta k = b. iel Vyjádříme yí a k pomocí prvků base 21: tj. iel iel ta L +2(*i- «u) a i = b - iel Odtud plye, že x&> = (4 l},..., zl$) s prvky x^ = x i tij ik pro iel, 4 = t je rověž řešeí soustavy (1). Aby x (l) a x\ x J = 0 pro i II, i 4= k (3) t ^ mi -p-. i: ik>0 fik A hodota / v řešeí x (l) je bylo přípusté řešeí, musí být zřejmě /(x (l> ) = 2 Cj *.-> = c k ř + 2 c, í-í l > = c k ť + 2 (*, - íftt) c, = Ul 1.1 = C k t + 2 55, C. - # 2 fik «1 = /(*) + <(Ck - 2 ik C i), Í«I i«l iel takže přírůstek fukce /při přechodu od xk x (l) (sa: lc = t), tj. při zvětšeí ^zoa t, je t(c k Sř ik Ci) = ř/j k. Je-li A k fg 0 pro všecha & = 1, 2,...,, pak zřejmě elze zvýšit hodotu / vsuutím žádé ové kladé složky do řešeí x. Je-li 33
pro ěkteré k A k > 0, pak lze vsuutím eulové složky x k t hodotu / zvýšit, aby však ové řešeí bylo přípusté, musí být x { č ik ^ 0. Jsou-li všecha ik ^ 0, epředstavuje to žádé omezeí a volbou dost velkých t lze / libovolě zvětšovat, je-li ěkteré f ik > 0, pak je maximálí možé zvětšeí omezeo erovostí (3). Pro miimalisaci fukce f(x) aplikujeme uvedeé kriterium a fukci f(x) 2 ( c i) x i- Dosazeím koeficietů c i a místa c i do erovostí v kriteriu optimálosti, dostáváme tato pravidla pro miimalisaci fukce f(x) (a) Jestliže Cj 2 c i.j = 0 P ro všecha j 1, 2,...,, pak fukce f(x) i«j abývá v x své miimálí hodoty; (b) jestliže existuje takové, k, že c k 2 c i?íl < 0 a při tom ik fg 0 pro ie J všecha i e J, pak /(x) je a možiě všech přípustých řešeí eohraičeá zdola; (c) jestliže existuje k tak, že c k 2 c i fik < 0 a přitom v J existuje alespoň. - j jede idex i k takový, že f ik k > 0, pak lze hodotu / zmešit přechodem od řešeí x k řešeí x (l), ve kterém za x k zvolíme vhodou kladou hodotu. Simplexová metoda spočívá vlastě v opakovaé aplikaci Lehmke-ho kriteria optimálosti řešeí, při čemž se soustavě přechází od jedoho základího řešeí ke druhému jakýmsi iteračím postupem, kočícím v koečém počtu kroků. V každém kroku se aplikuje Lehmke-ho kriterium, dokud eastae situace a) ebo b), tj. dokud kriterium eukáže, že bylo dosažeo optimálího řešeí, ebo že lze dosáhout libovolě vysokých hodot. Simplexovou metodu lze bez komplikací aplikovat je tekrát, když pravá straa rovice (V) tj. sloupec b tvoří s libovolými m 1 sloupci z levé stray lieárě ezávislý systém, tj. jestliže k vyjádřeí sloupce b je třeba e méě ež m růzých sloupců a i# Má-li soustava tuto vlastost, říkáme, že jde o edegeerovaý problém. Předpokládejme tedy, že soustava (1) tuto vlastost má. (Dále bude platost simplexové metody rozšířea i a jié případy, takže v praxi eí třeba ověřovat, zda předpoklad je splě.) Pak každé řešeí, tedy i každé základí řešeí x = (x l9...,x ) musí mít právě m eulových prvků x it Vyjde se od ějakého základího řešeí x< o) (x^{o),..., xw). Všechy sloupce Oj se vyjádří pomocí prvků base 2l (o) = {a. : #j o) > 0}, aj = 2 iť a i> kde J {o) = {i : a. 2í (o) }. Aplikuje se Lehmke-ho kriterium; jestliže iej( ) je zjištěa situace (c) z kriteria optimálosti, čili existuje-li k tak, že c^ 2 c i slít > 0 a ěkteré g[ > 0, pak se přejde k ovému řešeí x (l) = ej( ) = (x^,..., x^) s prvky zw - x^ - č 0!{ 0) pro i e I {0), X\ r d) _ / x k L 0 > (1) 0 pro i є I {0), i Ф k, x^ kde t 0 mi -~-r-. Vhledem k této volbě t 0 jede prvek řešeí #(o) se stae i:^>ořir rovým ule a aopak x k dříve ulový abude hodoty t 0. Idex,,vyřazeého* ť 34
prvku ozačíme r. Jestliže existuje takových k ěkolik, zvolí se kterékoli z ich, je však přirozeé volit to, které dává maximálí c k 2 c \ šlíi=j( ) f Systém 2I (l) = {o 1 : x^ > 0} tvoří opět basi; obsahuje právě m prvků (ebot je přípustým řešeím soustavy (V), která je edegeerovaá) a je lieárě ezávislý. Kdyby totiž ebyl lieárě ezávislý, bylo by možo zapsat sloupec o k (te, který je ový v basi) jako lieárí kombiaci ostatích sloupců o- z 21* 1 *, OK = 2,?i i > ieje>i=#k) kde aspoň jede koeficiet y x 4= 0, I& = {i : a x e 2í^1) ). Avšak odečteím tohoto vyjádřeí od vyjádřeí o k v basi 2K o) dostaeme 2 fik «i 2 7i i = 2 «i(fik - 7i) + <- r f rk = o, iej" i f J( 1 ),i4=k iejc-),i=i=r kde O začí sloupec m ul. Protože však 2I( o) je lieárě ezávislý systém, ply-. ulo by odtud, že všechy koeficiety v tomto vyjádřeí ulového vektoru jsou rovy 0, což eí možé, eboť rk je kladé číslo (podle volby r). A protože systém 2l( 1) je basí, je možo opakovat s řešeím xw týž postup. Souřadice f& *pro vyjádřeí prvku a } v ové basi 2I Í1Í J jež potřebujeme k aplikaci kriteria optimálosti, jsou dáy podle pravidel o změě base výrazy (0) t<0) (4) ^ =,#>_ f fc>í±- pro i + k, ť.v-=-g -, a lze je tedy jedoduše vypočítat ze souřadic prvku Oj ve staré basi. Výpočet se upravuje schematicky do tabulky, jak bude předvedeo v příkladech části II této práce. Jesthže problém je degeerovaý, čili, jestliže sloupec b tvoří s ěkterými m 1 sloupci Oj lieárě závislý systém, může se stát, že po ěkterém řekěme p-tém kroku etvoří systém 2I ( P ) = {o- : x& > 0} basi, čili podíl (p -r i - l) /fíl!" l) abývá téže miimálí hodoty pro více ež jedu hodotu i. Chares v [3] dokázal, že i pro degeerovaé problémy vede simplexová metoda k cíli, doplí-li se pravidlem (jež uvedeme bez důkazů jeho platosti): Jestliže #} p) = 0 pro ěkolik idexů i < /(P~ I), vyřadí se z base 21(P _1) prvek o r s idexem r = mi j ; : ii = mi J -i, l e K?-^, a,{p> = 0.1} Tímto pravidlem je vyřeše problém degeerace. Zbývá ještě otázka, jak ajít výchozí základí řešeí x* o) a jak staovit souřadice šlf dále už se pokračuje mechaicky podle výrazů (4). Staoveí výchozího řešeí by vyžadovalo vyhledáí m lieárě ezávislých sloupců o., řešeí soustavy lieárích rovic, a určeí souřadic.j řešeím dalších soustav lieárích rovic. Těmto pracým výkoům lze 'éé vyhout 35
vhodým rozšířeím soustavy (1) a úpravou fukce /(x). Soustava (1) se ahradí soustavou (5) 2*i i +2* + j «j = *>, j = l m kde ej jsou jedotkové vektory sloupce s m 1 ulami a jedičkou a?-tém místě: Výchozím základím řešeím soustavy (5) je pak zřejmě Souřadice f^ jsou ij?* = a^. #(0) = o pro i = 1, 2,...,, 0 # + l U l > 4 Í2 ^ ^2, atd.,a í m = & m. Avšak x a+ly... # +m jsou pomocé proměé, které ovšem esmějí v koečém řešeí mít kladou hodotu, eboť emají praktického smyslu. Aby určité v průběhu řešeí proměé x +] abyly ulových hodot, upravíme fukci /(x) a x)=2^1+2(-^)^ + j, j = l kde za M zvolíme velmi ízkou hodotu, apř. (10 7 ) (epracuje se však s číselou hodotou, ale se symbolem). Pak určitě jakékoli řešeí, obsahující ěkterou z pomocých proměých, bude mít daleko do optimálího. Vlastost 5: v jedom z příkladů části II bude příležitost výhodě užít ásledující vlastosti, jež aopak umožňuje redukci soustavy sížeí počtu proměých: 4 s Fukce f(x L,..., x a + s ) = 2 C Í#Í abývá a možiě přípustých řešeí sou stavy («) 2 *i <*i + 2 * +j "+j = *> J=l maxima při stejém x, jako a možiě přípustých řešeí soustavy (7) 2 *i «i = b, + j,... ^. 1 І=l І = l jestliže každé o +j = 2 r (j) a i a c + j < 2 7i j) <V 36 s m
Tato skutečost je téměř zřejmá: budiž x jakékoli optimálí řešeí soustavy (7), 21 jemu odpovídající base prostoru sloupců s m prvky, / = {i : a. c 21}, íij souřadice prvku a v basi 21. Pro jakékoli j > je ^ - 2 VÍ = Cj - 2 (2 rí^i) *, = <? - 2 r! j) 2 crf u. iej iej 1=1 1=1 icj Pro jakékoli l = je však 2Í<J C..I = c i > eboť ^u jsou souřadice vektoru a, v basi 21, odpovídající optimálímu řešeí, takže c, 2Í*J c^ = 0 pro všecha l. Tudíž Cj - 2 yí j) 2 ^ fi! = Cj - 2 ríj) <>, < o. 1=1 iej 1=1 Posledí erovost plye z předpokladu C: < 2 7Í Í)C Í- Podle kriteria optimality tedy vsuutím složky xj s ý > s eulovou hodotou do řešeí lze hodotu / je zmešit; v koečém řešeí budou mít kladou hodotu je ^ 8 i ^. Proměé, jimž odpovídají sloupce koeficietů, rové lieárím kombiacím jiých sloupců a ve fukci / koeficiety meší ež příslušá lieárí kombiace koeficietů, lze tedy vypustit od počátku z řešeé soustavy. 1.3 Dopraví problém Jedou z ejstarších úloh lieárího programováí je tzv. dopraví problém. Tato úloha se také stále často vyskytuje v aplikacích. Jede praktický umerický příklad řešeí dopravího problému je uvede v části II. Pro řešeí dopravího problému lze simplexovou metodu upravit a zvlášť jedoduchý postup. Příklad v části II bude tímto postupem řeše. V tomto oddíle bude je provedea úprava simplexové metody pro řešeí dopravího problému, v podstatě způsobem avržeým v [4]. V dopravím problému bude výhodé začit proměé dvěma idexy,,/, i =-= 1,...,m,j= 1,...,. Dopraví problém spočívá v miimalisaci fukce (8) /(x) = f(x,..., x m ) = 2 2 ^ * 5i Í=I j=i a možiě ezáporých řešeí soustavy m (9) 2*.j = V v j = V 2,...,, m 2#ÍJ = qi, i = 1, 2,...,m, kde PÍ a q } jsou daá čísla, splňující podmíku (io) I PJ = 2 ÍÍ. j=i i=i Praktický smysl dopravího problému je teto: čísla q {, i = 1, 2,...,m představují kapacity m zdrojů určitého produktu, čísla *p } spotřebu tohoto pro- m 37
duktu v místech. Číslo x {] začí možství, jímž přispívá i-tý zdroj ke krytí spotřeby jvtého místa spotřeby, a které tedy bude dopravováo z místa i do místa j. Předpokládá se při zde uvedeé jedtioduché variatě dopravího problému že zdroje jsou schopy právě krýt spotřebu, že možství vyrobeé za jedotku času je v tomtéž čase spotřebováo, čísla c^ představují áklady a dopravu jedotky možství produktu ze zdroje i do místa spotřeby j. Řešit dopraví problém zameá tedy staovit optimálí schéma rozvozu, schéma, miímalisující celkové dopraví áklady. Zdálivě je to jedoduchá úloha, avišak při větším počtu' zdrojů i míst spotřeby je bez užití metody lieárího programováí prakticky eřešitelé. Vzhledem k podmí,ce (10) je v soustavě (9) jeda rovice přebytečá a lze ji vyechat. Řekěme, že vyecháme posledí rovici 2 x mj = # m - Matice koeficietů této soustavy má zvláští tvar: x x 12. x m x 2í x 22. #2 x m-l,l x m-l.2> - x m-i, ^ml æ m2 * x m pгavá stгaa 1 0... 0 1 0... 0 1 0... 0 1 0... 0 Pi 0 1 0... 0 0 1 0.. 0 0 1 0... 0 0 1 0... 0 Pг 00... 0 1 0 0 1 0... 0 1 0 0 1 Pш 11.... 1 0..... 0 0 11.... 1.. 1 0..... 0 0..... 0 1 1.... 1 Яm-l Nevyplěá místa zaujímají uly. Z tabulky koeficietů je ihed vidět, že sloupec koeficietů při proměé x^ je slože ze dvou jedotkových vektorů, pod sebe apsaých, jedoho w-rozměrého a jedoho m-1 rozměrého: Ü ^ e (m) J pro j = 1, 2,...,, i = 1, 2,..., m a k mj pro j 1, 2,, kde ej ) je sloupec s prvky s 1 a ý-tém místě a s ulami a všech ostatích, e[ m) je sloupec s m-1 prvky, s 1 a i-tém místě a s ulami a všech ostatích, 0( m) je sloupec m-1 ul. Soustava (9) v tomto začeí je m / p() \ i=u=i,(m) 38
Předpokládejme yí, že problém je edegeerovaý, tj. že pravou strau rovice (11) elze zapsat jako lieárí kombiaci mešího počtu sloupců k^ ež w + 1, což je počet lieárě ezávislých rovic (pravou strau elze lieárě vyjádřit meším počtem sloupců k xj ež m + 1), takže každé základí řešeí rovice (9) má právě m + 1 kladých prvků x {}. Vyjdeme od jakéhokoli základího řešeí x( o) = {x^},..., x^}. Systém K( o) = {k.j : x^ > 0} tvoří basi; ozačme I(o) = {i : Kij e K(0) }. Vzhledem k povaze sloupců k^ musí se každé i ^ ra vyskytovat ve spojeí s ěkterými j jako prví idex u ěkterého prvku base K( 0) a každé j f ve spojeí s ěkterými i jako druhý idex ěkterého prvku base K( o). Jiými slovy: ke každému i existuje j takové, že fc.j e K (o) a ke každému j existuje i tak, že kjj e K (o). Kdyby totiž tomu tak ebylo a apř. i = 1 by se evyskytovalo jako prví idex u ěkterého prvku systému K (o), byl by systém K< 0) slože ze samých sloupců s ulami a prvím místě a emohl by tedy být basí, eboť žádý sloupec s prvím prvkem eulovým by emohl být vyjádře pomocí sloupců systému K^ \ Najdeme yí vyjádřeí libovolého sloupce k^ pomocí sloupců z K( o). Ve sloupci kjj musí být a j-tém a ( + i)-tém místě 1, jiak uly. V K( 0) určitě je sloupec s prvím idexem i, řekěme k Ui a sloupec s druhým idexem j, řekěme k hj. Součtem těchto dvou sloupců vzike sloupec k Hi + k hj, který má 1 a místě j-tém, Z 1 -tém, ( + A-_)-tém a ( + i)-tém. Abychom dostali k-, musíme odečíst sloupec s 1 a l^-tém a ( + A^-tém místě, tj. k hli. Je-li k hli e z K( 0), je tím vyjádřeí hotovo: ^j = K\ x + ^hij ~~~ K^ Jestliže k hili eí prvkem K( 0), pak určitě jsou v K( 0) v K( ) i k hi l je vyjádřeí ^j == K ÍL + k hl j k hiu k hjli + k hzh. prvky k hih, k hli ; jestliže je Jestliže k hilj eí v K( ), opakuje se postup. Vyjádřeí může užít ejvýše m + 1 prvků. Z těchto vyjádřeí je vidět, že souřadice fp* sloupců k.j v libovolé basi, sestaveé z k.j, jsou rovy je 1, ebo 0, ebo +1. Dosadíme-li tyto souřadí " ice do kriteria pro miimalisaci fukce f(x,..., x m ) = 2 2 c u x iv dostaeme: i=u = l Jestliže prvek xi9 } v řešeí x( ) má hodotu 0, pak zameím, že hodotu /(x( )) lze sížit přiřazeím kladé hodoty prvku x$ je splěí ásledujících erovostí: v případě, že k^ je vyjádře pomocí tří sloupců, k Ui, k hj, k hih i 12 c ) ij ~ c Hl + c hili - c hij < 0 v případě, že k- je vyjádře pomocí pěti sloupců < 13 ) c ii - C ÍL + c h 2 u - c h 2 i 2 + c hl, 2 - c hij < 0, atd. Jestliže všem ulovým prvkům v x* ) odpovídají ezáporé rozdíly typu (12), (13), atd., pak řešeí x( ) již je optimálí (tj. miimalisuje f(x)). 39
O tom, zda daé řešeí je optimálí, či e, se tedy rozhoduje podle výrazů typu (12), (13), atd. Je žádoucí mít ějaké pravidlo pro tvořeí takových rozdílů. A v případě edegeerovaého dopravího problému je toto pravidlo zcela jedoduché. Výchozí řešeí se sestaví do tabulky, jejíž řádky (v počtu m) odpovídají zdrojům, sloupce (v počtu ) místům spotřeby. Na průsečíku i-tého řádku a j-tého sloupce stojí x{^ velikost dodávky ze zdroje i do místa j ve výchozím řešeí. Ve stejé tabulce se vyzačí dopraví áklady c^ cea dopravy jedotkového možství z místa i do místa j. V této tabulce se ějak ozačí pole (i, j), a ichž v tab. řešeí stojí kladé číslo. A připomeeme si: stojí-li a poli (i, j) kladé číslo, sloupec k i3 je v basi K( ). Dále: pole (i, j) a (i, l x ) jsou v tomtéž řádku, (i, j) a (\, j) v tomtéž sloupci tabulky, zrova tak (h^,j) a (h l9 l x ), atd. Odtud plye: sloupec k^ je vyjádře pomocí tří sloupců k hi], k h]1 i, k ih, jestliže a odpovídajících polích stojí kladé prvky, jestliže lze z pole (i, j), obsazeé ulou, obejít obdélík, jehož vrcholy jsou pole (i, l x ), (h x, j), (h^), obsazeá kladými čísly 8l.j řádek i x^ = 0 sl.l, *u. > řádek h x *ҺJ > -V. > Neexistuje-li takový obdélík, je uto hledat složitější cestu s kladými čísly a:^ ve vrcholech, apř.: x = 0 «ЫІ > 0 *п. > o I *ьл > 0 П2*2 ^l-i-a >o A pro kriterium optimálosti se berou hodoty dopravích ákladů c^ z vrcholů takové cesty se střídavými zaméky. Teto způsob řešeí alezl jako prví Nožička [5], avšak zcela jiou cestou, geometricky, bez užití simplexové metody. Kde se dopraví problém řeší často, zejméa kde se vyskytují problémy s velkým počtem zdrojů a míst spotřeby, je výhodé postup ještě více zmechaisovat. V příkladě dopravího problému v ásledující části bude popsáa výpočetí techika pro uvedeý postup, které se užívá ve VÚTE CHP. Když je problém degeerovaý, může se stát, že po ěkterém kroku bude mít řešeí méě ež m + 1 kladých složek, to zameá, že systém sloupců kjj, jimž odpovídají kladé složky, již eí basí (m + 1) rozměrého prostoru. V takovém případě by ebylo možo utvořit potřebá kriteria typu (12) ebo (13) ěkterá pole tabulky řešeí by ebylo možo spojit v právoúhelíkový obrazec s poli, obsazeými kladými čísly. V takových případech 40
lze postupovat růzými způsoby. Jede z ich spočívá v tom, že se systém sloupců k,j, jimž odpovídají kladé prvky řešeí x^, doplí ěkterými dalšími sloupci tak, aby výsledý systém tvořil basi (m ~\~ \) rozměréhoprostoru. Prakticky to zameá: v tabulce řešeí se vyzačí potřebá pole, obsazeá ulami, jichž lze užít jako vrcholů v uvedeých cestách. To zameá, že čísel Cjj, jim odpovídajících, lze užít v kriteriích typu (12), (13). Jedo pravidlo pro vyhledáí polí, kterými lze systém doplit, uvádí apř. Habr v [6]. Výchozí řešeí x< ), které se pak postupě zlepšuje, se může vyhledat apř. tzv. idexovou metodou, která bude rověž popsáa v části II. Literatura (Citovaá díla jsou uvedea v tom pořadí, v jakém se vyskytují v čláku.) (Dokočeí.) [1] A. Chares, W. Cooper, A. Hederso, A Itroductio to Liear Programmig, New York 1953. [2] I. M. Gelfad, Lieárí algebra, Praha 1953. [3] A. Chares, Optimality ad Degeeracy i Liear Programmig, Ecoometrica 20 (1952). [4] J. Mac hek, A Notě o the Solutio of the Trasportatio Problém by the Simplex Method y Časopis pro pěstováí matematiky. [5] F. Nožička, O jedom miimálím problému v theorii lieárího programováí, Aplikace matematiky, 1957. [6] J. Habr, Lieárí programováí, Praha 1959. AFINITY V TŘÍROZMĚRNÉM AFINNÍM PROSTORU DALIBOR KLUCKÝ, VŠP Praha 1. Vektorový a afií prostor Moderí aalytická geometrie lieárích útvarů si vytvořila, mohutý aparát ve vektorové algebře, který umožňuje defiovat a vyšetřovat vlastosti těchto útvarů ezávisle a volbě soustavy souřadic. Dokladem toho }e apř. kiha akademika E. Čecha:,,Základy aalytické geometrie*', zejméa její 1. díl, kde jsou pomocí vektorové algebry defiováy eje základí pojmy afií geometrie (jako pojem rovoběžosti, uspořádaí, afiího zobrazeí a podobě), ýbrž i pojmy geometrie metrické (kolmost, velikost úhlu, goiometrické fukce atd.) 1 ) Teto čláek má být ukázkou, jak lze podroběji studovat vlastosti afiího zobrazeí v třírozměrém afiím prostoru metodou vektorové algebry. V rámci tohoto čláku použijeme všech vlastostí vektorového a afiího prostoru potřebých k sledováí dalšího textu. Jde však o vlastosti zámé jistě každému čteáři, který se zajímá o moderí aalytickou geometrii případě o algebru. Poučeí o vektorovém prostoru ajde čteář apř. v již 1951. zmíěé kize akademika Čecha,,Základy aalytické geometrie'', dále ve kihách Gelfad:,,Lieárí algebra" 2 ) (užívá místo ázvu,,vektorový prox ) Eduard Čech, Základy aalytické geometrie I; vyd. Přírodovědecké akladatelství, Praha 2 ) I. M. Gelfad, Lieárí algebra, přeložil RNDr. Miroslav Fiedler; vyd. Nakladatelství ČSAV, Praha 1953. 41