.cvičení 0..009 Teorie Definice. Necht f je reálná funkce a a R. Jestliže eistuje lim h 0 f(a + h) f(a), h pak tuto limitu nazýváme derivací funkce f v bodě a. Značíme f f(a + h) f(a) (a) := lim. h 0 h Věta (Aritmetika derivací). Necht a R a necht f a g jsou funkce definované na nějakém okolí bodu a. Necht eistují f (a) R a g (a) R. (a) Platí (f ± g) (a) = f (a) ± g (a), (b) Je-li alespoň jedna z funkcí f, g spojitá v bodě a, pak (fg) (a) = f (a)g(a) + f(a)g (a), (c) Je-li funkce g spojitá v bodě a a navíc g(a) 0, pak ( ) f (a) = f (a)g(a) f(a)g (a), g g(a) vždy je-li výraz na pravé straně definován. Věta 3 (O derivaci složené funkce). Necht f má derivaci v bodě y 0 R, g má derivaci v bodě 0 R, y 0 = g( 0 ) a g je v bodě 0 spojitá. Potom je-li výraz na pravé straně definován. (f g) ( 0 ) = f (y 0 )g ( 0 ) = f (g( 0 ))g ( 0 ), Věta 4 (O derivaci inverzní funkce). Necht f je spojitá a ryze monotónní v intervalu I a necht a je vnitřním bodem I. Označme b := f(a). Potom (a) je-li f (a) R \ {0}, pak (f ) (b) = f (a) ; (b) je-li f (a) = 0 a f je rostoucí (respektive klesající), pak (f ) (b) = (respektive (f ) (b) = ).
Derivace: ( n ) = n n (sin ) = cos (cos ) = sin (tan) = cos (cot ) = sin Příklady (arcsin) = (arccos) = (arctan) = + (arcctg) = (e ) = e + (ln) = (sinh ) = cosh (cosh) = sinh (tanh) = cosh (coth) = sinh a b = e bln a Spočtěte derivace následujících funkcí f(). + + 3 Řešení: Použijeme aritmetiku derivací (AD) a poučku: n = n n, tedy ( + + 3 ) AD = + + 3 3 = + + 3 3 Nezapomeneme na podmínky: > 0 (kvůli druhé odmocnině a jmenovateli).. 3 Řešení: Totéž: ( 3 ) = ( /3 / ) AD = 3 /3 ( ) / = 3 Podmínky: > 0. 3 + 3 3. a Řešení: Budeme derivovat podíl a navíc složenou funkci. Tak tedy: ( AD = a a a ) a
Nyní si zderivujeme složenou funkci, vnější funkce bude f(y) = y, a vnitřní g() = a, která je navíc spojitá na celém R. f(y) = y g() = nezapomeneme, že a je konstanta a její dce je tudíž nulová, celkem f(g()) = a ( ) Nyní se můžeme vrátit k původnímu výrazu: a a = a a ( ) = a a a (a ) 3 Podmínky: : a > 0 (pod odmocninou a ve jmenovateli), tedy a >. 4. 4 ln + Řešení: Složená funkce, vnější f(y) = lny a vnitřní g() =, spojitá až na + = ±, takže: a f(y) = y g() = ( + ) ( ) ( + ), tady jsme použili větu o derivování podílu (má podmínky, které jsme ovšem pořešili o dva řádky výše). Celekem: ( ) 4 ln SD = + 4 + ( + ) ( ) ( + ) = ( )( + ) Podmínky: ±, neb se vyskytuje ve jmenovateli s -. Ale navíc máme ještě výraz uvnitř logaritmu, který musí být kladný. Tedy: což dává podmínku: >. + > 0, 3
5. e ( + ) Řešení: Tady se seznámíme s e a otestujeme aritmetiku derivací. Tedy: (e ( + )) AD = e ( + ) + e ( + ) = e ( + ) + e ( ) = e Věta použita, neb e je spojité všude. 6. Řešení: Dce podílu a zároveň součinu: p ( ) q + ( ) p ( ) q AD = [p ( ) q + p q( ) q ( )]( + ) p ( ) q + ( + ) Podmínky:, pro případ, kdy p < 0 nebo q < 0 nutno ještě přidat podmínky: 0,, což nám zároveň zaručí spojitost pro podmínky věty. 7. Řešení: Tady nutno nejprve rozepsat a až poté derivovat: 8. = e ln. To je složená funkce, tedy: f(y) = e y, f(y) = e y a g() = ln a g() = ln + (derivace součinu, je spojité na celém R). Celkem máme: (e ln ) = e ln (ln + ) = (ln + ) Jelikož se vyskytuje v logaritmu, tak > 0. Jinak i ln jsou spojité a jejich součin je také spojitý, máme podmínky věty. ln(ln (ln 3 )) Řešení: Úloha na víceré užití složené funkce, začneme od začátku: f(y) = lny, f(y) = y, g() = ln (ln 3 ), s její derivací počkáme. Takže máme: (ln(ln (ln 3 ))) SD = ln (ln 3 ) (ln (ln 3 )) věnujme se zbylé derivaci, vnější funkce f(y) = y, f(y) = y a vnitřní g() = ln(ln 3 ). Celkem: (ln (ln 3 )) SD = ln(ln 3 ) (ln(ln 3 )). 4
9. Dále, vnější f(y) = lny, f(y) = y a vnitřní g() = ln3, derivace se uvidí za chvíli. Získali jsme: (ln(ln 3 )) SD = ln 3 (ln3 ) Pokračujeme, vnější f(y) = y 3, f(y) = 3y a vnitřní g() = ln, g() =, celkem Takže celé dohromady to je: (ln(ln (ln 3 ))) SD = ln (ln 3 ) ln(ln3 ) (ln 3 ) = 3 ln ln (ln 3 ) (ln (ln 3 )) SD = ln 3 (ln3 ) SD = ln (ln 3 ) ln(ln3 ) (ln(ln 3 )) SD = ln (ln 3 ) ln(ln3 ) ln (ln 3 ) ln(ln3 ) ln 3 3 ln (ln) SD = ln 3 3 ln = 6 ln(ln 3 ) ln Věty jsme používali bez předpokladů, je potřeba je doplnit. Polynomy i logaritmy jsou spojité na svém definičním oboru, takže ten musíme určit. Z logaritmů máme ln (ln 3 ) > 0 ln 3 > ln > > e. sin(sin(sin )) Řešení: Toto je složená funkce, ovšem o poznání hezčí, než ta minulá. Takže už bez detailů (sin(sin(sin))) SD = cos(sin(sin )) (sin(sin )) SD = cos(sin(sin)) cos(sin ) (sin ) SD = cos(sin(sin)) cos(sin ) (cos ) Jelikož spojité je tady všechno, kam se kdo podívá (skládáme spojité funkce), tak podmínky věty splněny. 5
0. sin sin Řešení: derivujeme podíl a ještě dvě složené funkce. Nejprve podíl (vše je spojité): ( ) sin AD = (sin ) sin sin (sin ) sin sin a nyní se podíváme na ty složené fce: první případ sin, vnější f(y) = y, f(y) = y a vnitřní g() = sin, g() = cos, sinus je spojitý, dohromady (sin ) SD = sin cos. druhý případ sin, vnější f(y) = siny, f(y) = cos y, vnitřní g() =, g() =. Polynomy jsou spojité, máme tedy dohromady (sin ) SD = cos Dosadíme zpět a máme: ( sin sin ) AD = (sin ) sin sin (sin ) sin SD = sin cos sin sin cos sin Podmínky: ve jmenovateli nesmí být nula, tedy kπ.. Řešení: Nejprve přepíšeme tan tan = e tan ln a uvědomíme si, že ln je úplně obyčejná konstanta ten zbytek je složená funkce. Máme vnější funkci f(y) = e y, f(y) = e y, vnitřní g() = ln tan, spojitost vyřešíme za chvíli a máme: ( ) ( e tan ln = e tan ln ln tan ) Násobením konstantou si neděláme hlavu. Opět složená funkce, vnější f(y) = tany, f(y) = vnitřní g() =, cos y g() =, je spojitá mimo nulu, celkem ( ) tan = takže máme: cos ( ) ( e tan ln = e tan ln tan ) = tan ln cos 6
. Podmínky: 0 a kvůli tangens π + kπ, k Z. Cestou jsme potřebovli spojitost tan, což jsme právě pořešili, neb jsme vyhodili nepěkné a zlé body, které nám spojitost kazí. Jinde je tangens (po určitých intervalech!) spojitý, což stačí, protože nám stačí spojitost na okolí. arcsin(sin ) Řešení: Nejprve si uvědomíme, že arcsin(sin ), protože když jsme si povídali o arkussinus, tak jsme to popisovali jako: něco jako inverzi. Slova něco jako, jsou tu dost důležitá. Kdyžtak si udělejte obrázek. Nyní k derivaci. Složená funkce, vnější f(y) = arcsiny, f(y) = y a vnitřní g() = sin, g() = cos, sinus je spojitý na celém R, tedy (arcsin(sin)) = cos cos = sin cos = sgn(cos). Tady se vrátíme k úvaze ze začátku, kdyby se funkce rovnala identitě (), tak by její derivace byla, ale ona není. závisí na znaménku kosinu. Podmínky: arkussinus je definován jen na intervalu [ ; ], čili v krajních bodech má jen jednostranné derivace, a na jejich okolí není definován (jen z jedné strany), tedy nutno vyhodit body, kde sin = ±, tedy = π + kπ, ke k Z. S touto podmínkou koresponduje i podmínka ze jmenovtele derivace sin. 3. arcctg Řešení: Konstanta nas nezmate a dáme se do složené funkce: vnější f(y) = arcctgy, f(y) = a vnitřní g() =, +y g() =, g je spojitá mimo 0, takže: ( ) arcctg SD = + = Podmínky: už jsme pořešili, takže jen rekapitulace: 0. + 4. Řešení: Aritmetika derivací: (arcsin) + arcsin ((arcsin) + arcsin ) AD = ((arcsin) ) +( arcsin ) () jednotlivé sčítance pořešíme zvlášt. Uděláme si přípravu pomocí složené funkce. Nejprve f(y) = y, f(y) = y, vnitřní g() = arcsin, g() =, g je spojitá na svém definičním oboru, dohromady: ((arcsin) ) SD = arcsin. 7
5. Dále, vnější f(y) = y, f(y) = y vnitřní g() =, je spojitá na celém R, g() =, celkem ( ) SD = ( ). Nyní jsme připraveni to celé dát dohromady. Takže ((arcsin) ) + ( arcsin) () AD = (arcsin ) + ((arcsin ) ) + ( ) arcsin + (arcsin ) SD = (arcsin) + arcsin + ( ) arcsin + = arcsin (arcsin + ) = arcsin. Podmínky: vyplývají z definice arkussinu, [ ; ], krajní body vyjmeme, jednak kvůli výskytu ve jmenovateli zlomků a jednak proto, že tam arkussinus má jen jednostranné dce. cosh (ctgh sinh ln ) Řešení: Opět si připravíme složené funkce předem. Nejprve vnější f(y) = y, f(y) = y a vnitřní g() = sinh, g() = cosh, je spojité na célém R, dohromady (sinh ) = sinh cosh. Další složenou fcí je vnější f(y) = lny, f(y) = y a vnitřní g() = ctgh, g() =, g je definována a spojitá na R bez 0. Dohromady máme sinh (ln(ctgh)) SD = ctgh sinh Dále vnější f(y) = ctghy, f(y) = a vnitřní g() =, sinh y g() =, polynom je spojitý na celém R. Dohromady máme ( ctgh ) = sinh. Hurá na celou funkci. Dle aritmetiky dcí a dce složené fce ( cosh (ctgh sinh ln ) ) = sinh 3 cosh sinhcosh sinh 4 ctgh sinh Chybí nám podmínky, tedy: sinh 0, tedy 0. Navíc kvůli logaritmu ctgh > 0, což jest > 0. 8
Jestliže máte pocit, že jsem se s těmito funkcemi zbláznila, protože jste je nikdá neviděli, máte pravdu. Ve zkoušce s nimi počítat nebudete. Ale proč se nenaučit něco nového, že. 9