a proces 4 Vsoá šola báňsá Techicá uiverzita Ostrava, Faulta strojí, 7. Listopadu 5, 78 33 Ostrava - Poruba Abstrat: Účie parametricého tlumeí vibrací vetutého osíu je teoretic dobře popsá a prví experimet jsou publiová. Teto referát se zaměřuje a modelováí a simulaci parametricého buzeí, teré může být ahrazeo silou v místě, teré je v blízosti vetutí osíu. Amplituda buzeí se vpočítá pomocí zpěté vazb, jejíž zesíleí se měí periodic v čase podle siusové fuce. Periodicá změa zesíleí zpěté vazb má tlumící účie a vibrace volého oce osíu, ja lze proázat v prostředí Matlab-Simuli. Příspěve představuje simulačí studii tohoto způsobu tlumeí vibrací. Klíčová slova: Parametricá rezoace; tlumeí vibrací; vetutý osí; promělivé zesíleí regulátoru; simulace. Eglish summar: The effect of parametric vibratio dampig is theoreticall well described ad the first experimets are published. The paper focuses o the modellig ad simulatio of the parametric excitatio which ca be replaced b a force which excitas the beam at the poit which is close to the poit where the catilever beam is achored. Amplitude of excitatio is calculated b a feedbac whose gai varies periodicall i time accordig to a siusoidal fuctio. Periodic chages of the feedbac gai have a dampig effect o the vibratio of the free ed of the catilever beam as it ca be proved i Matlab-Simuli eviromet. The paper presets a simulatio stud of this method of dampig vibratios. Kewords: Parametric resoaces; vibratio dampig; catilever beam; variable cotroller gai; simulatio. Úvod Vetutý osí je jedoduchý přílad mechaicé strutur, terá může sloužit jao objet pro testováí ativí řízeí vibrací. Slibý způsob, ja sížit vibrace mechaicých ostrucí, je parametricé buzeí, teré se zásadě liší od sstémů ativího tlumeí vibrací s použitím lieárího regulátoru. Na rozdíl od ativího tlumeí vibrací, teré je založeo a použití lieárích metod řízeí pro lieárí časově-ivariatí sstém, ový způsob tlumeí vužívá periodicé změ jedoho parametru sstému, obvle tuhosti. Taový sstém se stává elieárí a poteciálě estabilí pro iterval frevecí změ zmíěého parametru. Záladí výzum v oblasti estabilit elieárích mechaicých sstémů bl provede Todlem [5,6]. Hlaví závěr jeho výzumů bl mohorát publiová [7]. K dispozici jsou uvedeé vzorce pro výpočet frevece parametricých rezoací a popsá jsou oblasti estabilit. Je předpoládáo, že mechaicý sstém obsahuje pouze jede prve s periodicou změou parametru podle siusové fuce času. Pr Ní vužijeme shrutí v čláu Petermeiera a Ecera [3], terý rozlišuje mezi frevecemi hlavích pa- rametricých rezoací a frevecemi ombiovaých parametricých rezoací. Tto mitočt jsou defiová tato de j j Pr j j j, j, j,,,...,,,... () a jsou j-tá a -tá vlastí frevece lieárího sstému. Jmeovatel představuje řád parametricých rezoací. Horst Ecer z Viea Uiversit of Techolog vvíjí metod parametricého tlumeí mechaicých sstémů j
MODELOVÁNÍ VLIVU PARAMETRICKÉHO BUZENÍ Automatizace, regulace a proces 3 a provádí pous s tímto způsobem tlumeí mitáí. Na rozdíl od referátu [3], terý používá model osíu tpu Timosheo, tato práce zoumá vliv parametricého buzeí a záladě modelu osíu se soustředěými parametr tpu Euler-Beroulliho. Simulace dozíváí mitáí osíu a odezva a áhodé silové buzeí jsou ástroje pro aalýzu uvedeého účiu. Rozměr vetutého osíu odpovídají laboratorímu zušebímu zařízeí, teré je připraveo experimetům [4]. Hlavím cílem tohoto čláu je proázat pozitiví účie parametricého buzeí a tlumeí vibrací s použitím simulací. Matematicý model vetutého osíu Matematicý model b měl být atoli jedoduchý, že může být vtvoře v prostředí Matlab-Simuli jao model se soustředěými parametr. Rezoačí frevece a průhb osíu z disrétích prvů b měl odpovídat osíu jao otiuu. Vzhledem tomu, že se referát ezabývá silými osí, teorie od Eulera-Beroulliho je ejvhodější pro tvorbu modelu. Předpoládá se, že osí je sériovým spojeím tuhých prvů, teré jsou spoje pomocí pružých vazeb tvořeých torzími pružiami, podobým "pružým" závěsům, ja je zázorěo a obr.. Místa spojeí můžeme pojmeovat rověž uzl. Předpoládá se rověž, že ohbová tuhost K pružých spojeí sousedích elemetárích osíů popisuje souvislost ohbového mometu a výsledé relativí rotace sousedích elemetárích osíů. Vzájemé atočeí je aumulátorem potecioálí eergie. Ohbové tuhosti pružých loubů (spojeí) jsou totožé, s výjimou jedoho loubu, jehož tuhost se bude periodic měit. Periodicých změ tuhosti v ohbu může být dosažeo s použitím tzv. patch piezoactuatorů, teré se alepí a povrch osíu. Efet promělivé tuhosti bude popsá a oci této apitol. Teto předpolad změí sstém v sstém elieárí a estacioárí. Roviý multibod model sstému a obr. je spoje s artézsými souřadicemi x,. Nosí je uput a levé straě a jeho osa je rovoběžá s osou x. Předpoládá se pouze roviý pohb vetutého osíu v roviě x. Spojeí dvojice sousedích prvů osíu je považováo v uvedeé roviě jao volé s torzí pružiou. Ab eblo třeba sstému vazebích podmíe, je souřadý sstém zvole ta, ab souřadice udával polohu loubů (uzlů) [8]. Vertiálí poloh těchto uzlů jsou ozače,,, N. Úhl rotace elemetárích osíů vzhledem vodorové ose mohou být ozače,,, N a jejich měříto v radiáech může být vpočteo pomocí přibližého vzorce, poud všech úhl jsou dostatečě malé. Teto úhel se azývá taé úhel vchýleí. L () Zvláštím problémem je, že vetutý osí je uotve a jedé straě a v případě otiua svaze v tomto bodě eí ohout. Teto jev může být modelová rozšířeím osíu a opačou strau stě vzhledem místu uotveí ( x ) a ve vzdáleosti L od ěho. Veliost deformace v tomto uzlu a úhel vchýleí s ohledem a upíací místo se ozačí a. Poud jsou úhel vchýleí a průhb taové, že a pa teča a uotveém oci osíu je rovoběžá s osou x, ja je uvedeo v levém spodím rohu a obr.. Obr.. Souřadice prvů vetutého osíu. Pro výpočet poteciálí eergii vetutého osíu potřebujeme zát relativí úhl vchýleí sousedích prvů. Pro platí zatímco pro platí L L L. (3) L L.. (4) L
a proces 4 3 Ja je popsáo v čláu [9], průhb spojitého osíu, terý je a jedé straě uput do stě, může být rověž vpočte podle vzorce z příruč mechai []. Vchýleí osíu o délce L a jeho volém oci v důsledu síl F, terá působí v tomto místě ve směru os viz. obr., můžeme být vpočteo podle vzorce 3 F L, (5) 3E I x 3 de E.4 N m je Yougův modul materiálu osíu, I x bh je plošý momet setrvačosti osíu olem vodorové os. Ohbovou tuhost lze vpočítat podle vzorce K F L EI x, (6) L L de je oeficiet, terý je rove 3 podle vzorce pro výpočet průhbu volého oce osíu, terý je považová za otiuum. Porováme-li průhb, terý se vpočítá podle vzorce (5), s průhbem podle později odvozeého vzorce pro disrétí model s použitím stejé hodot tuhosti v ohbu pro oba model, pa se výsled se liší v ásobcích. Fator bude proto použit a opravu výpočtů. Obr.. Ohb vetutého osíu. Stacioárí ohbová tuhost aždého pružého loubu a obr. je ozačea jao K,,,..., N. Souřadice stejě vzdáleých uzlů osíu v artézsých souřadicích a ezávisle zobecěých souřadic pro Lagrageov pohbové rovice jsou ideticé. Pro další odvozeí má smsl pouze pohb ve směru os. Vzhledem tomu, že se předpoládá, že jsou malé deformace, pa posu uzlů ve směru os x jsou opomíje. Odvozeí pohbových rovic s vužitím Lagrageových rovic blo zveřejěo dříve, proto další odvozeí bude obsahovat pouze ejdůležitější vzorce [9,,]. Po zavedeí smbolu M pro čtvercovou hmotostí matici, K pro čtvercovou matici tuhosti a sloupcového vetoru,,, T N do pohbové rovice zísáme vztah pro volé mitáí M K (7) Předpoládá se, že průřez osíu je obdélíový. Momet setrvačosti osíového prvu o vodorové ose x a olmo ose osíu se vpočte podle vzorce, de h je výša a m je hmotost prvu. Lagrageov rovice dávají matici hmotosti v ásledujícím tvaru [] de B A M A B A, (8) A B m h m, h A. 4 3 3 B (9) L L Podobě jao matice hmotosti M, taé matice tuhosti K je vpočtea s použitím Lagrageových rovic. Poteciálí eergie V tohoto deformovaého osíu je ásledující: N N V K. K () L V Lagrageových rovicích bl použit prví derivace poteciálí eergie V s ohledem a proměé,,,... N a,,,... N a bla vpočtea matice tuhosti K. Za předpoladu, že ohbová tuhost všech loubů prvů je stejá, pa můžeme apsat
MODELOVÁNÍ VLIVU PARAMETRICKÉHO BUZENÍ Automatizace, regulace a proces 3 4 7 4 4 6 4 K K 4 6 4 () L 4 5 Na atedře ATŘ je připrave fzicý model osíu s ásledujícími parametr: L =,5 m, b =,4 m, h =,5 m, teré mají být testová [4]. S ohledem a osí jao otiuum je průhb jeho volého oce vpočte podle vzorce (5). Průhb osíu v obr. po celé jeho délce lze taé vpočítat pomocí vzorce K F, () de F,,,F T N je síla působící v těžišti N-tého prvu. Výslede výpočtu je závislý a fatoru. Napřílad v simulacích je předpoládáo, že vetutý osí je rozděle do 5 prvů. Stejé deformace tohoto osíu v obr. a průhb spojitého osíu v obr. je dosažeo pro.. Rezoačí frevece osíu, terý je rozděle do dílčích elemetů, může být vpočtea taé s použitím vlastích hodot matrice K M. Pro hodotu. 366 ejmeší rezoačí frevece obou modelů osíu jsou stejé. 3 Efet periodicých změ tuhosti osíu Ja již blo zmíěo, tuhost pruži s pořadím v obr. je siusová fuce času K K cos t, (3) de je úhlová frevece parametricého buzeí a je parametr, terý představuje poloviu amplitud periodicých změ proměé části tuhosti. V tomto čláu tato amplituda bla určea experimetálě. Nestacioárí tuhost K eí závislá ai a ai a, teré ejsou obsaže ve vzorci (3). Jediým pro- K se vstuje ve třech pohbových rovicích, ja je zázorěo v ásledujících vzorcích blémem je, že tuhost [] : : :... K... K... K L L L.......... (4) Po substituci z (3) a (4) zísáme : : :... 6K... 6K... 6K L L L... K... K... K L t t L L t, (5) de t cos t cos t cos t. (6) Parametricé buzeí prostředictvím ohbové tuhosti může být ahrazeo třemi silami, teré zavádějí periodicý ohbový momet, jehož amplituda je úměrá rozdílu mezi odchlami úhlů vchýleí sousedích elemetů osíu. Přítomost visózího tlumeí, jao disipativí síl, rozšiřuje levou strau pohbové rovice dodatečé o sílu, terá je úměrá rchlosti t, C M K, M C K F (7) de matice proporcioalit C pro Raleighovo tlumeí je lieárí ombiací matic hmotosti M a tuhosti K. Vztah
a proces 4 5 poměrému tlumeí je podle vzorce f f tto.59 Hz.4 Hz. a, de f je frevece v Hz [] a ostat úměrosti jsou Vetor síl v pravé části pohbových rovic (7) má periodicé slož o stejé freveci a fázi. Staticá složa tohoto vetoru chbí. Amplituda siusových fucí je úměrá souřadici příslušého pružého loubu. t,,,,,,. F T e K L (8) Parametricé buzeí pomocí periodicé změ tuhosti v ohbu může být ahrazeo třemi periodicými sílami s amplitudami, teré jsou úměré oamžitému rozdílu úhlů atočeí mezi atočeím -tého a ( )-ho elemetárího osíu. Tto síl působí v těžišti uvedeých prvů ve směru os. Model osíu je doplě třemi zpětými vazbami se zesíleím, teré se v čase periodic měí, ja je zázorěo a obr 3. Obr. 3. Uspořádáí budících síl, teré je evivaletí parametricému buzeí. 4 Model v prostředí Matlab-Simuli Pohbová rovice (7) je druhého řádu a zároveň je to občejá difereciálí rovice. Po zavedeí substituce x a x je rovice druhého řádu rozdělea do dvou občejých difereciálích rovic prvího řádu x x x M F M de M K, M C ebo M jsou parametr, ve formě matic. Uspořádáí lieárí časově ivariatího subsstému, terý modeluje vetutý osí pro libovolý počet prvů, je v prostředí Matlab-Simuli zázorě a obr. 4. Cx M Zadáí simulace je ompletí s počátečími podmíami x a x K x, (9). Blo tpu Gai obsahují matice a jejich vstupem je vetor, a proto výstup tohoto blou je taé vetor. Parametricé buzeí je testováo s použitím osíu, terý je rozděle do 5 prvů. Předpoládá se, že "pružý" závěs je taé v místě, de je paprse uotve (obr. 5). Počet sil, teré ahrazují pruži s periodic proměou tuhostí je síže a jedu. Očeává se, že toto uspořádáí parametricého buzeí bude mít ejvětší vliv a mitáí volého oce osíu. Obr. 4. Matlab-Simuli model se soustředěými parametr vetutého osíu pro libovolý počet prvů.
MODELOVÁNÍ VLIVU PARAMETRICKÉHO BUZENÍ Automatizace, regulace a proces 3 6 Obr. 5. Uspořádáí parametricého buzeí. Model Matlab-Simuli je zázorě a obr. 6. Za předpoladu, že je periodic měěa tuhost závěsu v místě uotveí osíu, má sstém pouze jedu zpětou vazbu. Model osíu v obr. 4 je ozače jao subsstému a obr. 6. Prví derivace prohutí osíu v závislosti a čase, jao v případě ativího tlumeí lieárím regulátorem, eí utá pro parametricé buzeí. Účie ativího řízeí vibrací je často demostrová a dozíváí mitáí osíu, terý je ohut do stacioárí poloh po vchýleí působeím síl N a pa se teto paprse se áhle uvolí. Počátečí podmí jsou ásledující T K,,...,. () Obr. 6. Matlab-Simuli model paprsu po dobu pěti prvů a zpěté vazb. Ja již blo uvedeo dříve, ež osí je rozděle do 5 elemetů, a proto má 5 rezoačí frevecí. Veliost těchto frevecí v Hz a v radiáech za seudu, je uvedea v tabulce. Rezoačí frevece vetutého osíu jao otiuum lze vpočítat podle zámých vzorců. Porováí výsledů pro osí stejých rozměrů jao v tomto referátu je v čláu []. Tab.. Rezoačí frevece Idex 3 4 5 f [Hz] 6.86.3 73. 59.8 746.6 [rad/s] 6. 636.3 76 33 469 5 Výpočet časového průběhu dozíváí vibrací Účie parametricého buzeí bude hodoce a záladě dozíváí mitáí od počátečí deformace osíu. Dozíváí vibrací volého oce vetutého osíu s parametricým buzeím, teré je vputo, je zázorěo a obr. 7. Na horím paelu A) je časový průběh výchl. Spodí pael B) uazuje dozíváí v decibelové stupici db log 5 log 5. () t Časový iterval pro sížeí amplitud mitáí o 4dB, tj. rát, může být měřítem účiosti tlumeí a je dále azývá doba dozíváí ebo útlumu.
a proces 4 7 Obr. 7. Dozíváí mitáí volého oce vetutého osíu. Nejprve bude aalzová účie ombiačí frevece parametricého buzeí, tj. frevece 84,4 Hz, a dobu dozíváí. Závislost dob dozíváí mitáí volého oce osíu a polovičí amplitudě buzeí je zázorěa a obr. 8. Nejúčiější tlumeí je dosažeo pro.. Závislost dob dozíváí a budicí amplitudě je téměř ostatí v itervalu.. pro zvoleou ombiačí freveci, ja je zázorěo a obr. 8. Časový průběh domitáí pro tuto budící freveci je zázorě a obr. 9. Pael A) a B) mají stejý výzam jao v obr. 7. V případě, že polovia amplitud buzeí je., pa doba dozíváí je sížea a přibližě s. Obr. 8. Doba dozíváo 4 db jao fuce parametru μ pro. Účie parametricého buzeí a dobu dozíváí pro ombiačí frevece 3 3 a 3 3 prvího řádu s třetí rezoačí frevecí osíu v závislosti a polovičí amplitudě buzeí je zázorě a obr.. Doba dozíváí pro prví z uvedeých budicích frevecí se sižuje až do veliosti polovičí amplitud buzeí.3, zatímco druhá je téměř bez vlivu a tlumeí vibrací. Obr. 9. Dozíváí vibrací volého oce osíu v čase pro a.. Parametricé buzeí emá a dobu domitáí pro hlaví parametricé rezoačí frevece výrazý pozitiví účie. 6 Výpočet odezv a buzeí silou se stochasticým průběhem Dozíváí vibrací po vchýleí vetutého osíu hodotí účiost tlumeí v časové oblasti. Tlumicí účie může být pozorová taé v mitočtové oblasti. Předpoládá se, že áhodá síla F5 s frevečím spetrem, teré
MODELOVÁNÍ VLIVU PARAMETRICKÉHO BUZENÍ Automatizace, regulace a proces 3 8 odpovídá přibližě bílému šumu, působí a volém oci osíu 5. Frevečí spetrum výchle volého oce osíu se vpočte pro ideticou ofiguraci zpěté vazb, ja je zázorěo a bloovém schématu a obr. 6. Něteré výše uvedeé frevece spetra jsou uvede v prostředím paelu a obr.. Ja je zřejmé ze speter frevečí odezv a obr., domiatí vrchol spetra je parametricým buzeím rozděle do dvou dílčích vrcholů a současě je tato změa frevečího spetra doprovázea sížeím veliostmi těchto dílčích vrcholů. Frevece parametricého buzeí je astavea a freveci. Zesíleí zpěté vazb blo astaveo co možá ejvětší, tj. předpoládáme, že fator je.. Největší zesíleí vibrací je a prví rezoačí freveci vetutého osíu. Poles amplitud vibrací při této freveci a parametricém buzeí v místě osíu, teré je v blízosti jeho uotveého oce, je db, což zameá, že je ásobé. Sížeí rezoačího zesíleí způsobuje zvýšeí damicé tuhosti osíu. Obr.. Frevečí spetrum buzeí a odezv a volém oci osíu pro. 7 Závěr Parametricé buzeí vibrací je jedím z ástrojů, ja zlepšit účiost tlumeí vibrací. Práce zoumá hlaví a ombiačí parametricé rezoačí frevece a jejich vliv a míru útlumu mitáí pro vetutý osí. Blo zjištěo, že ejvětší vliv a tlumeí vibrací má volba frevece, terá je rova rozdílu prví a druhé rezoačí frevece vetutého osíu. Tato frevece je ozačea jao ombiačí parametricá rezoačí frevece prvího řádu. Optimálí veliost amplitud buzeí pro tuto freveci bla určea s vužitím simulačích výpočtů. Další parametricé rezoačí frevece jsou bez silého vlivu a tlumeí vibrací. Frevečí spetra přehledě vsvětlují, proč se zvšuje tlumeí parametric buzeých sstémů. Domiující vrchol ve spetru se rozdělí do dvou sousedích vrcholů a jejich veliost se sižuje. Cílem této práce blo proázat, že parametricé tlumeí sižuje vibrace. Amplituda změ tuhosti bl urče s vužitím simulačího modelu osíu se soustředěými parametr. Poděováí Teto výzum bl podpoře projetem Gratové agetur Česé republi číslo P / /5 "Ativí tlumeí vibrací rotoru s vužitím parametricého buzeí luzých ložise" a projetem Příležitost pro mladé výzumí, reg. číslo CZ..7 /.3. / 3,6, terý podporoval Operačí program Vzděláváí pro oureceschopost, a spolufiacoval Evropsý sociálí fod a státí rozpočet Česé republi.
a proces 4 9 8 Literatura [] Flugge, W. (editor) (96). Hadboo of Egieerig Mechaics. McGrow Hill Higher Educatio. [] Hi, J. ad Fu, Z-F. (). Modal Aalsis, Butterworth Heiema. Oxford. [3] Petermeier, B. ad Ecer, H. (8). Vibratio suppressio of a catilever beam b ope loop cotrol of a attached stiffess elemet. Proceedigs of ENOC 8, Sait Petersburg, Russia, 3 Jue, 4 Jul, 8. [4] Šuráe, P. ad Tůma, J. (3). Experimets with the Active Vibratio Cotrol of Catilever Beam. Proceedigs of the th Iteratioal Coferece o Vibratio Problems (ICOVP-3), Lisbo, Portugal, 9- September, 3, pp. 7. [5] Todl, A. (959). Metoda určeí estabilit quasi-harmoicých mitů. (The method for the determiatio of istabilit itervals of quasiharmoic vibratio sstems). Apliace matemati, 4 (No. 4), pp. 78-89. (i Czech). [6] Todl, A. (997). To the iteractio of differet tpes of oscillatio. Proceedig of Semiar Iteractio ad Feed Bac 97, Istitute of thermomechaics, Czech Academ of Sciece, Praque, pp. -8. [7] Todl, A. (998). To the problem of quechig self-excited vibratios. Acta Techica ČSAV, 43, Praque. [8] Tůma, J. ad Šutová, J. (). Simulatio of Active Vibratio Cotrol of the Catilever Beam. Proceedig of 3th Iteratioal Carpathia Cotrol Coferece (ICCC ), Podbásé, Slova Republic, pp. 744-747. [9] Tůma, J. ad Šuráe, P. (3a). Stabilit of the Active Vibratio Cotrol of Catilever Beams. Proceedigs of the th Iteratioal Coferece o Vibratio Problems (ICOVP-3), Lisbo, Portugal, pp.. [] Tůma, J. Mahdal, M. ad Šuráe, P. (3b). Simulatio stud of the o-collocated cotrol of a catilever beam. Mechaics ad cotrol, Vol. 3 (No. 3), pp. -6. [] Tůma, J., Šuráe, P., Mahdal, M., ad Babiuch, M. (4) Simulatio of the parametric excitatio of the catilever beam vibratios. Proceedigs of the 5th Iteratioal Carpathia Cotrol Coferece, ICCC 4), Velé Karlovice, Czech Republic, pp. 69-64. Adresí údaje o autorech Plé jméo s titul: prof. Ig. Jiří Tůma, CSc., ig. Petr Ferfeci, PhD., ig. Pavel Šuráe, ig. Miroslav Mahdal, PhD. Pracoviště a jeho začleěí do Katedra automatizačí techi a řízeí istituce / firm: Adresa pro orespodeci: VŠB Techicá uiverzita Ostrava, Faulta strojí, E-mail: Fax: 59 69 69 Telefo: +4 59 699 348 7.listopadu 5, 78 33 Ostrava {jiri.tuma, petr.ferfeci, pavel.surae, miroslav.mahdal}@ vsb.cz