ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Loeý lgebrický výrz Lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Doporučujee žáků zopkovt vzorce tpu ( + pod úprvu výrzu souči Loeý výrz Číselé výrz jsou výrz v ichž se vsktují pouze reálá čísl Většiou jí podobu čísl, součtu, rozdílu, součiu ebo podílu Provede-li všech početí výko, které obshuje číselý výrz, dostee hodotu tohoto výrzu Npříkld, + 6,78 7, ( ) + Algebrický výrz je číselý výrz s proěou V těchto výrzech se vsktují vedle reálých čísel tké proěé Npříkld, + 6,78 7t 6,78 Loeý výrze rozuíe podíl dvou výrzů, které píšee ve tvru zloku Loeý lgebrický výrze se zývá tkový loeý výrz, který á v čitteli ebo jeovteli lespoň jedu proěou S loeýi výrz počítáe jko se zlok Příkld Určete hodotu lgebrického výrzu pro - 8 8 8 7 7 7 Příkld Určete hodotu lgebrického výrzu ( ) ( ) ) 0, pro - 7 6 pro 0 stejého příkldu jko z pro ( odstrň odociu ze jeovtele ) stejého příkldu jko z pro - (odstrň odociu ze jeovtele ) Důležitou součástí práce s lgebrickýi výrz je určeí podíek řešitelosti dých výrzů ( kd á výrz ssl ) POZOR jeovtel zloku se esí rovt ule
ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Příkld Určete podík řešitelosti výrzů ) 6 ( ) ( ) g) 0, 7 h) 6 Řešeí ) 0 6 + 6 0-6 0 0 - + 0 ( )( + ) 0 0 + 0 - - 0 ( ) 0 0 0 ( ) ( ) g) 0, 7 7 0 7 > 0 ( zákld odoci eůže být záporý ) 7 >, > h) ) 6 6 + > 0 ( ze stejého důvodu jko v předcházející příkldě > -6 > - Příkld Určete podík řešitelosti výrzů ) + ( ) 6 ( ) g) ( ) ( )( ) h) ( )( ) ( ) ch) 7 i) ( )( ) j) k) l) ( )( )( )
( v ) ) 6 c ) ( )( o) 8 p) r) ) ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli ( )( ) s) v) t) ( )( )( 8) w) ( 6 ) 7 u) 6 6 ) 6 Příkld Určete kd á výrz ssl ) bc b 6b b 8 u g) 0 tu ( s t ) su h) 6 7 ( ) 6 k z i) 6k 8k z 0z 00 j) ( ) ( ) k) l) ) 7 ( ) ( ) r ) r 6 r r r Určeí hodot výrzu ) zloek je kldý, kdž výrz v čitteli ve jeovteli á souhlsé zíko zloek je záporý, kdž výrz v čitteli ve jeovteli jí rozdílé zéko zloek je rove ule, jestliže výrz v čitteli je rove ule zloek eá ssl, jestliže výrz ve jeovteli je rove ule PAMATUJTE - souči je kldý, jestliže všichi čiitelé jsou kldí - souči je tké kldý, jestliže á sudý počet záporých čiitelů - souči je záporý, jestliže á lichý počet záporých čiitelů - souči je rove ule, jestliže lespoň jede čiitel je rove ule - souči eí rove ule, jestliže žádý čiitel eí rove ule Příkld Pro jké je výrz 7 ) kldý záporý rove ule výrz eá ssl ) Zloek je kldý, jestliže čittel i jeovtel je buď kldý ebo ob jsou záporé Protože jeovtel je kldý, tk čittel usí být tké kldý Ab souči bl kldý, usí být kldý > 0 Zloek je záporý, jestliže čittel jeovtel á opčé zíko Protože jeovtel je kldý, tk čittel usí být záporý Ab souči bl záporý, usí být záporý < 0
ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Zloek je záporý, jestliže čittel je rove 0 Ab souči bl rove ule, usí být lespoň jede čiitel rove 0 v še přípdě ted 0 Ab zloek eěl ssl je uté, b jeovtel bl rove 0 To v še přípdě eí ožé Neboli eeistuje žádé, b teto výrz eěl ssl Příkld Pro jké je výrz výrz eá ssl ) kldý záporý rove ule ) > 0 součsě > 0 > 0 součsě > > ebo < 0 součsě < 0 < 0 součsě < < > 0 součsě < 0 > 0 součsě < 0 < < ebo < 0 součsě > 0 < 0 součsě > eeistují žádé dé vlstosti 0 0 Příkld Pro jké je výrz výrz eá ssl ) kldý záporý rove ule Příkld Pro jké je výrz výrz eá ssl ) kldý záporý rove ule Příkld 6 Pro jké je výrz výrz eá ssl ) kldý záporý rove ule Příkld 7 Pro jké je výrz výrz eá ssl 6 ) kldý záporý rove ule Kráceí rozšiřováí loeých výrzů Krátit zloek zeá dělit čittele i jeovtele stejý čísle, které je růzé od ul Krátit ůžee pouze čísl píse, která jsou osoce ebo jko čiitel při součiu Příkld Zjedodušte zlok ) ) 6 z 7 0 z ( )
6 z 6 z z 7 7 6 0 z 0 z z z ( výsledek ůžee tké zpst ve tvru 0,6 - z -6 ) ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli 0 0 z 0 ( ) ( ) 0 - ( )( ) - ( ) ( ) ( Při výpočtu epíšee do výpočtu výrz, který krátíe V ukázce, b, c jse pro lepší pochopeí teto výrz, který jse krátili, uvedli ) Příkld 8 Zjedodušte zlok ) ( ) ch) 0 8 g) 0 i) 8 8 z 6 z ( ) ( 6) h) Příkld Zjedodušte zlok ) 6 0 z z 8 z 0 z 0 z Rozšířit zloek zeá ásobit čittele i jeovtele stejý čísle, které je růzé od ul Příkld Rozšiřte zloek výrze, který je v závorce ) ( ) ( ) (-) ( ) Řešeí ) ( ) 0 ( ) 0 (-) 6 0 ( ) 6 -
ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Příkld 0 Rozšiřte zloek výrze, který je v závorce ) ( ) ( ) ( ) ( ) Příkld Zjistěte jký výrze rozšiřujee zloek doplňte chbějící čittel ebo jeovtel ) 0 z z Řešeí 6 ) 0 0 0 0 0 z z z z z z 0 0 z 0 0 z z z 0 0 z 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( + ) ( ) + - - již bez podrobějšího výkldu ( )( ) - 6 6 0 - ( ) ( ) ( ) ( ) 0 Příkld Zjistěte jký výrze rozšiřujee zloek doplňte chbějící čittel ebo jeovtel z 0 z b 6 8 ) (+) 0 ( ) ( ) ( )( ) u c c ( ) u u 0u 6
Sčítáí odčítáí loeých výrzů ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Příkld + 6 ( ) + ( ) ( ) + 0 - + ( ) ( ) ( ) ( ) Příkld ( - 7 - ) 7( ) ( )( ( ) 0 0) 7 - - ( 0 )( ) 7 0 ( )( ) ( )( ) ( ( ) )( ) - Příkld Vpočítejte ) 6 g) i) l) ) h) j) ( ) ( ) ch) k) ) o) ( ) p) r) ( ) ( ) u v s) t) u 6u u u v v v u) v) 6 w) ) ( ) b b ) z) b b Příkld Vpočítejte 7
ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli z z ) z z z z z z z z z z z z ( z ) z z g) z ( z z ) p z z p p p z ( z 6z ) z p h) p p p 6 i) p p p j) p p p p k) l) ( ) ( ) 6 8 ( ) 8 ) ) 8 ( 0,) Násobeí děleí loeých výrzů Příkld b 6 0 b z b z b z 0 b 0 0 z 0 Příkld ( ) 6 ( ) z z z ( ) ( ) 0 0 - POZOR Před vlstí ásobeí ohočleů usíe krátit Příkld Vpočítejte ) b z z b c d c b (- ) ( ) 0 6 r 0 r r 6r ( s ) 6 s g) s 0 s rs s r 6s h) s r s r ( u v) v uv i) uv u u v j) k) l) ) 6 Příkld Vpočtěte 8
) ( ) 0 (7u v) 8 u v ( ) 6 6 ( ) ( ) 0 z z 6 0z z(0 z) g) r s r 0s h) r s 6rs rs s rs s ch) r r s r rs s rs s i) r s r s ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli ( r s) ( r s) j) r s r s p p k) p p p r pr l) p p ) p r pr p r r pr p r p r ) p pr ( r p) o) ( ) p) ( ) r) s) Zloek dělíe zloke tk, že děleec ásobíe převráceou hodotou dělitele Příkld ( ) ( ) 6 ( ) z ( ) z ( ) ( )( ) z ( )( ) 6 ( )( ) ( ) z ( ) 0 0 z 0 - Příkld 6 Vpočítejte 7 8 ) b b b b u u v uv u v u 8uv v( u v) u uv u u u u 0 u u u u u v v u g) u v v u u u h) v v v v 6 ch) i) j) k)
l) (-) ) ) ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli o) p) r) b b b b b b b b b Příkld 7 Vpočítejte ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 6 6 ( ) ( ) b ( ) b b b 7 g) ( ) ( ) 6 ( ) h) ( ) u v ch) ( ) u v v u u v i) j) 8 ( ) b b b k) ( ) ( ) b p p p l) ( )( p )( p ) p p p ) ( ) ( ) b b b ) b b b b b o) p) 6 b b q) b b b r) s) 6 Složeý loeý výrz ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) Příkld ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 - Příkld 8 Vpočítejte 0
b b b b b ) b b r r 6 r r r 6 8 6 ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli ( )( ) b b b b b b 6 Operce se složitějšíi loeýi výrz Příkld Vpočítejte ) b b ( b ) ( ) ( b b b ( b b b ( b b b ( ) ( ) b b b b ( ) g) b b b b b b c d c d cd d c d c d h) 7 Lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Příkld Vřešte rovici 0,7 ) určíe podík řešitelosti 0 ) celou rovici vásobíe společý jeovtele
ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli 0,7 / +, 7, ) uděláe zkoušku L 7 0 0 0 P 0,7 L P Příkld Vřešte rovici ) určíe podík řešitelosti ) celou rovici vásobíe společý jeovtele / ( ) ( ) ( ) ( ) + ( + ) ( ) ( ) ( ) - + + - - 6 + 0-6 -6 + 0 0, ) uděláe zkoušku L,,, 7, 6,, 0,8, P L P Příkld 0 Vřešte rovici ) ( )( ) ( )( ) 7 7 g) h) 6 ch) 0 i) j) 0, 7 k) 8 l) 6 6 ) ) 7 o) 0 p) r) s) t) u) v) 6 w) 6 ) ( ) 8 ) ( ) 6 z) 8 ( ) ) 7 ( )
Souhrá cvičeí ) Vpočtěte ) p p p p p ( ) 6 7 ( ) b 6( b ) b b b 6 b b b ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli ) Vpočtěte doszeí do zdáí výpočtu ověřte správost výpočtu 6 ) (6 ) ( ) - 8 6 b b b - b b b ( ) 6 ( ) ( ) ( ) - 0 7 - -0, ( ) b b g) b b b b b b b h) 0 ( ) g) - ( )( ) ) Pro jké je výrz ) kldý záporý rove ule výrz eá ssl ) Pro jké je výrz ) kldý záporý rove ule výrz eá ssl ) Řešte rovici ) 0
7 8 0 6 s s 7 s s ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli s s 7 6 g) s s s s h) 7 8 h h ch) h h i) 6) Určete hodotu výrzu ) ( ) ( ) ( + ) pro - ( ) ( ) ( + ) pro - 7) Vpočtěte ) ( + ) + ( ) ( 8 ) 6 ( )( ) ( 6 + ) + ( ) ( 8 ) ( )( ) 8) Zjedodušte p ) p p p 6 8 8 u v u uv u u v rs s r s s r s p g) p p p ) Zjedodušte z z ) z uv v u 6 uv u v 6 b 6 b b b 8 b b h) 6 8 i) u v u u v v u j) k) l) r s r s s r 6
ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli b b b g) b b b b b b b 0) Řešte rovici ) Určete hodotu tk, b zloek ) Vpočítejte 8 0, ), 0, 6 6 6 8 7 bl co ejvětší 6 0, 7 Výsledk ) - 7 6, <, > -, > -, > -, ) ejsou podík, 0, 0,, -,, g), h) -, ch) ejsou podík, i) 0 -, j) 0, k), l) -, ) 7 8 7, ) -, o) -, p) 0 -, 8 r) 0 0, s) > 0, t) > -, u) < 0, v) < -, w) > -7, ) -, ) b 0 c, -,, 0 -,, k -0,, 0 0 -, b - -0,, g) u t,s, h) -, --, i) 0 z -0, j) -, k) > 0, l) >, ), ) r, -, ) < 0 ebo >, 0 < <, 0,, ) < ebo >, < <,,, 6 ) > -, 0, < -,, 0, -,, 7 ) < - ebo >, - < <,, -, 8 ) 0, - 0 0, 0 0 z 0, 0 6, z 6
) 0 ) -, h) ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli 0, 0 0, -, g) -, ch) -, i) 0 0, - 0 0, 0, z 0 0 z 0, 0 7 0 0, -,, 0, z z, 8 0 0 z 0, 0 -, 0 - -, 7 -, ) 0 z b 0 0 z 0 0 b 0, 7c ( -) 0 c 0 -, (+) 0 -, (-)(+) - (-)(-)( +) 0, u u, ) 7, 0, 0, 0 60 -, 6 -, -, g) 0; h) ; ch) 0 ; i) 0 ( )6 ( ) ( ) -; j) -; k) - ; l) ( ) ( ) - ; ) - ; ) + + 0 ; o) ( ) - ; p) - ; r) - ( u ) - + 0; s) u 0 u -; u( u ) 7v 6 0 t) v 0 v -; u) ; v) -6; w) v ( v ) 6 b -; ) -; ) -; z) b ; b z z ) ) z 0 z ; z 0 z z -; z z( z ) ( z )( z ) 7 z z 0 ( z ) z - ; z z -; z -; z ; g) p p -; ( z ) ( z ) h) p p -; i) p p -; j) p p -; k) ; p p ( ) l) ( z ) z -; ) - - + 0; ) z 0, (z 0,) 6
ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli 6 b ) ) 0 b 0; 0 0 z 0; b 0 c 0 d 0; b 6 6d ( s ) -(-) 0 0; 0,7,; r - r,; g) ( s) v ( v u) s - s s -; h) -s r -s r s; i) u 0 u -v u v; j) + 0 u ; k) 0 ; l) 0 ; ) 0 -; ) + 6, u 7 v, ( + ) ( + ), ( ) -, 0, 0,- 0, g) 0 z 0,8, h) r r s; s 0 r 0 ch) s r 0 r s r -s; i) s(r-s) r r s r s r -s ; j) r s r -s ; k) p p -; l) r p p -; ) p 0 r 0 r p; ) p 0 p r p -r; o) 0; p) p p 0 0; r) 0 0 -; s) - 6 ) 0 -, - 0 0, -0, b -b 0, 0,( u v ) u 0 u v u v u -v,,; u, u 0 ; u u 0 u z -; g) u v u -v ; h) uv u 0 u v u -v ; ch) - 0 ; i) ; - ; j) 0 0 ; k) + 0 0 ; l) 0 0 ; ) 0 0 ; ) 0 - ; o) - r) b 0 b 0 -; 7 ) - -, 0 -; p) 0 b 0; 0, -0, -, -, - -,, + 0 -, b 0 b b b - b b -, g) 0 -, h) 0, - -0,, ch) u v u -v, i) - 0 0 - j) ( ) ( + ) -, k) b p 0 b 0 -b, l) p p p b p -, ) -, ) - b b -b; o) 0 b - - ; p) 0, -0, - ; q) b b -b 0; r) 0, -0, 0; s) - 0 0; 7
ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli 8 ) b 0 b 0 b -b, r r r r -, 0 r -, 0 -, + b 0 b 0 b -b, 0 -, 6 ) b 0 b 0 b -b, 0, b, 0 0 -, 0 b 0 b -b, - 0, -0,, 0 b -b b 0, g), b d -,, h) c d c -d, c d 0 ) 0, 0 0, L P, L P, - L P -0, 6 7 L P, -, L P, 6 - L P 0,, 6 g) -, - L P, h),; ch) ; i),6; j) eá řešeí; k) 8; l),; )0,; ); o) 0; p) eá řešeí; r) ; s) 0,; t) ; u) - ; v) ; w),8; ) ; ) ekoečě oho řešeí; z) eá řešeí; ) eá řešeí; Souhrá cvičeí ) p p -, 0, -, -,, g) -, ( b ) b b ) -8 8 po dosžeí -7, - po doszeí b 8, -,, b b - b,, b b -b 0 -b, h) 0 - b - po doszeí,, - po doszeí,7, - 0, po doszeí, 7 - po doszeí 0,7, g) ( ) ( ) 0 0 - po doszeí,, ) < - ebo < <, - < < ebo >, ebo, -,
ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli ) jeovtel uprveého zloku je vžd kldý proto ) > 0, < 0, 0, tkové eeistuje, ) 0, 0 0, L P, L P 0, -0 0,8 L P, - - L P, 0, 8 6 L P 0, s - s s - L P, g) s - s s - L P -, h) 7 L P 0, ch) h -, h - h L P i) 7-6 ),,7 ), - 6 + 7, +, - 6 + - 8 ) p p -, -, u v u v u -v, 0, -, g) p p -, s 0 r 0 r s r -s, h) -, i) u - v u 0 u v u -v, j) 0 l) - 0, ( ) l) r 0 s 0 r -s ) z z, u u v u, b b - b 0 b 0,, -,, g) b -b b 0 b, 0) v oboru reálých čísel eá řešeí, ),) ) 8, -, 0,,, 0,8, -, 0, 7