Univerzit Krlov v Prze Mtemticko-fyzikální fkult KLÁŘSKÁ PRÁE Vlst hmelíková Zltý řez Ktedr didktiky mtemtiky Vedoucí bklářské práce: Phr. len Šrounová, Sc. Studijní progrm: Mtemtik, mtemtik změřená n vzdělávání, kombince mtemtik s deskriptivní geometrií 006 1
Rád bych poděkovl všem, kteří mi způjčili potřebnou literturu nebo mě jkkoli podpořili při psní této bklářské práce. Zejmén děkuji mé vedoucí Phr. leně Šrounové, která mi vybrl tém zltého řezu ke zprcování s níž jsem měl možnost podrobně prokonzultovt náplň práce, kolegyni Mgr. Michele Otterové, která mi velkou měrou pomohl s překldem zhrniční litertury. Prohlšuji, že jsem svou práci npsl smosttně výhrdně s použitím citovných prmenů. Souhlsím se způjčováním práce. V Prze dne 17.5.006 Vlst hmelíková
Název práce: Zltý řez utor: Vlst hmelíková Ktedr: idktiky mtemtiky Vedoucí bklářské práce: Phr. len Šrounová, Sc., Ktedr didktiky mtemtiky Mtemticko-fyzikální fkulty Univerzity Krlovy v Prze, Sokolovská 83, Prh 8 e-mil vedoucího: srounov@krlin.mff.cuni.cz bstrkt: Tento text je určen všem zájemcům z řd široké veřejnosti, především všk jko vzdělávcí mteriál pro učitele mtemtiky deskriptivní geometrie n středních školách. Práce zhrnuje postupy konstrukcí zltého řezu, výpočet zltého čísl jeho vlstnosti. ále ukzuje souvislost zltého čísl s Fiboncciho posloupností příkldy výskytu zltého řezu v rovinné geometrii v pltónských tělesech. Text je doplněn názornými obrázky, většin z nich byl vytvořen v plikci esign. Vlstnosti zltého čísl rovinné konstrukce jsou uvedeny včetně podrobných důkzů. Klíčová slov: Zltý řez, zlté číslo, pltónská těles, Fiboncciho posloupnost Title: The Golden Section uthor: Vlst hmelíková eprtment: idctics of mthemtics Supervisor: Phr. len Šrounová, Sc., Ktedr didktiky mtemtiky Mtemticko-fyzikální fkulty Univerzity Krlovy v Prze, Sokolovská 83, Prh 8 Supervisor's e-mil dress: srounov@krlin.mff.cuni.cz bstrct: This text is especilly intended s n eductionl mteril for secondryschool techers of mthemtics nd descriptive geometry, however it cn be interesting lso for generl public. The thesis includes construction methods of the Golden Section nd clcultion of the Golden Number nd its properties. In ddition, it shows the connection between the Golden Number nd the Fiboncci Sequence nd exmples of the Golden Section occurnce in plne geometry nd in the Plton's Solids. The text is completed with illuminting figures drwn in most cses in esign softwre. The Golden Number properties nd the plne constructions re mentioned including prticulr proofs. Keywords: Golden Section, Golden Number, Plton's Solids, Fiboncci Sequence 3
Obsh 1 Úvod...5 Historie...6 3 Zlté číslo jeho vlstnosti...8 4 Konstrukce zltého řezu...1 5 Zlté číslo rovinné útvry...18 5.1 Zltý obdélník...18 5. Zltý trojúhelník...1 5.3 Zltá spirál... 5.4 Prvidelný pětiúhelník...3 5.5 Prvidelný desetiúhelník...30 5.6 Úloh z Eukleidových Zákldů...30 5.7 Lotrinský kříž (Lorrine ross)...31 6 Pltónská těles...34 6.1 Prvidelný dvnáctistěn...35 6. Prvidelný dvcetistěn...36 6.3 Prvidelný osmistěn...36 6.4 Krychle...37 7 Fiboncciov posloupnost...38 8 Závěr...43 9 Použité znčení...44 10 Litertur...45 4
1 Úvod Témtem této bklářské práce je zltý řez. le mého názoru je toto sousloví širší veřejnosti spíše neznámé, není totiž obsženo ni ve středoškolských učebnicích mtemtiky. Někteří se se zltým řezem seznámí n vysoké škole, někteří nikdy, přesto jej máme všichni denně před očim. o tedy vlstně zltý řez je? Zltým řezem se myslí rozdělení úsečky (rozříznutí) n dvě části, jejichž délky jsou v konkrétním poměru. Přesněji řečeno, poměr délky větší části tkto rozdělené úsečky ku délce menší části je stejný, jko poměr délky celé úsečky ku délce větší části. Tento poměr je konstntní pro všechny úsečky (nezáleží n jejich původní délce) nzývá se zlté číslo. Je pro nás tk všední přirozený, že jeho výskyt nevnímáme. Přitom již ve strověku byl dobře znám vědomě používán npříkld ve stvitelství. V následujícím textu se pokusím srozumitelnou formou vysvětlit odvození hodnoty zltého čísl, jeho vlstnosti, konstrukci zltého řezu výskyt tohoto jevu v rovinné i prostorové geometrii. Všechn odvození důkzy jsou prováděny podrobně, by práce byl srozumitelná všem bsolventům ( popřípdě i studentům) středních škol. Konstrukce jsou pro názornost doplněny obrázky, většin z nich byl vytvořen s využitím plikce esign [9]. Tto práce by měl sloužit všem zájemcům, kteří se chtějí o zltém řezu dozvědět něco bližšího. Studium tohoto témtu v českém jzyce je poněkud obtížné, není mi známo žádné dílo vydné u nás, které by se výhrdně touto problemtikou zbývlo, čkoli v zhrničí (zejmén v Německu, Frncii Velké ritánii) bylo tém zltý řez opkovně mnoh utory zprcováno. 5
Historie Zltý řez má velmi dlouhou historii. Údjně tento poměr použili již stří Egypťné před téměř pěti tisíci lety při stvbě pyrmid. Rhindův ppyrus (si 1788 1580 př. n. l.) říká: V pyrmidách je utjen tjemný kvocient nzvný seqt. Někteří historikové se domnívjí, že tento kvocient je právě zlté číslo, měření tuto domněnku doposud nepotvrdil, ni všk nevyvrátil. okonce n heopsově pyrmidě v Gíze byl objeven poměr blízký zltému číslu (Obr. 1). Obr. 1: Pyrmidy v Gíze První písemné zmínky o zltém řezu pocházejí z ntiky, z helénistického Řeck. Eukleides (kol. 340 87 př. n. l.) sepsl n tehdejší dobu velkolepé dílo Zákldy, ve kterém uvedl úlohu: Rozdělte dnou úsečku n dvě nestejné části tk, by čtverec sestrojený nd větší částí měl stejný obsh jko prvoúhelník, jehož jedn strn má délku menší části druhá má délku celé úsečky. Jk si později ukážeme, řešením této úlohy je právě rozdělení dné úsečky v poměru zltého řezu. ále se zbývl konstrukcí prvidelného pětiúhelníku, který je opět štědrým zdrojem tohoto poměru ( Eukleides tohoto fktu zřejmě vědomě využil), vkreslováním prvidelných pltónských těles (v nichž se zltý řez opět vyskytuje) do koule. Kromě Eukleid se v ntice zltým řezem zbývl i umělec Phidis (sochř, mlíř, zltník rchitekt) to již v 5. století př. n. l. Postvil známý thénský Pnthenón n kropoli (Obr. ), jehož zákldem je zltý obdélník (viz dále) zltý poměr nlezneme i n průčelí této stvby [5]. Po Phidiovi bylo podle některých prmenů ve 0. století Obr. : Pnthenón n kropoli zvedeno oznčení pro zlté číslo φ (fí). Jiné zdroje uvádějí, že toto oznčení je n počest nikoli Phidi, le Leonrd Pisánského (si 1170 140) zvného Fiboncci. Jméno tohoto význmného mtemtik souvisí se zltým číslem spíše po mtemtické stránce (viz dále). Z zmínku stojí i římský rchitekt stvitel Mrcus Vitruvius Pollio, který žil n konci 1. století př. n. l. z vlády esr ugust. Sepsl 10 knih o svém oboru pod názvem eset knih o rchitektuře (v originále: e rchitectur libri decem ). Zákldem jeho teorií byl (kromě jiného) nuk o význmu číselných zákonitostí proporčních vzthů, jež lze odhlit ve stvbě vesmíru i člověk bez nichž nelze postvit krásnou budovu. Podle Vitruvi je estetik budovy zložen n číselných vztzích odvozených z proporcí lidského těl. My dnes víme, že poměry velikostí částí lidského těl se čsto blíží opět zltému číslu. Po ntickém období nstává dlouhá pomlk se zltým poměrem se setkáváme ž v období renesnce (15. století) to zejmén v Itálii. N Eukleidovy Zákldy nvzuje itlský mnich Luc Pcioli (známý spíše díky podvojnému účetnictví). Roku 1509 vydl pojednání O božském poměru s ilustrcemi svého přítele 6
Leonrd d Vinci (Obr. 3). Toto dílo obshuje soubor příkldů výskytu poměru zltého řezu v rovinných obrzcích tělesech. Znovu bylo vydáno poměrně nedávno, v roce 1956. Leonrdo d Vinci povžovl zltý řez z ideál krásy hrmonie hojně jej využívl ve svých mlbách. Obr. 3: Ilustrce Leonrd d Vinci Oznčení zltý řez, zltý poměr se užívjí ž od 19. století. V součsné době ustoupil, snd trochu neprávem, teorie zltého čísl do pozdí. Jednou z mál osobností zbývjící se touto problemtikou ve 0. století byl frncouz Mtil Ghyk, který roku 1931 vydl v Příži knihu Le Nombre d'or (v překldu Zlté číslo ), o něco později, roku 1946, pk vyšl ve Velké ritánii jeho knih The geometry of rt nd Life (v překldu Geometrie umění život). V obou dílech se zbývá výskytem zltého čísl v přírodě i v rchitektuře, jeho vlstnostmi využitím od strověkého Egypt přes ntiku ž po součsnost. V dnešní době o přítomnosti zltého čísl svědčí npříkld pyrmid v Louvre (prosklená budov z 80. let 0. století sloužící jko vstupní brán do glerie) nebo budov L Géode v Příži (největší pnormtické kino n světě) [7] (Obr. 4-7). Tohoto poměru se využívá tké ve fotogrfii, plstické chirurgii v dlších odvětvích, kde je klden důrz mimo jiné n estetiku. Obr. 4: L Géode Obr. 5: L Géode Obr. 6: Pyrmide v Louvre Obr 7: Pyrmide v Louvre 7
3 Zlté číslo jeho vlstnosti Jk již bylo v úvodu řečeno, rozdělíme-li libovolnou úsečku n dvě nestejně dlouhé části tk, že poměr délky celé úsečky ku délce větší části je stejný jko poměr délky větší části úsečky ku délce části menší, je tto úsečk rozdělen právě tzv. zltým řezem. To znmená, že máme-li dnou úsečku určíme n ní bod tk, že při oznčení =, = x, tedy = x, kde x x, pltí: x = x x, rozdělili jsme úsečku bodem v poměru zltého řezu (Obr.8). Tento poměr oznčíme řeckým písmenem (fí). Číslo se nzývá zlté číslo. Nyní určíme konkrétní hodnotu zltého čísl: Z jednotku zvolíme délku úsečky, tj. =1, dosdíme do vzthu x = x x dostáváme rovnici: 1 x = x, což je rovnice pro jednu neznámou x, kterou 1 x jednoduchými ekvivlentními úprvmi převedeme n kvdrtickou rovnici x x 1=0. Proměnnou x ve jmenovteli se nemusíme zbývt, protože x znčí délku úsečky, která určitě není nul ni jedn, ob zlomky jsou tedy definovné. Pomocí známého vzorce vypočítáme kořeny kvdrtické rovnice: x 1 = 1 1 4 1 1 = 1 5 1 x - x Obr. 8: Zltý řez úsečky ; x = 1 1 4 1 1 = 1 5 1 ruhý kořen je záporný, nemůže tedy předstvovt délku úsečky. Nšim potřebám vyhovuje výsledek x 1 = 1 5, což je přibližně 0,61803. Zdůrzňuji přibližně, 5 je totiž ircionální číslo díky tomu je i zlomek 1 5 ircionálním číslem. opočítejme konečně. Víme, že = x, =1, x= 1 5, odtud = 1 1 5 = 1 5 = 1 5 1 5 1,61803 (opět ircionální číslo). 1 5 = 1 5 1 5 =1 5, což je přibližně 8
Jenom pro úplnost, oznčíme-li převrácenou hodnotu čísl x symbolem, pk = 1 1 5 = 1 5 = 1 5 1 5 1 5 = 1 5 1 5 =1 5, což je přibližně 0,61803. Nyní již známe konkrétní hodnotu zltého čísl, pojďme se ještě podívt n některé jeho zjímvé vlstnosti. Při oznčení zvedeném výše pltí: ) = 1 ůkz: = 1 5 ; = 1 5 = 1 5 1 5 = 1 5 4 = 4 4 = 1 b) 1 = 1 ůkz: = 1 5 1 = 1 = 1 1 5 = 1 5 1 5 1 5 = 1 5 1 5 = 1 5 1= 1 5 1= 1 5 = 1 5, tedy rovnost pltí. c) = 1 9
ůkz: = 1 5 = 1 5 = 1 5 5 = 4 6 5 4 = 3 5 = 3 5 4 1= 1 5 1= 1 5 = 3 5, tedy rovnost pltí. Poznámk: Vlstnosti ), b), c) vyplývjí tké přímo z výpočtu zltého čísl. Stčí vzít v úvhu kvdrtickou rovnici x x 1=0 zmíněnou výše uvědomit si, že čísl nejsou ničím jiným než převrácenými hodnotmi kořenů této rovnice. Ze stejných důvodů je tké číslo jediné kldné číslo, pro které pltí vzthy b) c). d) 3 = 1 1 ůkz: = 1 5 = 3 1 5 3 = 1 3 5 3 5 5 5 = 8 16 8 5 8 = 8 5 = 5 8 1 5 1 5 1 1 1 = = 1 5 1 5 1 = 3 5 1 5 = 3 5 1 5 1 5 1 5 = = 3 3 5 5 5 8 4 5 = = 5, tedy rovnost pltí. 1 5 4 e) = 3 1 3 1 10
ůkz: = 1 5 1 3 5 15 5 5 3 8 1 3 1 = 8 8 4 8 5 1 3 5 15 5 5 8 = 8 8 5 = 3 5 1 5 1 5 1 5 = 8 8 = 3 5 3 5 5 = 1 5 5 4 = 1 5, tedy rovnost pltí. Poznámk: Vlstnosti d) e) jsou opět v podsttě dvojím zpsáním téhož. Vyjdeme-li od rovnice 3 = 1, uvedené jko vlstnost d), dostneme se pomocí vhodných 1 ekvivlentních úprv k vlstnosti e): Původní rovnici 3 = 1 vynásobíme dvojčlenem 1, dostáváme 1 3 1 = 1, levou strnu roznásobíme členy ze strny prvé převedeme dolev, máme tedy 4 3 1=0, teď z prvních dvou členů vytkneme z dlších dvou 1. ostáváme 3 1 3 1 =0. Nyní převedeme člen 3 1 n prvou strnu celou rovnici vydělíme 3 1. Tedy = 3 1 3 1. Jelikož 1, byly všechny úprvy ekvivlentní (nikde jsme nedělili ni nenásobili nulou). Podobných zjímvých vlstností bychom nejspíše objevili dleko víc, le to není náplní této práce. Nvíc určitě i jiná, n první pohled nprosto obyčejná čísl splňují zjímvé rovnosti. Myslím, že jko ukázk motivce toto stčí. Některé výše zmíněné vzthy využijeme dále u konstrukcí zltého řezu u jejich důkzů. 11
4 Konstrukce zltého řezu N následujících řádcích si vysvětlíme, jk jednoduše zltý řez úsečky sestrojit. První konstrukce vychází z toho, že je dán úsečk, kterou chceme rozdělit bodem ve zltém řezu. lší dvě konstrukce ukzují, jk postupovt, známe-li jen jeden z dílů tkové úsečky (krtší, nebo delší) chceme k němu doplnit druhý. Konečně poslední konstrukce nbízí možnost njít zltý řez úsečky bez rýsování (nejde tedy o konstrukci v prvém slov smyslu), pouze pomocí skládání ppíru. Ve všech přípdech je proveden početní důkz, by bylo zřejmé, že jsme těmito postupy skutečně získli zltý řez. Konstrukce 1 áno: Úsečk libovolné délky. Úkol: Njít n úsečce bod tk, by bod dělil tuto úsečku zltým řezem. Postup konstrukce: 1. p ; p, p M. M ; M p, M = 1 m N p l k 3. m ; m, M m 4. k ; k M, r= M Obr. 9: Konstrukce 1 5. N ; N k m 6. l ; l, r= N 7. ; l ůkz: chceme dokázt: = = Nejprve si vyjádříme délky jednotlivých úseček pomocí dné (libovolné, le pevné) velikosti úsečky : := M = 1 1
M = = 5 4 = 5 MN = M = 1 = N = M MN = 5 = 5 1 = = 5 1 = 3 5 Nyní zjistíme hodnoty příslušných poměrů: = = 5 1 5 1 5 1 5 1 = 5 1 5 1 = 5 1 = 5 1 3 5 3 5 3 5 3 5 = 3 5 3 5 5 9 5 což se rovná. Konstrukce áno: Úsečk libovolné délky. = 1 5, což se rovná. = 5 = 1 5, 4 Úkol: Njít n polopřímce bod tk, by bod dělil úsečku zltým řezem přitom úsečk byl větší než. Postup konstrukce: 1. F ; F 1 E. ;, = k 3. k ; k F, r= F 4. ; k F Obr. 10: Konstrukce ůkz: chceme: = = Nejprve si vyjádříme délky jednotlivých úseček pomocí dné (libovolné, le 13
pevné) velikosti úsečky. Pro lepší názornost si předstvíme nd úsečkou čtverec E. := = F = F = 1 F = F = = 5 4 = 5 = F F = 5= 1 5 = F F = 5 = 5 1 Nyní zjistíme hodnoty příslušných poměrů: = 1 5 = 1 5, což se rovná. = = 5 1 5 1 5 1 5 1 = 5 1 5 1 = 5 1, což se rovná. Konstrukce 3 áno: Úsečk libovolné délky. Úkol: Njít n polopřímce bod tk, by bod dělil úsečku zltým řezem přitom úsečk byl větší než. Postup konstrukce: G 1. m ; m, m l E m k. F ; F m, F = 1 F 3. k ; k F, r= F Obr. 11: Konstrukce 3 14
4. G ; G k F 5. l ; l, r= G 6. ; l ůkz: chceme: = = Nejprve si vyjádříme délky jednotlivých úseček pomocí dné (libovolné, le pevné) velikosti úsečky. Pro lepší názornost si předstvíme nd úsečkou čtverec E. := = E F = FE = F = F = = 5 4 = 5 = G = F F = 5= 1 5 = = 1 5 = 1 5 = 3 5 Nyní zjistíme hodnoty příslušných poměrů: = 3 5 3 5 = 1 5 1 5 1 5 1 5 což se rovná. = 1 5 = 1 5 3 3 5 5 5 = = 1 5, což se rovná. Konstrukce 4 konstrukce přehýbáním ppíru 5 = 1 5, 4 Poslední postup, jk rozdělit úsečku zltým řezem je zjímvý tím, že k němu nepotřebujeme nic víc, než kus ppíru, ze kterého si n zčátku vystřihneme čtverec. Z délku strny čtverce volíme velikost úsečky, kterou chceme zltým řezem rozdělit. 15
Mějme tedy čtverec se strnou. Přeložíme jej npůl (vznikne obdélník) opět rozevřeme. Střed strny protější ke strně si oznčíme, druhý krjní bod úhlopříčky z bodu si oznčíme. ále přehneme ppír podle vyznčené přerušovné čáry opět rozložíme (Obr. 1). Obr. 1: Konstrukce 4 Teď vezmeme vrchol přiložíme jej n přehyb. Úsečk nám tedy splývá s částí úsečky, poloh bodu se nezměnil (Obr. 13, 14). Obr. 13: Konstrukce 4 Obr. 14: Konstrukce 4 Nyní přiložíme vrchol opět n přehyb. Úsečk splývá s částí úsečky, poloh bodu se nezměnil (Obr. 15, 16). Obr. 15: Konstrukce 4 Obr. 16: Konstrukce 4 16
Skládnk je hotová bod dělí úsečku ve zltém řezu tk, že úsečk je větším dílem úsečky. ůkz: chceme: = = Nechť má původní čtverec rozměry ( ). Potom =, =, =. Pomocí Pythgorovy věty určíme délku přehybu : = = = 5 4 = 5, Obr. 17: Konstrukce 4 le 0, proto = 5 (Obr. 17). Nyní zjistíme délky jednotlivých úseček po zpřehýbání ppíru ověříme, zd splňují podmínky zltého řezu (Obr. 18). = = 5 = 5 1 = = 5 1 = 3 5 = 5 1 5 1 = 5 1 3 5 3 5 5 1 = 5 1 4 3 5 = 5 9 5 = 5 1 = = 5 1 = Obr. 18: Konstrukce 4 Poznámk: Přehýbáním ppíru rozdělíme úsečku zltým řezem jen přibližně. Teoreticky je sice řešení správné, le mximální přesnosti nelze smozřejmě dosáhnout ni rýsováním, ntož skládáním ppíru, kde záleží nejen n preciznosti nší práce, le nvíc npříkld i n tloušťce ppíru. 17
5 Zlté číslo rovinné útvry Poměr můžeme nezřídk nlézt v rovinné geometrii. Už víme, jk zltý řez sestrojit. Nyní si ukážeme, že se vyskytuje npříkld v některých prvidelných mnohoúhelnících, niž bychom jej sestrojovli úmyslně. ále se seznámíme s pojmy zltý obdélník, zltý trojúhelník zltá spirál. Právě tyto útvry se čsto vyskytují v přírodě. 5.1 Zltý obdélník Předstvme si obdélník, jehož delší strn má velikost krtší strn má velikost b. Zvolíme-li strny, b tk, by b =, nzveme tento obdélník zltým. Pro tkový obdélník pk pltí následující zjímvé vlstnosti: 1. Vepíšeme-li zltý obdélník do čtverce, vrcholy obdélníku pk dělí strny čtverce zltým řezem (Obr. 19). N c c d d K d b b d M c c Obr. 19: Zltý obdélník vepsný do čtverce L ůkz: Nechť b =. hceme dokázt: c d =. Pro trojúhelník L (stejně jko pro trojúhelník N) musí pltit: c c =, odtud c=. nlogicky pro trojúhelník M pltí (stejně jko pro trojúhelník K): 18
d d =b, odtud d = b. Tedy: c d = = b b = Poznámk: Z důkzu je zřejmé, že tto vlstnost není výsdou pouze zltého obdélníku. T dlší už ovšem no.. Oddělíme-li od zltého obdélníku ( b ) čtverec EF ( ), je zbylý obdélník FE ( b b ) opět zltý (Obr. 0). b F -b b b b b -b E Obr. 0: Oddělení čtverce od zltého obdélníku ůkz: Nechť b =. hceme dokázt: b b =. Oddělíme-li od obdélníku čtverec EF o strně délky b, rozdělili jsme vlstně úsečku bodem E ve zltém řezu, protože =, E =b předpokládáme, že b =. To le znmená, že E =, tedy b b =. E = E Poznámk: V oddělování čtverců můžeme stejným způsobem pokrčovt získáme nové zlté 19
obdélníky: EHG, EGIJ, GIKL, td.(obr. 1) F G L I K H E J Obr. 1: Nové zlté obdélníky získné oddělováním čtverců Ještě si ukážeme, jk jednoduše hlvně rychle lze sestrojit zltý obdélník (Obr. ): Postup: 1., ; = ( jednotky délky). X, Y ; X, Y 3. ; X, =1 4. k ; k, r=3 Y 5. ; k Y 3 k 6. E ; E X, E = 7. obdélník E 1 E Obr. : Konstrukce zltého obdélníku X Trojúhelník E je prvoúhlý s přeponou, =3, E =. Pomocí Pythgorovy věty vypočítáme E : E = 3 = 5. Strn E obdélníku E měří 1 5, strn měří, pltí tedy, že E =1 5 =, obdélník je zltý. hceme-li zltý obdélník s jinými rozměry, stčí tento obdélník zmenšit nebo zvětšit, npříkld pomocí libovolné stejnolehlosti. 0
5. Zltý trojúhelník Zltým trojúhelníkem nzýváme libovolný rovnormenný trojúhelník pro který pltí: =, kde je velikost zákldny je velikost rmene. Tento trojúhelník má při zákldně úhly o velikosti 7 u vrcholu úhel 36 (Obr. 3). O tom se můžeme přesvědčit jednoduše npříkld tkto: Zvolíme-li zákldnu trojúhelníku z jednotku délky, potom by byl trojúhelník zltý, musí být rmen dlouhá 1 5. Rozdělíme-li trojúhelník výškou k zákldně n dv 7 7 prvoúhlé úhel při zákldně oznčíme, bude pltit, že 1 cos = = 1 Obr. 3: Zltý trojúhelník. Odtud =7. 1 5 1 5 Jelikož součet úhlů v trojúhelníku musí být 180 úhly při zákldně rovnormenného trojúhelníku jsou shodné, je již sndné dopočítt zbývjící velikosti úhlů. Tento postup funguje i obráceně, můžeme tedy říci, že kždý rovnormenný trojúhelník, jehož rmen svírjí se zákldnou úhel 7 je zltý. Vepíšeme-li do zltého trojúhelníku (se zákldnou ) rovnormenný trojúhelník s rmenem, bude nový trojúhelník opět zltý. Trojúhelník je totiž rovnormenný se zákldnou jeho rmen svírjí se zákldnou úhly 7. Tento postup můžeme, stejně jko u zltého obdélníku, libovolněkrát opkovt (Obr. 4). 36 E F Obr. 4: Vepisování zltých trojúhelníků 1
5.3 Zltá spirál Vrátíme-li se k zltému obdélníku, konkrétně k oddělování čtverce od tohoto obdélníku tk, že vznikne nový zltý obdélník, provedeme-li toto oddělení několikrát, je vidět, že body vyznčující postupně zlté řezy (, F, H, J, L, ) leží n spirále. (od můžeme do výčtu zhrnout tké, stčí si předstvit, že obdélník vznikl oddělením čtverce o strně od většího obdélníku). Této spirále se říká zltá, le v podsttě jde o logritmickou spirálu (Obr. 5). F G L I P K H Obr. 5: Zltá spirál v obdélníku E J Logritmická spirál je křivk, která protíná průvodiče svých bodů pod konstntním úhlem. Její rovnice v polárních souřdnicích je: ϱ= e b, kde, b jsou kldné konstnty je úhel průvodiče v rdiánech. Tečn v bodě logritmické spirály svírá s jeho průvodičem úhel, pro který pltí: tn = 1. Pólem P této spirály je b průsečík přímek E. Zltá spirál se velmi čsto vyskytuje v přírodě. (Podívejte se npříkld n ulitu hlemýždě) [, 4, 6]. Zltou spirálu lze vkreslit i do zltého trojúhelníku (pro získání bodů spirály opět využijeme postupné vpisování menších zltých trojúhelníků). Pólem spirály bude v tomto přípdě průsečík přímek 1, 1, kde 1 je střed strny 1 je střed strny (Obr. 6). Zjímvě vypdá obrázek, kde vyjdeme od zltého trojúhelníku tvořeného strnou úhlopříčkmi prvidelného pětiúhelníku (že je tento trojúhelník zltý si ukážeme později) vykreslíme dvě spirály osově souměrné podle výšky k zákldně zltého trojúhelníku (Obr. 7). F 1 E 1 Obr. 6: Zltá spirál v trojúhelníku Obr. 7: Zlté spirály v pětiúhelníku
5.4 Prvidelný pětiúhelník Všem bsolventům střední školy by tento pojem měl být dobře znám. Pro úplnost si le připomeneme, jk prvidelný pětiúhelník vypdá jk jej můžeme zkonstruovt. Prvidelný pětiúhelník je jedním z prvidelných mnohoúhelníků, tj. všechny jeho strny (je jich pět) všechny vnitřní úhly jsou shodné. Stejně jko osttní prvidelné mnohoúhelníky jej lze vepst do kružnice rovněž mu lze kružnici vepst. Nvíc je to jediný prvidelný mnohoúhelník se stejným počtem úhlopříček strn tké jde o mnohoúhelník s nejmenším počtem vrcholů, který lze včetně úhlopříček nkreslit jedním them (Obr. 8). Obr. 8: Prvidelný pětiúhelník včetně úhlopříček Nejznámější jistě i nejpoužívnější konstrukce je pomocí kružnice opsné. N zčátku je tedy dán poloměr kružnice opsné. Z něj určíme velikost strny nejen prvidelného pětiúhelníku následujícím způsobem: Nrýsujeme kružnici k se středem S poloměrem r (Obr. 9). Zvolíme dv nvzájem kolmé průměry jejich krjní body oznčíme,,,. ále oznčíme střed úsečky S jko bod O. Sestrojíme kružnici l se středem O poloměrem O. Kružnice l protne úsečku S v bodě P. Velikost úsečky P je potom stejná, jko délk strny prvidelného pětiúhelníku vepsného do kružnice k. l 7 5 O S 10 P 6 k Obr. 9: Konstrukce prvidelných mnohoúhelníků 3
ále je poloměr kružnice k stejný jko délk strny prvidelného šestiúhelníku, velikost úsečky SP odpovídá velikosti strny prvidelného desetiúhelníku velikost úsečky OR, kde R je průsečík kolmice vedené z bodu O n průměr kružnice k, je přibližně velikost strny prvidelného sedmiúhelníku. Velikost vnitřních úhlů prvidelného pětiúhelníku (dále jen pětiúhelníku) je 108. Pětiúhelník můžeme rozdělit n pět shodných rovnormenných trojúhelníků se společným vrcholem ve středu kružnice opsné, kde zákldny jsou strny pětiúhelníku rmen mjí délku rovnou poloměru kružnice opsné (Obr. 30). Tyto trojúhelníky pk mjí při vrcholu úhel o velikosti 7, při zákldnách úhly 54. 7 54 54 Obr. 30: Rovnormenné trojúhelníky v pětiúhelníku o nás le zjímá nejvíc je výskyt zltého poměru v tomto geometrickém obrzci. ten je skutečně čstý. V následujících odstvcích si uvedeme vlstnosti pětiúhelníku související právě se zltým řezem. 1. Průsečík dvou úhlopříček dělí kždou z nich v poměru zltého řezu (Obr. 31). E 36 F 7 36 7 36 Obr. 31: Zltý řez úhlopříček 4
ůkz: Kždá úhlopříčk v pětiúhelníku nám tento pětiúhelník rozdělí n rovnormenný lichoběžník rovnormenný trojúhelník s úhly 36 při zákldně 108 u vrcholu. Sestrojíme-li tedy v pětiúhelníku E úhlopříčky E jejich průsečík oznčíme F, jsou si trojúhelníky E EF podobné (podle věty o podobnosti trojúhelníků uu obr. 3). Proto pltí: E E = EF Nvíc jsou ob trojúhelníky rovnormenné, proto: = E = F F 108 108 E 36 36 36 36 E Obr. 3: Podobné trojúhelníky Odtud dostáváme: E F = F, což znmená, že bod F dělí úhlopříčku E EF zltým řezem. Úsečk F je větší částí rozdělené úhlopříčky. nlogicky bychom mohli dokázt totéž pro osttní úhlopříčky.. Poměr délek úhlopříčky strny pětiúhelníku je zltý (Obr. 33). E 36 F 7 36 7 36 Obr. 33: Poměr úhlopříčky strny 5
ůkz: hceme dokázt, že E E =. Trojúhelník F je zltý (podle velikostí vnitřních úhlů), pltí tedy, že =. ále pltí: = E, proto F F = = E F. Z podobnosti trojúhelníků E EF (viz předchozí vlstnost) vyplývá, že E F = E E, tedy E =, což jsme chtěli dokázt. E Tuto vlstnost lze využít pro konstrukci pětiúhelníku, máme-li zdnou velikost jeho strny. Máme-li tedy nrýsovt pětiúhelník E se strnou délky, je postup následující (Obr. 34): 1. PR; PR je čtverec se strnou délky. M; M 1 3. k; k M, MP 4. G, H; G k, H k 5. k 1, k ; k 1, G, k, H 6. ; k 1 k 7. k 3, k 4 ; k 3,, k 4, 8., E; k 1 k 3, E k k 4 9. E k 4 E k R k P k 1 k 3 H M G Obr. 34: Konstrukce pětiúhelníku 6
ody G, H jsme zkonstruovli stejně, jko kdybychom hledli úsečku G (H) rozdělenou zltým řezem tk, že je její delší část. Poměr G je tedy roven, G = =, proto = =, přitom jsou úhlopříčky pětiúhelníku je strn pětiúhelníku. Poznámk: ruhou vlstnost pětiúhelníku jsme mohli jednodušeji dokázt tké tk, že trojúhelník z předchozí úlohy je zltý (podle velikostí vnitřních úhlů) tudíž poměr délek úhlopříčky strny pětiúhelníku je roven zltému číslu. Nopk víme, že trojúhelník je zltý, protože poměr délek úhlopříčky strny pětiúhelníku je zlté číslo. Z toho je názorně vidět, že vnitřní úhly zltého trojúhelníku skutečně mjí velikosti 7, 7 36. 3. Sestrojíme-li všechny úhlopříčky pětiúhelníku, dostneme pěticípou hvězdu, uvnitř které je opět prvidelný pětiúhelník. Potom poměr strn původního nového pětiúhelníku je druhá mocnin zltého čísl (Obr. 35). E O x N x x K x L x M Obr. 35: Pěticípá hvězd v pětiúhelníku ůkz: Oznčme původní pětiúhelník E nový pětiúhelník KLMNO (Obr. 36). Úhel u vrcholu je úhlopříčkmi dělen n tři shodné úhly o velikosti 36 (podle věty o obvodovém úhlu). Trojúhelník KL je rovnormenný, jeho vnitřní úhly u vrcholů K L jsou tedy shodné měří 7. Proto i vnitřní úhly pětiúhelníku KLMNO u vrcholů K L jsou shodné měří 108 (180-7 ). Stejně můžeme postupovt, vyjdeme-li od jiného vrcholu pětiúhelníku E. Tím jsme ověřili, že pětiúhelník KLMNO je skutečně rovněž prvidelný. 7
36 E 36 36 36 108 7 7 108 108 7 7 36 36 36 N x M x Obr. 36: Pěticípá hvězd v pětiúhelníku x L élku strny pětiúhelníku E oznčíme, délku strny pětiúhelníku KLMNO oznčíme x. hceme dokázt: x = oplníme-li velikosti úhlů v obrázku, vidíme, že pltí: E = O = (trojúhelník EO je rovnormenný se zákldnou EO). ále je vidět, že K = O = x Z vlstnosti. víme, že = O O Pltí tedy: = O K = O O KO = x, odtud 1 = x =1 x Rovnici 1 =1 x uprvíme pomocí ekvivlentních úprv: x =1 1 x = 1 x = 1 ále víme, že pro zlté číslo pltí: 1= 1. ostáváme: x = =, což jsme chtěli dokázt. 1 8
Poznámk: élky úseček KO, K, O, (Obr. 35) jsou členy geometrické posloupnosti s kvocientem q=. Tto skutečnost je pěkně vidět, zvolíme-li délku strny pětiúhelníku E z jednotku délky. Potom zmíněné úsečky mjí velikosti: KO = 1, K = 1, O =1, = Nvíc pltí, že součet dvou po sobě jdoucích členů této posloupnosti se rovná členu následujícímu: KO K = 1 1 = 1 Položíme-li tento součet roven následujícímu členu, tj. 1 =1, dostáváme rovnost 1 =, o které víme, že pltí. Totéž pltí pro součet členů K O : K O = 1 1 1= Tento součet položíme roven následujícímu členu, tj. 1 = dostáváme tutéž rovnost 1 =. ještě jedn zjímvost: Je dán prvidelný pětiúhelník E, délku jeho strny budeme povžovt z jednotku. Podle následujících pokynů sestrojíme trojúhelník EFG (Obr. 37): 1. k; k, E. F; F k E 3. p; p, p EF 4. l; l E, E = l G p k 5. G; G l p 6. EFG 51,83 E Obr. 37: Zjímvost F Trojúhelník EFG má délky strn: EF =, EG = FG =, výšk n strnu EF měří. Úhly při zákldnách měří přibližně 51,83. Tto velikost téměř odpovídá velikosti úhlu 51,85, což je odchylk stěn heopsovy pyrmidy od zákldny. 9
5.5 Prvidelný desetiúhelník Jk se prvidelný desetiúhelník (dále jen desetiúhelník) zkonstruuje, známe-li poloměr kružnice opsné, už víme (Obr. 9). Rozdělíme-li desetiúhelník n deset rovnormenných trojúhelníků se zákldnmi splývjícími se strnmi desetiúhelníku se společným vrcholem ve středu kružnice opsné, získáme deset shodných rovnormenných trojúhelníků (Obr. 38). Podíváme-li se n velikosti vnitřních úhlů těchto trojúhelníků, zjistíme, že trojúhelníky jsou zlté. Plný úhel (360 ) u středu kružnice opsné je rozdělen rovnoměrně n deset dílů, úhel u vrcholu proti zákldně kždého rovnormenného trojúhelník je tedy 36, n úhly při zákldně zbývá po 7. Pltí tedy, že poloměr r kružnice opsné prvidelnému desetiúhelníku ku strně tohoto desetiúhelníku je zlté číslo. r = r r 36 r r 7 7 Obr. 38: Prvidelný desetiúhelník N závěr této kpitoly si ještě ukážeme příkldy, jejichž řešení nějk souvisí se zltým řezem: 5.6 Úloh z Eukleidových Zákldů Rozdělte dnou úsečku n dvě nestejné části tk, by čtverec sestrojený nd větší z nich měl stejný obsh jko prvoúhelník, jehož jedn strn má délku menší části dné úsečky druhá má délku celé úsečky (Obr. 39). - x x x x x - x - x Řešení: Obr. 39: Úloh z Eukleidových zákldů élku dné úsečky oznčíme. Nechť po rozdělení má větší část úsečky délku x 30
menší délku x, přičemž x x 0. Čtverec sestrojený nd větší částí dné úsečky má tedy obsh x, prvoúhelník (tj. obdélník) má obsh x. x by byly splněny poždvky zdání, musí pltit: x = x, neboli x = x, což le není nic jiného, než rovnice pro nlezení zltého řezu úsečky. Rozdělíme-li tedy dnou úsečku zltým řezem, dostneme řešení této strověké úlohy. 5.7 Lotrinský kříž (Lorrine ross) Jde o znk Jny z rku (pocházel z lotrinské obce), který se stl z. světové války symbolem bojovníků frncouzského hnutí odporu, mimo to byl v téže době i znkem frncouzského národního letectv. Tento kříž se skládá z ptnácti jednotkových čtverců uspořádných tk, jk je vidět n obrázku číslo 40. Obr. 40: Lotrinský kříž Obr 41: Lotrinský kříž v uměleckém podání S tímto symbolem se pojí následující úloh [4]: Zdání: Veďte bodem (Obr. 4) přímku tk, by rozdělil plochu kříže n dvě části o stejném obshu. V jkém poměru dělí bod úsečku E? Řešení: Obsh celé plochy kříže je 15 jednotek čtverečných. Z toho tedy jedn polovin činí 7,5 j. Všimněme si tří prvoúhlých trojúhelníků: F, E G. 31
E F G p Obr. 4: Zdání řešení úlohy o Lotrinském kříži Oznčíme-li velikost úsečky E proměnnou x velikost úsečky G proměnnou y, pltí následující rovnosti: 1.. x 1 y 1 =7,5 5 x 1 y 1 =5 xy x y 1=5 x y x y =7,5 6 = 3 x y=3 Obě rovnosti určují vzthy mezi plochmi prvoúhlých trojúhelníků jednotkových čtverců v horní polovině kříže. Máme tedy soustvu dvou rovnic pro dvě neznámé x y, kterou nyní vyřešíme. Ze druhé rovnice si vyjádříme npříkld proměnnou x dosdíme do rovnice první: x=3 y, xy x y 1=5 3 y y 3 y y 1=5 3 y y 4=5 y 3y 1=0 y 1 = 3± 3 4 1 1 = 3± 5, y 1 1 = 3 5, y = 3 5 x 1 =3 y 1 =3 3 5 = 3 5, x =3 y =3 3 5 = 3 5 3
Z obrázku je zřejmé, že přímk musí mít tkový sklon, by y x, jink nerozdělí plochu kříže n dvě stejné části. Proto vyhovují kořeny x 1, y 1. od tedy dělí úsečku E tk, že E = 3 5 že =1 3 5 = 5 1 Potom:, přitom E =1. Z toho vyplývá, E = 1 5 1 = 5 1 4 5 1 E = = 5 1 3 5 3 5 3 5 3 5 = 1 5 = ; =3 5 3 5 5 9 5 To znmená, že bod dělí úsečku E zltým řezem. = 1 5 4 = 1 5 =. 33
6 Pltónská těles Pltón (vlstním jménem ristokles) byl řecký filosof, který žil si v letech 48 347 př. n. l. (Obr. 43). Veřejnosti je znám především díky podobenství o jeskyni. V thénách zložil filosofickou školu, která dostl název kdémie jejíž progrm zhrnovl v neposlední řdě i mtemtiku. Pltónské těleso je prvidelný konvexní mnohostěn (tj. z kždého vrcholu vychází stejný počet hrn všechny stěny tvoří stejný prvidelný mnohoúhelník). V trojrozměrném prostoru jich existuje právě pět to: prvidelný čtyřstěn, prvidelný šestistěn (krychle), prvidelný osmistěn, prvidelný dvnáctistěn prvidelný dvcetistěn. Pltón jko jeden z prvních mtemtiků tto těles podrobně popsl. Krychli, osmistěn, čtyřstěn dvcetistěn povžovl z předstvitele čtyř zákldních živlů: země, vzduch, oheň vod. vnáctistěn podle Pltónov učení předstvovl jsoucno, neboli vše, co existuje. N následující stránce je v tbulce uveden přehled všech pěti Pltónových těles i s jejich vlstnostmi [1]. Znčení použité v tbulce: s...počet stěn těles h...počet hrn těles v...počet vrcholů těles h v...počet hrn vycházejících z jednoho vrcholu Obr. 43: Pltón Pltónská těles jsou pro nás z hledisk zkoumání zltého řezu poměrně zjímvá. N některých z nich njdeme zltý poměr ve velmi hojném počtu. (Proporcemi zltého řezu n pltónských tělesech se zbývl v minulosti především itlský mnich Luc Pcioli). 34
název obrázek s h v tvr stěny h v povrch (hrn délky ) objem (hrn délky ) prvidelný čtyřstěn 4 6 4 rovnostrnný trojúhelník 3 3 3 1 (tetredr) prvidelný šestistěn, krychle (hexedr) 6 1 8 čtverec 3 6 3 prvidelný osmistěn (oktedr) 8 1 6 rovnostrnný trojúhelník 4 3 3 3 prvidelný dvnáctistěn (dodekedr) 1 30 0 prvidelný pětiúhelník 3 3 5 10 5 3 15 7 5 4 prvidelný dvcetistěn (ikosedr) 0 30 1 rovnostrnný trojúhelník 5 5 3 5 3 1 3 5 6.1 Prvidelný dvnáctistěn Stěny dvnáctistěnu tvoří prvidelné pětiúhelníky. Už to nám zručuje přítomnost zltého čísl n tomto tělese. vnáctistěn má le dlší zjímvou vlstnost, lze do něj vepst tři nvzájem kolmé zlté obdélníky to tk, že jejich vrcholy leží ve středech stěn dvnáctistěnu (Obr. 44). Obr. 44: Prvidelný dvnáctistěn vepsné zlté obdélníky 35
6. Prvidelný dvcetistěn Stěny dvcetistěnu tvoří rovnostrnné trojúhelníky. Ty nám smy o sobě žádný zltý řez nenbízí. Vezmeme-li le v úvhu všechny trojúhelníky stýkjící se v jednom vrcholu dvcetistěnu, jejich protilehlé strny k tomuto vrcholu leží v jedné rovině tvoří prvidelný pětiúhelník. Zlté číslo je n světě. Pro dvcetistěn dále pltí: Spojíme-li dvě protilehlé hrny získáme obdélník, jehož delší strn je k menší ve stejném poměru jko součet strn ku delší strně, to znmená, že jsme dostli zltý obdélník. Odtud plyne, že dvnáct vrcholů dvcetistěnu tvoří součsně dvnáct vrcholů tří zltých obdélníků, které leží ve třech nvzájem kolmých rovinách. Společný průsečík těchto obdélníků je středem dvcetistěnu (Obr. 45). Obr. 45: Prvidelný dvcetistěn vepsné zlté obdélníky 6.3 Prvidelný osmistěn o prvidelného osmistěnu lze vepst prvidelný dvcetistěn tk, že kždý vrchol dvcetistěnu rozdělí hrny osmistěnu v poměru zltého řezu (Obr. 46) [8]. ále lze do prvidelného osmistěnu vepst prvidelný dvnáctistěn způsobem, jkým je znázorněno n obrázku 47 (nejde o vepsání v prvém slov smyslu dvnáctistěn není celý uvnitř osmistěnu) [8]. Potom ty vrcholy dvnáctistěnu, které leží n hrnách osmistěnu, dělí hrny osmistěnu v poměru 1 :1. 36
Obr. 46: vcetistěn vepsný do osmistěnu Obr. 47: vnáctistěn vepsný do osmistěnu 6.4 Krychle Vepíšeme-li do krychle prvidelný dvnáctistěn (Obr. 48) [8], je poměr délky hrny dvnáctistěnu délky hrny krychle roven číslu 1. Obr. 48: vnáctistěn vepsný do krychle Ukázli jsme si, že zltý řez v pltónských tělesech skutečně není vzácností. Tvry prvidelných mnohostěnů se vyskytují v přírodě, npříkld jko krystlické struktury některých nerostů. Zltý řez tedy není jen vyumělkovným poměrem mtemtiků, le dílo přírody. 37
7 Fiboncciov posloupnost V poslední kpitole si ukážeme, že ke zltému číslu lze tké dospět, niž bychom zmínili zltý řez úsečky, tudíž bez geometrie. Se zltým číslem úzce souvisí posloupnost přirozených čísel (tzv. Fiboncciov posloupnost), kterou sestvil Itl Leonrdo Pisánský zvný též Fiboncci (žil n přelomu 1. 13. století v Pise). V roce 10 vydl ltinsky psné dílo Knih o bku ( Incipit Liber bbci ompositus Leonrdo filius oncci Pisno ). V této knize shrnul všechny tehdejší znlosti o ritmetice lgebře. Šlo o jednu z prvních knih v Evropě, která učil používt desítkovou soustvu. Vrťme se le k Fiboncciově posloupnosti. T je nejčstěji zdáván pomocí tzv. rekurentního vzorce, to znmená, že není dán vzorec pro přímý výpočet libovolného členu posloupnosti, le vzth pro výpočet některého členu posloupnosti pomocí několik členů předcházejících. Obecný rekurentní vzorec vypdá následovně: p n k = c 1 p n k 1 c p n k +... + c k p n, kde p i jsou členy posloupnosti, c 1,..., c k jsou konstnty n, k jsou přirozená čísl. Tímto předpisem jsme vyjádřili (n+k)-tý člen posloupnosti pomocí k předchozích členů. Číslo k se nzývá řád rekurentního vzorce. Fiboncciov posloupnost se zdává pomocí rekurentního vzorce druhého řádu: F n =F n F n 1, n 3 F 1 =1 F =1 Kždý člen Fiboncciovy posloupnosti se tedy určí jko součet dvou předchozích členů. V následující tbulce je vypsáno prvních 10 členů Fiboncciovy posloupnosti. n 1 3 4 5 6 7 8 9 10 F n 1 1 3 5 8 13 1 34 55 Poznámk: Občs je uváděn ještě nultý člen Fiboncciovy posloupnosti: F 0 =0. 38
Pokud bychom chtěli určit třeb stý člen této posloupnosti, postup podle rekurentního vzorce by byl velmi zdlouhvý. Existuje všk vzorec (tzv. inetův vzorec) pro přímý výpočet n-tého členu Fiboncciovy posloupnosti: Poznámk: F n = n n 1, kde 1 = 1 5, 5 = 1 5 Zjisté jste si všimli, že 1 =, =. Vzorec pro n-tý člen Fiboncciho posloupnosti tedy obshuje zlté číslo hodnoty s ním související. Pltnost inetov vzorce lze ověřit následujícím způsobem: osdíme-li do inetov vzorce postupně n=1 n=, vyjde nám F 1 =1 F =1. Potom ověříme, že pro tento vzorec pltí rekurentní vzth F n =F n F n 1 důkz je hotov. n=1 : 1 5 1 5 F 1 = 5 n= : = 5 5 =1 1 5 F 1 1 5 1 = = 5 5 1 5 5 = 4 5 5 4 5 4 5 =1 F n =F n F n 1 = n n 1 n 1 n 1 1 = n 1 1 1 n 1 5 5 5 protože pltí vzthy: 1 1= 1, 1= strně 9, druhý si zkuste nlogicky ověřit smi), je F n =F n F n 1 = n 1 1 n = n n 1 5 5 inetův vzorec tedy pltí. (první vzth jsme již ověřili n 39
inetův vzorec lze le odvodit i jink [8]. Při výpočtu zltého čísl jsme rozdělili jednotkovou úsečku zltým řezem delší část této úsečky jsme oznčili x. ostli jsme pk rovnici x x 1=0, která měl kořeny x 1 = 1 x = 1. Mohli bychom le stejným způsoben vyjít od úsečky délky x 1 x, kterou rozdělíme zltým řezem n dvě části o délkách 1 x 1 (Obr. 49). Obr. 49: Zltý řez úsečky x 1 x - 1 x 1 = 1 x 1 ostneme jinou rovnici pro zltý řez: x x 1=0. Kořeny této rovnice jsou: x 1 = 1 5 =, x = 1 5 = Již jsme si dokázli ( nvíc z výše zmíněné kvdrtické rovnice je přímo vidět), že pro zlté číslo pltí vzth: = 1. Nyní se pokusíme vyjádřit i vyšší přirozené mocniny čísl pomocí lineárního výrzu. Výrz 3 můžeme vyjádřit dvěm způsoby: 1. 3 = = 1 = = 1 = 1. = 1 / 3 = = 1 = 1 ruhý postup můžeme zobecnit: = 1 / n n = n 1 n, což je příkld rekurentního vyjádření. Známe-li lineární výrz pro n 1 pro n, získáme jejich součtem lineární výrz pro n. Můžeme tedy sestvit schém, v němž lineární výrz n kždém řádku je součtem lineárních výrzů ve dvou předcházejících řádcích: 40
0 = 1 = 1 1 = = = 1 = 1 3 = = 1 4 = 3 =3 5 = 4 3 =5 3 6 = 5 4 =8 5, Ze schémtu je vidět, že pltí rovnost: n =F n F n 1 (1) Nprosto nlogicky můžeme postupovt s číslem, protože je to druhý kořen stejné rovnice, jko číslo. Získáme rovnost: n =F n F n 1 () Odečteme-li rovnost () od rovnosti (1), dostneme následující vzth: n n = F n F n 1 F n F n 1 n n =F n F n 1 F n F n 1 n n =F n F n n n =F n / : F n = n n n F n = 1 5 1 5, přičemž = 1 5 5 n 1 5, což je hledný inetův vzorec. = 1 5 1 5 = 5, tedy Fiboncciov posloupnost má mnoho zjímvých vlstností. Pro informci uvádím (bez důkzu) některé z nich [3]: 1. Pro součet prvních n členů posloupnosti pltí: F 1 F +... + F n =F n 1, neboli F i =F n 1 ; i=1,..., n. Pro součet druhých mocnin prvních n členů posloupnosti pltí: F 1 F +... + F n =F n F n 1, neboli F i = F n F n 1 ; i=1,..., n 41
3. Nelze sestrojit trojúhelník, jehož strny (jejich délky) by bylo možno vyjádřit (různými) čísly Fiboncciovy posloupnosti (vyplývá z trojúhelníkové nerovnosti). Význmnou souvislost se zltým číslem má posloupnost c n = F n 1, tedy posloupnost, jejímiž členy jsou podíly sousedních členů Fiboncciovy posloupnosti. Podívejme se n několik členů této posloupnosti (od n=7 jsou členy c n zokrouhlovány podle mtemtických prvidel n tři desetinná míst): F n n 1 3 4 5 6 7 8 F n 1 1 3 5 8 13 1 F n 1 1 3 5 8 13 1 34 c n 1 1 =1 1 = 3 =1,5 5 3 =1,6 8 5 =1,6 13 8 1 34 =1,65 =1,615 13 1 =1,619 Spočítáme-li limitu posloupnosti c n (pro n jdoucí k nekonečnu), dostneme hodnotu zltého čísl. lim c n =lim F n 1 =lim F n 1 5 n 1 n 1 1 5 n n = lim n 1 lim n 1 lim n lim n = lim n 1 lim n =lim = Při výpočtu jsme využili prvidel pro počítání s limitmi (limit součtu je součet limit td.) toho, že lim n =0, pro 0 1, n. Jelikož = 1 5 1, je lim n =0. Zlté číslo lze tedy skutečně zvést nejen jko poměr délek dvou částí úsečky (jk bylo uvedeno v kpitole 3), le i jko limitu výše zmíněné posloupnosti c n. 4
8 Závěr Přesvědčili jsme se, že i když zlté číslo není v povědomí lidí zstoupeno tk čsto, jko třeb Ludolfovo číslo π, je jeho výskyt skutečně velký. Připouštím, že znlost jeho hodnoty není k běžnému životu nezbytná. Nicméně je zjímvé, jk se poměrem zltého řezu řídí přírod. Hledání zltého řezu n rostlinách, schránkách měkkýšů, v krystlických strukturách látek, b dokonce i n lidském těle by vydlo n nemlou knihu. To vysvětluje, proč se tento poměr lidem od prdávn tk líbil ( doposud líbí). Přestože o něm většin z nás neví, nše oko je n něj zvyklé. Poměr zltého řezu vnímáme jko přirozenou věc. Proto jej i v součsnosti využívjí npříkld rchitekti, designéři, mlíři nebo fotogrfové (občs i neúmyslně) při své práci. 43
9 Použité znčení.. velikost úsečky.. zlté číslo p.. přímk p.. polopřímk p..přímk p je kolmá n úsečku p.. bod leží n p b.. je ekvivlentní s b F 1.. bod F je střed úsečky... průnik, průsečík k S, r.. kružnice k se středem S poloměrem r tn.. tngens úhlu lim c n.. limit posloupnosti c n n.. n jde k nekonečnu.. konec důkzu 44
10 Litertur [1] rtsch H.J. (00): Mtemtické vzorce. Mldá front, Prh. [] hrvát F., Šmelhus J. (1971): Populární encyklopedie mtemtiky (Překld z německého originálu Meyers Großer Rechenduden). SNTL, Prh. [3] Korděmskij.. (1966): Mtemtické prostocviky. Mldá front, Prh. [4] Kowl S. (1985): Mtemtik pro volné chvíle. SNTL, Prh. [5] Opv Z. (1989): Mtemtik kolem nás. lbtros, Prh. [6] Rektorys K. (1981): Přehled užité mtemtiky. SNTL, Prh. [7] Vincent R. (001): Géométrie du nombre d'or. hlgm Édition, Mrseille. [8] Wlser H. (1996): er Goldene Schnitt..G. Teubner Verlgsgesellschft Leipzig vdf Hochschulverlg G n der ETH Zürich [9] Referenční mnuál esign Pro 000 (1998). ViGrfix orportion, Pryor (US). Česká verze: rcde, Prh. Použité internetové stránky: http://cs.wikipedi.org/wiki/pltónská_těles http://rim.me.cz/osobnosti/litertur/vitruvius.html http://www.mthes.cz/zjimvosti/zlty-rez.spx http://www.volny.cz/zlty.rez/ lší internetové stránky zbývjící se zltým řezem problemtikou s tím související: http://www.mcs.surrey.c.uk/personl/r.knott/fiboncci/fib.htm http://trucsmths.free.fr/nombre_d_or.htm http://perso.wndoo.fr/therese.eveilleu/pges/truc_mt/textes/rectngle_dor.htm 45