Vsoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A2 Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2004
Obsah 1. Cvičení č.1 2 2. Cvičení č.2 2 3. Cvičení č.3 3 4. Cvičení č.4 4 5. Cvičení č.5 5 6. Cvičení č.6 6 7. Cvičení č.7 7 8. Cvičení č.8 7 9. Cvičení č.9 8 10. Cvičení č.10 8 11. Cvičení č.11 8 12. Cvičení č.12 8 Reference 9 1
2 1. Cvičení č.1 (1) Stanovte definiční obor dané funkce a načrtněte jej. a) z = 1 (x 2 + ) 2 b) z = 2 x 2 + 5 x 2 c) z = x2 + 2 x 2 2 d) z = arcsin(1 x 2 2 ) + arcsin 2x [ a) Dz = {(x; ) E 2 : x 2 1 x 2 + 1}; b) Dz = {(x; ) E 2 : x 2 x 2 }; c) Dz = E 2 {(x; ) E 2 : = x = x}; d) Dz = {(x; ) E 2 : x 2 + 2 2} ({(x; ) E 2 : 1 2x x > 0} {(x; ) E 2 : 1 2x x < 0}) {(x; ) E 2 : 1 2x x > 0} {(x; ) E 2 : 1 x < 0}] 2x 2. Cvičení č.2 (2) Vpočtěte parciální derivace prvního řádu daných funkcí. a) z = 3x b) z = (sin x) cos x c) z = xe sin πx x2 + d) = ln 2 x x2 + 2 + x [ a) z x = 32 (x ), 2 z = 3x2 ; (x ) 2 b) z x = cos x cos (sin x) cos 1, z = sin ln sin x(sin x) cos ; c) z x = (1 + πx cos πx)z, z = x(1 + πx cos πx)z; d) z x = 2 x2 + 2, z = 2x x 2 + 2 ] NP Vpočtěte parciální derivace prvního řádu daných funkcí. ( ) 2 x + a) z = 1 + arcsin x + b) x x z = (2x + ) 2x+ [ a) z x = 1 x x x 2 x + x +, z = 1 x x 2 x + x + ; b) z x = 2[1 + ln(2x + )]z, z = [1 + ln(2x + )]z]
3 (3) Vpočtěte všechn parciální derivace druhého řádu daných funkcí. a) z = cosx2 b) z = x + 3 x [ a) x xx = 2 sin x2 + 4x 2 cos x 2, z = z = x 4, 3 z x = 1 2 1 ] 3x 4 3 2 cos x2 3, z x = NP Vpočtěte všechn parciální derivace druhého řádu daných funkcí. a) z = x x2 + 2 b) z = 1 2 ln(x2 + 2 ) 2x sin x2 2 ; b) z xx = 4 9x 7 3, [ a) z xx = 2 x 2 (x 2 + 2 ) 2, z x = 3x 2 (x2 + 2 ), 5 z x = (2x2 2 ) (x2 + 2 ), 5 z = x(x2 + 2 2 ) ; b) (x2 + 2 z ) 5 2x (x 2 + 2 ) 2, z = x2 2 (x 2 + 2 ) 2 ] (4) Vpočtěte všechn požadované derivace daných funkcí. a) z = e x ln + sin ln x, x x =?, x =? b) z = x 2 + e x2, z x x =? [ a) z x = ex sin 2 x, z = 2ex 3 xx = cos ln x; b) z xx = 2 + e x2 3 (4 + 2x 2 ) ] 3. Cvičení č.3 (5) Určete d 2 z v bodě A funkce z = f(x, ). a) z = sin x sin, A = [ π 4, π ] b) z = ln x, A = (1, 1) 4 [ a) 1 2 dx2 dxd 1 2 d2 ; b) dx 2 + 2dxd ] NP Určete d 2 z v bodě A funkce z = f(x, ). a) z = e x, A = [1, 2] [ a) 4e 2 dx 2 + 6e 2 dxd + e 2 d 2 ]
4 Talorova věta pro funkci f(x), X = [x 1, x 2,..., x n ]: f(x) = f(x o ) + 1 1! df(x o) + 1 2! d2 f(x o ) + + 1 n! dn f(x o ) + R n+1 (X), kde zbtek R n+1 (X) = 1 (n + 1)! dn+1 f(x 1 + δh 1,..., x n + δh n ), δ (0, 1). (6) Napište Talorův polnom stupně n pro funkci = f(x, ) v bodě A. a) z = e x sin, A = [0, 0], n = 3 b) z = sin(x), A = [0, π 2 ], n = 2 [ a) + x + 1 2 x2 1 6 3 ; b) π 2 x + x( π 2 ) ] NP Napište Talorův polnom stupně n pro funkci = f(x, ) v bodě A. a) z = ln(1 x) ln(1 ), A = [0, 0], n = 3 [ a) x + 1 2 x2 + 1 2 x2 ] 4. Cvičení č.4 Pravidla pro počítání složených funkcí: z = f(x, ), x = x(t) a = (t) dz dt = ( ) f dx x dt + ( ) f d dt w = f(x,, z), x = x(u, v), = (u, v) a z = z(u, v) w u = w v = x x x u + x v + u + v + z u, z v, Obecně: w = f(x 1,..., x m ), x k = x k (t 1,..., t n ), pro k = 1,..., m ( ) w w = t i x 1 kde i = 1, 2,..., n. x ( ) 1 w + x ( ) 2 w + + x m, t i x 2 t i x m t i
5 (7) Vpočtěte parciální derivace prvního řádu složených funkcí. a) z = u + v 2, u = x 2 + sin, v = ln(x + ) b) z = u 2 v v 2 u, u = x cos, v = x sin [ a) z x = 2x+ 2 x + ln(x+), z = cos + 2 ln(x+); b) x+ z x = 3x 2 sin cos (cos sin ), z = x 3 (sin + cos )(1 3 sin cos ) ] NP Vpočtěte parciální derivace prvního řádu složených funkcí. a) z = u v, u = ln(x + ), v = e x [ a) z x = vu v 1 1 x + uv ln v e x, z = vuv 1 x + uv ln u e ] 2 5. Cvičení č.5 (8) Určete první parciální derivace funkce z = f(x, ), která je dána implicitně danou rovnicí. a) cos(ax + b cz) = k(ax + b cz) b) x + + z = e z [ a) z x = a c, z = b c ; b) z x = 1 (x + + z 1) = z ] (9) Vpočtěte první parciální derivace v bodě A funkce z = f(x, ), která je dána implicitně danou rovnicí. a) e z + x 2 + z + 5 = 0, A = [1, 6, 0] [ π NP) cos 2 x + cos 2 + cos 2 z 1 = 0, A = 3, π 2, π ] 6 [ a) z x(a) = 6, z (A) = 1 2, NP) z x(a) = 1, z (A) = 0 ] Tečná rovina a normála ploch: Tečná rovina τ a normála n ploch z = f(x, ) v bodě B 0 = [x 0 ; 0 ; z 0 ] jsou dán rovnicemi tvaru: τ : (x x 0 ) f x (B 0 ) + ( 0 ) f (B 0 ) (z z 0 ) = 0 n : x x 0 f x (B 0 ) = 0 f (B 0 ) = z z 0 1
6 Je-li plocha dána implicitně F (x; ; z) = 0, pak τ : (x x 0 ) F x (B 0 ) + ( 0 ) F (B 0 ) + (z z 0 ) F z (B 0 ) = 0 n : x x 0 F x (B 0 ) = 0 F (B 0 ) = z z 0 F z (B 0 ) Pro normálový vektor n tečné rovin platí n = (F x (B 0 ); F (B 0 ); F z (B 0 )). Normálu si můžeme vjádřit parametrick ve tvaru: x = x 0 + tf x (B 0 ), = 0 + tf (B 0 ), z = z 0 + tf z (B 0 ); t R. (10) Nalezněte tečnou rovinu a normálu v bodě A ploch z = f(x, ) zadané implicitně danou rovnicí. a) x 2 + 2 + z 2 49 = 0, A = [2, 6,?] b) (z 2 x 2 )xz 5 = 5, A = [1, 1, 2] [ a) τ 1 : 2x 6 + 3z 49 = 0, n 1 : x = 2 + 4t, = 6 12t, z = 3 + 6t, τ 2 : 2x 6 3z 49 = 0, n 2 : x = 2 + 4t, = 6 12t, z = 3 6t ] 6. Cvičení č.6 (11) Nalezněte lokální extrém daných funkcí. a) z = x x 2 + 6x + 3 b) z = 2x 3 + x 2 + 5x 2 + 2 c) z = ln x + 2 ln + ln(12 x ) 6 [ a) [4; 4] - lok.max.; b) [ 1; 2] - není, [0; 0] - lok.min., [ 1; 2] a [ 5 2 ; 0] - lok.max., [3; 6] - lok.max. ] NP Nalezněte lokální extrém daných funkcí. a) z = x + 50 x + 20 b) z = x 2 x + 6 [ a) [5; 2] - lok.min.; b) [4; 4] - lok.max. ]
7 7. Cvičení č.7 (12) Nalezněte vázané extrém dané funkce při daných podmínkách. a) z = x + 2; podm. x 2 + 2 = 5 b) z = 1 x + 1 ; podm. x + = 2 [ a) [1; 2] - lok.max., [ 1; 2] - lok.nim.; b) [1; 1] - lok.min. ] NP Nalezněte vázané extrém dané funkce při daných podmínkách. a) z = x + ; podm. x = 1 b) z = 1 x + 1 ; podm. 1 x + 1 2 = 1 2 [ a) [1; 1] - lok.max., [ 1; 1] - lok.nim.; b) [ 2; 2] - lok.min., [ 2; 2] - lok.max. ] (13) Najděte absolutní extrém daných funkcí. a) z = x 2 + 2x 4x + 8; na obdélníku 0 x 1, 0 2 b) z = x 2 x + 2 ; Mje určena nerovnicí x + 1 c) z = x 2 + 2 12x + 16; na oblasti dané nerovnicí x 2 + 2 25 [ a) [1; 2] - abs.max., [1; 0] - abs.nim.; b) [0; 1], [0; 1], [1; 0], [ 1; 0] - abs.max., [0; 0] - abs.min.; c) [3; 4] - abs.min., [ 3; 4] - abs.max.] 8. Cvičení č.8 (14) Určete derivaci ve směru s v bodě A a gradient v bodě A funkce z = f(x, ). z = x 2 + 2 x, A = [3; 4], s = (3; 4). [ z (A) = 19, grad z = 17 s 5 5 i 11 5 j ] (15) Určete derivaci funkce z = ln(x 2 + 2 ) v bodě A = [1; 2]. a) ve směru tečného vektoru v bodě A ke křivce = 2 x, b) ve směru, v němž je derivace maximální. [ a) z s (A) = 3 z 2; b) 5 s (A) = 2 2 ] 5
8 9. Cvičení č.9 (16) Určete tečnou rovinu a normálu v bodě T ploch z = f(x, ). z = x 2 x 2, T = [2; 1;?]. [ τ : 3x + z 4 = o; n : x = 2 + 3t, = 1, z = 2 + t ] (17) Určete tečnou rovinu a normálu v bodě T ploch z = f(x, ). z = 2, T = [ 1; 2;?]. x2 [ τ : 8x + 4 z44 = o; n : x = 1 + 8t, = 2 + 4t, z = 4 t ] 10. Cvičení č.10 (18) Nalezněte obecné řešení daných diferenciálních rovnic. a) = 10 x+ [ 10 x + 10 = C ] 1 b) 2 = [ arcsin + arcsin x = C ] 1 x 2 (19) Nalezněte partikulární řešení dané diferenciální rovnice. x(1 + 2 )dx (1 + x 2 )d = 0, ( 2) = 1 [ 2 = 2 5 x2 3 5 ] (20) (21) 11. Cvičení č.11 12. Cvičení č.12
Reference [1] Čermáková, H. - Hřebíčková, J. - Slaběňáková, J. - Šafářová, H.: Sbírka příkladů z matematik II., CERM, FAST VUT Brno 1994. [2] Hřebíčková, J. - Ráček, J. - Slaběňáková, J.: Diferenciální rovnice druhého a vssích řádů v Maple 7 - řesené příklad, FAST VUT Brno, 2001, http://math.fce.vutbr.cz/vuka/matematika/diferencialni rovnice/. [3] Kříž, J. - Křížová, H.: Diferenciální počet, metodické pokn, Fakulta strojní VUT, Brno 1978. [4] Havelka, J. - Chábek, J.: Matematika (Diferenciální rovnice, Nekonečné řad), Fakulta stavební VUT, SNTL, Praha 1978. [5] Havelka, J. - Veverka, J.: Matematika (Diferenciální rovnice, Nekonečné řad), Fakulta stavební VUT, Brno 1987. [6] Veverka, J.: Diferenciální počet II, Fakulta stavební, Brno 1982. [7] Online verze textů: Riešené úloh z matematik 2, Katedra Matematik a Deskriptivnej geometrie, Stavebna fakulta, STU, Bratislava, http://www-kmadg.svf.stuba.sk/skripta2/skripta2.pdf. 9