Funkcionální řady. January 13, 2016

Podobné dokumenty
Michal Fusek. 10. přednáška z AMA1. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek 1 / 62

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Nekonečné číselné řady. January 21, 2015

Otázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady

To je samozřejmě základní pojem konvergence, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení.

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a

17. Posloupnosti a řady funkcí

11. Číselné a mocninné řady

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015

Zimní semestr akademického roku 2015/ ledna 2016

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta

Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2

Nejčastějšími funkcemi, s kterými se setkáváme v matematice i v jejích aplikacích, jsou

LEKCE10-RAD Otázky

f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, x (x 0 r, x 0 + r). k! f(x) = k=1 Řada se nazývá Taylorovou řadou funkce f v bodě x 0. Přehled některých Taylorových řad.

3. Derivace funkce Definice 3.1. Nechť f : R R je definována na nějakém okolí U(a) bodu a R. Pokud existuje limita f(a + h) f(a) lim

- funkce, které integrujete aproximujte jejich Taylorovými řadami a ty následně zintegrujte. V obou případech vyzkoušejte Taylorovy řady

Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14

dx se nazývá diferenciál funkce f ( x )

7. Aplikace derivace

Matematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, )

2 Fyzikální aplikace. Předpokládejme, že f (x 0 ) existuje. Je-li f (x 0 ) vlastní, pak rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [x 0, f(x 0 )] je

Kapitola 7: Integrál.

ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ

Petr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 183

ČÍSELNÉ RADY. a n (1) n=1

Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava.

Určete (v závislosti na parametru), zda daný integrál konverguje, respektive zda konverguje. dx = t 1/α 1 dt. sin x α dx =

1 Posloupnosti a řady.

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel

a n (z z 0 ) n, z C, (1) n=0

Pro jakou hodnotu parametru α jsou zadané vektory kolmé? (Návod: Vektory jsou kolmé, je-li jejich skalární součin roven nule.)

f(c) = 0. cn pro f(c n ) > 0 b n pro f(c n ) < 0

1. Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny 1., 2. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g.

Kapitola 7: Integrál. 1/17

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze

f konverguje a g je omezená v (a, b), pak také konverguje integrál b a fg. Dirichletovo kritérium. Necht < a < b +, necht f : [a, b) R je funkce

f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. f(x) = (cos x) cosh x + 3x a nalezněte rovnici tečen ke grafu této funkce v bodech f(x) = (sin x) x2 + 3 cos x

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Posloupnosti a řady funkcí. študenti MFF 15. augusta 2008

Derivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010

Seznámíte se s pojmem primitivní funkce a neurčitý integrál funkce jedné proměnné.

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Derivace funkce. Obsah. Aplikovaná matematika I. Isaac Newton. Mendelu Brno. 2 Derivace a její geometrický význam. 3 Definice derivace

Funkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

. 1 x. Najděte rovnice tečen k hyperbole 7x 2 2y 2 = 14, které jsou kolmé k přímce 2x+4y 3 = 0. 2x y 1 = 0 nebo 2x y + 1 = 0.

Matematika 1 pro PEF PaE

sin(x) x lim. pomocí mocninné řady pro funkci sin(x) se středem x 0 = 0. Víme, že ( ) k=0 e x2 dx.

MATEMATIKA 1B ÚSTAV MATEMATIKY

Integrální počet - I. část (neurčitý integrál a základní integrační metody)

Numerické řešení nelineárních rovnic

Posloupnosti a jejich limity

Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost. May 26, 2018

1 L Hospitalovo pravidlo

rovnic), Definice y + p(x)y = q(x), Je-li q(x) = 0 na M, nazývá se y + p(x)y =

Čebyševovy aproximace

Separovatelné diferenciální rovnice

Petr Hasil

Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

Základy matematiky pro FEK

Bakalářská matematika I

1. Písemka skupina A...

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.

Matematická analýza I

Úvodní informace. 17. února 2018

Matematika 1. Matematika 1

Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Jednou z nejdůležitějších funkcí, které se v matematice a jejích aplikacích používají je

Posloupnosti a jejich konvergence

INTEGRÁLY S PARAMETREM

MATEMATIKA B 2. Integrální počet 1

6. Bez použití funkcí min a max zapište formulí predikátového počtu tvrzení, že každá množina

Matematika Postupnosti

+ n( 1)n+1 (x 7) n, poloměr konvergence 6. 3.Poloměr konvergence je vždy +. a) f(x) = x n. (x 7) n, h(x) = 7 + 7(n+1)( 1) n. ( 1)n

MKI Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0.

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

Z transformace. Definice. Z transformací komplexní posloupnosti f = { } f n z n, (1)

f( x) x x 4.3. Asymptoty funkce Definice lim f( x) =, lim f( x) =, Jestliže nastane alespoň jeden z případů

Homogenní rovnice. Uvažujme rovnici. y = f(x, y), (4) kde

Základy matematické analýzy (BI-ZMA)

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k),

I. TAYLORŮV POLYNOM. 2. a) x x3, b) x x3 + x5, c) 1 + 2x x2 2x 4, f (4) (0) = 48, d) x , c)

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY

DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory

Definice derivace v bodě

30. listopadu Derivace. VŠB-TU Ostrava. Dostupné: s1a64/cd/index.htm.

Otázky z kapitoly Posloupnosti

16 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy

Soubor příkladů z Matematické analýzy 1 (M1100) 1

Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE

Transkript:

Funkcionální řady January 13, 216

f 1 + f 2 + f 3 +... + f n +... = f n posloupnost částečných součtů funkcionální řada konverguje na množine M konverguje posloupnost jeho částečných součtů na množine M Obor konvergence = obor konvergence jeho částečných součtů

Mocninné řady

Důležitým případem funkční řady je mocninná řada (také označovaná jako potenční), která má tvar (se středem v ) a + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 +... + a n x n +... = a n x n Mocninná řada bývá také zapisována jako (se středem v x ) a +a 1 (x x )+a 2 (x x ) 2 +a 3 (x x ) 3 +...+a n (x x ) n +... = = a n (x x ) n

Příklad geom. řada, q = x : x n = 1 + x + x 2 + x 3 +... + x n +... ak x ( 1, 1) řada konverguje a 1 + x + x 2 + x 3 +... + x n +... = 1 1 x.

Příklad ( 1) n.x 2n = 1 x 2 + x 4 x 6 +... + ( 1) n.x 2n +... geom. řada, q = x 2 : ak x ( 1, 1) řada konverguje a 1 x 2 + x 4 x 6 +... + ( 1) n.x 2n +... = 1 1 + x 2.

Příklad Limit. podíl. krit.: x n+1 lim n = lim x n n! = 1 + x 1! + x2 2! + x3 xn +... + 3! n! +... (n+1)! x n n! n Řada je konvergentní pro x R. x 1 = x lim n + 1 n n + 1 = < 1

Příklad n n (x 3) n = (x 3) + 4(x 3) 2 +... + n n (x 3) n +... n=1 Odmocn. krit.: { x 3, 2 2 x 3 2, 3 3 3 x 3 3,..., n n n x 3 n,... posloup. není shora ohraničená, proto řada je divergentní pro x R {3}.

Definice ( Poloměr konvergence) Mezi důležité vlastnosti mocninné řady patří, že pokud mocninná řada se středem v konverguje v bodě x, pak konverguje absolutně pro všechna x ( x, x ). Největší vzdálenost x, od počátku, pro kterou mocninná řada ještě konverguje, označujeme jako poloměr konvergence R, přičemž platí R. K určení poloměru konvergence se používají kritéria konvergence řad. Konvergenci v bodech x = ±R je třeba vyšetřit samostatně. Pokud je R >, pak je součet s(x), mocninné řady funkcí spojitou na intervalu ( R, R). Každá mocninná řada konverguje ve svém středu.

Věta (Výpočet poloměru konvergence) Poloměr konvergence mocninné řady R = 1 lim sup n a n, a n (x x ) n je roven přičemž se klade R =, když limes superior je +, a R = +, když limes superior je.

Příklad (limsup) {a n } = {2, 3, 3 2 2, 4 3 2, 5 2 3, 6 3 3... 2n 1 2 n, 2n 3 n,...} {a 2n 1 } = {2, 2 2,... 2n 1 2 n,...} 2 {a 2n } = { 3, 4 3 2,... 6 3 3,...} 3 2 < 3 lim sup an = 3.

Příklad (limsup) Určete poloměr konvergence pro řadu: Zřejmě Proto a 2(x 1) + 3(x 1) 2 +...2 n (x 1) 2n 1 + 3 n (x 1) 2n +... { } n a n = {2, 3, 3 2 2, 4 3 2,... 2n 1 2 n, 2n 3 n,...}. 1 Řada konverguje pro x lim sup n a n = 3. R = 1 3 = 3 3 ( 1 3 3, 1 + 3 3 ).

Věta ( Vlastnosti řad) Pokud pro libovolné x ( R, R) konverguje řada s(x) = a n x n, pak konverguje také řada φ(x) = d(a nx n ) dx dané x ( R, R) a platí φ(x) = ds(x) dx. Říkáme, že mocninnou řadu lze derivovat člen po členu. Na libovolném intervalu a, b, který leží uvnitř ( R, R), lze mocninou řadu integrovat člen po členu, tzn. platí b a s(x)dx = b a b a dx + a b a 1 xdx + a pro b a 2 x 2 dx +... = a n x n dx a

Příklad n.x n 1 = 1 + 2x + 3x 2 +... + n.x n 1 +... = n=1 [ ] [ ] = x n 1 1 = = pro x ( 1, 1). 1 x (1 x) 2 n=1

Příklad n 2.x n = x + 4x 2 + 9x 3 +... + n 2.x n +... = n=1 ( ) = x (nx n ) = x nx n n=1 n=1 ( ) nx n = x nx n 1 1 = x pro x ( 1, 1) (1 x) 2 n=1 n=1 [ ] n 2.x n x = x (1 x) n=1 2 = x + x2 (1 x) 3.

Příklad ( 1) n x2n+1 2n + 1 = x x3 3 + x5 5 x7 7 = x x 1dx x x 2 dx + x x 4 dx x x = ( 1) n.x 2n dx = +... + ( 1)n x2n+1 2n + 1 +... = x x 6 dx +... + = arctg x pro x ( 1, 1). 1 1 + x 2 dx = ( 1) n.x 2n dx =

Příklad-mocninné řady Řešte rovnici: 1 + ( ) x 2 + 3 ( ) x 4 + + 3 ( ) x 2n + + = x 3 2 Řešení. Aby mala úloha riešenie, musí mocninný rad (ľavá strana rovnice) ( x 2. konvergovať. Všimnite si, že sa jedná o geom. rad s kvocientom q = 3) Aby bol konvergentný, musí q ( 1, 1), teda x ( 3, 3). Pozor, musí platiť x, mrknite na pravú stranu rovnice a hneď je jasný dôvod. Potom 1 + ( ) x 2 + 3 ( ) x 4 + + 3 ( ) x 2n + + = 3 1 1 ( x 3 ) 2, teda rovnicu prepíšeme Potom ( 1 ) x 2 = x 1 2 3 2x 2 + 9x 18 =. Táto kvadratická rovnica má dve riešenia x 1 = 6 ( 3, 3) a x 2 = 3 ( 3, 3), teda 2 vyhovuje iba x 2.

Příklad-mocninné řady 1 9 Pomocou mocninných radov vypočítajte 9+x 2 dx s presnosťou na 4 desatinné miesta. 9 9 Řešení. Integrant upravíme: 9+x 2 = = 1. Poučení z 9(1+ x2 9 ) 1+( 3 x )2 predchádzajúceho príkladu už vidíme, ( že sa jedná o súčet geometrického radu s prvým x 2. členom 1 a kvocientom q = 3) Teda integrant vieme zapísať ako mocninný rad, navyše už ľahko odhadneme, že ak sa má jednať o konvergentný rad, tak x ( 3, 3), potom ho môžeme člen po člene integrovať (horná aj dolná hranica integrálu patria do oboru konvergencie tohto geom. radu). Preto 1 9 9 + x 2 dx = 1 1 ( ) x 2 + 3 ( ) x 4 + + ( 1) n. 3 ( ) x 2n + + dx = 3 [ ] 1 x x3 3.3 2 + x5 5.3 4 x7 7.3 6 + + x 2n+1 ( 1)n. (2n + 1).3 2n + = 1 1 3.3 2 + 1 5.3 4 1 7.3 6 + + 1 ( 1)n. (2n + 1).3 2n + = Máme alternujúci rad a teda odhad súčtu je pomerne jednoduchá záležitosť (mrknite záver súboru prednaska7.pdf). Jednotlivé členy tohto radu tvoria nerastúcu

Příklad-mocninné řady, pokr. postupnosť, lim n an =, preto platí, že s sn < a n+1, teda ak nájdeme taký člen alternujúceho radu, ktorý je v absolútnej hodnote menší ako chyba, ktorej sa máme dopustiť, tak nám stačí sčítať len členy, ktoré sú pred ním. Naša chyba má byť menšia 1 ako 1, teda stačí nájsť také n N, aby 1 (2n+1)3 2n < 1 1, resp. (2n + 1)3 2n > 1. Ak n = 3, tak (2n + 1)3 2n = 7.3 6 < 1, ale pre n = 4 je (2n + 1)3 2n = 9.3 8 > 1. Preto stačí sčítať len 1 1 3.3 2 + 1 5.3 4 1 1 9.3 8 a ten už vynecháme a samozrejme aj všetky ďalšie). Teda by bol práve 1 9 9+x 2 dx 1 1 3.3 2 + 1 5.3 4 1 7.3 6 = 23728 24515. 7.3 6 (ďalší člen

Taylorova řada

Za určitých předpokladů o funkci f (x) v okolí bodu a lze tuto funkci vyjádřit (rozvinout) jako mocninnou řadu. Toto vyjádření funkce prostřednictvím Taylorovy řady se označuje jako Taylorův rozvoj. Pro přibližné vyjádření hodnot funkce není nutné vyjadřovat všechny členy Taylorovy řady, ale můžeme zanedbat členy s vyššími derivacemi. Získáme tím tzv. Taylorův polynom. Taylorův polynom tedy aproximuje hodnoty funkce, která má v daném bodě derivaci, pomocí polynomu, jehož koeficienty závisí na derivacích funkce v tomto bodě. Řada je pojmenována po anglickém matematikovi Brooku Taylorovi, který ji publikoval v roce 1712. Avšak metoda aproximace funkce mocninnou řadou byla objevena již v roce 1671 Jamesem Gregorym.

V případě existence všech derivací funkce f v bodě a lze Taylorovu řadu zapsat jako f (x) = f (a)+ f (a) 1! (x a)+ f (a) 2! = k= (x a) 2 + f (3) (a) (x a) 3 +... = 3! f (k) (a) (x a) k k!

Má-li funkce f v bodě a derivace až do řádu n, pak Taylorův polynom řádu n funkce f v bodě a je polynom: T n = f (a)+ f (a) 1! (x a)+ f (a) 2! = n k= (x a) 2 +...+ f (n) (a) (x a) n = n! f (k) (a) (x a) k, k! kde nultou derivací je myšlena samotná funkce. Taylorův polynom je tedy speciálním případem Taylorovy řady, který získáme tehdy, jsou-li od určitého n všechny vyšší derivace nulové.

Rozvoj funkce f (x), která má v okolí bodu a derivace do (n + 1) ního řádu je obsahem Taylorovy věty, která říká, že takovéto funkce lze v okolí bodu a vyjádřit jako f (x) = f (a) + f (a) 1! (x a) +... + f (n) (a) (x a) n + R n+1 (x), n! kde zbytek R n+1 lze vyjádřit některým z následujících tvarů L n (f, a, x) = f (n+1) (a + Θ(x a)) (x a) n+1 (n + 1)! pro < Θ < 1 (tzv. Lagrangeův tvar zbytku) C n (f, a, x) = (x a)n+1 (1 Θ) n f (n+1) (a + Θ(x a)) n! pro < Θ < 1 (tzv. Cauchyův tvar zbytku)

Taylorova řada funkce f (x) konverguje v bodě x k funkční hodnotě f (x) právě když lim R n(x) =. n Pro a = přechází Taylorova řada v řadu Maclaurinovu, tedy f (x) = f () + n=1 f (n) () x n n!

Příklad (Příklady Taylorova rozvoje) e x = 1 + x + x2 2! + x3 3! + = x n n! pro x (, ) sin x = x x3 3! + x5 5! x7 7! +... = pro x (, ) cos x = 1 x2 2! + x4 4! x6 6! +... = pro x (, ) ( 1) n x 2n+1 (2n + 1)! x 2n ( 1) n (2n)!

Příklad (Příklady Taylorova rozvoje) (1 + x) r = 1 + ( ) r x + 1 ( ) r x 2 + 2 ( ) r x 3 +... = 3 pro r R, x (, ) ( ) r x n n ln(1 + x) = x x2 2 + x3 3 x4 4 + x5 5... = pro x ( 1, 1 n=1 ( 1) n+1 x n n a x = 1 + x ln a 1! + x2 ln 2 a 2! + x3 ln 3 a 3! (x ln a) n +... = n! pro a >, x (, )

Příklad (Příklady Taylorova rozvoje) ln 1 + x [ ] 1 x = 2 x + x3 3 + x5 5 + x7 7 +... x ( 1, 1) = 2 x 2n+1 2n + 1 tg x = x + 1 3 x3 + 2 15 x5 + 17 315 x7 +... pro x ( π 2, π 2 ) cotg x = 1 x 1 3 x 1 45 x3 2 945 x5... pro x (, π)

Příklad (Příklady Taylorova rozvoje) arcsin x = x + 1 x 3 2 3 + 1 3 x 5 2 4 5 + 1 3 5 2 4 6 x 7 7 +... pro x ( 1, 1) arccos x = π 2 x 1 x 3 2 3 1 3 x 5 2 4 5 1 3 5 2 4 6 x 7 +... pro x ( 1, 1) 7 arctg x = x x3 3 + x5 5 x7 7 +... = pro x ( 1, 1) ( 1) n x 2n+1 2n + 1

Příklad (Příklad) Je daná funkce f (x) = e x, pro jej derivace platí f (n) (x) = e x. Potom T n (f, a, x) = n i= e a i! (x a)i = e a +e a (x a)+ ea 2! (x a)2 +... L n (f,, x) = L 7 (f,, 1) = 18 8! eθ = eθ 8! xn+1 (n + 1)! eθ x, < Θ < 1 < 3 8! = 1 1344

Příklad (Příklad) Je daná funkce f (x) = e x, aproximujte ji na intervalu 1, 1 s chybou menší 1 1. x 1, 1, < Θ < 1, e x 1 T n (f,, x) < 1 e x x n+1 T n (f,, x) = L n (f,, x) = eθ x (n + 1)! x n+1 eθ x x (n + 1)! = n+1 e Θ x (n + 1)! < 1 1

Příklad (Příklad, pokr.) x n+1 e Θ x (n + 1)! < 3 x n+1 (n + 1)! < 1 1 3 (n + 1)! < 1 1 3 < (n + 1)! 8! = 432, 9! = 36288 n = 8.

Příklad (Příklad) Určete přibližně 1 e x2 dx, s chybou menší jako 1 3. 1 e x2 dx = Obor konvergence je R 1 ( 1 ( ( x 2 ) n ) dx = n! 1 ( ( x 2 ) n ) dx n! ( x ( 1) n 2n ) n! ) dx =

Příklad (Příklad, pokr.) 1 = ( 1)n x 2n ( 1) dx n [ ] x 2n+1 1 = = n! n! 2n + 1 ( 1) n (2n + 1)n! = 1 1 3.1! + 1 5.2! 1 7.3! + = = 1 1 3 + 1 1 1 42 + 1 216 1 132 +... 1 132 < 1 3

Příklad (Příklad, pokr.) 1 e x2 dx = 1 1 3 + 1 1 1 42 + 1 216 + R = 5651 756 + R.