Louvlleov rovnce (teorém hustot systémů ( hustot částc Klmontovčov rovnce systém s. částcí (6-rozměrný prostor ( x, p, t δ[ x X ( t] δ[ p P( t] Systém s částcem (6 -rozměrný prostor ( x, p,..., x, p, t δ[ x X ( t] δ[ p P( t] ormlzce ( systém ( x, p,..., x, p, d t x d p... dx dp Uděláme / t využjeme δ t dx dp + x + pk je p t dt dt d X [ x X( t] xδ[ x ( ] X t dt po doszení dostneme Louvlleovu rovnc p m p m + x + q (, (, E x t + B x t p t m m
Levá strn je úplná dervce podle trjektore systému Zákon zchování počtu systémů t p + ( + x m Ansáml mkroskopcky shodných systémů Hustot prvděpodonost p ( F f ( x, p,..., x p d x d p... d x d p, poměr počtu systému v elementu fázového prostoru k počtu v nsámlu Integrál systémy v nsámlu se nerodí n neznkjí ( P f x X f p t D Dt f + ( + Hustot systémů se podle trjektore systému ve fázovém prostoru nemění Df / Dt Δ A
A systémů v nsámlu Louvlleov rovnce f f δ[ x X ( t] δ[ p P( t] Δ A j + v + x f F p f t V je normovcí ojem f d p d p...d p V f V f k-částcová rozdělovcí funkce f x p x p V x p x p x p f k (,,...,, d + d + d + d +...d d k k k k k k k okrje f x y z ± f p p p ± x y z rozdělovcí funkce symetrcká vzhledem k záměně dentckých částc f (..., x, p,..., x p,... f (..., x, p,..., x p,... k m m n, n k n n m, m uvžujme druh částc pro jednoduchost jen coulomovská nterkce
z rovnce pro f d t t q d s P Fj Fj 3 ( x x j dt j 4πε x x j f odvodíme rovnc pro f ntegrcí dx d p x d p V f d d v v d d v v v d d d v x + p y z f x p x f V x f + x p x + y + z f x y z Druhý ntegrál (první člen x x dx p F f g + g + g + g V F f + d j p j j j p j j j j + + + px dx d p F d d d p f x p y p z F x j f px j Rovnce pro f t f f F f x p F f + v x + j p d d p j V Z rovnce pro f odvodíme rovnc pro f ntegrcí dx d p +
x p x p F f x p F x p f V x p F f d d d d d d d d d d p p p Rovnce pro f t f + v f + F f dx d p F f x j p p j V Rovnce pro f k t k f f F f x p F f k k k k + v x d d k + j p k k + k + k + p k + j V BBGKY (Bogoljuov, Born, Green, Krkwood, Yvon herrche Ekvvlentní Louvlleovu teorému (oshuje trjektore částc, le lze někde useknout, zjímjí nás k <<, pk k n (n je hustot částc pro jednočástcové rozdělení x p t V f + v f + n dx d p F f f ( x, p dp nx ( normlzční podmínk f ( p d p přípdně n f ( x, p, x, p, t f ( x, p, t f ( x, p, t + g( x, p, x, p, t
g - nární korelční funkce,. krok v Myerově klstrovém rozvoj zrychlení půsoící n částc je F n dxd p Ff( x, p, t t f + v f + F f n dx d p F g( x, p, x, p, t x p p Člen nprvo srážkový ntegrál g Vlsovov rovnce Potřeuj rovnc pro g rovnce pro f t f + + f + F + F f n x p F + F f ( v v x x ( p p d d ( p p 3 3 3 3 3 ( Klstrový rozvoj f,,3 f ( f ( f (3 + f ( g(,3 + f ( g(,3 + f (3 g(, + h(,,3 3 - h tříčástcová korelční funkce ~ Λ e - znedáme g(, + ( v x + v ( [ ] (, ( ( (, x g F p + F p f f + g t + { n [ ]} dx3d p3f 3 p f( g(,3 f(3 g(, { } Uzvřený systém rovnc pro f g Chceme vyjádřt nární korelční funkc pomocí jednočástcové rozd.fce
Budeme uvžovt homogenní plzmu ez vnějších polí potencální nární půsoení f(, x p, t f( pt, F(, xt Ft ( g g( x x, p, p, t U( x x F Δx x odhdneme g z.členů rovnce, ereme ~v T Δ t g f fu / εt h3 f3gu3 / εt v ntegrálním smyslu Rovnce pro f g, více druhů částc f ( f f U r r + v + F drd p g( r, p, r, p, t t r p p r síl se skládá z vnější vntřní F F drd pf( r, p, t U( r r r Srážkový člen f ( U r r drd p g( r, p, r, p, t t p r c
Rovnce pro g U + v + v + F + F g g t r r p p r p p f f U f Uc f f + drcd pc gc + { } + p p r p c r U c + drc d pc hc + { } r p c Úloh má možné mlé prmetry ( slé slové půsoení mez částcem U α ε - střední knetcká energe h ε g f f f g c c U c ε U ε znedáme poslední člen nlevo prot prvnímu nprvo poslední člen nprvo << předchozí
( mlý dosh sl d dosh sl, n koncentrce částc v plynu 3 U ( β nd v plzmtu U ε ε 3 nd. člen nprvo znedáme prot, 3. člen nprvo znedáme prot. tedy α ~, β << e β 3 ( nrd 4πε rd kbt α << Pokud α << β << Fokker-Plnckův (Lndův srážkový člen jednoduchý pro řešení, v žádném systému nepltí předpokldy přesně Pokud β << (α lovolné Boltzmnnův srážkový člen (plyn, nepružné srážky v plzmtu Pokud α << (β lovolné (Bogoljuov-Lenrd-Blescův srážkový člen (pružné srážky v plzmtu včetně půsoení n velké vzdál. Jk vyjádřt g? Čs τ g relxce korelční funkce g (do trvní srážky << čs relxce τ f jednočástcového rozdělení (/srážková frekvence Stčí vyjádřt g v lmtě t
Bogoljuov hypotéz g(t - (částce před srážkou jsou nekorelovné, le po srážce je už korelce nenulová nevrtnost do mez srážkm týchž částc je velká (nformce o předchozí srážce se ztrtí Odvodíme Lndův (Fokker-Plnckův srážkový člen nejjednodušší f f U r r + v + v g f f t r r p p r ( Jké je g v rovnováze? Funkce f mxwellovská čsová dervce f n exp p 3/ mkt ( π mkt B g U ( r r f f B kt B (g správně pro U << k B T Řešení nerovnovážné rovnce hledáme řešení v t ntegrcí od t, chrkterstky rovnce odpovídjí rovnoměrnému přímočrému pohyu částc, r r v ( t t r t' r v ( t t' odoně pro částc
t ( g( r, p, r, p, t g( r ', p, r ', p, t + dt U r t ' r t ' r t f( r t', p, t f( r t', p, t f( r t', p, t f( r t', p, t p p prostorově homogenní f, f (n doshu sl konst. v čse(po dou srážky g ( r, p, r, p, t g ( r, p, r, p, t + { f ( r, p, t f ( r, p, t p ( ' ' f ( r, p, t f ( r, p, t } dt U r r p r t t t využjeme Bogoljuovy hypotézy t g( t do srážkového ntegrálu f ( U r r drd p g( r, p, r, p, t t p r c dosdíme g dostneme t
kde f f f dp Ij ( v v f f t c p pj p j 3 U( r r Ij (v d r d t U( r r + v t r r vyjádříme nterkční potencál pomocí Fourerovy trnsformce 3 d k qq U ( r Φ ( exp( 3 k kr Φ ( k ( π, kde ε k pro Coulomův potencál (odvození v pendxu Integrál logrtmcky dverguje k mn /r mn /r D, k mx /r mn I j (v πε qq v δj v vj ln Λ 3 8 v kde Coulomův logrtmus ln Λ ln( kmx / kmn ln( rd / rmn r qq mx( p, p m v, kde Lndův prmetr πε m v mn j,
f v v v qq δj j f f ln d Λ p f 3 f t c p 8πε v pj p j lze npst ve tvru f ( ( f A f + Dj t c p p pj síl dynmckého tření (rzdí pohyující se částce v v v ( qq δj j f ( lnλ d 3 8πε v pj A p p Koefcent dfúze v prostoru hyností (rozmzává svzek částc v v v ( qq δj j j ( lnλ d 3 8πε v D p p f Používá se jný tvr f A ( f + t p p p B f ( j c j
A ( A B B kde jsou koefcenty dány součty j j dílčí členy lze vyjádřt pomocí Rosenluthových potencálů G H,, A Ψ H ( p B Ψ G ( p j p p p Lenrd-Blescův srážkový člen př odvození ponechány z g c g c ošetří korelce n dlouhou vzdálenost zhrnuje dynmcké stínění srážky plzmtem téměř totožný tvr jko FP, le jádro ( v v dk qq kk jδ k Ij π 3 ( π ε l k ε k v, k ( ε l podélná reltvní permtvt, když ε l Fokker-Plnck (Lndu l ( q f ε ω, k + dp k ε k ω k v + Δ p j
Boltzmnnův srážkový člen př odvození g ponechán poslední člen n prvé strně chrkterstky neodpovídjí rovnoměrnému přímočrému pohyu, le pohyu v pol g v rovnováze (f je stconární homogenní Mxwellovo rozdělení U ( r r g exp f f kt B pro α<< přejde ve výsledek pro Fokker-Plnckovu rovnc Boltzmnnův srážkový člen f dp v f( p f( p f( p f( p d σ ( v, θϕ, t c pro pružné koule o poloměru je dσ dω n 4/ n pro U ~ /r d σ ~ d Ω/ v pro reálný plyn čsto používán Lenrd-Jonesův potencál 6 U 4 ε ( / r ( / dσ qq pro Coulomů v potencál 4 dω 8πε m v sn ( θ /
Apendx Apendx Odvození jádr Fokker-Plnckov srážkového ntegrálu ejdříve spočteme Fourerovu trnsformc Coulomov potencálu kr qq qq e U ( r Φ ( k U (exp( r krdr dr r 4πε r 4πε kr cosθ e kry 4π 4 r drdϕsnθdθ π r dr e dy sn krdr r k k qq Φ ( k tedy ε k dk U ( r dk U ( r Φ ( kexp( kr k Φ ( kexp( kr 3 j 3 ( π rj ( π dk k ( r r + k vt d t U ( r r + v t d t k Φ ( ke r j ( π ( π j 3 πδ k v dk k r d r k k r r kj Φ ( e d e ( e v 3 k t kj Φ 3 k k ( ( k vt π ( π π ( δ (
Apendx d ( d ( e k r r ( e k k k r r dr k Φ v 3 k π k j 3 k k ( π Φ ( π dk dk ( k Φ k k k Φ k dr ( π ( ( δ ( ( ( k+ k r r j ( v ( e 3 δ 3 ( π ( π 3 ( π δ( k+ k k Φ( k dk π Φ ( δ v Φ( Φ*( 3 kk j k k k k ( Φ( k ez új my n oecnost lze předpokládt v ( v,,, pk pltí ( δ( vd ( k Φ k k k k Φ k x x x x δ( k vdk ntegrál pro x j x, smíšená yz komponent též dkydkz dk ydkz ky Izz Iyy π k d ( 3 y kxφ k δ ( kxv π Φ ( 3 ky + kz v ( π ( π x x ( π π kdkdϕ qq qq dk qq sn 3 k ϕ ε k πε k πε π ln Λ v 8 v 8 v
Apendx teď jž jen trnsformujeme pro lovolný směr rychlost protože jedný směr je v, mám k dspozc tenzory δ v j /v j v pro v ( v,, je qq j j j (v 3 8πε v I j ~ v δ v v I ln Λ δ j vv v j