Zákldí poztky o číselých oorech Mozí lidé jsou evědoí je proto, že vycházejí z pojů, které jsou podle tetických ěřítek epřesé (Sokrtes). Přirozeá čísl Přirozeá čísl ozčují počet prvků koečých oži. Kždé přirozeé číslo je tk jkousi strkcí společé vlstosti všech koečých oži, ezi kterýi existuje vzájeě jedozčé zorzeí. Možiu všech přirozeých čísel zčíe. Pozák: Číslo ul lze povžovt z počet prvků prázdé ožiy, ul je tedy v toto pojetí přirozeý čísle. V ěkterých kostrukcích ul do ožiy všech přirozeých čísel eptří. Pro še potřey všk ude výhodější ulu z přirozeé číslo povžovt. Používáí čísel vyžduje zvedeí početích opercí, jiiž ke dvě číslů přiřzujee předepsý způsoe číslo třetí jko výsledek. Zákldíi všeoecě záýi opercei jsou sčítáí ásoeí. Sečítáí přiřzujee dvě sčítců součet (píšee + = c), ásoeí pk dvě čiitelů souči (píšee = d). Přirozeá čísl lze sčítt ásoit eoezeě, tj. ke kždý dvě přirozeý číslů existuje součet i souči jsou to opět přirozeá čísl. Říkáe, že oži je uzvřeá vzhlede ke sčítáí ásoeí. Pro kždá tři přirozeá čísl c,, pltí: + = +, = (kouttiví záko) ( c ) = ( ) c= c, + ( + c) = ( + ) + c= + + c (socitiví záko) ( + c) = ( + c) = + c (distriutiví záko) Opkové ásoeí týž čísle většiou zpisujee ve tvru ociy, př. =, kde číslo zýváe zákld číslo ocitel (expoet). Je zřejě 0 dále pro > 0 defiujee =. Přirozeé číslo, pro které je 0;; ;; ;;6;7;8;9, zýváe cifrou (číslicí). Běžý číslicový (ciferý) zápis čísl v desítkové soustvě je úsporý zápis součtu, př.: { } =. ciferý zápis 7 0 = 0 + 7 0 + 0 0 + 0 + rozviutý zápis. Zápis přirozeého čísl v desítkové soustvě: jsou li ; ;...; ; ; 0 cifry, píšee ciferý zápis... 0 = 0 + 0 +...0 + 0 + 0 0 0 rozviutý zápis. K součtu součiu se zvádějí operce iverzí odčítáí děleí. Odčítáí přiřzujee ešeci ešiteli rozdíl: Rozdíle čísel, (v toto pořdí) je číslo x, pro které pltí + x=. Zpisujee x =. Děleí přiřzujee děleci děliteli podíl: Podíle čísel, (v toto pořdí) je číslo x, pro které pltí x=. Zpisujee x = :, popř. x =. Odčítáí děleí elze v ožiě všech přirozeých provádět eoezeě (tj. rozdíl, resp. podíl dvou přirozeých čísel eusí ýt vždy přirozeé číslo). Pro rozdíl pltí, pro podíl jsou prvidl složitější.
Násoek dělitel: Číslo je ásoke čísl (číslo je dělitele čísl ) právě tehdy, když existuje přirozeé číslo k tkové, že = k. Skutečost, že je dělitele čísl vyjdřujee slovy je dělitelé eo dělí, zpisujee (př. ). Kždé přirozeé číslo je dělitelé jedičkou seou sý, tyto dv dělitele se zývjí sozřejí dělitelé. Přirozeá čísl, která jí pouze sozřejé dělitele, se zývjí prvočísl, osttí přirozeá čísl jsou čísl složeá. Nulu jedičku epovžujee i z prvočísl i z čísl složeá. Při určováí dělitelů používáe tzv. zky dělitelostí: Číslo je dělitelé dvě kočí 0,,,6,8 třei jeho ciferý součet je dělitelý třei čtyři jeho posledí dvojčíslí je dělitelé čtyři pěti kočí 0,. osi jeho posledí trojčíslí je dělitelé osi devíti jeho ciferý součet je dělitelý devíti. Rozkld čísel prvočiitele: Kždé přirozeé číslo lze rozložit souči prvočísel, to (ž pořdí čiitelů) jediý způsoe.. Příkld: rozlože souči prvočísel číslo 800. Řešeí: 800 07 900 0 90 97 7 77 9 8 77 : = : = : = : = : = : = : = : = : = 7 tedy 800 = 7. Příkld ukázk příého důkzu: Dokže větu: Pro kždé přirozeé číslo pltí: je li sudé (tj. dělitelé dvě), pk je tké sudé. Důkz: provedee přío (viz předchozí kpitolu): je sudé k : = k = k je sudé.. Příkld ukázk epříého důkzu: Dokže větu: Pro kždé přirozeé číslo pltí: je li sudé, pk je tké sudé. Důkz: provedee epřío, podle předchozí kpitoly tedy usíe dokázt větu eí li sudé, pk eí sudé i : je liché k : = k + = (k + ) = ( k + k) + je liché zde jse si dovolili předěhout vzoreček (A+ B), který jdete str.. Pozák: Věty z příkldů jsou oecé věty tvru iplikce, přito vět z příkldu je větou oráceou k větě z příkldu. Oě věty tk ůžee vyslovit jko jediou oecou větu ve tvru ekvivlece: Pro kždé přirozeé číslo pltí: číslo je sudé právě tehdy, když je sudé číslo. Věty tvru ekvivlece, tj. Ax ( ) Bx ( ), je tře dokzovt oě sěry, tj. je tře dokázt jk Ax ( ) Bx ( ), tk B( x) A( x ).
Společý dělitel: společý dělitele dvou přirozeých čísel ; je číslo, které dělí oě čísl ;. Největší společý dělitele čísel ; zčíe NSD( ; ). Společý ásoke dvou přirozeých čísel ; je číslo, které je dělitelé oě čísly ;. Neješí společý ásoek čísel ; zčíe s ( ; ). Přirozeá čísl zýváe esoudělá, je li jejich společý dělitele pouze číslo jed. V opčé přípdě je zýváe soudělá. Určováí ejvětšího společého dělitele: Největší společý dělitel NSD( ; ) dvou přirozeých čísel ; á ve své rozkldu všechy společé prvočiitele rozkldů čísel ; uocěé eješí expoet, který se v těchto rozkldech vyskytuje, př.: 0 90 = 7 0 0 NSD 7 06 = 7 ( 90 ; 7 06) = = 6. Určováí eješího společého ásoku: Neješí společý ásoek s( ; ) dvou přirozeých čísel ; á ve své rozkldu všechy prvočiitele, kteří se vyskytují lespoň v jedo z rozkldů čísel ; uocěé ejvyšší expoet, který se v těchto rozkldech vyskytuje, př.: 0 90 = 7 0 0 s 7 06 = 7 Pro kždá dvě přirozeá čísl pltí: Příkldy: ( 90 ; 7 06) = 7 = 6 0 ; NSD( ; ) s( ; ) =, př.: 90 7 06 = 6 6 0 = 9 60.. Náěstí tvru odélík o rozěrech 6, 8 á ýt po ovodu oszeo stejě vzdáleýi pouličíi lpi. Kolik lp ejéě ude potře, když ve všech rozích áěstí již lpy jsou? Řešeí: Oě stry odélík usí ýt dělitelé hledou vzdáleostí lp, vzdáleost tedy jdee jko ejvětšího společého dělitele dých rozěrů. Protože 6 = ; 8 =, je NSD (6, 8) = =. Vzdáleost ezi lpi ude tedy. N krtší strě áěstí udou tedy potře celke 6 : + = lpy, z ich dvě jsou již istlováy, je tedy potře istlovt = lpy. Podoě delší strě je tře istlovt = 8 : + = lpy. N celé áěstí pk o= ( + ) = ( + ) = 0lp.. Autous A jezdí po 0 iutách, utous B po iutách, utous C po 6 iutách. V 7.00 hod. vyjely utousy ze zstávky společě. Kdy ste ejližší dlší společý odjezd? Řešeí: Itervl ezi společýi odjezdy je eješí společý ásoke itervlů jedotlivých liek. Protože 0 = ; = ;6 =, je s (0,,6) = = 60. Nejližší společý odjezd ude tedy z šest hodi, tj. ve.00 hod.. 6
Neřešeé úlohy: ) Rozložte souči prvočísel: ) 6 60 ) 0 800 c) 0 d) 8 700 ) Určete ejvětší společý dělitel eješí společý ásoek čísel ) 0 ; 0 ) 8 ; 60 c) 6 600 ; 9 06 ) Místost tvru odélík o strách = c; = 96 c á ýt vydláždě čtvercovýi dlždicei. Určete ejvětší rozěry dlždic tk, y žádou eylo tře řezt. (šířku spáry zedejte). ) Soukolí se skládá ze dvou ozueých kol o počtu zuů = 00, =. N kždé kole je jede vdý zu. Jestliže se tyto zuy setkjí, soukolí se zseke. Kolik otáček ejvýše ohou oě kol udělt? ) N čtvercové záhoě o strě = 70 c ylo vysázeo 90 stroků ryízu do spou 90 c 80 c. Poté ylo rozhoduto, že spo usí ýt 0 c 0 c ) Kolik stroků ůžee poecht původí ístě? ) Kolik stroků je tře toto záhoě zovu zsdit? c) Kolik stroků je tře přesdit jiý záho? Výsledky: ) ) 7 ) 7 c) d) ) ) 6 ; 7 60 ) 6; 8 0 c) 66 ; 90 600 ) 6 c ) Kolo otáček, kolo 0 otáček ) ) ) 7 c). Celá čísl Celá čísl jsou čísl, která lze zpst ve tvru rozdílu dvou přirozeých čísel. Možiu všech celých čísel zčíe, pltí tedy: = { x Ω ( x= ) ( ; ) }. Rozdíl přirozeých čísel 0 zčíe. Pro kždé celé číslo existuje ekoečě oho uspořádých dvojic [ešeec, ešitel] přirozeých čísel, jejichž rozdíle je toto číslo, př.: : = 0 = = 6 =... : = 0 = 6 = 8 =... Moži všech přirozeých čísel je vlstí podožiou ožiy všech celých čísel ( ). Celé číslo, pro které je zároveň, 0 zčíe ěkdy podroěji +. Tto čísl zýváe kldá. Čísl, která ejsou kldá jsou růzá od uly, zýváe záporá. Číslo ul eí i kldé i záporé. Přirozeá čísl zýváe ěkdy celá ezáporá, záporá čísl včetě uly pk celá ekldá. N ožiě všech celých čísel lze eoezeě sečítt ásoit (viz str. ), le i odčítt (oži je uzvřeá vzhlede ke sčítáí, ásoeí odčítáí). Pro sečítáí ásoeí celých čísel pltí kouttiví, socitiví distriutiví záko (viz přirozeá čísl). Nvíc pltí: ( + ) ++ ( ) = + ( + ) + ( ) = ( ) ( ) = ( ) + ( + ) = + = ( ) ( + ) = ( + ) ( ) = ( + ) + ( ) = ( + ) ( + ) = = + ( + ):( + ) = ( ):( ) = : ( ) + ( ) = ( ) ( + ) = ( ):( + ) = ( + ):( ) = : ( ) ( ) = + = 7
Příkldy: ) ( ) + ( 7) = ( ) ( + 7) = 7 = ) ( 8) = 8 ( ) = 8 = ) ( ) ( 7) = ( ) + ( + 7) = + 7 = 8 ) ( ) ( ) = = ) ( ) : 6 = : ( 6) = : 6 = 6) ( ):( 7) = :7= 7) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = [( ) ( )] [( ) ( )] [( ) ( )] ( ) = = 6 ( ) = ( ) = Celá čísl cd, zýváe vzáje opčá právě tehdy, když c+ d = 0. Jsou li cd, čísl vzáje opčá, pk pltí c= d, d = c, Asolutí hodot čísl kldého je ul., čísl záporého je, solutí hodot uly je Uspořádáí ožiy všech celých čísel je dáo těito prvidly: - liovolé ezáporé číslo je větší ež liovolé záporé - liovolé ekldé číslo je eší ež liovolé kldé - ze dvou kldých čísel je větší to, které á větší solutí hodotu - ze dvou záporých čísel je větší to, které á eší solutí hodotu. Číselá os celých čísel: Vzike zorzeí (celé) ožiy do ožiy všech odů liovolé příky p Geoetrický výz solutí hodoty: Asolutí hodot celého čísl je rov vzdáleosti jeho orzu od orzu čísl ul číselé ose. Ze dvou celých čísel je pk větší to, jehož orz leží číselé ose vprvo. Vlstosti solutí hodoty: Pro kždá dvě čísl, pltí: 0; = 0 = 0 = = + ± Neřešeé úlohy: Vypočtěte: ) ( ) 0 ) ( ) 8 ( ) ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) 0 ( ) ) ( ) ( ) 6) ( ) ( ) ( ) ( ) 7) 8 8) : 9) : 6 : 8 0) 6 ( 9) : ) { [ 6 + ( 8 )]} 9 ) {8 [ + 6 ( 0) ] ( )} + 7 Výsledky ) 0 ) ) ) 0 ) 66 6) 7) 8) 9) 0) 6 ) 97 ) 8
. Rcioálí čísl Rcioálí čísl jsou čísl, která lze zpst ve tvru podílu dvou celých čísel. Možiu všech rcioálích čísel zčíe, pltí tedy: = x Ω ( x= : ) ( ; ) ( 0). { } Podíl celých čísel : ; 0 zčíe. Teto zápis zýváe zloke, číslo je čittel, číslo je jeovtel zloku. Pro kždé rcioálí číslo existuje ekoečě oho uspořádých dvojic celých čísel [děleec, dělitel], jejichž podíle je dé rcioálí číslo, resp. ekoečě oho zloků [čittel, jeovtel], které vyjdřují totéž rcioálí číslo, př.: 6 0 [ ;], protože : = :0 = 6 : = 0 : 0 =..., resp. = = = =... 0 0 Mezi těito zloky vždy existuje jediý, jehož čittel jeovtel jsou esoudělá čísl říkáe, že teto zloek je v zákldí tvru. Moži všech celých čísel je vlstí podožiou ožiy všech rcioálích čísel ( ). N ožiě všech rcioálích čísel lze eoezeě sečítt, ásoit, odčítt dělit (s jediou výjikou elze dělit ulou). Zápisy rcioálích čísel ve tvru zloku: Nechť k ; ; jsou liovolá celá čísl, k, 0. Pk pltí k = (tuto úprvu zýváe rozšiřováí zloku). Nechť, jsou liovolá k : k soudělá celá čísl, k jejich společý dělitel. Pk pltí: = (tuto úprvu zýváe : k kráceí zloku). Mezi všei zloky, které vyjdřují totéž rcioálí číslo, existuje právě jede, jehož čittel jeovtel jsou esoudělá čísl. Říkáe, že zloek je zpsá v zákldí tvru. Zápis rcioálích čísel ve tvru desetiého čísl: Nechť 0 liovolé celé číslo, ; ;...; ; ; cifry (tj. i { 0;; ;; ;;6;7;8;9} ; i= ;;..; ) je liovolé rcioálí číslo, pro které pltí: = 0 + + +... + + (rozviutý ukočeý desetiý zápis). 0 0 0 0 Pk píšee = 0,... (ukočeý desetiý rozvoj). Převod zloku desetié číslo provedee zčeý děleí, př: = :8 = 0,7. Existují všk rcioálí čísl, která elze zpst ukočeý desetiý 8 zápise, př: 0... = ; = 0.787878.... V těchto přípdech je desetiý zápis 7 ekoečý, všk vždy v ě existuje skupi číslic, která se prvidelě opkuje (tzv. period). Před touto periodou se ůže vyskytovt jiá skupi číslic (předperiod). Npř. = je předperiod, period 6. Periodu ovykle píšee je v zápisu čísl 0.666666... jedou ozčujee ji pruhe, tj. zpisujee zýváe periodické desetié rozvoje. = 0. ; 78 7 = 0, ; = 0, 6. Tyto zápisy 9
Kždé rcioálí číslo lze vyjádřit ve tvru ukočeého eo periodického rozvoje. Přito délk periody je vždy eší, ež jeovtel původího zloku. Je to dáo tí, že při děleí jeovtele ůžee održet ejvýše růzých zytků: 0,,,...,. Održíe li ulu, děleí tí i rozvoj čísl kočí. Při ekoečé děleí se tedy ohou vystřídt ejvýše zytky,,..., pk se zytky tudíž i cifry v rozvoji utě usí opkovt. Npříkld při vyjádřeí zloku dostee všech šest ožých zytků v pořdí 7,,6,,, 0,87 7 =. Zápis rcioálího čísl ve tvru zloku: V přípdě ukočeého desetiého rozvoje 000 7 jdee zloek vhodý rozšířeí, př. 0,7 = 0,7 =. Postup v přípdě 000 000 periodického rozvoje ilustruje ásledující příkld:. Příkld: Převeďe zloek rcioálí číslo = 0,67. Číslo á trojciferou předperiodu čtyřciferou periodu. Zvíe se jich ásledující orte: Vyásoíe + 7 dé rovosti čísly 0 = 0 0. Tkto získé dvě rovosti od see odečtee: Dostáváe tedy 0 000 000 = 67,67 67... 000 =,67 67... 9 999 000 =,0000 0000... 08 6 = =. 9 999 000 99 70 Asolutí hodot rcioálího čísl, opčá čísl, číselá os uspořádáí ožiy všech rcioálích čísel je defiováo logicky jko pro čísl celá. Sečítáí ásoeí rcioálích čísel á stejé vlstosti jko sečítáí ásoeí přirozeých resp. celých čísel, víc pltí: c < d < c d = = c d ± c c c = ± = = d d d d c c c = = c = = : d d = = = d c c c d Pozor! Zřejě pod doje vzorce c = c studeti ěkdy očs používjí i vzorce : d d čsté chyy: c c + + c c = ; + = ; = + c d c + d c+ d d c d + c Při sečítáí odčítáí čsto eusíe použít vzorec + =, le tzv. převod d d eješí společý jeovtel, což je eješí společý ásoek jeovtelů, kteří se v součtu resp. v rozdílu vyskytují. Tedy př. 0
ísto 6 + 60 + = = = 6 6 86 6 počítáe lépe 9+ 6 + = =. 6 6 6 Příkldy: ). 0. 0. : + 0. = 0.6 0.6 + 0. = 0.6 0.08 + 0. = 0.6 + 0. =. + + 8 8 8 7 ) + = + = = + = = = 6 8 0 ) = = = = = = = 6 6 6+ + + 0. + 6 6 0 0 0 + + : : : ) 6 = 6 = 6 = 6 = 8 = 7 7 7 + 7 + 0.7 + + + 9 0 9 9 8 = = = = 8 8 Neřešeé úlohy: Vypočtěte: ) 7. + :. ). : 0 + 0. 0 ( 0. 0.) ) 0.. + ). : 0.8 + 0. 0.8 9 8 7 ) + 0.+. 0 6 6). : +. 6 7) 0.7 : ( 0.) 8). + 0.08 : 0. [( ) : ( )] 7 9) : 8 0. 0) (.7) 8 00 ) ( + ) ( ) 0. ) 7. + 0.6 : 0.06 ) ) 7 0 : ) 6) + 0. 0. + : 8 : 7 7) 8 7 + : 6 8) + 0.7
Zpište jko desetié číslo: 9) 6 0) ) 0 Zpište jko zloek v zákldí tvru: ) 8 6 ) 7 ) 0. ) 0.6 6) 0.6 7) 0.6 8) 0.9 Výsledky ) ).66 ) 0.9 ). ). 6). 7) 0) 6. ) 7 ) 7. ) ) ) 8 7 8 8). 9) 8 7) 8) 6) 6 9) 0,6 0) 0. ) 0.0 ) 0.69 ) 0.87 ) 8 ) 7) 6 9 00 8). Reálá čísl 8 6) 7 Číselá os rcioálích čísel: Vzike zorzeí (celé) ožiy do ožiy všech odů liovolé příky p. Je otázkou, zd toto zorzeí je tké zorzeí ožiu, tj. zd kždý od číselé osy je orze ějkého rcioálího čísl. Mezi kždýi dvě (jkkoli lízkýi ) rcioálíi čísly leží vždy lespoň jedo dlší rcioálí číslo. Mezi + čísly < leží př. vždy jejich rietrický průěr, tj. < <. Rcioálí čísl tedy zplňují číselou osu veli hustě ohlo y se zdát, že ji zplí zcel. Ovše eí tou tk.. Příkld: Dokže, že číslo eí rcioálí. Řešeí: Jedá se o idividuálí větu (viz kpt...), kterou dokážee spore. Dle kpt... je tedy tře předpokládt pltost egce dokzové věty řetěze iplikcí z í vyvodit eprvdivý výrok (viz kpt... typ důkzu c). Předpokládeje tedy, že je rcioálí číslo,,, esoudělá : =,,, esoudělá : =,,, esoudělá : =,,, esoudělá : je sudé (ásledující iplikci jse dokázli v kpt... př.):,,, esoudělá : je sudé k,,,, esoudělá, sudé: = k k,,,, esoudělá, sudé: = k * k,,,, esoudělá, sudé: k = k,,,, esoudělá, sudé: = k k k,, :, esoudělá, sudé, sudé,,,, esoudělá, sudé: sudé (viz iplikci ozčeou hvězdičkou) ( koečě viz kpt... př.):
Posledí výrok je všk eprvdivý. Dospěli jse ke sporu s předpoklde, že rcioálí číslo. Teto předpokld tedy eůže pltit usí ýt číslo ircioálí. je Řd čísel, se kterýi se ěžě setkáváe, ejsou čísl rcioálí. Čísl,, π, 0.000000... elze zpst ve tvru zloku, ejsou to rcioálí čísl. Moži všech reálých čísel je číselá oži, kterou lze zorzit ožiu všech odů příky. Kždéu reáléu číslu x je tk přiřze právě jede od P ležící příce opk, kždéu odu Q příky p je přiřzeo právě jedo reálé číslo y. Příku p zýváe číselou osou. Je li odu P přiřzeo číslo x, zýváe toto číslo souřdicí odu P, píšee P = [ x]. Podožiou ožiy všech reálých čísel je oži všech rcioálích čísel. Reálá čísl, která ejsou rcioálí, zýváe čísl ircioálí. Tto čísl lze vyjádřit ekoečý eperiodický desetiý rozvoje, tj. rozvoje s ekoečě oh cifri, v ěž se žádá skupi cifer prvidelě eopkuje. Je sozřejé, že ikdy eůžee vypst všechy cifry desetiého rozvoje, který je určeo ircioálí číslo. K určeí ircioálího čísl je všk tře zát předpis, podle kterého je pricipiálě ožé zjistit, která cifr je té ístě jeho desetiého rozvoje, to pro liovolé. V ožiě všech ircioálích čísel elze eoezeě provádět žádou ritetickou operci součet, rozdíl, souči i podíl dvou ircioálích čísel eusí ýt ircioálí číslo. Příkldy: ( ) V ožiě uly). + = ; π π = 0 ; = ; ( π ) : π =. všech reálých čísel lze eoezeě sečítt, odčítt, ásoit i dělit (s výjikou Itervl je podoži ožiy, kterou je ožé zorzit příku, polopříku eo úsečku (přípdě s výjikou jedoho eo oou krjích odů). Itervly ožiy : Název Zčeí Defiice Grfické zázorěí Moži všech x, pro která pltí Uzvřeý ; x < < Otevřeý ( ; ) x Uzvřeý zlev ; ) x< Uzvřeý zprv ( ; < x Oezeý zlev ; ) x < ( ; ) x Oezeý zprv ( ; x ( ;) x < Neoezeý ( ; ) x
Mociy odociy Mociy s přirozeý ocitele: Mociou rozuíe výrz tvru, kde je zákld ociy (ocěec), je expoet (ocitel). Jk již ylo řečeo v kpitole o přirozeých číslech, oci s přirozeý ocitele zčí opkové ásoeí čísl seou sý, tj. =... ; ; > 0. krát Totéž pltí i pro ociu, jejíž záklde je reálé číslo, tj.. Z defiice vyplývá, že ( ): ) = ; ) =; c) 0 = 0 ( > 0 ). N zákldě této defiice dále pltí: =...... =... = + krát krát ( + ) krát d) Je li > 0, pk > 0 e) > 0 f) Je li < 0, pk < 0 ( ) = ( ) ( )... ( ) = (... ) (... ) = závorek krát krát krát... =... = =... ( ) zloků krát krát + +... + =... = = krát ; 0 Tto prvidl pltí eje pro (kde záklde ociy je přirozeé číslo), le i pro (záklde této ociy ůže ýt liovolé reálé číslo, sozřejě s výjikou uly ve jeovteli). Dále pro 0 ; > je krát ( ) krát krát krát ( ) krát ( ) krát............ : = = = =... =... =......... Příkldy: ) 0 = 0 ) = = 6 6) 7) 8) 9) krát krát krát ) 0 = 0 0 0 0 0= 0 ) 0 =... = ) ( ) = ( ) ( ) ( ) = 8 7 ( ) = [( ) ( )] [( ) ( )]... [( ) ( )] ( ) =... ( ) = 08 ( ) = [( ) ( )] [( ) ( )]... [( ) ( )] =... = ( x y ) ( xy) = x x y y = x y = x y + + 8 0 6 8 0 6 ( c) : ( c) (6 c ) : ( c) 6 ( : ) ( : ) ( c : c) = = = = 6 c = 6 c 6 6 c x ( ) ( ) ( c : c ) ( x : x ) cx 0) = = x yz c yz ( y y) ( z z ) y z 8 0 6 6
Číselé údje se v techické prxi udávjí ve tvru 0 ; kde < 0, př.: délk Kordiller je 000 k =. 0 k rozloh Kspického oře je 7 000 k =.7 0 k 6 rozloh Shry je 7 70 000 k = 7.7 0 k Mociy s celočíselý ocitele: Aycho ohli vzorec : 0 : = = = (přito je tře, y 0 ). = rozšířit i přípd Má li vzorec : = pltit i pro záporé ocitele, usí pltit 0 0 = : = : = = =, je tře zvést Pro záporé celočíselé ocitele pltí všech dosud odvozeá prvidl. Příkldy: 0 7 ) ( 6) ( ) 7 ( ) = = ( ) ( ) 7 6 8+ 7 7 = + = = 8 6 6 6 ) 0 + + + = = = = 9 6 9 + ( ) + + + ( ) = = = 0 0 Odociy v ooru reálých čísel: Odocňováí je opčý početí výkoe ež uocňováí přirozeý ocitele: Je li = ;, ůžee opk psát = (pro = píšee ovykle je = ). Je li = < 0, pk usí ýt liché. Proto př. pouze pro lichá. Odoci v ooru reálých čísel usí ýt defiová jedozčě, tj. esí dávt více výsledků. Proto je př. 6 =+ ikoli čstá chy: Pro kždé 0 kždé je ( ) = =. 6 = ± Mociy s rcioálí ocitele: Předpokládáe li, že k = jí li pltit výše uvedeé vzthy, usí ýt: k k = = = = = k k ( ) ( )
Mjí li tyto vzthy pltit i pro, je tře defiovt: Pro kždé ; ; je =. Pro ociy s rcioálíi ociteli pltí všechy výše uvedeé vzthy. Prvidl pro počítáí s odocii: = = = ( ) = Příkldy: ) 8 9 = 7 9 = 7 9 = 9 = 7 = =9 ) ( ) Částečé odocňováí: ) 8 = = = ; ) ) + 9 = + 9 = 6 + 9 = 7 + 6 = + 6 6 = 8 = 8 = 77 00 = 7 = 7 = 7 = 60 7 Usěrňováí zloků je odstrňováí odociy ze jeovtele zloku: Výrz s odociou ve jeovteli je pro dlší výpočty většiou evýhodý, proto se ho sžíe ze jeovtele odstrit: Příkldy: 6) = = = = = Dále pltí: 7) = = = = = = = = = Příkld: 8) = = = = 8 8 7 7 Koečě pltí: ( ) = = = = = p p p p = = = Příkldy: 9 + 6 6 6 9) ( ) 8 9 6 = 6 = = = = = = = = = = 0) 6 6 6 x = x = x = x = x 6
Shrutí vzorců pro počítáí s ocii odocii: Pro všechy přípusté hodoty pltí: = + ( ) = = : = = = ( ) = = = = = p p = Pozor! Čsté chyy: Studeti čsto používjí tké tyto vzorce ( ± ) = ± ± = ± ± = ± = = Vyvrťe prví z těchto vzorců : Vyjdee z distriutivího záko ( + c) = + c. Je li = x+ y, dostee doszeí ( x + y) ( + c) = ( x+ y) + ( x+ y) c prvou stru použijee opět distriutiví záko: ( x + y) ( + c) = ( x+ y) + ( x+ y) c= x+ y+ xc+ yc Závorky (dvojčley) usíe tedy rozásoovt tk, že ásoíe kždý čle prví závorky s kždý člee závorky druhé. Pro (± ) tedy př. dostáváe: ( ± ) = ( ± ) ( ± ) = ± ± + = ± + Podoě td. ± = ± ± = ± + ± = = ± + ± ( ) ( ) ( ) ( ) ( )... Pozor! Vzoreček = + ( ) (tzv. druhá oci dvojčleu) je tře rozlišovt od podoě vypdjícího rozdílu čtverců: = ( + )( ) (o správosti tohoto vzthu se ůžee přesvědčit zpětý rozásoeí závorek prvé strě). 7
Chyé vzorce ůžee sozřejě vyvrcet jko oecé hypotézy lezeí protipříkldu (viz závěr kpt... odst. e): Npř vzorec ± = ± eůže pltit, protože př. pro = 9; = 6 ; = dostáváe + = 9+ 6 = =, ztíco + = 9 + 6 = + = 7 Neřešeé úlohy: ) ( )( ) ) ) ) ) ( ) ( x yz ) ( ) x y z p q ( ) 6) 7) 8) 9) 0) ( x y) ( xy z ) ( c) (c) u v uv ( ) ( x+ y x z z x y ( ) ( ) ) ( ):( ) ) ( x yz ):( x y z) ) ( uv w ):( uv w x+ x x x ) ( ):( ) + ) ( x y z ) r r r r ) ) [( x) : ( x) ] Částečě odocěte: 6) 7) 0 8) 7 9) 0 0) ) Vypočtěte: ) ) ) 6) 7 7) x 8) 0 0 9 ) 8 7 Uprvte: 9) 0) 9 x x x ) ) 0.. 0. ) ) k : : 0.. k Výsledky: ) ) 8 ) 8) u v 9) + + xz + yz xz + xy ( )( ) ( ) ) x y z ) ) 6 9 7x yz ) ) 0) ) 9 6 6 ) q pq q x y z 6) x y z 7) 0 8 6 9 c x yz r x+ x ) v w ) x 6) 7) 8) 6 9) 0) 7 ) ) 6 ) 9 6) 7) x 8) 0 9). ) ) ) ).7 k 7 0) 9 6 x 8
. Koplexí čísl V ooru reálých čísel jse zvedli odocňováí jko opčý početí výko k uocňováí. Jkákoli sudá odoci je všk v ooru reálých čísel proveditelá pouze pro ezáporá čísl. Npříkld v ooru reálých čísel eexistuje, eoť žádé reálé číslo uocěo druhou eí rovo íus čtyře. Proto ejsou v ooru reálých čísel řešitelé ohé (i veli jedoduché) rovice. To je jede (i když e jediý) důvod proto, ycho oor reálých čísel rozšířili oor čísel koplexích. Jede z důvodů kostrukce čísel reálých yl vyplit celou číselou osu. N této ose již eí pro dlší čísl ísto. Moži všech koplexích čísel je sestroje jko číselá oži, kterou lze vzájeě jedozčě zorzit ikoli příku, le roviu. Moži všech koplexích čísel je tk sestroje jko oži všech uspořádých dvojic reálých čísel, tj. čísel z tvru z = [ ; ], kde ; jsou reálá čísl. Je zřejé, že čísl ; ůžee chápt jko uspořádou dvojici souřdic odu v roviě (tzv. Gussov rovi), to v prvoúhlé souřdé soustvě, číž je dáo vzájeě jedozčé zorzeí ezi roviou ožiou. Uspořádé dvojice [ ; ] lze chápt tké jko dvojčley + i (tzv. lgerický tvr koplexího čísl) s těito dvojčley zcházet podle dosud záých prvidel. Zákldí ritetické operce ožiě lze pk vysvětlit ásledující způsoe: Pro součet rozdíl koplexích čísel tk dostee př.: ( + i) + ( i) = + + ( ) i = i ( + i) ( i) = + ( + ) i = + i Pro ásoeí děleí usíe kroě toho přijout prvidlo, které víc řeší existeci odoci ze záporých čísel: i = Číslo i zýváe igiárí jedotkou. Pro ásoeí tk dostáváe př.: ( + i) ( i) = + i i i = 6+ i 9i 6 ( ) = i * Číslo z = i zýváe číslo koplexě sdružeé k číslu z = + i.vyásoeí dvou čísel koplexě sdružeých dostee číslo reálé (použijee vzorec pro rozdíl čtverců): * z z = ( + i) ( i) = ( i) = i = ( ) = + Právě této vlstosti používáe při děleí koplexích čísel. Děleí přepíšee do tvru zloku, který rozšíříe čísle koplexě sdružeý ke jeovteli, tj. př.: 9
+ i + i + i + i+ i+ i + i+ + i i = i i i + i + ( ) ( ) 6 9 6 6 6 ( ) 6 6 = = = = = ( ) ( ) Mociy koplexích čísel: pro defiujee stejě jko v jiých číselých oorech z = z z... z ; pro z 0 je 0 z = z =. z Příkldy: ) ( i) ( i) ( i) ( i) ( i i ) ( i) ( i) ( ) + = + = + + = + + + = + + i = = + i 6i+ 8i = i ) 8 i = i i = ( ) ( ) = ; i = i i = = ; i = i i = ( i ) i = i = i 00 000 00 00 Asolutí hodot koplexího čísl z je reálé číslo z * = z z. ) Určee solutí hodotu čísl z = + i: * z = z z = (+ i) ( i) = + = Geoetrický výz solutí hodoty koplexího čísl je logický jko u solutí hodoty čísl reálého: solutí hodot koplexího čísl z je rov vzdáleosti orzu tohoto čísl v Gussově roviě od orzu čísl ul. Asolutí hodotu koplexího čísl je tedy zřejě ožé určit i tkto: Neřešeé úlohy: z = + i = + ) ( i)( + i) + ( i)( i) ) [( + i) ( + i)] ( i) ( + i) i ) ( ) i + + ( ) i ) + i + ( i )( i) i ) + i i + i + i 6) + i i + i i 7) i + i + i i 6i 8) ( + i ) i i 9) i 0) i + i 6 i ) + i i ) + i i Výsledky: ) 7 i ) ) + i ) 9) 0) 0 9 ) ) + i ) + 0 0 i 68 8 6) + i 7) 0 8) 0 0 0