VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV MATEMATIKY FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING INSTITUTE OF MATHEMATICS FOURIEROVA ŘADA A JEJÍ VLASTNOSTI THE FOURIER SERIES AND ITS PROPERTIES BAKALÁŘSKÁ PRÁCE BACHELOR S THESIS AUTOR PRÁCE AUTHOR VEDOUCÍ PRÁCE SUPERVISOR PAVLA SLADKÁ Ing. PAVEL ŠTARHA, Ph.D. BRNO 28

Licenční smlouv poskytovná k výkonu práv užít školní dílo uzvřená mezi smluvními strnmi:. Pní Jméno příjmení: Bytem: Nrozen (dtum místo): (dále jen utor) Pvl Sldká Nádržní 26, 664 34, Kuřim 3. 2. 985, Brno 2. Vysoké učení technické v Brně Fkult strojního inženýrství se sídlem Technická 2896/2, 6669, Brno - Královo Pole jejímž jménem jedná n zákldě písemného pověření děknem fkulty:... (dále jen nbyvtel) Čl. Specifikce školního díl. Předmětem této smlouvy je vysokoškolská kvlifikční práce (VŠKP): disertční práce diplomová práce bklářská práce jiná práce, jejíž druh je specifikován jko.................................... (dále jen VŠKP nebo dílo) Název VŠKP: Fourierov řd její vlstnosti Vedoucí/ školitel VŠKP: Ing. Pvel Štrh, Ph.D. Ústv: Ústv mtemtiky Dtum obhjoby VŠKP: 8. 6. 28 VŠKP odevzdl utor nbyvteli v : tištěné formě počet exemplářů 2 elektronické formě počet exemplářů 2. Autor prohlšuje, že vytvořil smosttnou vlstní tvůrčí činností dílo shor popsné specifikovné. Autor dále prohlšuje, že při zprcovávání díl se sám nedostl do rozporu s utorským zákonem předpisy souvisejícími že je dílo dílem původním. 3. Dílo je chráněno jko dílo dle utorského zákon v pltném znění. 4. Autor potvrzuje, že listinná elektronická verze díl je identická. hodící se zškrtněte

Čl. 2 Udělení licenčního oprávnění. Autor touto smlouvou poskytuje nbyvteli oprávnění (licenci) k výkonu práv uvedené dílo nevýdělečně užít, rchivovt zpřístupnit ke studijním, výukovým výzkumným účelům včetně pořizování výpisů, opisů rozmnoženin. 2. Licence je poskytován celosvětově, pro celou dobu trvání utorských mjetkových práv k dílu. 3. Autor souhlsí se zveřejněním díl v dtbázi přístupné v mezinárodní síti ihned po uzvření této smlouvy rok po uzvření této smlouvy 3 roky po uzvření této smlouvy 5 let po uzvření této smlouvy let po uzvření této smlouvy (z důvodu utjení v něm obsžených informcí) 4. Nevýdělečné zveřejňování díl nbyvtelem v souldu s ustnovením 47b zákon č. /998 Sb., v pltném znění, nevyžduje licenci nbyvtel je k němu povinen oprávněn ze zákon. Čl. 3 Závěrečná ustnovení. Smlouv je sepsán ve třech vyhotoveních s pltností originálu, přičemž po jednom vyhotovení obdrží utor nbyvtel, dlší vyhotovení je vloženo do VŠKP. 2. Vzthy mezi smluvními strnmi vzniklé neuprvené touto smlouvou se řídí utorským zákonem, občnským zákoníkem, vysokoškolským zákonem, zákonem o rchivnictví, v pltném znění popř. dlšími právními předpisy. 3. Licenční smlouv byl uzvřen n zákldě svobodné prvé vůle smluvních strn, s plným porozuměním jejímu textu i důsledkům, nikoliv v tísni z nápdně nevýhodných podmínek. 4. Licenční smlouv nbývá pltnosti účinnosti dnem jejího podpisu oběm smluvními strnmi. V Brně dne: Nbyvtel Autor

Abstrkt Funkční řdy, zejmén pk řdy Fourierovy, jsou důležitým mtemtickým prátem využívným v rozmnitých technických oborech. Velmi podsttnou skupinu mezi funkčními řdmi tvoří mocninné řdy, které se pro svoji jednoduchost plikují při řešení nejrůznějších úloh. Rozvojem funkce do mocninné řdy, tj. Tylorovou řdou, rozumíme nlezení mocninné řdy, jejímž součtem je právě dná funkce. Tyto rozvoje jsou vhodné především v tom smyslu, že řdu opercí (vyčíslení funkčních hodnot, limit, derivcí integrálů) lze provést pro tyto rozvoje sndněji, než pro funkce smotné. Fourierovy řdy se používjí při studiu jevů s periodickým chrkterem. Výhodou těchto řd je skutečnost, že poždvky kldené n jejich konvergenci k rozvíjené funkci jsou slbší než v přípdě rozvojů do Tylorových řd. Rovněž výpočet koeficientů může být jednodušší záležitostí než u řd Tylorových. Rozvojů funkcí do Fourierových řd se s úspěchem používá především k hledání (periodických) řešení obyčejných prciálních diferenciálních rovnic. Tuto metodu řešení nzýváme Fourierovou metodou či Fourierovou metodou seprcí proměnných pro způsob konstrukce speciálních funkcí. Summry The functionl series, nd especilly the Fourier series, re n importnt mthemticl pprtus exploited in the vrious technicl brnches. A very essentil group of the functionl series re the power series, which re pplied becuse of their simplicity for solving of the mny problems. An expnsion of the function to the power series, i. e. the Tylor expnsion, whose sum is the expnded function. These expnsions re suitble for evlution of opertions, such s clcultion of functionl vlues, limits, derivtives nd integrls. Clcultions of these expnsions re esier thn of the functions theirself. The Fourier series re used for studies of events with periodic chrcter. An dvntge of the Fourier series is the fct, tht the requirements for convergency re weker thn in the cse of the Tylor expnsions. Likewise, clcultion of the coefficients cn be more simple thn in the Tylor expnsions. Expnsions of functions to the Fourier series re used especilly for solving ordinry nd prtil differentil equtions. This method of solving is known s the Fourier method or the Fourier method of vrible seprtion. Klíčová slov Řd, Fourierov řd, Fourierovy koeficienty, plikce Keywords Series, the Fourier series, the Fourier coefficients, ppliction SLADKÁ, P. Fourierov řd její vlstnosti. Brno: Vysoké učení technické v Brně, Fkult strojního inženýrství, 28. 3 s. Vedoucí bklářské práce Ing. Pvel Štrh, Ph.D.

Prohlšuji, že jsem bklářskou práci Fourierov řd její vlstnosti vyprcovl smosttně pod vedením Ing. Pvl Štrhy, Ph.D. s použitím mteriálů uvedených v seznmu litertury. Pvl Sldká

Děkuji svému školiteli Ing. Pvlu Štrhovi, Ph.D. z vedení mé bklářské práce. Pvl Sldká

Obsh OBSAH Úvod 3. Krátce z historie................................ 3 2 Funkční řdy 5 2. Definice zákldní pojmy, obor konvergence................. 5 2.2 Spojitost, derivování integrování funkčních řd............... 8 3 Mocninné řdy 9 3. Definice zákldní pojmy, obor konvergence................. 9 3.2 Spojitost, derivování integrování mocninných řd............. 4 Tylorovy řdy 3 4. Zákldní pojmy................................. 3 4.2 Přehled vybrných Tylorových rozvojů elementárních funkcí........ 4 4.2. Tylorovy rozvoje elementárních funkcí určené přímou metodou.. 4 4.2.2 Tylorovy rozvoje elementárních funkcí určené nepřímou metodou. 4 5 Fourierovy řdy 5 5. Zákldní pojmy................................. 5 5.2 Bodová stejnoměrná konvergence Fourierovy řdy............. 8 5.3 Derivování integrování Fourierových řd.................. 9 5.4 Fourierovy řdy v obecném přípdě...................... 2 5.5 Řešené příkldy................................. 2 5.6 Příkld plikce Fourierových řd....................... 27 6 Závěr 29 7 Seznm použitých zkrtek symbolů 3

2 OBSAH

Úvod ÚVOD Cílem této práce je nstínit teorii funkčních řd následně se soustředit n problemtiku řd Fourierových. Funkční řdy jsou řdy, jejichž členy jsou reálné funkce. Nejjednodušším typem funkčních řd jsou řdy mocninné. Rozvoje funkcí v mocninné řdy, tj. Tylorovy řdy, jsou čsto využívány npříkld ke sndnějšímu vyčíslení opercí jko jsou integrce, derivce či výpočtu funkční hodnoty. Nejobsáhlejší část práce je věnován Fourierovým řdám, to především teorii plikcím. Fourierov řd je speciálním přípdem funkční řdy jedná se o rozvoj funkce do řd sinů kosinů. Práce je určen čtenáři, jež ovládá zákldy diferenciálního integrálního počtu. Smotný obsh práce je rozčleněn do pěti kpitol. Úvodem je v několik odstvcích stručně popsán život J.-B. J. de Fourier, utor mnoh teorií, které jsou dodnes plikovány v nejrůznějších technických oborech. Druhá kpitol slouží k obecnému popisu funkčních řd jejich vlstností. Následující kpitol je změřen n řdy mocninné. V této části je klden důrz n otázku konvergence těchto řd dále n nvzující tém derivovní integrování mocninných řd člen po členu. Třetí kpitol obshuje text věnovný Tylorovým řdám, v němž je uveden přehled Tylorových rozvojů elementárních funkcí získných přímou nepřímou metodou. Předposlední kpitol s názvem Fourierovy řdy je rozdělen do několik důležitých podkpitol změřených především n zákldní pojmy, bodovou stejnoměrnou konvergenci řešené příkldy. Pro názornost jsou jednotlivé příkldy doplněny o vykreslené grfy vytvořené v online progrmu METAPOST. V závěru je uvedeno krátké shrnutí obshu cílů práce v neposlední řdě je přiložen seznm použité litertury, použitých symbolů zkrtek.. Krátce z historie Jen-Bptiste Joseph de Fourier (2. březen 768 6. květen 83) byl frncouzský mtemtik fyzik, který se nejvíce proslvil zkoumáním Fourierových řd jejich plikcí k problémům toků tepl, objevitel skleníkového efektu (824). Nrodil se v Auxerre jko syn krejčího. V devíti letech ztrtil ob rodiče. Zčl chodit do vojenské školy při benediktinském klášteře. V roce 789 přijel do Příže, by předstvil svou práci o číselném řešení rovnice libovolného stupně, t se všk během revoluce ztrtil. Fourier se vrátil do Auxerre přednášel ve škole, n níž sám studovl. V roce 794 přestoupil n École Normle Supérieure, školu zloženou Konventem, jejíž smyslem byl příprv učitelů. Školu brzy zvřeli, přesto n sebe Fourier stčil upozornit tkové velikány jko byli Lgrnge, Lplce Monge. V letech 795 798 přednášel n École Polytechnique. Spolu s dánským fyzikem H. Oerstedem (777 85) sestvili z bismutových ntimonových destiček zdroj npětí podobný Voltovu sloupu zkoumli termoelektřinu. Ve spisu Veškeré historické údje jsou čerpány z [7], [8]. 3

ÚVOD Theorie nlytique de l chleur (Anlytická teorie tepl, 822) mtemticky zprcovl teorii vedení tepl tím přispěl k rozvoji prních strojů. Vyslovil zákldní zákon vedení tepl. V uvedené práci položil zákldy Fourierovy metody řešení prciálních diferenciálních rovnic s předem dnými okrjovými podmínkmi, které se úspěšně upltňují ve fyzice v technických vědách. I když nejsou výhrdně Fourierovým objevem, nesou jeho jméno, jelikož byl první, kdo ukázl, že jsou silným mtemtickým nástrojem v mtemtické fyzice i v mtemtické nlýze. Sestvil trigonometrické řdy funkcí definovných n intervlu ( π, π) v tomto intervlu integrovtelných. S oběm těmito rozvoji souvisí tzv. Fourierovy koeficienty. Pro neperiodické funkce integrovtelné n všech reálných číslech zvedl tzv. Fourierův integrál, který má v tomto přípdě podobný úkol jko Fourierov řd pro periodické funkce. Teorii funkcí obohtil Fourierovou trnsformcí, která je zobrzením přiřzující funkci f definovné v R funkci f, která je jejím Fourierovým obrzem, tk výrzně přispěl k objsnění pojmu funkce. Zbývl se i sttistikou teorií prvděpodobnosti. Stimulovl práce, které vedly k trigonometrii řd. T později přivedl německého mtemtik G. Cntor (845 98) k teorii množin. Fourierem vytvořené mtemtické metody ptří ke klsickým pomocným prostředkům fyziky. Pltí to především o vyjádření libovolných funkcí řdmi nebo integrály sinusových funkcí. V teorii kteréhokoli vlnivého procesu, ť zvuku, povrchového vlnění n kplinách nebo elektromgnetických kmitů, má důležitý význm Fourierovo rozložení v čistě sinusové kmity, to tím spíše, že kždý kustický rezonátor kždý optický spektrální přístroj provádí toto rozložení utomticky (ž k jistému stupni). Fourierovo dílo je vzorným příkldem toho, jk poždvky fyziky vyvolly význmný pokrok mtemtiky. 4

2 Funkční řdy 2 FUNKČNÍ ŘADY V této kpitole se budeme zbývt řdmi, jejíž členy jsou relné funkce, tedy funkčními řdmi. Podrobněji je tto problemtik zprcován npříkld v [4], [6]. 2. Definice zákldní pojmy, obor konvergence Definice. Nechť v intervlu I je definován posloupnost funkcí {f n (x)} n=. Funkční řdou rozumíme výrz ve tvru f k (x) = f (x) + f 2 (x) + + f n (x) +. (2.) Dosdíme-li z x určité číslo x I, obdržíme z funkční řdy (2.) číselnou řdu ve tvru f k (x ) = f (x ) + f 2 (x ) + + f n (x ) +. (2.2) Konverguje-li číselná řd (2.2), řekneme, že funkční řd (2.) konverguje pro x = x. Definice 2. Nechť I I znčí množinu všech čísel x z množiny I, pro která funkční řd (2.) konverguje. Množinu I nzýváme oborem konvergence funkční řdy (2.). Při určování oboru konvergence I čsto s výhodou užíváme limitního podílového nebo odmocninového kritéri. Poznámk. Je dán nekonečná číselná řd Limitní podílové kritérium (LPK) L > řd (2.3) konverguje L < řd (2.3) diverguje k = + 2 + 3 +. (2.3) k+ lim k k L = o konvergenci či divergenci řdy (2.3) nelze n zákldě tohoto kritéri rozhodnout. Limitní odmocninové kritérium (LOK) lim k = L k k = L, pk pltí závěry limitního podílového kritéri. 5

2 FUNKČNÍ ŘADY Příkld 2.. Určete obor konvergence I řdy Řešení. LPK: sin L = lim k x 2 k+ sin x 2 k sin x 2 = sin x k 2 + sin x 4 + sin x 8 +, I = R. = lim k sin x 2 k+ sin 2 x 2 k+ = lim k 2 sin x 2 k+ sin x cos x = 2 k+ 2 k+ = 2 lim k cos x = 2 2 k+ Podle limitního podílového kritéri jsme určili obor konvergence I = I = R. Příkld 2.2. Určete obor konvergence I řdy <, x R. ln k x k = ln x + ln2 x 2 + ln3 x 3 +, I = (, ). Řešení. LOK: k k ln k x L = lim f k (x) = lim k k k = lim k ln x k k = ln x. Podle limitního odmocninového kritéri řd konverguje pro ln x < nekonverguje pro ln x >. Doszením hodnoty ln x = dostáváme divergentní hrmonickou řdu doszením hodnoty ln x = pk konvergentní Leibnitzovu řdu. Vyšetřovná řd tedy konverguje, právě když ln x, ). Protože ln =, ln e =, je obor konvergence e tvru I = e, e). Definice 3. Funkci s n (x) tvru n s n (x) = f k (x) = f (x) + f 2 (x) + + f n (x) (2.4) nzýváme n-tým částečným součtem funkční řdy (2.). Výrz R n (x) = f n+k (x) = f n+ (x) + f n+2 (x) + f n+3 (x) + (2.5) nzýváme n-tým zbytkem řdy (2.). Součtem funkční řdy (2.) rozumíme funkci s(x) = lim n s n (x), (2.6) která je definován n množině I (tj. je definován pro všechn x, ve kterých existuje konečná limit lim n s n (x)). Potom píšeme s(x) = f k (x), x I. (2.7) 6

2 FUNKČNÍ ŘADY Poznámk. Součtem nekonečné řdy funkcí je tedy opět funkce. Podotkněme všk, že tento součet nemusí být definován n celém intervlu I (kde jsou definováni jednotliví sčítnci), le obecně pouze n nějké jeho podmnožině I. Jednou z nejpodsttnějších otázek v teorii funkčních řd je problém, nkolik se některé zákldní vlstnosti konečných součtů přenášejí n součty nekonečné. Především nás bude zjímt zchování tří následujících vlstností známých z diferenciálního počtu:. Jsou-li funkce f (x),..., f n (x) spojité n I, potom je n I spojitý tké jejich součet. 2. Integrál ze součtu funkcí je roven součtu integrálů těchto funkcí: b ( n f k (x) 3. Derivce součtu je rovn součtu derivcí: ) b n dx = f k (x) dx ( n n f k (x)) = f k(x) I když je přirozené se domnívt, že tyto zmíněné vlstnosti pltí, ve skutečnosti tomu tk obecně není. Příkld 2.3. Určete obor konvergence funkční řdy: x + (x 2 x) + (x 3 x 2 ) + ukžme, že tto řd konverguje n tomto oboru k nespojité funkci. Řešení. Členy této řdy jsou funkce f (x) = x, f 2 (x) = x 2 x, f 3 (x) = x 3 x 2,..., tedy funkce spojité n (, ). Nejprve určíme obor konvergence I této funkční posloupnosti. Pro její n-tý částečný součet pltí s n (x) = x + (x 2 x) + (x 3 x 2 ) + + (x n x n ) = x n Pro x > je lim n s n (x) = +, kdežto pro x < tto limit neexistuje. Dále pk s n () = n, tj. lim n s n () = lim n s n ( ) neexistuje. Je-li x (, ), potom lim n s n (x) =. Došli jsme tedy k závěru, že konvergenční obor I posloupnosti funkcí s n (x) = x n je I = (,, přičemž limitní funkce s(x) je tvru: s(x) = lim n s n (x) = {, x (, ),, x =. Zjistili jsme tedy, že řd spojitých funkcí f n (x) konverguje v intervlu I = (, k nespojité funkci s(x), která má bod nespojitosti v bodě x =. K zchování výše uvedených vlstností proto zvedeme silnější typ konvergence funkční řdy, tzv. stejnoměrnou konvergenci. 7

2 FUNKČNÍ ŘADY Definice 4. Řekneme, že funkční řd (2.) konverguje stejnoměrně v intervlu I k funkci s(x) n intervlu I, jestliže ε >, n N : x I, n > n pltí: s n (x) s(x) < ε. Pltí: I I (tj. konverguje-li řd stejnoměrně, pk konverguje i bodově, opk nepltí). K prktickému posouzení stejnoměrné konvergence nám slouží jednoduché následující kritérium. Vět (Weierstrssovo kritérium). Funkční řd f k (x) je stejnoměrně konvergentní n intervlu I, jestliže existuje konvergentní číselná řd A k pro jejíž členy pltí: f k (x) A k, k =, 2,..., x I. Poznámk. Výhodou tohoto kritéri mimo jiné je, že nepotřebujeme znát součtovou funkci s(x). 2.2 Spojitost, derivování integrování funkčních řd V následujících větách uvedeme zákldní vlstnosti stejnoměrně konvergentních řd, které nám především umožní tyto nekonečné funkční řdy derivovt, resp. integrovt člen po členu. Vět 2 (Spojitost funkční řdy). Nechť funkce f k (x), k =, 2,... jsou spojité v intervlu I nechť funkční řd f k (x) stejnoměrně konverguje k funkci s(x) v tomto intervlu. Pk funkce s(x) je tké spojitá v intervlu I. Vět 3 (Derivce funkční řdy). Nechť funkce f k (x), f k(x), k =, 2,... jsou spojité n intervlu I. Nechť funkční řd f k (x) konverguje k funkci s(x) v intervlu I nechť derivcí f k(x) konverguje v tomto intervlu stejnoměrně. Pk má s(x) v I derivci pltí s(x) = f k(x), x I, tj. ( f (x) + f 2 (x) + ) = f (x) + f 2(x) +, x I. Vět 4 (Integrce funkční řdy). Nechť funkce f k (x), k =, 2,... jsou integrovtelné v intervlu, b. Nechť funkční řd f k (x) stejnoměrně konverguje k funkci s(x) v intervlu, b. Pk funkce s(x) je tké integrovtelná v, b pltí tj. b b b s(x) dx = f k (x) dx, ( f (x) + f 2 (x) + ) b dx = f (x) dx + b f 2 (x) dx +. 8

3 Mocninné řdy 3 MOCNINNÉ ŘADY Mocninné řdy 3 jsou nejjednodušším speciálním přípdem funkčních řd. Jsou to funkční řdy, jejichž členy jsou mocninné funkce. V této kpitole se změříme n zákldní pojmy, obor konvergence vlstnosti mocninných řd jko jsou spojitost, derivování integrování. Uvidíme, že oborem konvergence kždé mocninné řdy je jednobodová množin nebo intervl. Dále rovněž ukážeme, že tyto řdy konvergují stejnoměrně n kždém uzvřeném podintervlu tohoto konvergenčního intervlu. Jk plyne z předchozí kpitoly, tto vlstnost nám umožní integrovt derivovt mocninné řdy člen po členu. 3. Definice zákldní pojmy, obor konvergence Definice 5. Mocninnou řdou se středem v bodě x rozumíme funkční řdu tvru k (x x ) k = + (x x ) + 2 (x x ) 2 +, (3.) k= kde k pro k =,, 2,... jsou konstnty, které nzýváme koeficienty řdy. Mocninná řd se středem v bodě x = je tedy funkční řd tvru k x k = + x + 2 x 2 +. (3.2) k= Částečnými součty kždé mocninné řdy jsou polynomy proto lze očekávt, že tyto řdy budou mít jisté jednoduché vlstnosti. Především je zřejmé, že kždá mocninná řd konverguje ve svém středu x I, což lze velmi sndno ověřit přímým doszením do řdy. Následující vět ukáže, že struktur oboru konvergence mocninných řd je buď jednoprvková množin tvořen středem řdy nebo intervl konečné délky symetrický kolem středu nebo celá reálná os. V koncových bodech oboru konvergence může řd k= k (x x ) k konvergovt, přípdně divergovt nebo oscilovt. Tyto přípdy musíme vždy prověřit zvlášť. Vět 5 (O poloměru konvergence). Ke kždé mocninné řdě k= k (x x ) k existuje tkové číslo R (připouštíme i R = ), že pro všechn x x R, x + R tto řd bsolutně konverguje, kdežto pro x ležící vně intervlu x R, x +R nekonverguje. (Zápisem R = přitom rozumíme, že řd konverguje pouze pro x = x hodnot R = znmená, že řd konverguje pro všechn reálná x). Číslo R pk nzýváme poloměrem konvergence. V následující větě uvedeme kritérium, pomocí kterého lze zjistit hodnotu poloměru konvergence R. Formálně se toto kritérium podobá limitnímu podílovému odmocninovému kritériu, to z důvodu, že je pomocí nich dokzováno. Vět 6 (Určení poloměru konvergence). Nechť existuje (konečná nebo nekonečná) limit lim k+ k = ϱ, resp. lim k = ϱ. k k k 3 Text převztý z []. 9

3 MOCNINNÉ ŘADY Potom pro konvergenční poloměr mocninné řdy (3.) pltí R = ϱ. Přitom pro ϱ = kldeme R = pro ϱ = kldeme R =. Poznámk. Pokud jde o vzájemný vzth obou limit uvžovných v předcházející větě, k připomeňme, že pltí: Existuje-li lim k k+ / k, potom existuje tké lim k k obě limity jsou si rovny. Uvedené vzorce lze všk použít pouze v přípdě, že mocniny v řdě skáčou po jedné. Příkld 3.. Určete obor konvergence mocninné řdy (x ) k = x (x )2 (x )3 + + +. k 3 k 3 8 8 Řešení. Mocninná řd má střed v bodě x = koeficienty k = /(k 3 k ). Dále určíme poloměr konvergence: k ϱ = lim k = lim k k k k 3 k = 3 lim k k k = 3, R = = 3. Dná mocninná řd ted konverguje uvnitř intervlu ( 2, 4). O konvergenci ϱ v krjních bodech rozhodneme doszením do řdy. Pro x = 4 získáme řdu, což k je divergentní hrmonická řd. Pro x = 2 dostáváme konvergentní Leibnitzovu řdu ( ) k. Oborem konvergence I je tedy intervl I = 2, 4). k 3.2 Spojitost, derivování integrování mocninných řd Vět 7 (O stejnoměrné konvergenci). Má-li řd (3.) poloměr konvergence R >, potom konverguje stejnoměrně (nvíc i bsolutně) v kždém uzvřeném intervlu x R, x + +R (x R, x + R). Podle poslední věty mocninné řdy stejnoměrně konvergují n kždém uzvřeném intervlu ležícím uvnitř oboru konvergence. Z předcházející věty pk plynou následující zákldní vlstnosti mocninných řd. Vět 8 (O spojitosti mocninných řd). Mocninná řd s(x) = k= k (x x ) k je spojitou funkcí v kždém vnitřním bodě oboru konvergence I. Konverguje-li nvíc tto řd v levém (resp. prvém) krjním bodě I, pk je s(x) spojitá v tomto bodě zprv (resp. zlev). Příkld 3.2. Funkce s(x) = (x ) k z předcházejícího příkldu je spojitá n intervlu ( 2, 4) spojitá zprv v bodě x = k3 k 2.

3 MOCNINNÉ ŘADY Vět 9 (O derivování mocninných řd). Nechť mocninná řd k= k (x x ) k poloměr konvergence R > součet s(x). Pk pltí má tj. s (x) = k k (x x ) k, ( + (x x ) + 2 (x x ) 2 + ) = + + 2 2 (x x ) +, přičemž mocninná řd n prvé strně má tentýž poloměr konvergence R. Vět (O integrování mocninných řd). Nechť mocninná řd k= k (x x ) k má poloměr konvergence R > součet s(x). Pk pltí tj. b ( (b x ) k+ s(x) dx = k k= k + ( x ) k+ ) k = k + = k= k k + (b x ) k+ k= k k + ( x ) k+, b ( + (x x ) + 2 (x x ) 2 + ) dx = [x] b + 2 [ (x x ) 2] b + [ 2 (x x ) 3] b 3 + pro libovolný intervl, b (x R, x + R), přičemž číselná řd n prvé strně konverguje, to bsolutně. Poznámk. Větu o integrci mocninné řdy lze přeformulovt tké pro přípd, kdy uvžovný integrál je funkcí horní meze pro všechn x (x R, x + R). Pk pltí tj. x ( x x ( x ) k (t x ) k dt = k= x k= x k (t x ) k dt = k= (x x ) k + k, k + ) k (t x ) k dt = (x x ) + k= 2 (x x ) 2 + 2 3 (x x ) 3 +, přičemž mocninná řd n prvé strně má opět poloměr konvergence R. Pomocí derivování nebo integrování mocninných řd člen po členu lze odvodit některé nové vzthy pro součty řd. Vyjděme npříkld ze vzthu k= x k = x, x I = (, ). Všimněme si, že se jedná o geometrickou funkční řdu s kvocientem q = x, tudíž pro součet této řdy pltí uvedený vzth. Obor konvergence bychom zjistili npř. pomocí limitního podílového kritéri.

3 MOCNINNÉ ŘADY Derivováním této rovnosti dostáváme podle věty o derivci mocninných řd kx k = ( x) 2, tj. kx k = x, x (, ). ( x) 2 Zdůrzněme, že při derivování integrování mocninné řdy se zchovává poloměr konvergence, nikoliv všk nutně konvergence v krjních bodech oboru konvergence. Přípdnou konvergenci je třeb vždy prověřit přímým doszením do řdy. Pozstvme se nd tím, že řd vystupující v předcházejícím vzthu již není řd geometrická. Doszením libovolného x (, ) do tohoto vzthu lze získt vzorec pro součet negeometrické řdy. Integrováním rovnosti k= x k = dostáváme po mlé úprvě prověření konvergence v krjních bodech x vzth x k k = ln( x), x, ). 2

4 Tylorovy řdy 4 TAYLOROVY ŘADY Rozvojem funkce do mocninné řdy rozumíme nlezení mocninné řdy, jejíž součtem je právě dná funkce. Tto mocninná řd se pk nzývá Tylorov. Pro většinu elementárních funkcí umíme nlézt její rozvoj do mocninné řdy, to buď pomocí vzorce, nebo užitím jiných obrtů. Tyto vzorce se využívjí především v tom smyslu, že řdu opercí (vyčíslení funkční hodnoty, limity, derivce, integrálu) lze provést sndněji pro tyto rozvoje, než pro funkce smotné. Z důvodu obsáhlosti této podkpitoly mlého prostoru k popisu teorie se n toto tém jen velmi stručně změříme dále si uvedeme některé Tylorovy rozvoje elementárních funkcí. Rozsáhlejší text věnovný Tylorovým řdám můžete njít npříkld v []. 4. Zákldní pojmy Definice 6. Nechť funkce f(x) má v bodě x derivce všech řádů. Potom Tylorovou řdou funkce f(x) v bodě x nzýváme výrz T x f (x) = k= Hlvní otázkou nyní je, z jkých podmínek pltí f (k) (x ) (x x ) k. (4.) k! f(x) = T x f (x). Protože n-tý částečný součet Tylorovy řdy je Tylorův polynom P n (x), pltí Tylorov vět, která říká, že kždou n-krát spojitě diferencovtelnou funkci f(x) můžeme v okolí bodu x U(x ) nhrdit Tylorovým polynomem P n (x) se zbytkem R n (x), tkže je f(x) = P n (x) + R n (x), x U(x ), kde P n (x) = f(x ) + f (x )! (x x ) + + f (n) (x ) (x x ) n = n! n k= f (k) (x ) (x x ) k. k! Odtud lze odvodit následující ekvivlentní podmínku pro to, by Tylorov řd funkce f(x) byl skutečně rovn f(x),což popisuje následující vět. Vět. Nechť funkce f(x) má v intervlu I derivce všech řádů nechť x I je vnitřním bodem I. Potom v tomto intervlu pltí f(x) = k= f (k) (x ) (x x ) k lim k! n R n (x) = x I. (4.2) K prktickém použití předcházející věty je nejjednodušší využít odhdu Tylorov zbytku ve tvru R n (x) M n+ (n + )! (x x ) n, M n+ = sup f (n+) (x). 3 x I

4 TAYLOROVY ŘADY Poznámk. K prktickému ověření vzthu (4.2) se tké používá Lgrngeův tvr zbytku R n (x) ve tvru R n (x) = (x x ) n+ f (n+) (x + (x x )ϑ), (n + )! kde ϑ je blíže neurčené číslo, přičemž < ϑ <. 4.2 Přehled vybrných Tylorových rozvojů elementárních funkcí 4.2. Tylorovy rozvoje elementárních funkcí určené přímou metodou Využívjí k výpočtu koeficientu k pomocí vzthu k = f (k) (x ) k! e x = sin x = cos x = ln( + x) = k= k= k= k= x k k! = + x! + x2 2! + x3 +, x (, ), 3! ( ) k x 2k+ (2k + )! ( ) k x 2k (2k)! ( ) k x k+ k + = x x3 3! + x5 5! x7 +, x (, ), 7! = x2 2! + x4 4! x6 +, x (, ), 6! = x x2 2 + x3 3 x4 +, x (,. 4 4.2.2 Tylorovy rozvoje elementárních funkcí určené nepřímou metodou Rozvoj funkce f(x) se určuje pomocí rozvoje f (x). rctg x = sinh x = cosh x = rctgh x = k= k= k= k= ( ) k x 2k+ 2k + = x x3 3 + x5 5 x7 +, x,, 7 x 2k+ (2k + )! = x + x3 3! + x5 5! + x7 +, x (, ), 7! x 2k (2k) = + x2 2 + x4 4 + x6 +, x (, ), 6 x 2k+ (2k + ) = x + x3 3 + x5 5 + x7 +, x (, ). 7 Přehled dlších důležitých Tylorových rozvojů je uveden i s prktickým použitím v litertuře [6]. 4

5 Fourierovy řdy 5 FOURIEROVY ŘADY Jedná se o speciální složitější přípd funkčních řd, kdy chceme funkci f rozvinout do trigonometrické řdy, tj. do řd sinů kosinů. Nejprve rozebereme vzth koeficientů trigonometrické řdy s touto funkcí. Dále se budeme zbývt podmínkmi zručujícími stejnoměrnou konvergenci. V poslední části se stručně změříme n využití Fourierových řd. Je nutné podotknout, že se v dlších úvhách omezíme n periodické funkce s periodou 2π, přípdně funkce definovné n intervlu délky 2π, tj. n intervlu c, c+2π n závěr kpitoly ukážeme zobecnění pro přípd funkcí s libovolnou peridou. Podrobněji je tto kpitol popsán zejmén v monogrfiích [3], [5], kde jsou tké zmíněny důkzy všech uvedených vět. 5. Zákldní pojmy Definice 7. Trigonometrickou řdou rozumíme nekonečnou funkční řdu 2 + ( k cos kx + b k sin kx) = 2 + cos x+b sin x+ 2 cos 2x+b 2 sin 2x+, (5.) kde k, b k jsou konstnty. Pk n-tý částečný součet této řdy S n (x) = 2 + n ( k cos kx + b k sin kx) = 2 + cos x+b sin x+ + n cos nx+b n sin nx, se nzývá trigonometrický polynom stupně n. Definice 8. Lze-li funkci f(x) vyjádřit dnou trigonometrickou řdou, tedy pltí f(x) = 2 + (5.2) ( k cos kx + b k sin kx), (5.3) kde k, b k jsou konstnty závisející n funkci f(x), říkáme, že jsme funkci f(x) rozvinuli v trigonometrickou řdu. Zásdní vlstností při výpočtu konstnt k, b k je ortogonlit (kolmost) systému funkcí {cos kx, sin kx}. Zveďme proto následující pomocné pojmy. 4 Definice 9. Řekneme, že funkce f(x) je integrovtelná s kvdrátem (kvdrticky integrovtelná), jestliže existují konečné hodnoty integrálů b f(x) dx b f 2 (x) dx. Tuto vlstnost má kždá spojitá, přípdně po částech spojitá funkce n intervlu, b. 4 Zvedené pojmy jsou převzté z [], [6]. 5

5 FOURIEROVY ŘADY Definice. Nechť f(x), g(x) jsou funkce integrovtelné s kvdrátem v, b, pk výrz (f, g) = b f(x)g(x) dx nzýváme sklárním součinem funkcí f(x) g(x) v intervlu, b. Je-li uvedená hodnot sklárního součinu b f(x)g(x) dx =, pk funkce f(x), g(x) nzveme ortogonální v, b. Definice. Nechť je dán konečný (nekonečný) systém funkcí ϕ (x), ϕ 2 (x),..., ϕ n (x),..., které jsou v, b integrovtelné s kvdrátem. Říkáme, že tyto funkce tvoří v intervlu, b ortogonální systém, jestliže kždé dvě různé funkce tohoto systému jsou ortogonální, tj. pltí b ϕ i (x)ϕ j (x) dx =, i j, obvykle přitom předpokládáme ϕ i 2 = b ϕ 2 i (x) dx, i =, 2,..., tj. do ortogonálního systému nezhrnujeme funkce nulové nebo skoro všude nulové. Definice 2. Nechť funkce f je integrovtelná s kvdrátem. Nezáporné číslo f = nzýváme normou funkce f n intervlu, b. b f 2 (x) dx Definice 3. Vzdáleností dvou funkcí f(x), g(x) rozumíme normu funkce f(x) g(x), tj. b f g = f(x) g(x) 2 dx. (5.4) Poznámk. Pro vzdálenost f g se v litertuře vzhledem ke tvru výrzu (5.4) čsto používá termínu střední kvdrtická odchylk. Vět 2. (Nekonečný) trigonometrický systém funkcí {, sin x, cos x, sin 2x, cos 2x,..., sin nx, cos nx} je ortogonální v libovolném intervlu délky 2π, tj. v intervlu c, c + 2π. 6

5 FOURIEROVY ŘADY Ortogonlitu tohoto systému dokážeme ověřením příslušných uvedených vzorců, tj. pro kždé dvě různé funkce f(x), g(x) z tohoto systému musí pltit c+2π c f(x)g(x) dx =, kde c je libovolné reálné číslo. Sndno lze spočítt, že = 2π, cos kx = π, sin kx = π. Dvojnásobek ( tedy i určitá symetrie) u funkce ϕ (x) = je důvodem, proč ve vzthu (5.) vystupuje nultý člen ve tvru 2. V dlším odstvci si uvedeme princip rozvoje funkcí do Fourierových řd. Předpokládejme, že funkci f(x) lze vyjádřit jko lineární kombinci (nekonečného) ortogonálního systému {ϕ k } n nějkém intervlu, b, tj. f(x) = c k ϕ k (x). Násobme nyní rovnost funkcí ϕ m integrujme n intervlu, b, tj. b f(x)ϕ m (x) dx = b ( c k ϕ k (x)ϕ m (x) Dále předpokládejme, že řd f(x) = c k ϕ k (x) konverguje stejnoměrně k f(x) v intervlu, b. Z tohoto důvodu je možné změnit znk sumce s integrcí, tj. b b f(x)ϕ m (x) dx = c k ϕ k (x)ϕ m (x) dx. Protože funkce ϕ k jsou ortogonální, dostáváme b f(x)ϕ k (x) dx = c k b ) dx. ϕ 2 k(x) dx c k = b f(x)ϕ ϕ k 2 k (x) dx. Koeficienty c k se nzývjí Fourierovy koeficienty. N zákldě ortogonlity trigonometrického systému funkcí v libovolném intervlu 2π uvedeného principu lze odvodit následující větu, podle které se určí hodnoty koeficientů k, b k ve vyjádření (5.3). Vět 3 (Určení koeficientů k, b k ). Konverguje-li trigonometrická řd (5.) stejnoměrně k integrovtelné funkci f(x) v intervlu c, c + 2π, potom pltí k = π c+2π c f(x) cos kx dx, b k = π c+2π c f(x) sin kx dx, k =, 2,... (5.5) Poznámk. Při prktickém výpočtu Fourierových koeficientů k, b k je třeb vypočítt příslušné určité integrály. V řdě přípdů lze tyto výpočty zjednodušit. Jedná se o situci, kdy je funkce f(x) n intervlu ( π, π) sudá či lichá. Nyní si tento pozntek rozvedeme: Nechť funkce f(x) je n ( π, π) integrovtelná. Je-li funkce f(x) n tomto intervlu lichá, tj. f( x) = f(x), x ( π, π), pk k = pro k =,, 2,... příslušná Fourierov řd obshuje jen sinové členy b k = π π π f(x) sin kx dx = 2 π 7 π f(x) sin kx dx, k =, 2,...

5 FOURIEROVY ŘADY sudá, tj. f(x) = f( x), x ( π, π), pk b k Fourierov řd obshuje jen kosinové členy = pro k =, 2,... příslušná k = π π π f(x) cos kx dx = 2 π π f(x) cos kx dx, k =,, 2,... Definice 4. Nechť funkce f(x) je integrovtelná v intervlu c, c + 2π. Pk trigonometrickou řdu 2 + ( k cos kx + b k sin kx), (5.6) kde koeficienty k, b k jsou vyjádřeny vzthy (5.5), nzýváme Fourierovou řdou funkce f(x) v intervlu c, c + 2π znčíme ji symbolem Φ f. Vyvstává otázk, zd pltí f(x) = Φ f (x), x c, c + 2π. Poznámk. Připomeňme, že vzorce pro Fourierovy koeficienty k, b k byly odvozeny z předpokldu stejnoměrné konvergence Fourierovy řdy. Dosud jsme všk neukázli, zd uvedená řd vůbec konverguje (příp. jký je její součet). Tímto problémem se budeme zbývt v následujícím oddílu. 5.2 Bodová stejnoměrná konvergence Fourierovy řdy Vět 4. Nechť funkce f(x) je kvdrticky integrovtelná n intervlu c, c+2π oznčme S n (x) libovolný n-tý částečný součet trigonometrické řdy (5.) S n(x) n-tý částečný součet Fourierovy řdy (tj. trigonometrické řdy, kde k, b k jsou odpovídjící Fourierovy koeficienty), pk pltí min S n(x) f(x) = S S n(x) n(x) f(x). (5.7) Vzth (5.7) nám vyjdřuje skutečnost, že ze všech n-tých částečných součtů dné trigonometrické řdy proximuje funkci f(x) nejlépe ten částečný součet, jehož koeficenty k, b k jsou Fourierovy koeficienty. Vět 5 (Prsevlov rovnost). Nechť k, b k jsou Fourierovy koeficienty kvdrticky integrovtelné funkce f(x) n intervlu c, c + 2π, pk pltí tzv. Prsevlov rovnost 2 2 + ( 2 k + b 2 k) = π c+2π c f 2 (x) dx. (5.8) Uvedená vět ještě nezručuje poždovnou rovnost funkce f(x) její Fourierovy řdy ( už vůbec nezručuje stejnoměrnou konvergenci této řdy). 8

5 FOURIEROVY ŘADY Vět 6 (Dirichletov). Nechť f(x) je periodická fce s periodou 2π, tj. f(x + 2π) = f(x) pro všechn x (, ) nechť f(x) je v intervlu c, c + 2π po částech spojitou derivci. Pk její Fourierov řd Φ f konverguje v kždém bodě x (, ) k ritmetickému průměru limity zprv limity zlev funkce f(x), tkže pltí:. Φ f (x) = f(x) v kždém bodě x (, ), v němž je f(x) spojitá 2. Φ f (x ) = 2 [lim x x + f(x) + lim x x f(x)] v kždém bodě x (, ), v němž je f(x) nespojitá. Poznámk. Funkci nzveme po částech spojitou n intervlu c, c + 2π, je-li zde spojitá s přípdnou výjimkou počtu bodů nespojitosti prvního druhu (tj. existují zde konečné, le různé jednostrnné limity). Poznámk. V přípdě neperiodické fce f(x) v intervlu c, c + 2π pltí závěry Dirichletovy věty pouze n intervlu (c, c + 2π), místo původního intervlu (, ). Tvrzení Dirichletovy věty se pk nvíc rozšíří v krjních bodech tohoto intervlu, tj. pltí:. Φ f (x) = f(x) v kždém bodě x (c, c + 2π), v němž je f(x) spojitá 2. Φ f (x ) = 2 [lim x x + f(x) + lim x x f(x)] v kždém bodě x (c, c + 2π), v němž je f(x) nespojitá. 3. Φ f (c) = Φ f (c + 2π) = 2 [lim x c + f(x) + lim x c+2π f(x)] Vět 7 (Jordnov o stejnoměrné konvergenci). Nechť funkce f(x) je periodická s periodou 2π, spojitá n intervlu c, c+2π má po částech spojitou derivci. Pk Fourierov řd Φ f k funkci f(x) konverguje stejnoměrně to pro všechn x (, ). Speciálně tedy pltí Φ f = f(x), x (, ). Poznámk. Není-li funkce f(x) periodická, všk splňuje osttní dv předpokldy předcházející věty, pk závěry Jordnovy věty pltí n libovolném uzvřeném intervlu, b (c, c + 2π). Je-li nvíc f(c) = f(c + 2π), pk stejnoměrná konvergence Φ f k funkci f(x) pltí přímo n celém intervlu c, c + 2π. 5.3 Derivování integrování Fourierových řd Mějme Fourierovu řdu k = π příslušnou k funkci f(x). Φ f = 2 + 2π f(x) cos kx dx, ( k cos kx + b k sin kx) b k = π 2π f(x) sin kx dx 9

5 FOURIEROVY ŘADY Vět 8 (Derivování Fourierových řd). Je-li f(x) spojitá v π, π, f( π) = f(π) f (x) je po částech spojitá v π, π, pk v kždém bodě, kde f (x) má derivci ( je tedy spojitá), pltí f (x) = k ( k sin kx + b k cos kx). Vět 9 (Integrování Fourierových řd). Je-li f(x) po částech spojitá v π, π, pk pltí x π f(t) dt = 2 (x + π) + k [ k sin kx b k (cos kx cos kπ)], ( π x π). 5.4 Fourierovy řdy v obecném přípdě Je-li f(x) periodická funkce s obecnou periodou 2l, přípdně neperiodická funkce definovná n intervlu c, c+2l, pk se všechny předcházející definice, věty, vzthy poznámky sndno modifikují n tento přípd. Npř. nekonečný systém funkcí {, sin πx l, cos πx l,..., sin nπx l, cos nπx } l je ortogonální n libovolném intervlu c, c + 2π. Odpovídjící Fourierov řd má tvr f(x) Φ f = 2 + ( k cos kπx l + b k sin kπx ), (5.9) l kde funkce f(x) je integrovtelná n intervlu c, c + 2l. Pro příslušné Fourierovy koeficienty pltí k = l c+2l c f(x) cos kπx l dx, b k = l c+2l c f(x) sin kπx l dx, k =,, 2,.... (5.) 5.5 Řešené příkldy Příkld 5.. Rozviňte následující funkci f(x) ve Fourierovu řdu. f(x) = {, x, ), 2 x, x, 2). f(x) 2 x Obrázek 5.: Grf funkce f(x) 2

5 FOURIEROVY ŘADY Řešení. V tomto přípdě máme obecnou periodu 2l = 2 l =. = 2 f(x) dx = dx + 2 (2 x) dx = 3 2 2 k = u = 2 x = u = f(x) cos kπx dx = + 2 sin kπx dx = + + kπ kπ = k 2 π 2 [ + ( ) k ] = cos kπx dx + 2 (2 x) cos kπx dx = v = cos kπx [ ] [ sin kπx v = = kπ kπ sin kπx + (2 x) [ ] 2 cos kπx kπ {, pro k sudé, 2 k 2 π 2, pro k liché. ] 2 sin kπx + kπ = ( + cos kπ) = k 2 π2 2 b k = u = 2 x = u = f(x) sin kπx dx = sin kπx dx + 2 (2 x) sin kπx dx = v = sin kπx [ cos kπx v = = ] [ ] 2 kπ kπ cos kπx cos kπx + (2 x) kπ [ ] 2 sin kπx 2 cos kπx cos kπx dx = + cos kπx + kπ kπ kπ kπ kπ Pro výslednou Fourierovu řdu dostáváme vzth: Φ f = 3 4 + = 3 4 + k= kπ ( k 2 π 2 [ + ( ) k ] cos kπx + kπ sin kπx ) = 2 (2k + ) 2 π cos (2k + )πx + sin kπx. 2 kπ = kπ = kπ. f(x) 2. částečný součet 5. částečný součet 2. částečný součet Fourierov řd Φ f 3 2 2 3 x Obrázek 5.2: Grf vybrných částečných součtů Fourierovy řdy Φ f funkce f(x) zdné v příkldu 5. 2

5 FOURIEROVY ŘADY Příkld 5.2. Rozviňte v sinovou kosinovou řdu funkci f(x), která je dán vzthem: π 2 4 f(x) f(x) = x(π x), x (, π). π x Řešení. Sinový rozvoj: k = Obrázek 5.3: Grf funkce f(x) b k = 2 π π f(x) sin kx dx = 2 x sin kx dx 2 π x 2 u = x v sin kx dx = = sin kx π π u cos kx = v = k u = x 2 v [ ] = sin kx π u cos kx = 2x v = = 2 x cos kx + π cos kx dx k k k 2 {[ ] π x2 cos kx + π k + 2 π x cos kx dx k = u = x v [ ] = cos kx π sin kx u sin kx = v = = 2π( )k + 2 + k k k 2 + 2π( )k 4 [ ] π x sin kx π sin kx dx k kπ k k = 4 {[ ] π } cos kx = k 2 π k = 4 ( ) { ( ) k, pro k sudé, = k 3 π pro k liché.. 8, k 3 π Po doszení do vzthu (5.6) dostáváme výslednou sinovou Fourierovu řdu ve tvru: Kosinový rozvoj: b k = = 2 π π Φ f = 8 π f(x) dx = 2 π sin (2k )x (2k ) 3. π (πx x 2 ) dx = π2 3, 22

5 FOURIEROVY ŘADY π 2 4 f(x) 2π π π 2π x. částečný součet sinová Fourierov řd Φ f Obrázek 5.4: Grf. částečného součtu sinové Fourierovy řdy Φ f funkce f(x) = = x(π x) k = 2 π π f(x) cos kx dx = 2 x cos kx dx 2 π x 2 u = x v cos kx dx = = cos kx π π u sin kx = v = k u = x 2 v [ ] = cos kx π x sin kx u sin kx = 2x v = = 2 π sin kx dx k k k 2 {[ x 2 ] π sin kx π k 2 π x sin kx dx k = u = x v = sin kx u cos kx = v = = 2 [ ] π cos kx + 4 {[ ] π x cos kx k k k πk k π cos kx dx k = 2 [ ( ) k ] 4 k 2 k 2 π π ( )k 4 [ ] π sin kx = k 2 π k = 2 { ( ( ) k 2( ) k) 4, pro k sudé, = k 2 k 2, pro k liché.. Postupujeme obdobně jko v předchozím přípdě získáváme vzth pro kosinovou Fourierovu řdu: Φ f = π2 6 cos 2kx. k 2 π 2 4 f(x) 2π π π 2π x. částečný součet 2. částečný součet 3. částečný součet kosinová Fourierov řd Φ f Obrázek 5.5: Grf vybrných částečných součtů kosinové Fourierovy řdy Φ f f(x) = x(π x) funkce 23

5 FOURIEROVY ŘADY Příkld 5.3. Njděte Fourierovu řdu funkce f(x) = e x n intervlu (, π). Řešení. Jelikož se jedná o Fourierovu řdu v obecném přípdě, musíme si vyjádřit hodnotu l to následujícím způsobem: 2l = π l = π. V dlším postupu využijeme vzthů 2 (5.9), (5.). k = 2 π 2k π π + π 2k = 2 π π f(x) dx = 2 π π e x dx = 2(eπ ), π e x u = e cos 2kx dx = x v = cos 2kx u = e x sin kx v = = 2 {[ e x sin 2kx 2k π 2k e x sin 2kx dx = u = e x v = sin 2kx u = e x cos 2kx v = = {[ 2k kπ e x cos 2kx dx = 2k 2 π (eπ ) π e x cos 2kx dx. 2k 2 π ] π ex cos 2kx 2k Výrz k, který jsme získli dvojí plikcí per prtes, použijeme v následující rovnici, kterou vyřešíme. 2k 2 π (eπ ) π e x cos 2kx dx = 2 π e x cos 2kx dx 2k 2 π π π e x cos 2kx dx π ( + ) 4k 2 = (eπ ) 4k 2 e x cos 2kx dx = (eπ ) 4k 2 +. Anlogicky budeme postupovt při výpočtu druhého Fourierov koeficentu b k. b k = 2 π + 2k 2k π π e x u = e sin 2kx dx = x v = sin 2kx u = e x cos kx v = = 2 {[ ] π ex cos 2kx + 2k π 2k e x cos 2kx dx = u = e x v = cos 2kx u = e x sin 2kx v = = eπ 2k kπ + {[ e x sin 2kx kπ 2k e x sin 2kx dx = eπ kπ π e x sin 2kx dx. 2k 2 π π Opět si z rovnice vyjádříme hodnotu integrálu π e x sin 2kx dx. ] π + ] π 24

5 FOURIEROVY ŘADY kπ ( eπ ) π e x sin 2kx dx = 2 π e x sin 2kx dx 2k 2 π π π e x sin 2kx dx π ( + ) 4k 2 = ( eπ ) 2k e x sin 2kx dx = 2k ( eπ ) 4k 2 +. Obdrželi jsme tedy hodnoty příslušných koeficientů, k, b k = 2(eπ ), k = 2 e π π π 4k 2 +, Výsledná Fourierov řd je tedy tvru: Φ f = eπ π + 2 π b k = 2 π 2k ( e π ) 4k 2 +. ( e π 4k 2 + cos 2kx + 2k ( ) eπ ) sin 2kx. 4k 2 + 25

5 FOURIEROVY ŘADY f(x) 3. částečný součet 7. částečný součet 2. částečný součet Fourierov řd Φ f π 2π 3π Obrázek 5.6: Grf vybrných částečných součtů Fourierovy řdy Φ f funkce f(x) = e x x 26

5 FOURIEROVY ŘADY 5.6 Příkld plikce Fourierových řd V této kpitole uvedeme příkld řešení prciálních diferenciálních rovnic metodou Fourierových řd. Podsttu metody předvedeme n úloze pro hyperbolickou rovnici kmitání struny. Pro hlubší pochopení této metody nlezení obdobných příkldů lze použít npříkld literturu [2], ze které bylo v nšem přípdě čerpáno. Příkld 5.4. Řešme úlohu kmitání struny délky π se znedbáním vnějších sil. u tt = u xx, x (, π), t (, ), u(, t) =, u(π, t) =, t (, ), u(x, ) = ϕ(x), u t (x, ) = ψ(x), x (, π). Řešení. Speciální funkce v(x, t), které splňující rovnici okrjové podmínky budeme hledt ve tvru se seprovnými proměnnými, tj. v(x, t) = X(x)T (t). Doszením do rovnice u tt = u xx obdržíme X(x)T (t) = X (x)t (t), odkud dělením XT plyne T (t) T (t) = X (x) X(x). Levá strn rovnice nezávisí n x, prvá nezávisí n t, tudíž obě strny položíme rovny libovolné konstntě λ. Pro T (t) X(x) tk získáme obyčejné diferenciální rovnice 2. řádu. Nejprve vyřešíme rovnici X + λx =. Řešení této rovnice obshuje dvě konstnty X(x) = c e µx + c 2 e µx. Vezmeme v úvhu okrjové podmínky. Z rovnosti T (t)x() = plyne X() =. Podobně druhá podmínk dává X(π) =. Hledáme tedy nenulové řešení X rovnice X + λx =. Dosďme řešení X do okrjových podmínek. Z podmínky X() = c e + c 2 e = plyne c = c 2 = c. Dosdíme do druhé podmínky X(π) = c(e µπ e µπ ) =, odtud plyne e 2µπ =. Rovnice e z = má řešení z = 2πki, kde i je imginární jednotk k je celé číslo. Odtud vyplývá µ = ki pro k Z. Příslušné řešení oznčené indexem k je tvru X k (x) = c(e ikx e ikx ) = 2ci sin kx. Pro jednoduchost volíme c = /(2i) dostáváme netriviální posloupnost funkcí X k (x) = = sin kx pro k =, 2, 3,... Doszením X k (x) do rovnice X + λx = vyjde λ k = n 2. Příslušné řešení T k vychází se dvěm konstntmi T k = k cos kt + b k sin kt. 27

5 FOURIEROVY ŘADY Dostli jsem tk posloupnost funkcí v k (x, t) = sin kx ( k cos kt + b k sin kt). Díky principu superpozice řešení lineární úlohy kždá lineární kombince k c k v k splňuje stejnou rovnici okrjové podmínky. Vhodnou volbou konstnt c k můžeme splnit i počáteční podmínky. Řešení úlohy proto hledáme ve tvru u(x, t) = c k v k (x, t), k kde c k zhrneme v konstnty k, b k, jejichž tvr získáme po doszení počátečních podmínek, tj. u(x, t) = sin kx ( k cos kt + b k sin kt). u(x, ) = k sin kx = ϕ(x), u t (x, ) = kb k sin kx = ψ(x). Koeficienty k, b k určují vzorce k = 2 π π ϕ(x) sin kx dx, b k = 2 π ψ(x) sin kx dx. kπ Při obecné délce struny l by se řešení změnilo následujícím způsobem. X k (x) = sin kπ l x, T k(t) = k cos kπ l t + b k sin kπ l t. Řešení rovnice bychom hledli ve tvru u(x, t) = s příslušnými koeficienty k, b k popsány vzthy sin kπ l x ( k cos kπ l t + b k sin kπ l t ), k = 2 l l ϕ(x) sin kπ l x dx, b k = 2 kl l ψ(x) sin kπ l x dx. 28

6 Závěr 6 ZÁVĚR Cílem této práce bylo zsvětit čtenáře do problemtiky funkčních řd dále se hlouběji věnovt řdám Fourierovým. Autorovou snhou bylo vytvořit text obshující nejen potřebnou teorii, le tké poukázt n prktické použití Fourierových řd to zejmén při řešení obyčejných prciálních diferenciálních rovnic. Pro lepší orientci pochopení obshu bklářské práce jsou po čtenáři poždovány znlosti zákldního diferenciálního integrálního počtu. Funkční řdy následně řdy Fourierovy jsou v textu definovány v reálném oboru. Toto omezení je z důvodu rozshu přípdné náročnosti textu. Získt prohloubit znlosti o Fourierových řdách definovných pro množinu komplexních čísel lze npříkld v monogrfiích uvedených v seznmu použité litertury. V použité litertuře je tké možné vyhledt důkzy většiny zmíněných vět, pro jejichž uvedení nebyl v této práci prostor. Úvodní kpitol stručně popisuje nejpodsttnější momenty ze život J.-B. J. de Fourier. Kpitol druhá je věnován teorii funkčních řd je změřen zejmén n jejich vlstnosti. Obdobně je lděn i následující kpitol s názvem Mocninné řdy. Tto část práce poukzuje především n určení poloměru konvergence tudíž i n nvzující tém stejnoměrné konvergence mocninných řd. Poslední zmíněná vlstnost nám umožňuje mocninné řdy derivovt integrovt člen po členu beze změny poloměru konvergence. Ve čtvrté kpitole je stručně zmíněno několik pozntků o Tylorových řdách přiložen přehled vybrných Tylorových rozvojů elemenárních funkcí. Nejobsáhlejší kpitol se zbývá Fourierovými řdmi. Obshuje teoretický zákld jk pro Fourierovy řdy s periodou 2π, tk i pro obecný přípd periody. Uvádí dále řešené příkldy doplněny o grfické znázornění průběhů jednotlivých rozvíjených funkcí, výsledných Fourierových řd náhodně vybrných čstečných součtů. Poslední kpitol je snhou o ukázku řešení prciálních diferenciálních rovnic Fourierovou metodou. 29

Litertur LITERATURA [] ČERMÁK, J., ŽENÍŠEK, A.: Mtemtik III. 2. vyd. Brno: Vysoké učení technické, Akdemické nkldtelství CERM, 26. 25 s. ISBN 8-24-326-6. Funkční řdy; Mocninné řdy; Tylorovy řdy; Fourierovy řdy; s. 5-64. [2] FRANCŮ, J.: Prciální diferenciální rovnice. 3.vyd. Brno: Vysoké učení technické, Akdemické nkldtelství CERM, 23. 55 s. ISBN 8-24-2334-X. [3] HARDY, G.H., ROGOSINSKI, W.W.: Fourierovy řdy. Doc. RNDr. Alois Kufner, CSc... vyd. Prh: SNTL, 962. 56 s. ISBN 4-5-7. [4] KLUVÁNEK, I., MIŠÍK, L., ŠVEC, M.: Mtemtik II.. vyd. Brtislv: SVTL, 96. ISBN 32 3 2. Funkcionálne rdy; Fourierove rdy, s. 55-8. [5] KUFNER, A., KADLEC, J.: Fourierovy řdy.. vyd. Prh: Acdemic, 969. 348 s. ISBN 5-2-862. [6] REKTORYS, K., et l.: Přehled užité mtemtiky. 4. vyd. Prh: SNTL, 98. ISBN 4-3-8. Posloupnosti řdy s proměnnými členy (Funkční posloupnosti řdy); Ortogonální systémy. Fourierovy řdy. Některé speciální funkce (Besselovy funkce td.), s. 552-65 [7] Fourier, Jen-Bptiste Joseph de. [online]. URL: <http://www.ldebrn.cz/fmous/people/fourier Joseph.html> [cit. 8. 2. 28]. [8] Joseph Fourier. [online]. Poslední revize 23. 3. 28. URL: <http://cs.wikipedi.org/wiki/joseph Fourier> [cit. 8. 2. 28]. 3

7 SEZNAM POUŽITÝCH ZKRATEK A SYMBOLŮ 7 Seznm použitých zkrtek symbolů LPK limitní podílové kritérium LOK I s n (x) s(x) R n (x) k R limitní odmocninové kritérium obor konvergence ve funkčních řdách n-tý částečný součet řdy ve funkčních řdách součet řdy ve funkčních mocninných řdách zbytek řdy v mocninných řdách koeficienty mocninných řd poloměr konvergence mocninných řd T x f (x) Tylorov řd fce f(x) v bodě x R n (x) P n (x) Φ f k, b k, c k f(x) f(x) g(x) S n (x) Sn(x) u tt u xx v rozvojích funkcí v mocninné řdy Tylorův Lgrngeův tvr zbytku Tylorův polynom Fourierov řd ve Fourierových řdách Fourierovy koeficienty norm funkce f(x) vzdálenost funkcí f(x) g(x) (střední kvdrtická odchylk) n-tý částečný součet trigonometrické řdy n-tý částečný součet Fourierovy řdy druhá prciální derivce podle proměnné t druhá prciální derivce podle proměnné x 3